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蒼飛寺のミンミン・クレシ
パブリックアカウント QbitAI

30 年以上にわたる 9 人の数学者、合計 800 ページを超える 5 つの論文...

幾何学的ラングランズ予想がついに証明されました！

これは、ラングランズのプログラムの幾何学的バージョンです。

ラングランズ プログラムこれは現代数学研究における単一のプロジェクトとしては最大とみなされており、「数学の大統一理論」として知られています。それは、数学の 3 つの独立して開発された分野、数論、代数幾何学、および群表現理論が実際には密接に関連していることを提案しています。

フェルマーの最終定理は、ラングランズ プログラムの適用により完全に証明されました。アンドリュー・ワイルズは、少数の関数の数論におけるラングランズ関係を証明し、300 年間数学を悩ませてきた問題を解決しました。

幾何学的ラングランズ予想は、ラングランズ プログラムの幾何学的バージョンとして 1980 年代に提案されました。これは、数論の手法と概念を幾何学的な問題に適用するためのフレームワークを提供します (逆も同様)。

この予想を使用すると、数学と物理学の分野における多くの未解決の問題に対する新しいアイデアとツールを提供できます。例えば、場の量子論や弦理論の研究に応用できます。

したがって、幾何学的なラングランズ予想が証明されれば、間違いなく数学界にセンセーションを巻き起こすことになるでしょう。

フィールズ賞受賞者でラングランズ計画を主に研究しているピーター・ショルツ氏は、今回の成果を「30年間の努力の集大成」と評価した。

それが対処されるのを見るのは素晴らしいことです!

幾何学的ラングランズ プログラムの創設者の 1 人であるアレクサンダー ベイリンソン氏も次のように述べています。

この証拠は本当に美しく、この種のものとしては最高のものです。

この研究は、デニス・ゲイツゴリー氏とサム・ラスキン氏が主導しました。

9人のメンバーからなるチームには中国人学者も含まれているチェン・リン。

彼は清華大学ヤウ・シントン数学科学センターの助教授であり、15 歳で IMO 金メダルを獲得しました。

幾何学、ラングランズ プログラムの最後のリンク

ラングランズ計画は 1967 年に提案されました。

30歳のプリンストン大学教授ロバート・ラングランズ(ロバート・ラングランズ) は、「数学のロゼッタ・ストーン」の創設者であるアンドレ・ヴェイユに 17 ページの手書きの手紙を送り、その中で彼のビジョンを説明しました。

(ここでの「ロゼッタ ストーン」は、数学者アンドレ ヴェイユによって提案された数学分野間のアナロジーを指す比喩です。このアナロジーは、数学、数論、幾何学、関数フィールドという一見異なる 3 つの分野を組み合わせたものです。フィールドは接続されています)。

ラングランズ氏はこう書いている。ロゼッタストーン「数論と関数の分野では、フーリエ解析を一般化することが可能です。

フーリエ解析は、複雑な波形を滑らかに振動する三角関数波として表現するためのフレームワークであり、現代の電気通信、信号処理、磁気共鳴画像法、そして現代生活の多くの基礎となる技術です。

フーリエ解析における関数とそのフーリエ変換の関係と同様に、ラングランズ プログラムは、これら 3 つの領域に同様の「対応関係」を確立することでこれら 3 つの領域を結び付けます。

フーリエ変換は波とスペクトルの間を行き来する変換であり、ラングランズ プログラムには対応する「波」と「スペクトル」が存在します。

「波」側はいくつかの特別な関数で構成され、「スペクトル」側は「波」の周波数をマークする特定の代数オブジェクトで構成されます。

• 数論では、関数は p 進数体またはアーデル環上で定義された特別な関数であり、代数オブジェクトはガロア群またはそれに関連する群の表現です。
• 幾何学では、関数はリーマン面上に定義された特性層 (D モジュール) であり、代数オブジェクトは代数群 G 上のリーマン面の基本群の表現です。
• 関数領域では、関数は曲線上に定義された特別な関数であり、代数オブジェクトはガロア群またはそれに関連する群の表現です。

したがって、ラングランズ プログラムは、数学、数論、幾何学、関数分野の 3 つの分野を結びつける統一的な視点を提供し、それによって一連の深遠かつ広範な数学的問題と推測をもたらします。

ラングランズ プログラムの枠組みを通じて、従来の整数論の多くの困難な問題を表現理論や他の分野の問題に変換し、新しい視点やツールで解決できるようにします。多くの特定の数学的問題が適用されます。

△ロバート・ラングランズ

たとえば、フェルマーの最終定理の証明は、ラングランズのプログラムのアイデアを利用して、楕円曲線とモジュラー形式を接続し、これらの接続を通じて最終的に成功しました。

ラングランズ プログラムは、数学自体に加えて、物理学などの他の分野でも重要な役割を果たしました。たとえば、場の量子論や弦理論では、ラングランズ プログラムの考え方や手法の一部が適用されています。

その中でも、幾何学的なラングランズ予想は、より広い応用範囲と関連性を持っているだけでなく、幾何学的な観点から強力なツールを提供するため、ラングランズ プログラムでは特に重要です。

しかし、幾何学ラングランズ予想の証明プロセスも非常に困難で、合計 30 年かかり、最終的な証明作業が始まったのは 2013 年でした。

中心的な証明内容は、リーマン面上の自己相似性と対称性の間の深い対応関係に関するものです。

もう一度フーリエ解析モデルを使って説明すると、数学者は幾何学的なラングランズ予想の「スペクトル」側を長い間理解してきましたが、「波」側を理解するには長いプロセスを経てきました。

ラングランズが最初にこのプログラムを提案したときでさえ、幾何学的部分はまったく含まれていませんでした。数学者のウラジミール ドリンフェルドが、固有関数を置き換えることによってラングランズ対応の幾何学的バージョンを作成できることに気づいたのは 1980 年代になってからでした。

幾何学的なラングランズ予想の正確な表現は今世紀になって初めて現れました。2012 年に、デニス・ゲイツゴリーとディマ・アリンキンは 150 ページを超える論文を書きました。

デニスとアリンギンは、幾何学的なラングランズ予想を証明する中心となるアイデアは、代数曲線 X 上の G 束の D を組み合わせる同値関係を見つけることであると指摘しました (代数空間 G 上の繊維束、その繊維はG のコピー) - 加群の圏 (特定の空間における微分方程式の解) は、ラングランズ双対群 ^ (すべての Ind-コホモロジー対象を含む) の局所系の Ind-Coh 圏と接続されています。

2013 年に、デニスは幾何学的なラングランズ予想の証明のスケッチを書きましたが、このスケッチはまだ証明されていない多くの中間結果に依存していました。その後、デニスと彼の共同研究者はこれらの結果の証明に取り組みました。

2020 年に、デニスは、「ホワイト ノイズ」に対する各特徴レイヤーの寄与を理解する方法について考え始めました。このアイデアは、後に証明の重要な部分になりました。

ここでの「ホワイト ノイズ」は、ラングランズの予想と組み合わせたポアンカレ層を指します。著者の類推は、フーリエ変換の正弦波に基づいています。

2022 年の春、サム ラスキンと彼の学生ジョアキム ファーゲマンは、すべてのフィーチャ レイヤーが何らかの形で「ホワイト ノイズ」に寄与していることを示しました。その結果、デニスはそれをすぐに証明できると確信しました。

2023 年から、デニス、サム、および他の 7 人の共同研究者が幾何学的ラングランズ予想に対する最終的な攻撃を開始しました。最終証明には 800 ページを超える 5 つの論文が含まれ、今年出版されました。

最初の記事は関手の構築についてです。ゼロ特性の環境で保型からスペクトル方向への幾何学的なラングランズ関手 LG を構築し、その等価性を証明する必要があります。つまり、2 つの関数で 1 を確立します。カテゴリ間の 1 対 1 の対応。

この等価性が証明できれば、幾何学的なラングランズ予想が正しいことが証明されます。

2 番目の記事では、Kac-Moody の局在化とグローバル化の間の相互作用を研究し、関手がある条件下で実際に等価関手であることを証明し、それによって幾何学的なラングランズ予想の証明を前進させます。

3 番目の記事は橋渡しとして機能し、既知の等価性の結果をより一般的なケースに拡張するだけでなく、Kac-Moody 局所化テクノロジを使用して幾何学的なラングランズ関数と定数項関数の互換性を理解することで重要な洞察を提供します。

同時に、この論文は、可約スペクトル パラメーターの下で幾何学的なラングランズ予想の互換性を証明することにより、既約スペクトル パラメーターの下で幾何学的なラングランズ予想をさらに証明するための基礎を築きます。

4 番目の論文で、著者らは重要な定理である両利き定理を証明しました。この定理は、LG-cusp の左随伴物と右随伴物 (特定のより小さいカテゴリにおける LG の動作とみなすことができます) が同型であることを示します。これは、LG が等価関手であることを証明するための重要なステップです。

前回の論文では、この結論を利用して推測を一般的な状況に拡張し、長引いた証明作業に終止符を打ちました。

2世代の数学者が協力して困難な問題に取り組む

研究チームはハーバード大学のデニス・ゲイツゴリー教授とイェール大学のサム・ラスキン教授が率いた。

残りの著者は、左から右に時計回りに、Dario Beraldo、Lin Chen、Kevin Lin、Nick Rosenblum Rozenblyum、Joakim Færgeman、Justin Campbell、Dima Arinkin です。

△出典：クアンタマガジン

研究チームには中国人の学者が含まれていることは注目に値します。チェン・リン。

Chen Lin は、清華大学 Shing-tung Yau 数学科学センターの助教授です。 2016 年に北京大学で学士号を取得し、2021 年にハーバード大学で博士号を取得しました。ハーバード大学 2020-2021 Excellence Scholarship を受賞しました。

彼は10代の頃から数学に優れた才能を発揮し、12歳で中国数学オリンピック（CMO）大会に出場し満点を獲得し、15歳で国家チームに入り、国際数学大会に出場した。オリンピック（IMO）競技会に出場し、金メダルを獲得しました。

チェン・リンは、長い間幾何学のラングランズ・プログラムを研究してきました。この方向とのつながりは、デニス・ゲイツゴリーから来ました。

Chen Lin は以前のインタビューで、Dennis の指導の下でのみ幾何学ラングランズの分野に入ったと明らかにしました。博士号を取得するまで、彼は幾何学的表現理論についてほとんど何も知りませんでしたが、デニスの指導の下で基本的な知識の多くを学びました。

博士号を取得した後、Chen Lin は、世界的に分類された幾何学的ラングランズ予想に関するデニスと他の共同研究者の研究プロジェクトに参加してきました。

予想の証明を完了して論文を書いた後、彼は局所幾何学におけるラングランズ問題について考え続ける予定です。

実際、ラングランズ プログラムには多くの中国の数学者が集まります。北京大学の黄金世代の尹知偉、張偉、袁信義、朱新文もこの峰に登っている。

参考リンク:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061