Новости

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Мингмин Креси из храма Аофэй
Кубиты | Публичный аккаунт QbitAI

9 математиков, стаж более 30 лет, 5 статей общим объемом более 800 страниц...

Геометрическая гипотеза Ленглендса наконец-то доказана!

Это геометрическая версия программы Ленглендса.

Программа Ленглендса Он считается крупнейшим проектом в современных математических исследованиях и известен как «Великая единая теория математики». Он предполагает, что три независимо разработанные разделы математики — теория чисел, алгебраическая геометрия и теория представлений групп — на самом деле тесно связаны.

Последняя теорема Ферма была полностью доказана благодаря применению программы Ленглендса. Доказательство Эндрю Уайлсом соотношения Ленглендса в теории чисел для небольшого набора функций решило проблему, которая мучила математику на протяжении 300 лет.

Геометрическая гипотеза Ленглендса была предложена в 1980-х годах как геометрическая версия программы Ленглендса. Он обеспечивает основу для применения методов и концепций теории чисел к геометрическим задачам (и наоборот).

Использование этой гипотезы может предоставить новые идеи и инструменты для решения многих нерешенных проблем в области математики и физики. Например, его можно применить к исследованиям в области квантовой теории поля и теории струн.

Поэтому, когда геометрическая гипотеза Ленглендса будет доказана, это, несомненно, вызовет сенсацию в математическом сообществе.

Обладатель медали Филдса Питер Шольце, который в основном изучает программу Ленглендса, оценил это последнее достижение как «кульминацию 30-летних усилий».

Было бы здорово, если бы это было рассмотрено!

Александр Бейлинсон, один из основателей геометрической программы Ленглендса, также сказал:

Это доказательство поистине прекрасное и лучшее в своем роде.

Исследование возглавили Деннис Гайтсгори и Сэм Раскин.

В команду из 9 человек также входят китайские учёные.Чэнь Линь。

Он является доцентом Центра математических наук Яу Шин-дуна Университета Цинхуа и выиграл золотую медаль IMO в возрасте 15 лет.

Геометрия, последнее звено программы Ленглендса.

Программа Ленглендса была предложена в 1967 году.

30-летний профессор Принстонского университетаРоберт Ленглендс(Роберт Ленглендс) отправил 17-страничное рукописное письмо Андре Вейлю, основателю «Розеттского камня математики», в котором он объяснил свое видение.

(«Розеттский камень» здесь — это метафора, относящаяся к аналогии между математическими полями, предложенной математиком Андре Вейлем. Эта аналогия объединяет три, казалось бы, разные области математики: теорию чисел, геометрию и функциональные поля. Поля связаны между собой).

Ленглендс пишет: «Розеттский камень«В области теории чисел и функций возможно создать обобщение анализа Фурье.

Анализ Фурье, основа представления сложных сигналов в виде плавно колеблющихся волн тригонометрической функции, является фундаментальной технологией для современных телекоммуникаций, обработки сигналов, магнитно-резонансной томографии и большей части современной жизни.

Подобно взаимосвязи между функцией и ее преобразованием Фурье в анализе Фурье,Программа Ленглендса связывает эти три области, устанавливая в них схожие «соответствия».

Преобразование Фурье осуществляет преобразование волн и спектров туда и обратно, и в программе Ленглендса есть соответствующие «волны» и «спектры».

Сторона «волна» состоит из некоторых специальных функций, а сторона «спектр» состоит из определенных алгебраических объектов, обозначающих частоту «волны»:

• В теории чисел функция — это специальная функция, определенная в поле p-адических чисел или кольце Аделя, а алгебраический объект — это представление группы Галуа или связанной с ней группы;
• В геометрии функция — это характеристический слой (D-модуль), определенный на римановой поверхности, а алгебраический объект — это представление основной группы римановой поверхности на алгебраической группе G;
• В области функций функция — это специальная функция, определенная на кривой, а алгебраический объект — это представление группы Галуа или связанной с ней группы.

Таким образом, программа Ленглендса обеспечивает единую перспективу, которая соединяет три раздела математики, теорию чисел, геометрию и функциональные области и, таким образом, порождает ряд глубоких и обширных математических проблем и гипотез.

В рамках программы Ленглендса многие сложные проблемы традиционной теории чисел могут быть преобразованы в проблемы теории представлений или других областей, чтобы их можно было решить с помощью новых перспектив и инструментов. Идеи и методы программы Ленглендса могут быть использованы. было применено множество конкретных математических задач.

△Роберт Ленглендс

Например, доказательство последней теоремы Ферма основывалось на идеях программы Ленглендса, связывающих эллиптические кривые и модульные формы, и в конечном итоге было успешным благодаря этим связям.

Помимо самой математики, программа Ленглендса также сыграла важную роль в других дисциплинах, таких как физика. Например, в квантовой теории поля и теории струн были применены некоторые идеи и методы программы Ленглендса.

Среди них геометрическая гипотеза Ленглендса не только имеет более широкое применение и связи, но также представляет собой мощный инструмент с геометрической точки зрения, поэтому она особенно важна в программе Ленглендса.

Однако процесс доказательства геометрической гипотезы Ленглендса также был очень трудным. Он занял в общей сложности 30 лет, а окончательная работа по доказательству началась только в 2013 году.

Основное содержание доказательства касается глубокого соответствия между самоподобием и симметрией на римановых поверхностях.

Если снова использовать для объяснения модель анализа Фурье, математики уже давно поняли «спектральную» сторону геометрической гипотезы Ленглендса, но понимание «волновой» стороны прошло долгий процесс.

Даже когда Ленглендс впервые предложил эту программу, геометрическая часть вообще не была включена. Лишь в 1980-х годах математик Владимир Дринфельд понял, что, заменив собственные функции, можно создать геометрическую версию соответствия Ленглендса.

Точное выражение геометрической гипотезы Ленглендса появилось только в этом столетии — в 2012 году Деннис Гайцгори и Дима Аринкин написали статью объемом более 150 страниц.

Деннис и Алингин отметили, что основная идея доказательства геометрической гипотезы Ленглендса состоит в том, чтобы найти отношение эквивалентности, объединяющее D G-расслоения на алгебраической кривой X (расслоение на алгебраическом пространстве G, слои которого копии G) — Категория модулей (решений дифференциальных уравнений в некоторых пространствах) связана с категорией Инд-Коха локальных систем дуальной группы Ленглендса^ (в которую входят все Инди-когомологические объекты), т. е.:

В 2013 году Деннис написал набросок доказательства геометрической гипотезы Ленглендса, но этот набросок опирался на множество промежуточных результатов, которые еще не были доказаны. В последующие годы Деннис и его сотрудники работали над доказательством этих результатов.

В 2020 году Деннис начал думать о том, как понять вклад каждого векторного слоя в «белый шум» — идея, которая позже стала ключевой частью доказательства.

«Белый шум» здесь относится к пучку Пуанкаре в сочетании с гипотезой Ленглендса. Аналогия автора основана на синусоидальной волне в преобразовании Фурье.

Весной 2022 года Сэм Раскин и его ученик Йоаким Фергеман показали, что каждый векторный слой каким-то образом способствует «белому шуму», и этот результат заставил Денниса быть уверенным, что они скоро смогут это доказать.

Начиная с 2023 года Деннис, Сэм и семь других сотрудников начали последнюю атаку на геометрическую гипотезу Ленглендса. Окончательное доказательство включало в себя пять статей объемом более 800 страниц и было опубликовано в этом году.

Первая статья посвящена построению функторов. Необходимо построить геометрический функтор Ленглендса LG от автоморфного направления к спектральному в среде с нулевыми характеристиками и доказать его эквивалентность, т. е. его можно использовать в двух случаях. Установить единицу. - однозначное соответствие между категориями.

Если эту эквивалентность удастся доказать, это докажет, что геометрическая гипотеза Ленглендса верна.

Во второй статье изучается взаимодействие между локализацией Каца-Муди и глобализацией, доказывая, что функтор действительно является функтором эквивалентности при определенных условиях, тем самым продвигая доказательство геометрической гипотезы Ленглендса.

Третья статья служит связующим звеном, не только распространяя известные результаты эквивалентности на более общие случаи, но и используя технологию локализации Каца-Муди для понимания совместимости геометрических функторов Ленглендса и функторов постоянных членов Секса, что дает ключевые идеи.

В то же время, доказав совместимость геометрической гипотезы Ленглендса при приводимых спектральных параметрах, данная статья закладывает основу для дальнейшего доказательства геометрической гипотезы Ленглендса при неприводимых спектральных параметрах.

В четвертой статье авторы доказали ключевую теорему – теорему об амбидекстрии. Эта теорема показывает, что левый и правый сопряженные элементы LG-каспа (которые можно рассматривать как поведение LG в конкретной, меньшей категории) изоморфны. Это важный шаг в доказательстве того, что LG является функтором эквивалентности.

В последней статье этот вывод использовался для распространения гипотезы на общие ситуации, положив конец длительной работе по доказательству.

Два поколения математиков работают вместе над решением сложных задач.

Исследовательскую группу возглавляли профессор Гарварда Деннис Гайтсгори и профессор Йельского университета Сэм Раскин.

Остальные авторы (по часовой стрелке слева направо): Дарио Беральдо, Лин Чен, Кевин Лин, Ник Розенблюм Розенблюм, Йоаким Фергеман, Джастин Кэмпбелл и Дима Аринкин.

△Источник: журнал Quantamagazine

Стоит отметить, что в состав исследовательской группы входят китайские учёные:Чэнь Линь。

Чэнь Линь — доцент Центра математических наук Шинг-Дун Яу Университета Цинхуа. Получил степень бакалавра Пекинского университета в 2016 году и степень доктора философии Гарвардского университета в 2021 году. Он был удостоен Гарвардской стипендии за выдающиеся достижения 2020-2021 годов.

Он проявил большой талант в математике, когда был подростком. В 12 лет он принял участие в соревнованиях Китайской математической олимпиады (CMO) и получил отличные результаты. В 15 лет он вошел в национальную сборную и принял участие в Международной математической олимпиаде. Олимпиаде (ИМО) и завоевал золотую медаль.

Чэнь Линь долгое время изучал программу геометрии Ленглендса. Его связь с этим направлением пришла от Дениса Гейтсгори.

Чэнь Линь рассказал в предыдущем интервью, что он начал заниматься геометрией Ленглендса только под руководством Денниса. До получения докторской степени он почти ничего не знал о теории геометрических представлений и большую часть базовых знаний усвоил под руководством Денниса.

После получения докторской степени Чэнь Линь принял участие в исследовательском проекте Денниса и других сотрудников по глобальной категоризированной геометрической гипотезе Ленглендса.

Завершив доказательство гипотезы и написав статью, он продолжит думать о проблемах Ленглендса в локальной геометрии.

Фактически, программа Ленглендса привлекает многих китайских ученых-математиков. Юн Живэй, Чжан Вэй, Юань Синьи и Чжу Синьвэнь, представители золотого поколения Пекинского университета, также поднимаются на эту вершину.

Справочные ссылки:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061