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2024-07-23
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Mingmin Kresi del templo de Aofei
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9 matemáticos, que abarcan más de 30 años, 5 artículos con un total de más de 800 páginas...
¡La conjetura geométrica de Langlands finalmente ha sido probada!
Es una versión geométrica del programa de Langlands.
Programa Langlands Se considera el proyecto individual más grande en la investigación matemática moderna y se conoce como la "Gran Teoría Unificada de las Matemáticas". Propone que las tres ramas de las matemáticas desarrolladas independientemente: la teoría de números, la geometría algebraica y la teoría de la representación de grupos, en realidad están estrechamente relacionadas.
El último teorema de Fermat quedó plenamente demostrado gracias a la aplicación del programa Langlands. La prueba de Andrew Wiles de la relación de Langlands en teoría de números para un pequeño conjunto de funciones resolvió un problema que había plagado a las matemáticas durante 300 años.
La conjetura geométrica de Langlands fue propuesta en la década de 1980 como la versión geométrica del programa Langlands. Proporciona un marco para aplicar métodos y conceptos de teoría de números a problemas geométricos (y viceversa).
El uso de esta conjetura puede proporcionar nuevas ideas y herramientas para muchos problemas no resueltos en los campos de las matemáticas y la física. Por ejemplo, se puede aplicar a la investigación sobre la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas.
Por lo tanto, cuando se demuestre la conjetura geométrica de Langlands, sin duda causará sensación en la comunidad matemática.
El ganador de la Medalla Fields, Peter Scholze, que estudia principalmente el Programa Langlands, evaluó este último logro como "la culminación de 30 años de esfuerzos".
¡Sería fantástico que se abordara!
Alexander Beilinson, uno de los fundadores del Programa Geométrico Langlands, también dijo:
Esta prueba es verdaderamente hermosa y la mejor de su tipo.
La investigación fue dirigida por Dennis Gaitsgory y Sam Raskin.
El equipo de nueve miembros también incluye académicos chinos.Chen Lin。
Es profesor asistente en el Centro de Ciencias Matemáticas Yau Shing-tung de la Universidad de Tsinghua y ganó la medalla de oro de la OMI a la edad de 15 años.
El Programa Langlands fue propuesto en 1967.
Profesor de 30 años de la Universidad de PrincetonRobert Langlands(Robert Langlands) envió una carta manuscrita de 17 páginas a André Weil, el fundador de la "Piedra Rosetta de las Matemáticas", en la que explicaba su visión.
(La "Piedra Rosetta" aquí es una metáfora que se refiere a una analogía entre campos matemáticos propuesta por el matemático André Weil. Esta analogía combina los tres campos aparentemente diferentes de las matemáticas, la teoría de números, la geometría y los campos funcionales. Los campos están conectados).
Langlands escribe, en "Rosetta Stone"En el campo de la teoría de números y las funciones, es posible crear una generalización del análisis de Fourier.
El análisis de Fourier, un marco para representar formas de onda complejas como ondas funcionales trigonométricas que oscilan suavemente, es una tecnología fundamental para las telecomunicaciones modernas, el procesamiento de señales, las imágenes por resonancia magnética y gran parte de la vida moderna.
De manera similar a la relación entre una función y su transformada de Fourier en el análisis de Fourier,El Programa Langlands vincula estas tres áreas estableciendo "correspondencias" similares en ellas.
La transformada de Fourier convierte ondas y espectros, y existen "ondas" y "espectros" correspondientes en el Programa Langlands.
El lado de la "onda" se compone de algunas funciones especiales, y el lado del "espectro" se compone de ciertos objetos algebraicos para marcar la frecuencia de la "onda":
Por lo tanto, el Programa Langlands proporciona una perspectiva unificada que conecta las tres ramas de las matemáticas, la teoría de números, la geometría y los campos funcionales, y así genera una serie de conjeturas y problemas matemáticos profundos y extensos.
A través del marco del Programa Langlands, muchos problemas difíciles de la teoría de números tradicional se pueden transformar en problemas de la teoría de la representación u otros campos, para poder resolverlos con nuevas perspectivas y herramientas. Las ideas y métodos del Programa Langlands se pueden utilizar en. Se han aplicado muchos problemas matemáticos específicos.
△Robert Langlands
Por ejemplo, la demostración del último teorema de Fermat se basó en ideas del programa de Langlands, conectando curvas elípticas y formas modulares, y finalmente tuvo éxito gracias a estas conexiones.
Además de las matemáticas en sí, el Programa Langlands también jugó un papel importante en otras disciplinas como la física. Por ejemplo, en la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas se han aplicado algunas de las ideas y métodos del Programa Langlands.
Entre ellos, la conjetura geométrica de Langlands no solo tiene aplicaciones y conexiones más amplias, sino que también proporciona una herramienta poderosa desde una perspectiva geométrica, por lo que es particularmente importante en el programa Langlands.
Sin embargo, el proceso de demostración de la conjetura geométrica de Langlands también fue muy difícil. Duró un total de 30 años y el trabajo de prueba final no comenzó hasta 2013.
El contenido central de la prueba trata sobre la profunda correspondencia entre la autosimilitud y la simetría en las superficies de Riemann.
Para utilizar nuevamente el modelo de análisis de Fourier para explicar, los matemáticos han entendido durante mucho tiempo el lado del "espectro" de la conjetura geométrica de Langlands, pero comprender el lado de la "onda" ha pasado por un largo proceso.
Incluso cuando Langlands propuso por primera vez este programa, la parte geométrica no estaba incluida en absoluto. No fue hasta la década de 1980 que el matemático Vladimir Drinfeld se dio cuenta de que reemplazando las funciones propias, es posible crear una versión geométrica de la correspondencia de Langlands.
La expresión precisa de la conjetura geométrica de Langlands no apareció hasta este siglo: en 2012, Dennis Gaitsgory y Dima Arinkin escribieron un artículo de más de 150 páginas.
Dennis y Alingin señalaron que la idea central de probar la conjetura geométrica de Langlands es encontrar una relación de equivalencia que combine la D del haz G en la curva algebraica X (el haz de fibras en el espacio algebraico G, cuyas fibras son copias de G) -La categoría de módulos (soluciones de ecuaciones diferenciales en ciertos espacios) está relacionada con la categoría Ind-Coh de sistemas locales del grupo dual Langlands^ (que incluye todos los objetos Ind-cohomológicos), es decir:
En 2013, Dennis escribió un boceto de una prueba de la conjetura geométrica de Langlands, pero este boceto se basó en muchos resultados intermedios que aún no se habían demostrado. En los años siguientes, Dennis y sus colaboradores trabajaron para demostrar estos resultados.
En 2020, Dennis comenzó a pensar en cómo comprender la contribución de cada capa de características al "ruido blanco", una idea que luego se convirtió en una parte clave de la prueba.
El "ruido blanco" aquí se refiere a la gavilla de Poincaré combinada con la conjetura de Langlands. La analogía del autor se basa en la onda sinusoidal de la transformada de Fourier.
En la primavera de 2022, Sam Raskin y su alumno Joakim Færgeman demostraron que cada capa de características contribuye al "ruido blanco" de alguna manera, un resultado que hizo que Dennis estuviera seguro de que podrían demostrarlo pronto.
A partir de 2023, Dennis, Sam y otros siete colaboradores lanzaron el ataque final a la conjetura geométrica de Langlands. La prueba final incluyó 5 artículos, de más de 800 páginas, y se publicó este año.
El primer artículo trata sobre la construcción de funtores. Es necesario construir el functor geométrico de Langlands LG desde la dirección automórfica a la espectral en un entorno con características cero y demostrar su equivalencia, es decir, se puede utilizar en dos Establecer uno. Correspondencia uno a uno entre categorías.
Si se puede demostrar esta equivalencia, se demostrará que la conjetura geométrica de Langlands es verdadera.
El segundo artículo estudia la interacción entre la localización de Kac-Moody y la globalización, demostrando que el funtor es de hecho un funtor de equivalencia bajo ciertas condiciones, avanzando así en la prueba de la conjetura geométrica de Langlands.
El tercer artículo sirve como puente, no solo extendiendo los resultados de equivalencia conocidos a casos más generales, sino que también utiliza la tecnología de localización de Kac-Moody para comprender la compatibilidad de los functores geométricos de Langlands y los functores de términos constantes.
Al mismo tiempo, al demostrar la compatibilidad de la conjetura geométrica de Langlands bajo parámetros espectrales reducibles, este artículo sienta las bases para pruebas adicionales de la conjetura geométrica de Langlands bajo parámetros espectrales irreducibles.
En el cuarto artículo, los autores demostraron un teorema clave: el teorema de la ambidestreza. Este teorema muestra que el adjunto izquierdo y el adjunto derecho de LG-cúspide (que puede considerarse como el comportamiento de LG en una categoría específica más pequeña) son isomórficos. Este es un paso importante para demostrar que LG es un functor de equivalencia.
El último artículo utilizó esta conclusión para extender la conjetura a situaciones generales, poniendo fin al prolongado trabajo de prueba.
El equipo de investigación estuvo dirigido por el profesor de Harvard Dennis Gaitsgory y el profesor de Yale Sam Raskin.
Los autores restantes, en el sentido de las agujas del reloj, de izquierda a derecha, son: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell y Dima Arinkin.
△Fuente: Revista Quanta
Vale la pena señalar que el equipo de investigación incluye académicos chinos:Chen Lin。
Chen Lin es profesor asistente en el Centro de Ciencias Matemáticas Shing-tung Yau de la Universidad de Tsinghua. Obtuvo una licenciatura de la Universidad de Pekín en 2016 y un doctorado de la Universidad de Harvard en 2021. Recibió la Beca de Excelencia Harvard 2020-2021.
Demostró un gran talento en matemáticas cuando era un adolescente. A los 12 años ingresó a la competencia de la Olimpiada de Matemáticas de China (CMO) y obtuvo puntajes perfectos. A los 15 años ingresó al equipo nacional y participó en la Internacional de Matemáticas. Competencia Olimpiada (OMI) y ganó una medalla de oro.
Chen Lin ha estado estudiando el Programa de Geometría Langlands durante mucho tiempo. Su conexión con esta dirección provino de Denis Gatesgory.
Chen Lin reveló en una entrevista anterior que solo ingresó al campo de Geometría Langlands bajo el liderazgo de Dennis. Antes de obtener su doctorado, no sabía casi nada sobre la teoría de la representación geométrica y aprendió gran parte de los conocimientos básicos bajo la dirección de Dennis.
Después de graduarse con su doctorado, Chen Lin ha estado participando en el proyecto de investigación de Dennis y otros colaboradores sobre la conjetura de Langlands geométrica categorizada global.
Después de completar la prueba de la conjetura y escribir el artículo, seguirá pensando en los problemas de Langland en la geometría local.
De hecho, el Programa Langlands atrae a muchos académicos chinos en matemáticas. Yun Zhiwei, Zhang Wei, Yuan Xinyi y Zhu Xinwen, entre la generación dorada de la Universidad de Pekín, también están escalando este pico.
Enlaces de referencia:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061
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