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Mingmin Kresi do Templo Aofei
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9 matemáticos, abrangendo mais de 30 anos, 5 artigos totalizando mais de 800 páginas...

A conjectura geométrica de Langlands foi finalmente comprovada!

É uma versão geométrica do programa de Langlands.

Programa Langlands É considerado o maior projeto individual na pesquisa matemática moderna e é conhecido como a "Grande Teoria Unificada da Matemática". Ele propõe que os três ramos da matemática desenvolvidos independentemente, a teoria dos números, a geometria algébrica e a teoria da representação de grupos, estão, na verdade, intimamente relacionados.

O último teorema de Fermat foi totalmente provado graças à aplicação do programa de Langlands. A prova de Andrew Wiles da relação de Langlands na teoria dos números para um pequeno conjunto de funções resolveu um problema que atormentava a matemática há 300 anos.

A conjectura geométrica de Langlands foi proposta na década de 1980 como a versão geométrica do programa de Langlands. Ele fornece uma estrutura para a aplicação de métodos e conceitos da teoria dos números a problemas geométricos (e vice-versa).

O uso desta conjectura pode fornecer novas ideias e ferramentas para muitos problemas não resolvidos nas áreas de matemática e física. Por exemplo, pode ser aplicado à pesquisa em teoria quântica de campos e teoria das cordas.

Portanto, quando a conjectura geométrica de Langlands for provada, sem dúvida causará sensação na comunidade matemática.

O vencedor da Medalha Fields, Peter Scholze, que estuda principalmente o Programa Langlands, avaliou esta última conquista como "o culminar de 30 anos de esforços".

Seria ótimo ver isso sendo abordado!

Alexander Beilinson, um dos fundadores do Programa Geométrico Langlands, também disse:

Esta prova é verdadeiramente bela e a melhor do gênero.

A pesquisa foi liderada por Dennis Gaitsgory e Sam Raskin.

A equipe de 9 membros também inclui acadêmicos chinesesChen Lin。

Ele é professor assistente no Centro de Ciências Matemáticas Yau Shing-tung da Universidade de Tsinghua e ganhou a medalha de ouro da IMO aos 15 anos.

Geometria, o último elo do Programa Langlands

O Programa Langlands foi proposto em 1967.

Professor da Universidade de Princeton, 30 anosRoberto Langlands(Robert Langlands) enviou uma carta manuscrita de 17 páginas a André Weil, o fundador da "Pedra de Roseta da Matemática", na qual explicava a sua visão.

(A "Pedra de Roseta" aqui é uma metáfora, referindo-se a uma analogia entre campos matemáticos proposta pelo matemático André Weil. Esta analogia combina os três campos aparentemente diferentes da matemática, teoria dos números, geometria e campos de funções. Os campos estão conectados).

Langlands escreve, em "pedra de roseta“No campo da teoria dos números e das funções, é possível criar uma generalização da análise de Fourier.

A análise de Fourier, uma estrutura para representar formas de onda complexas como ondas de função trigonométrica de oscilação suave, é uma tecnologia fundamental para as telecomunicações modernas, processamento de sinais, imagens de ressonância magnética e grande parte da vida moderna.

Semelhante à relação entre uma função e sua transformada de Fourier na análise de Fourier,O Programa Langlands liga estas três áreas estabelecendo nelas “correspondências” semelhantes.

A transformada de Fourier converte ondas e espectros, e há "ondas" e "espectros" correspondentes no Programa Langlands.

O lado da “onda” é composto por algumas funções especiais, e o lado do “espectro” é composto por certos objetos algébricos para marcar a frequência da “onda”:

• Na teoria dos números, uma função é uma função especial definida em um campo numérico p-ádico ou em um anel de Adel, e o objeto algébrico é a representação do grupo de Galois ou de um grupo relacionado a ele;
• Em geometria, a função é a camada característica (módulo D) definida na superfície de Riemann, e o objeto algébrico é a representação do grupo básico da superfície de Riemann em um grupo algébrico G;
• No domínio da função, uma função é uma função especial definida em uma curva, e o objeto algébrico é a representação do grupo de Galois ou de um grupo relacionado a ele.

Portanto, o Programa Langlands fornece uma perspectiva unificada que conecta os três ramos da matemática, teoria dos números, geometria e campos funcionais, e assim traz à tona uma série de problemas e conjecturas matemáticas profundas e extensas.

Através da estrutura do Programa Langlands, muitos problemas difíceis na teoria tradicional dos números podem ser transformados em problemas na teoria da representação ou em outros campos, de modo a serem resolvidos com novas perspectivas e ferramentas. As ideias e métodos do Programa Langlands podem ser usados. muitos problemas matemáticos específicos foram aplicados.

△Robert Langlands

Por exemplo, a prova do último teorema de Fermat baseou-se em ideias do programa de Langlands, ligando curvas elípticas e formas modulares, e foi finalmente bem sucedida através destas conexões.

Além da própria matemática, o Programa Langlands também desempenhou um papel importante em outras disciplinas, como a física. Por exemplo, na teoria quântica de campos e na teoria das cordas, algumas das ideias e métodos do Programa Langlands foram aplicadas.

Entre elas, a conjectura geométrica de Langlands não só tem aplicações e conexões mais amplas, mas também fornece uma ferramenta poderosa do ponto de vista geométrico, por isso é particularmente importante no programa de Langlands.

No entanto, o processo de prova da Conjectura Geométrica de Langlands também foi muito difícil. Durou um total de 30 anos, e o trabalho de prova final só começou em 2013.

O conteúdo principal da prova é sobre a profunda correspondência entre auto-similaridade e simetria nas superfícies de Riemann.

Para usar novamente o modelo de análise de Fourier para explicar, os matemáticos há muito entendem o lado “espectral” da conjectura geométrica de Langlands, mas a compreensão do lado “onda” passou por um longo processo.

Mesmo quando Langlands propôs este programa pela primeira vez, a parte geométrica não foi incluída de todo. Foi só na década de 1980 que o matemático Vladimir Drinfeld percebeu que, substituindo as funções próprias, era possível criar uma versão geométrica da correspondência de Langlands.

A expressão precisa da conjectura geométrica de Langlands só apareceu neste século - em 2012, Dennis Gaitsgory e Dima Arinkin escreveram um artigo de mais de 150 páginas.

Dennis e Alingin apontaram que a ideia central para provar a conjectura geométrica de Langlands é encontrar uma relação de equivalência que combine o D do feixe G na curva algébrica X (o feixe de fibras no espaço algébrico G, cujas fibras são cópias de G) -A categoria de módulos (soluções de equações diferenciais em determinados espaços) está conectada com a categoria Ind-Coh de sistemas locais do grupo dual de Langlands^ (que inclui todos os objetos Ind-cohomológicos), ou seja:

Em 2013, Dennis escreveu um esboço de uma prova da conjectura geométrica de Langlands, mas este esboço baseou-se em muitos resultados intermediários que ainda não haviam sido provados. Nos anos seguintes, Dennis e seus colaboradores trabalharam na prova desses resultados.

Em 2020, Dennis começou a pensar em como compreender a contribuição de cada camada de feição para o “ruído branco”, uma ideia que mais tarde se tornou uma parte fundamental da prova.

O "ruído branco" aqui refere-se ao feixe de Poincaré combinado com a conjectura de Langlands. A analogia do autor é baseada na onda senoidal na transformada de Fourier.

Na primavera de 2022, Sam Raskin e seu aluno Joakim Færgeman mostraram que cada camada de feição contribui para o “ruído branco” de alguma forma, um resultado que fez com que Dennis tivesse certeza de que conseguiriam provar isso em breve.

A partir de 2023, Dennis, Sam e 7 outros colaboradores lançaram o ataque final à conjectura geométrica de Langlands. A prova final incluiu 5 artigos, com mais de 800 páginas, e foi publicada este ano.

O primeiro artigo trata da construção de funtores. É necessário construir o funtor geométrico de Langlands LG da direção automórfica para a direção espectral em um ambiente com característica zero e provar sua equivalência, ou seja, pode ser utilizado em dois Estabelecer um. -para-um correspondência entre categorias.

Se esta equivalência puder ser provada, provará que a conjectura geométrica de Langlands é verdadeira.

O segundo artigo estuda a interação entre localização de Kac-Moody e globalização, provando que o functor é de fato um functor de equivalência sob certas condições, avançando assim a prova da conjectura geométrica de Langlands.

O terceiro artigo serve como uma ponte, não apenas estendendo os resultados de equivalência conhecidos para casos mais gerais, mas também usando a tecnologia de localização Kac-Moody para entender a compatibilidade dos functores geométricos de Langlands e dos functores de termo constante, fornecendo insights importantes.

Ao mesmo tempo, ao provar a compatibilidade da conjectura geométrica de Langlands sob parâmetros espectrais redutíveis, este artigo estabelece as bases para provas adicionais da conjectura geométrica de Langlands sob parâmetros espectrais irredutíveis.

No quarto artigo, os autores provaram um teorema chave - o teorema da Ambidestria. Este teorema mostra que o adjunto esquerdo e o adjunto direito de LG-cúspide (que pode ser considerado como o comportamento de LG em uma categoria específica e menor) são isomórficos. Este é um passo importante para provar que LG é um funtor de equivalência.

O último artigo utilizou esta conclusão para estender a conjectura a situações gerais, encerrando o demorado trabalho de prova.

Duas gerações de matemáticos trabalham juntas para resolver problemas difíceis

A equipe de pesquisa foi liderada pelo professor de Harvard Dennis Gaitsgory e pelo professor de Yale Sam Raskin.

Os restantes autores, no sentido horário da esquerda para a direita, são: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell e Dima Arinkin.

△Fonte: revista Quanta

Vale a pena notar que a equipe de pesquisa inclui estudiosos chineses:Chen Lin。

Chen Lin é professor assistente no Centro de Ciências Matemáticas Shing-tung Yau da Universidade de Tsinghua. Obteve o diploma de bacharel pela Universidade de Pequim em 2016 e o ​​doutorado pela Universidade de Harvard em 2021. Ele recebeu a bolsa de estudos de excelência Harvard 2020-2021.

Ele mostrou grande talento em matemática quando era adolescente. Aos 12 anos, participou da competição da Olimpíada de Matemática da China (CMO) e obteve notas perfeitas. Aos 15 anos, ingressou na seleção nacional e participou da Internacional de Matemática. Competição da Olimpíada (IMO) e ganhou uma medalha de ouro.

Chen Lin estuda o Programa de Geometria de Langlands há muito tempo. Sua ligação com essa direção veio de Denis Gatesgory.

Chen Lin revelou em entrevista anterior que só entrou na área de Geometria Langlands sob a liderança de Dennis. Antes de seu doutorado, ele não sabia quase nada sobre a teoria da representação geométrica e aprendeu muito do conhecimento básico sob a orientação de Dennis.

Depois de se formar com seu doutorado, Chen Lin tem participado do projeto de pesquisa de Dennis e outros colaboradores sobre a conjectura geométrica categorizada global de Langlands.

Depois de completar a prova da conjectura e escrever o artigo, ele continuará a pensar nas questões de Langlands na geometria local.

Na verdade, o Programa Langlands atrai muitos estudiosos de matemática chineses. Yun Zhiwei, Zhang Wei, Yuan Xinyi e Zhu Xinwen, entre a geração de ouro da Universidade de Pequim, também estão escalando este pico.

Links de referência:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061