समाचारं

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

आओफेई मन्दिरात् मिंगमिन् क्रेसि
Qubits |.सार्वजनिक खाता QbitAI

९ गणितज्ञाः, ३० वर्षाणाम् अधिकं कालपर्यन्तं व्याप्ताः, ५ पत्राणि कुलम् ८००+ पृष्ठानि...

ज्यामितीयं लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानं अन्ततः सिद्धम् अभवत्!

इदं लैङ्गलैण्ड्स् इत्यस्य कार्यक्रमस्य ज्यामितीयसंस्करणम् अस्ति ।

लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रम आधुनिकगणितसंशोधनस्य बृहत्तमा एकपरियोजना इति गण्यते, "गणितस्य भव्यः एकीकृतसिद्धान्तः" इति नाम्ना प्रसिद्धः अस्ति । तत्र प्रस्तावितं यत् गणितस्य त्रयः स्वतन्त्रतया विकसिताः शाखाः, संख्यासिद्धान्तः, बीजगणितीयज्यामितिः, समूहप्रतिपादनसिद्धान्तः च वस्तुतः निकटतया सम्बद्धाः सन्ति

फर्माट् इत्यस्य अन्तिमः प्रमेयः लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमस्य अनुप्रयोगस्य धन्यवादेन पूर्णतया सिद्धः अभवत् । एण्ड्रयू वाइल्स इत्यनेन लघुफलनसमूहस्य कृते संख्यासिद्धान्ते लैङ्गलैण्ड्स्-सम्बन्धस्य प्रमाणेन ३०० वर्षाणि यावत् गणितं व्याकुलं समस्यायाः समाधानं कृतम्

ज्यामितीयं लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानं १९८० तमे दशके लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमस्य ज्यामितीयसंस्करणरूपेण प्रस्तावितं आसीत् । ज्यामितीयसमस्यासु (विपरीतम् च) संख्यासिद्धान्तपद्धतीनां अवधारणानां च प्रयोगाय एकं रूपरेखां प्रददाति ।

एतस्य अनुमानस्य उपयोगेन गणितस्य भौतिकशास्त्रस्य च क्षेत्रेषु अनेकानाम् अनवधानसमस्यानां कृते नूतनाः विचाराः साधनानि च प्राप्यन्ते । यथा - क्वाण्टम्-क्षेत्र-सिद्धान्तस्य, तार-सिद्धान्तस्य च शोधकार्य्ये अस्य प्रयोगः कर्तुं शक्यते ।

अतः यदा ज्यामितीयं लैङ्गलैण्ड्स्-अनुमानं सिद्धं भविष्यति तदा गणितीयसमुदाये तत्संवेदनं जनयिष्यति इति न संशयः ।

फील्ड्स् पदकविजेता पीटर श्कोल्ज्, यः मुख्यतया लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमस्य अध्ययनं करोति, सः एतस्य नवीनतमस्य उपलब्धेः मूल्याङ्कनं "३० वर्षाणां प्रयत्नस्य पराकाष्ठा" इति कृतवान् ।

तस्य सम्बोधनं द्रष्टुं महत् स्यात्!

ज्यामितीय लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमस्य संस्थापकानाम् एकः अलेक्जेण्डर् बेलिन्सन् अपि अवदत् यत् -

एतत् प्रमाणं सत्यं सुन्दरं स्वप्रकारस्य श्रेष्ठं च।

अस्य शोधस्य नेतृत्वं डेनिस् गैट्स्गोरी, सैम रास्किन् च कृतवन्तौ ।

९ सदस्यीयदले चीनदेशस्य विद्वांसः अपि सन्तिचेन लिन्。

सः सिङ्घुआ विश्वविद्यालयस्य याउ शिङ्ग-तुङ्ग गणितविज्ञानकेन्द्रे सहायकप्रोफेसरः अस्ति तथा च १५ वर्षे IMO स्वर्णपदकं प्राप्तवान् ।

ज्यामितिः, लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमस्य अन्तिमः कडिः

१९६७ तमे वर्षे लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमः प्रस्तावितः ।

३० वर्षीयः प्रिन्स्टन् विश्वविद्यालयस्य प्राध्यापकःरोबर्ट लैङ्गलैण्ड्स्(रोबर्ट् लैङ्गलैण्ड्स्) इत्यनेन "गणितस्य रोसेट्टा स्टोन्" इत्यस्य संस्थापकाय आन्द्रे वेल् इत्यस्मै १७ पृष्ठीयं हस्तलिखितं पत्रं प्रेषितम्, यस्मिन् सः स्वस्य दृष्टिः व्याख्यातवान् ।

(अत्र "रोसेट्टा स्टोन्" एकः रूपकः अस्ति, गणितज्ञेन आन्द्रे वेल् इत्यनेन प्रस्तावितानां गणितीयक्षेत्राणां मध्ये उपमायाः संदर्भं ददाति। एषा उपमा गणितस्य, संख्यासिद्धान्तस्य, ज्यामितिस्य, कार्यक्षेत्रस्य च त्रयः भिन्नाः प्रतीयमानाः क्षेत्राणि संयोजयति। क्षेत्राणि सम्बद्धानि सन्ति)।

लैङ्गलैण्ड्स् लिखति, "रोसेट्टा पाषाण"संख्यासिद्धान्तस्य कार्यस्य च क्षेत्रे फूरियरविश्लेषणस्य सामान्यीकरणस्य निर्माणं सम्भवति।"

जटिलतरङ्गरूपं सुचारुरूपेण दोलनशीलत्रिकोणमितीयकार्यतरङ्गरूपेण प्रतिनिधित्वार्थं रूपरेखां फूरियरविश्लेषणं आधुनिकदूरसञ्चारस्य, संकेतप्रक्रियाकरणस्य, चुम्बकीयप्रतिध्वनिप्रतिबिम्बनस्य, आधुनिकजीवनस्य च अधिकांशस्य मौलिकप्रौद्योगिकी अस्ति

फूरियर विश्लेषणे फलनस्य तस्य फूरियररूपान्तरणस्य च सम्बन्धस्य सदृशं,लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमः एतान् त्रयान् क्षेत्रान् तेषु समानानि "पत्राचारपत्राणि" स्थापयित्वा सम्बध्दयति ।

फूरियररूपान्तरणं तरङ्गानाम् स्पेक्ट्राणां च मध्ये अग्रे पश्चात् परिवर्तयति, तथा च लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमे तदनुरूपाः "तरङ्गाः" "वर्णक्रमाः" च सन्ति ।

"तरङ्ग" पक्षः केनचित् विशेषकार्यैः निर्मितः भवति, "वर्णक्रम"पक्षः च "तरङ्गस्य" आवृत्तिं चिह्नितुं कतिपयैः बीजगणितीयवस्तूनाम् निर्मितः भवति:

• संख्यासिद्धान्ते फंक्शन् p-adic संख्याक्षेत्रे अथवा Adel ring इत्यत्र परिभाषितं विशेषं कार्यं भवति, बीजगणितीयवस्तु च Galois समूहस्य अथवा तत्सम्बद्धस्य समूहस्य प्रतिनिधित्वं भवति
• ज्यामितिशास्त्रे कार्यं रीमैन् पृष्ठे परिभाषितं लक्षणस्तरं (D-मॉड्यूल) भवति, बीजगणितीयवस्तु च बीजीयसमूहे G इत्यत्र रीमैन् पृष्ठस्य मूलसमूहस्य प्रतिनिधित्वं भवति
• फंक्शन् डोमेन् मध्ये फंक्शन् वक्रस्य उपरि परिभाषितं विशेषं फंक्शन् भवति, बीजगणितीयं वस्तु च गैलोइस् समूहस्य अथवा तत्सम्बद्धस्य समूहस्य प्रतिनिधित्वं भवति

अतः लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमः एकीकृतं दृष्टिकोणं प्रदाति यत् गणितस्य, संख्यासिद्धान्तस्य, ज्यामितिस्य, कार्यक्षेत्रस्य च त्रीणि शाखाः संयोजयति, एवं च गहनानां विस्तृतानां च गणितीयसमस्यानां अनुमानानाञ्च श्रृङ्खलां जनयति

लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमस्य रूपरेखायाः माध्यमेन पारम्परिकसंख्यासिद्धान्ते बहवः कठिनाः समस्याः प्रतिनिधित्वसिद्धान्ते वा अन्यक्षेत्रेषु वा समस्यारूपेण परिणतुं शक्यन्ते, येन नूतनदृष्टिकोणैः साधनैः च समाधानं कर्तुं शक्यते अनेकाः विशिष्टाः गणितीयसमस्याः प्रयुक्ताः ।

△रॉबर्ट लैङ्गलैण्ड्स्

यथा, फर्माट् इत्यस्य अन्तिमप्रमेयस्य प्रमाणं लैङ्गलैण्ड्स् इत्यस्य कार्यक्रमात् विचारान् आकर्षितवान्, अण्डाकारवक्रान् मॉड्यूलररूपान् च संयोजयति स्म, अन्ततः एतेषां संयोजनानां माध्यमेन सफलः अभवत्

गणितस्य एव अतिरिक्तं भौतिकशास्त्रादिषु अन्येषु विषयेषु अपि लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमस्य महत्त्वपूर्णा भूमिका आसीत् उदाहरणार्थं क्वाण्टमक्षेत्रसिद्धान्ते तारसिद्धान्ते च लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमस्य केचन विचाराः पद्धतयः च प्रयुक्ताः सन्ति

तेषु ज्यामितीय-लैङ्गलैण्ड्-अनुमानस्य न केवलं व्यापकाः अनुप्रयोगाः, संयोजनानि च सन्ति, अपितु ज्यामितीयदृष्ट्या अपि एकं शक्तिशालीं साधनं प्रदाति, अतः लैङ्गलैण्ड्स्-कार्यक्रमे विशेषतया महत्त्वपूर्णम् अस्ति

परन्तु ज्यामितीय लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानस्य सिद्धीकरणस्य प्रक्रिया अपि अतीव कठिना आसीत्, तस्य कुलम् ३० वर्षाणि यावत् आसीत्, अन्तिमप्रमाणकार्यं २०१३ तमे वर्षे एव आरब्धम् ।

मूलप्रमाणसामग्री रीमैन् पृष्ठेषु आत्मसादृश्यस्य समरूपतायाः च गहनपत्राचारस्य विषये अस्ति ।

व्याख्यानार्थं पुनः फूरियर विश्लेषणप्रतिरूपस्य उपयोगाय गणितज्ञाः ज्यामितीयस्य लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानस्य "स्पेक्ट्रम" पक्षं चिरकालात् अवगतवन्तः, परन्तु "तरङ्ग" पक्षस्य अवगमनं दीर्घप्रक्रियायाः माध्यमेन गतं

यदा लैङ्गलैण्ड्स् प्रथमवारं एतत् कार्यक्रमं प्रस्तावितवान् तदा अपि ज्यामितीयभागः सर्वथा न समाविष्टः आसीत् तदा एव गणितज्ञः व्लादिमीर् ड्रिन्फेल्ड् इत्यनेन अवगतम् यत् आइगेन्फन्क्शन्स् इत्यस्य स्थाने लैङ्ग्लैण्ड्स् पत्राचारस्य ज्यामितीयसंस्करणं निर्मातुं शक्यते

ज्यामितीय लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानस्य सटीकव्यञ्जना केवलम् अस्मिन् शतके एव प्रादुर्भूतवती - २०१२ तमे वर्षे डेनिस् गैट्सगोरी, डिमा अरिङ्किन् च १५० पृष्ठाधिकं पत्रं लिखितवन्तौ ।

डेनिसः अलिङ्गिन् च दर्शितवन्तौ यत् ज्यामितीयं लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानं सिद्धयितुं मूलविचारः एकः समतुल्यतासम्बन्धः अन्वेष्टव्यः यः बीजगणितीयवक्रस्य X (बीजगणितीयस्थाने G इत्यत्र तन्तुसमूहः, यस्य तन्तुः सन्ति) इत्यत्र G-बण्डलस्य D इत्यस्य संयोजनं करोति Copies of G) -मॉड्यूलस्य श्रेणी (कतिपयस्थानेषु अवकलसमीकरणानां समाधानम्) लैङ्गलैण्ड्स् द्वयसमूहस्य स्थानीयप्रणालीनां Ind-Coh श्रेणीयाः सह सम्बद्धा अस्ति^ (यस्मिन् सर्वाणि Ind-cohomological objects समाविष्टानि सन्ति), अर्थात्:

२०१३ तमे वर्षे डेनिस् ज्यामितीय-लैङ्गलैण्ड्स्-अनुमानस्य प्रमाणस्य रेखाचित्रं लिखितवान्, परन्तु अयं रेखाचित्रः अनेकेषु मध्यवर्ती-परिणामेषु अवलम्बितवान् यत् तदनन्तरं वर्षेषु डेनिस् तस्य सहकारिभिः सह एतान् परिणामान् सिद्धयितुं कार्यं कृतम्

२०२० तमे वर्षे डेनिस् "श्वेतशब्दे" प्रत्येकस्य विशेषतास्तरस्य योगदानं कथं अवगन्तुं शक्यते इति चिन्तयितुं आरब्धवान्, एषः विचारः पश्चात् प्रमाणस्य प्रमुखः भागः अभवत् ।

अत्र "श्वेतकोलाहलः" लैङ्गलैण्ड्स् इत्यस्य अनुमानेन सह संयुक्तं पोइन्केरे-गुच्छं निर्दिशति ।

२०२२ तमे वर्षे वसन्तऋतौ सैम रास्किन् तस्य छात्रः जोआकिम फर्गेमैन् च दर्शितवन्तौ यत् प्रत्येकं विशेषतास्तरः केनचित् प्रकारेण "श्वेतकोलाहलस्य" योगदानं करोति, एतत् परिणामं यत् डेनिस् इत्यस्य निश्चयः अभवत् यत् ते शीघ्रमेव तत् सिद्धं कर्तुं समर्थाः भविष्यन्ति

२०२३ तमे वर्षात् आरभ्य डेनिस्, सैम इत्यादयः ७ सहकारिणः ज्यामितीय-लैङ्गलैण्ड्स्-अनुमानस्य अन्तिम-आक्रमणं कृतवन्तः अन्तिम-प्रमाणे ५ पत्राणि सन्ति, येषां दीर्घता ८०० पृष्ठानि अधिकानि आसन्, अस्मिन् वर्षे च प्रकाशितम्

प्रथमः लेखः फन्क्टर्-निर्माणस्य विषये अस्ति शून्यलक्षणयुक्ते वातावरणे स्वरूपीतः वर्णक्रमीयदिशापर्यन्तं ज्यामितीय-लैङ्गलैण्ड्स्-फंक्टर् LG इत्यस्य निर्माणं करणीयम् अस्ति तथा च तस्य समतुल्यतां सिद्धयितुं शक्यते, अर्थात् तस्य उपयोगः द्वयोः Establish a one इत्यत्र कर्तुं शक्यते -वर्गयोः मध्ये एकं पत्राचारः।

यदि एतत् समतुल्यता सिद्धं कर्तुं शक्यते तर्हि ज्यामितीयं लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानं सत्यम् इति सिद्धं भविष्यति ।

द्वितीयः लेखः काक-मूडी-स्थानीयीकरणस्य वैश्वीकरणस्य च अन्तरक्रियायाः अध्ययनं करोति, यत् सिद्धयति यत् फंक्टरः वास्तवमेव कतिपयेषु परिस्थितिषु समतुल्यता-फङ्करः अस्ति, तस्मात् ज्यामितीय-लैङ्गलैण्ड्स्-अनुमानस्य प्रमाणं प्रवर्तयति

तृतीयः लेखः सेतुरूपेण कार्यं करोति, न केवलं ज्ञातसमतुल्यतापरिणामानां विस्तारं अधिकसामान्यप्रकरणेषु करोति, अपितु ज्यामितीय लैङ्गलैण्ड्स्-फंक्टर्-इत्यस्य नित्यपद-फंक्टर्-इत्यस्य च संगततां अवगन्तुं Kac-Moody-प्रौद्योगिक्याः उपयोगः अपि प्रमुख-अन्तर्दृष्टिः प्रदाति

तत्सह, न्यूनीकरणीयवर्णक्रमीयमापदण्डानां अन्तर्गतं ज्यामितीय लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानस्य संगततां सिद्ध्य, अयं पत्रः अपरिवर्तनीयवर्णक्रमीयमापदण्डानां अन्तर्गतं ज्यामितीय लैङ्गलैण्ड्स् अनुमानस्य अग्रे प्रमाणस्य आधारं स्थापयति

चतुर्थे पत्रे लेखकाः एकं प्रमुखं प्रमेयं सिद्धवन्तः - Ambidexterity प्रमेयम् । एतत् प्रमेयम् दर्शयति यत् LG-cusp इत्यस्य वामसन्धिः दक्षिणसन्धिः च (यत् विशिष्टे, लघुवर्गे LG इत्यस्य व्यवहाररूपेण गणयितुं शक्यते) समरूपः अस्ति

अन्तिमपत्रे एतस्य निष्कर्षस्य उपयोगः सामान्यपरिस्थितिषु अनुमानस्य विस्तारार्थं प्रयुक्तः, दीर्घकालं यावत् प्रमाणकार्यस्य समाप्तिः अभवत् ।

गणितज्ञानाम् द्वौ पीढौ मिलित्वा कठिनसमस्यानां निवारणार्थं कार्यं कुर्वतः

अस्य शोधदलस्य नेतृत्वं हार्वर्ड-नगरस्य प्राध्यापकः डेनिस् गैट्स्गोरी, येल्-नगरस्य प्राध्यापकः सैम रास्किन् च आसीत् ।

शेषलेखकाः, वामतः दक्षिणत: घड़ीयानस्य दिशि: डारियो बेराल्डो, लिन् चेन्, केविन् लिन्, निक रोसेन्ब्लम रोजेन्ब्ल्युम्, जोआकिम् फेर्गेमैन्, जस्टिन कैम्पबेल्, डिमा अरिङ्किन् च

△स्रोत : क्वाण्टमागजी

ज्ञातव्यं यत् शोधदले चीनीयविद्वांसः सन्ति- १.चेन लिन्。

चेन् लिन् सिङ्घुआ विश्वविद्यालयस्य शिङ्ग-तुङ्ग याउ गणितविज्ञानकेन्द्रे सहायकप्रोफेसरः अस्ति । २०१६ तमे वर्षे पेकिङ्ग् विश्वविद्यालयात् स्नातकपदवीं प्राप्तवान्, २०२१ तमे वर्षे हार्वर्डविश्वविद्यालयात् पीएच.डी.

किशोरावस्थायां सः गणितस्य महतीं प्रतिभां दर्शितवान्, सः १२ वर्षे चीनगणित-ओलम्पियाड् (CMO) स्पर्धायां प्रवेशं प्राप्तवान्, १५ वर्षे सः राष्ट्रिय-दले प्रवेशं कृत्वा अन्तर्राष्ट्रीय-गणित-क्रीडायां भागं गृहीतवान् ओलम्पियाड् (IMO) स्पर्धायां स्वर्णपदकं च प्राप्तवान् ।

चेन् लिन् दीर्घकालात् लैङ्गलैण्ड्स् प्रोग्राम् आफ् जियोमेट्री इत्यस्य अध्ययनं कुर्वन् अस्ति ।

चेन् लिन् इत्यनेन पूर्वसाक्षात्कारे उक्तं यत् सः केवलं डेनिस् इत्यस्य नेतृत्वे एव ज्यामिति लैङ्गलैण्ड्स् इति क्षेत्रे प्रविष्टवान् । पी.एच्.डी.

पीएच्.डी.

अनुमानस्य प्रमाणं सम्पन्नं कृत्वा पत्रं लिखित्वा सः स्थानीयज्यामितिषु लैङ्गलैण्ड्स्-विषयेषु चिन्तनं निरन्तरं करिष्यति ।

वस्तुतः लैङ्गलैण्ड्स् कार्यक्रमः चीनदेशस्य गणितस्य बहवः विद्वांसः आकर्षयति । पेकिङ्ग् विश्वविद्यालयस्य सुवर्णपीढीषु युन् झीवेई, झाङ्ग वेई, युआन् क्षिन्ये, झू सिन्वेन् च अपि अस्य शिखरस्य आरोहणं कुर्वन्ति ।

सन्दर्भलिङ्कानि : १.
[1]https://www.quantamagazine.org/स्मारकीय-प्रमाण-ज्यामितीय-लैंगलैंड्स-अनुमान-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061