Νέα

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Mingmin Kresi από τον ναό Aofei
Qubits | Δημόσιος λογαριασμός QbitAI

9 μαθηματικοί, που καλύπτουν περισσότερα από 30 χρόνια, 5 εργασίες συνολικού αριθμού 800+ σελίδων...

Η γεωμετρική εικασία Langlands επιτέλους αποδείχθηκε!

Είναι μια γεωμετρική έκδοση του προγράμματος του Langlands.

Πρόγραμμα Langlands Θεωρείται ως το μεγαλύτερο ενιαίο έργο στη σύγχρονη μαθηματική έρευνα και είναι γνωστό ως «Μεγάλη Ενοποιημένη Θεωρία των Μαθηματικών». Προτείνει ότι οι τρεις ανεξάρτητα ανεπτυγμένοι κλάδοι των μαθηματικών, η θεωρία αριθμών, η αλγεβρική γεωμετρία και η θεωρία αναπαράστασης ομάδων, είναι στην πραγματικότητα στενά συνδεδεμένοι.

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδείχθηκε πλήρως χάρη στην εφαρμογή του προγράμματος Langlands. Η απόδειξη του Andrew Wiles για τη σχέση Langlands στη θεωρία αριθμών για ένα μικρό σύνολο συναρτήσεων έλυσε ένα πρόβλημα που ταλαιπωρούσε τα μαθηματικά για 300 χρόνια.

Η γεωμετρική εικασία Langlands προτάθηκε τη δεκαετία του 1980 ως η γεωμετρική έκδοση του προγράμματος Langlands. Παρέχει ένα πλαίσιο για την εφαρμογή μεθόδων και εννοιών της θεωρίας αριθμών σε γεωμετρικά προβλήματα (και αντίστροφα).

Η χρήση αυτής της εικασίας μπορεί να προσφέρει νέες ιδέες και εργαλεία για πολλά άλυτα προβλήματα στους τομείς των μαθηματικών και της φυσικής. Για παράδειγμα, μπορεί να εφαρμοστεί στην έρευνα σχετικά με την κβαντική θεωρία πεδίου και τη θεωρία χορδών.

Επομένως, όταν αποδειχθεί η γεωμετρική εικασία Langlands, αναμφίβολα θα προκαλέσει αίσθηση στη μαθηματική κοινότητα.

Ο νικητής του Fields Medal Peter Scholze, ο οποίος μελετά κυρίως το Πρόγραμμα Langlands, αξιολόγησε αυτό το τελευταίο επίτευγμα ως «το αποκορύφωμα των προσπαθειών 30 ετών».

Θα ήταν υπέροχο να το δούμε να αντιμετωπίζεται!

Ο Alexander Beilinson, ένας από τους ιδρυτές του Προγράμματος Geometric Langlands, είπε επίσης:

Αυτή η απόδειξη είναι πραγματικά όμορφη και η καλύτερη στο είδος της.

Επικεφαλής της έρευνας ήταν οι Dennis Gaitsgory και Sam Raskin.

Η 9μελής ομάδα περιλαμβάνει και Κινέζους μελετητέςΤσεν Λιν。

Είναι επίκουρος καθηγητής στο Κέντρο Μαθηματικών Επιστημών Yau Shing-tung του Πανεπιστημίου Tsinghua και κέρδισε το χρυσό μετάλλιο του IMO σε ηλικία 15 ετών.

Γεωμετρία, ο τελευταίος σύνδεσμος του προγράμματος Langlands

Το πρόγραμμα Langlands προτάθηκε το 1967.

30χρονος καθηγητής του Πανεπιστημίου ΠρίνστονΡόμπερτ Λάνγκλαντς(Ρόμπερτ Λάνγκλαντς) έστειλε μια χειρόγραφη επιστολή 17 σελίδων στον André Weil, τον ιδρυτή της «Rosetta Stone of Mathematics», στην οποία εξήγησε το όραμά του.

(Η «Πέτρα της Ροζέτα» εδώ είναι μια μεταφορά, που αναφέρεται σε μια αναλογία μεταξύ μαθηματικών πεδίων που προτάθηκε από τον μαθηματικό André Weil. Αυτή η αναλογία συνδυάζει τα τρία φαινομενικά διαφορετικά πεδία των μαθηματικών, τη θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία και τα πεδία συναρτήσεων. Τα πεδία συνδέονται).

Ο Langlands γράφει, στο "πέτρα ροζέτα«Στο πεδίο της θεωρίας αριθμών και των συναρτήσεων, είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια γενίκευση της ανάλυσης Fourier.

Η ανάλυση Fourier, ένα πλαίσιο για την αναπαράσταση σύνθετων κυματομορφών ως κύματα τριγωνομετρικής συνάρτησης ομαλά ταλαντευόμενα, είναι μια θεμελιώδης τεχνολογία για τις σύγχρονες τηλεπικοινωνίες, την επεξεργασία σήματος, την απεικόνιση μαγνητικού συντονισμού και μεγάλο μέρος της σύγχρονης ζωής.

Παρόμοια με τη σχέση μεταξύ μιας συνάρτησης και του μετασχηματισμού Fourier της στην ανάλυση Fourier,Το πρόγραμμα Langlands συνδέει αυτές τις τρεις περιοχές εγκαθιστώντας παρόμοιες «αντιστοιχίες» σε αυτές.

Ο μετασχηματισμός Fourier μετατρέπεται εμπρός και πίσω μεταξύ κυμάτων και φασμάτων, και υπάρχουν αντίστοιχα "κύματα" και "φάσματα" στο Πρόγραμμα Langlands.

Η πλευρά "κύματος" αποτελείται από ορισμένες ειδικές συναρτήσεις και η πλευρά "φάσματος" αποτελείται από ορισμένα αλγεβρικά αντικείμενα για να σημειώσει τη συχνότητα του "κύματος":

• Στη θεωρία αριθμών, μια συνάρτηση είναι μια ειδική συνάρτηση που ορίζεται σε ένα πεδίο p-adic αριθμού ή σε έναν δακτύλιο Adel και το αλγεβρικό αντικείμενο είναι η αναπαράσταση της ομάδας Galois ή μιας ομάδας που σχετίζεται με αυτήν.
• Στη γεωμετρία, η συνάρτηση είναι το χαρακτηριστικό στρώμα (D-module) που ορίζεται στην επιφάνεια Riemann και το αλγεβρικό αντικείμενο είναι η αναπαράσταση της βασικής ομάδας της επιφάνειας Riemann σε μια αλγεβρική ομάδα G.
• Στο πεδίο συνάρτησης, μια συνάρτηση είναι μια ειδική συνάρτηση που ορίζεται σε μια καμπύλη και το αλγεβρικό αντικείμενο είναι η αναπαράσταση της ομάδας Galois ή μιας ομάδας που σχετίζεται με αυτήν.

Ως εκ τούτου, το Πρόγραμμα Langlands παρέχει μια ενοποιημένη προοπτική που συνδέει τους τρεις κλάδους των μαθηματικών, τη θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία και τα λειτουργικά πεδία, και έτσι δημιουργεί μια σειρά από βαθιά και εκτεταμένα μαθηματικά προβλήματα και εικασίες.

Μέσα από το πλαίσιο του Προγράμματος Langlands, πολλά δύσκολα προβλήματα στην παραδοσιακή θεωρία αριθμών μπορούν να μετατραπούν σε προβλήματα στη θεωρία αναπαράστασης ή σε άλλα πεδία, ώστε να επιλυθούν με νέες προοπτικές και εργαλεία έχουν εφαρμοστεί πολλά συγκεκριμένα μαθηματικά προβλήματα.

△Ρόμπερτ Λάνγκλαντς

Για παράδειγμα, η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat βασίστηκε σε ιδέες από το πρόγραμμα του Langlands, που συνδέει ελλειπτικές καμπύλες και αρθρωτές μορφές, και τελικά ήταν επιτυχής μέσω αυτών των συνδέσεων.

Εκτός από τα ίδια τα μαθηματικά, το Πρόγραμμα Langlands έπαιξε επίσης σημαντικό ρόλο σε άλλους κλάδους όπως η φυσική.

Μεταξύ αυτών, η εικασία του γεωμετρικού Langlands όχι μόνο έχει ευρύτερες εφαρμογές και συνδέσεις, αλλά παρέχει επίσης ένα ισχυρό εργαλείο από γεωμετρική άποψη, επομένως είναι ιδιαίτερα σημαντική στο πρόγραμμα Langlands.

Ωστόσο, η διαδικασία απόδειξης της εικασίας του Γεωμετρικού Langlands ήταν επίσης πολύ δύσκολη, διήρκεσε συνολικά 30 χρόνια και η τελική απόδειξη ξεκίνησε μόλις το 2013.

Το βασικό περιεχόμενο απόδειξης αφορά τη βαθιά αντιστοιχία μεταξύ της αυτο-ομοιότητας και της συμμετρίας στις επιφάνειες Riemann.

Για να χρησιμοποιήσουμε ξανά το μοντέλο της ανάλυσης Fourier για να εξηγήσουμε, οι μαθηματικοί έχουν κατανοήσει από καιρό την πλευρά του «φάσματος» της γεωμετρικής εικασίας του Langlands, αλλά η κατανόηση της πλευράς του «κύματος» έχει περάσει από μια μακρά διαδικασία.

Ακόμη και όταν ο Langlands πρότεινε για πρώτη φορά αυτό το πρόγραμμα, το γεωμετρικό μέρος δεν συμπεριλήφθηκε καθόλου. Μόλις τη δεκαετία του 1980 ο μαθηματικός Vladimir Drinfeld συνειδητοποίησε ότι αντικαθιστώντας τις Ιδιοσυναρτήσεις, ήταν δυνατό να δημιουργηθεί μια γεωμετρική έκδοση της αντιστοιχίας Langlands.

Η ακριβής έκφραση της γεωμετρικής εικασίας Langlands εμφανίστηκε μόνο αυτόν τον αιώνα - το 2012, ο Dennis Gaitsgory και ο Dima Arinkin έγραψαν μια εργασία με περισσότερες από 150 σελίδες.

Οι Dennis και Alingin επεσήμαναν ότι η βασική ιδέα της απόδειξης της γεωμετρικής εικασίας Langlands είναι να βρεθεί μια σχέση ισοδυναμίας που συνδυάζει το D της δέσμης G στην αλγεβρική καμπύλη X (η δέσμη ινών στον αλγεβρικό χώρο G, οι ίνες του οποίου είναι αντίγραφα του G) -Η κατηγορία των ενοτήτων (λύσεις διαφορικών εξισώσεων σε ορισμένους χώρους) συνδέεται με την κατηγορία Ind-Coh των τοπικών συστημάτων της διπλής ομάδας Langlands^ (που περιλαμβάνει όλα τα Ind-cohomological αντικείμενα), δηλαδή:

Το 2013, ο Dennis έγραψε ένα σκίτσο μιας απόδειξης της γεωμετρικής εικασίας του Langlands, αλλά αυτό το σκίτσο βασίστηκε σε πολλά ενδιάμεσα αποτελέσματα που δεν είχαν ακόμη αποδειχθεί τα επόμενα χρόνια, ο Dennis και οι συνεργάτες του εργάστηκαν για να αποδείξουν αυτά τα αποτελέσματα.

Το 2020, ο Ντένις άρχισε να σκέφτεται πώς να κατανοήσει τη συμβολή κάθε επιπέδου χαρακτηριστικών στον «λευκό θόρυβο», μια ιδέα που αργότερα έγινε βασικό μέρος της απόδειξης.

Ο "λευκός θόρυβος" εδώ αναφέρεται στο δεμάτιο Poincaré σε συνδυασμό με την εικασία του Langlands Η αναλογία του συγγραφέα βασίζεται στο ημιτονοειδές κύμα στο μετασχηματισμό Fourier.

Την άνοιξη του 2022, ο Sam Raskin και ο μαθητής του Joakim Færgeman έδειξαν ότι κάθε στρώμα χαρακτηριστικών συμβάλλει στον "λευκό θόρυβο" με κάποιο τρόπο, ένα αποτέλεσμα που έκανε τον Dennis να είναι σίγουρος ότι θα μπορούσαν να το αποδείξουν σύντομα.

Ξεκινώντας το 2023, ο Dennis, ο Sam και άλλοι 7 συνεργάτες ξεκίνησαν την τελική επίθεση στη γεωμετρική εικασία του Langlands.

Το πρώτο άρθρο αφορά την κατασκευή συντελεστών. Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ο γεωμετρικός συντελεστής Langlands LG από την αυτομορφική προς τη φασματική διεύθυνση σε ένα περιβάλλον με μηδενικά χαρακτηριστικά και να αποδειχθεί η ισοδυναμία του, δηλαδή να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε δύο. -προς ένα αντιστοιχία μεταξύ κατηγοριών.

Εάν αυτή η ισοδυναμία μπορεί να αποδειχθεί, θα αποδειχθεί ότι η γεωμετρική εικασία Langlands είναι αληθινή.

Το δεύτερο άρθρο μελετά την αλληλεπίδραση μεταξύ του εντοπισμού Kac-Moody και της παγκοσμιοποίησης, αποδεικνύοντας ότι ο συντελεστής είναι πράγματι ένας συντελεστής ισοδυναμίας υπό ορισμένες συνθήκες, προωθώντας έτσι την απόδειξη της γεωμετρικής εικασίας Langlands.

Το τρίτο άρθρο χρησιμεύει ως γέφυρα, όχι μόνο επεκτείνοντας τα γνωστά αποτελέσματα ισοδυναμίας σε πιο γενικές περιπτώσεις, αλλά και χρησιμοποιώντας την τεχνολογία εντοπισμού Kac-Moody για την κατανόηση της συμβατότητας των γεωμετρικών συντελεστών Langlands και των συναρτητών σταθερών όρων Το Sex παρέχει βασικές πληροφορίες.

Ταυτόχρονα, αποδεικνύοντας τη συμβατότητα της γεωμετρικής εικασίας Langlands υπό αναγώγιμες φασματικές παραμέτρους, αυτή η εργασία θέτει τα θεμέλια για περαιτέρω απόδειξη της γεωμετρικής εικασίας Langlands υπό μη αναγώγιμες φασματικές παραμέτρους.

Στην τέταρτη εργασία, οι συγγραφείς απέδειξαν ένα βασικό θεώρημα - το θεώρημα της αμφιδεξιότητας. Αυτό το θεώρημα δείχνει ότι ο αριστερός και ο δεξιός σύνδεσμος του LG-cusp (που μπορεί να θεωρηθεί ως η συμπεριφορά του LG σε μια συγκεκριμένη, μικρότερη κατηγορία) είναι ισόμορφοι.

Η τελευταία εργασία χρησιμοποίησε αυτό το συμπέρασμα για να επεκτείνει την εικασία σε γενικές καταστάσεις, θέτοντας τέλος στην παρατεταμένη αποδεικτική εργασία.

Δύο γενιές μαθηματικών συνεργάζονται για να αντιμετωπίσουν δύσκολα προβλήματα

Επικεφαλής της ερευνητικής ομάδας ήταν ο καθηγητής του Χάρβαρντ Dennis Gaitsgory και ο καθηγητής του Yale Sam Raskin.

Οι υπόλοιποι συγγραφείς, δεξιόστροφα από αριστερά προς τα δεξιά, είναι οι: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell και Dima Arinkin.

△Πηγή: Quantamamagazine

Αξίζει να σημειωθεί ότι η ερευνητική ομάδα περιλαμβάνει Κινέζους μελετητές:Τσεν Λιν。

Ο Chen Lin είναι επίκουρος καθηγητής στο Κέντρο Μαθηματικών Επιστημών Shing-tung Yau του Πανεπιστημίου Tsinghua. Απέκτησε πτυχίο από το Πανεπιστήμιο του Πεκίνου το 2016 και διδακτορικό από το Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ το 2021. Του απονεμήθηκε η Υποτροφία Αριστείας του Χάρβαρντ 2020-2021.

Έδειξε μεγάλο ταλέντο στα μαθηματικά όταν ήταν έφηβος Ολυμπιάδα (IMO) και κέρδισε ένα χρυσό μετάλλιο.

Ο Chen Lin μελετά το Πρόγραμμα Γεωμετρίας Langlands για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Ο Chen Lin αποκάλυψε σε προηγούμενη συνέντευξή του ότι μπήκε στον χώρο του Geometry Langlands μόνο υπό την ηγεσία του Dennis. Πριν από το διδακτορικό του, δεν γνώριζε σχεδόν τίποτα για τη θεωρία της γεωμετρικής αναπαράστασης και έμαθε πολλές από τις βασικές γνώσεις υπό την καθοδήγηση του Ντένις.

Μετά την αποφοίτησή του με το διδακτορικό του, ο Chen Lin συμμετέχει στο ερευνητικό πρόγραμμα του Dennis και άλλων συνεργατών του σχετικά με την παγκόσμια κατηγοριοποιημένη γεωμετρική εικασία Langlands.

Αφού ολοκληρώσει την απόδειξη της εικασίας και γράψει την εργασία, θα συνεχίσει να σκέφτεται τα ζητήματα Langlands στην τοπική γεωμετρία.

Στην πραγματικότητα, το Πρόγραμμα Langlands προσελκύει πολλούς Κινέζους μελετητές μαθηματικών. Ο Yun Zhiwei, ο Zhang Wei, ο Yuan Xinyi και ο Zhu Xinwen από τη χρυσή γενιά του Πανεπιστημίου του Πεκίνου σκαρφαλώνουν επίσης σε αυτήν την κορυφή.

Σύνδεσμοι αναφοράς:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061