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Mingmin Kresi dal Tempio di Aofei
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9 matematici, che abbracciano più di 30 anni, 5 articoli per un totale di oltre 800 pagine...

La congettura geometrica di Langlands è stata finalmente dimostrata!

È una versione geometrica del programma di Langlands.

Programma Langlands È considerato il più grande progetto singolo nella ricerca matematica moderna ed è conosciuto come la "Teoria della Matematica della Grande Unificazione". Propone che i tre rami della matematica sviluppati in modo indipendente, la teoria dei numeri, la geometria algebrica e la teoria delle rappresentazioni di gruppo, siano in realtà strettamente correlati.

L'ultimo teorema di Fermat è stato pienamente dimostrato grazie all'applicazione del programma di Langlands. La dimostrazione di Andrew Wiles della relazione di Langlands nella teoria dei numeri per un piccolo insieme di funzioni risolse un problema che affliggeva la matematica da 300 anni.

La congettura geometrica di Langlands fu proposta negli anni '80 come versione geometrica del programma di Langlands. Fornisce un quadro per applicare metodi e concetti della teoria dei numeri a problemi geometrici (e viceversa).

L'utilizzo di questa congettura può fornire nuove idee e strumenti per molti problemi irrisolti nei campi della matematica e della fisica. Ad esempio, può essere applicato alla ricerca sulla teoria quantistica dei campi e sulla teoria delle stringhe.

Pertanto, quando la congettura geometrica di Langlands sarà dimostrata, farà senza dubbio scalpore nella comunità matematica.

Il vincitore della Medaglia Fields Peter Scholze, che studia principalmente il Programma Langlands, ha valutato quest'ultimo risultato come "il culmine di 30 anni di sforzi".

Sarebbe fantastico vedere la questione affrontata!

Anche Alexander Beilinson, uno dei fondatori del Programma Geometric Langlands, ha affermato:

Questa prova è veramente bella e la migliore nel suo genere.

La ricerca è stata condotta da Dennis Gaitsgory e Sam Raskin.

Del team di 9 membri fanno parte anche studiosi cinesiChen Lin。

È professore assistente presso il Centro di scienze matematiche Yau Shing-tung dell'Università Tsinghua e ha vinto la medaglia d'oro IMO all'età di 15 anni.

Geometria, l'ultimo anello del Programma Langlands

Il Programma Langlands fu proposto nel 1967.

Professore trentenne dell'Università di PrincetonRoberto Langlands(Robert Langlands) inviò una lettera manoscritta di 17 pagine ad André Weil, il fondatore della "Stele di Rosetta della Matematica", in cui spiegava la sua visione.

(La "Stele di Rosetta" qui è una metafora, che si riferisce a un'analogia tra i campi matematici proposta dal matematico André Weil. Questa analogia combina i tre campi apparentemente diversi della matematica, teoria dei numeri, geometria e campi delle funzioni. I campi sono collegati).

Langlands scrive, in "stele di Rosetta"Nel campo della teoria e delle funzioni dei numeri, è possibile creare una generalizzazione dell'analisi di Fourier.

L'analisi di Fourier, una struttura per rappresentare forme d'onda complesse come onde di funzioni trigonometriche che oscillano dolcemente, è una tecnologia fondamentale per le telecomunicazioni moderne, l'elaborazione del segnale, la risonanza magnetica e gran parte della vita moderna.

Simile alla relazione tra una funzione e la sua trasformata di Fourier nell'analisi di Fourier,Il Programma Langlands collega questi tre ambiti stabilendo in essi "corrispondenze" simili.

La trasformata di Fourier converte avanti e indietro tra onde e spettri, e nel Programma Langlands ci sono "onde" e "spettri" corrispondenti.

Il lato "onda" è composto da alcune funzioni speciali, e il lato "spettro" è composto da alcuni oggetti algebrici per contrassegnare la frequenza dell'"onda":

• Nella teoria dei numeri, una funzione è una funzione speciale definita su un campo numerico p-adico o su un anello di Adel, e l'oggetto algebrico è la rappresentazione del gruppo di Galois o di un gruppo ad esso correlato;
• In geometria la funzione è lo strato caratteristico (modulo D) definito sulla superficie di Riemann, e l'oggetto algebrico è la rappresentazione del gruppo base della superficie di Riemann su un gruppo algebrico G;
• Nel dominio delle funzioni, una funzione è una funzione speciale definita su una curva e l'oggetto algebrico è la rappresentazione del gruppo di Galois o di un gruppo ad esso correlato.

Pertanto, il Programma Langlands fornisce una prospettiva unificata che collega i tre rami della matematica, teoria dei numeri, geometria e campi funzionali, e quindi determina una serie di problemi e congetture matematiche profonde ed estese.

Attraverso il quadro del Programma Langlands, molti problemi difficili della teoria dei numeri tradizionale possono essere trasformati in problemi nella teoria delle rappresentazioni o in altri campi, in modo da essere risolti con nuove prospettive e strumenti. Le idee e i metodi del Programma Langlands possono essere utilizzati sono stati applicati molti problemi matematici specifici.

△Robert Langlands

Ad esempio, la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat si è basata sulle idee del programma di Langlands, collegando curve ellittiche e forme modulari, e alla fine ha avuto successo grazie a queste connessioni.

Oltre alla matematica stessa, il Programma Langlands ha svolto un ruolo importante anche in altre discipline come la fisica. Ad esempio, nella teoria quantistica dei campi e nella teoria delle stringhe, sono state applicate alcune delle idee e dei metodi del Programma Langlands.

Tra queste, la congettura geometrica di Langlands non solo ha applicazioni e connessioni più ampie, ma fornisce anche un potente strumento dal punto di vista geometrico, quindi è particolarmente importante nel programma di Langlands.

Tuttavia, anche il processo di dimostrazione della congettura geometrica di Langlands è stato molto difficile: è durato complessivamente 30 anni e il lavoro di dimostrazione finale è iniziato solo nel 2013.

Il contenuto principale della prova riguarda la profonda corrispondenza tra autosimilarità e simmetria sulle superfici di Riemann.

Per usare ancora una volta il modello di analisi di Fourier per spiegare, i matematici hanno da tempo compreso il lato "spettro" della congettura geometrica di Langlands, ma la comprensione del lato "onda" ha attraversato un lungo processo.

Anche quando Langlands propose per la prima volta questo programma, la parte geometrica non fu affatto inclusa. Fu solo negli anni '80 che il matematico Vladimir Drinfeld si rese conto che sostituendo le autofunzioni era possibile creare una versione geometrica della corrispondenza di Langlands.

L'espressione precisa della congettura geometrica di Langlands è apparsa solo in questo secolo: nel 2012, Dennis Gaitsgory e Dima Arinkin hanno scritto un articolo di oltre 150 pagine in cui è riportata questa affermazione.

Dennis e Alingin hanno sottolineato che l'idea centrale della dimostrazione della congettura geometrica di Langlands è trovare una relazione di equivalenza che combini la D del fibrato G sulla curva algebrica X (il fibrato sullo spazio algebrico G, le cui fibre sono copie di G) -La categoria dei moduli (soluzioni di equazioni differenziali in determinati spazi) è connessa con la categoria Ind-Coh dei sistemi locali del gruppo duale di Langlands^ (che comprende tutti gli oggetti Ind-coomologici), cioè:

Nel 2013, Dennis scrisse uno schizzo di dimostrazione della congettura geometrica di Langlands, ma questo schizzo si basava su molti risultati intermedi che non erano ancora stati dimostrati. Negli anni successivi, Dennis e i suoi collaboratori lavorarono per dimostrare questi risultati.

Nel 2020, Dennis ha iniziato a pensare a come comprendere il contributo di ciascun livello di funzionalità al "rumore bianco", un'idea che in seguito è diventata una parte fondamentale della dimostrazione.

Il "rumore bianco" qui si riferisce al fascio di Poincaré combinato con la congettura di Langlands. L'analogia dell'autore si basa sull'onda sinusoidale nella trasformata di Fourier.

Nella primavera del 2022, Sam Raskin e il suo studente Joakim Færgeman hanno dimostrato che ogni livello di funzionalità contribuisce in qualche modo al "rumore bianco", un risultato che ha reso Dennis sicuro che sarebbero stati in grado di dimostrarlo presto.

A partire dal 2023, Dennis, Sam e altri 7 collaboratori hanno lanciato l'attacco finale alla congettura geometrica di Langlands. La dimostrazione finale comprendeva 5 articoli, più di 800 pagine di lunghezza, ed è stata pubblicata quest'anno.

Il primo articolo riguarda la costruzione dei funtori. È necessario costruire il funtore geometrico di Langlands LG dalla direzione automorfa a quella spettrale in un ambiente con caratteristiche zero e dimostrarne l'equivalenza, ovvero può essere utilizzato in due. Stabilirne uno. Corrispondenza biunivoca tra categorie.

Se questa equivalenza può essere dimostrata, dimostrerà che la congettura geometrica di Langlands è vera.

Il secondo articolo studia l'interazione tra localizzazione di Kac-Moody e globalizzazione, dimostrando che il funtore è effettivamente un funtore di equivalenza in determinate condizioni, avanzando così la dimostrazione della congettura geometrica di Langlands.

Il terzo articolo funge da ponte, non solo estendendo i risultati di equivalenza noti a casi più generali, ma anche utilizzando la tecnologia di localizzazione di Kac-Moody per comprendere la compatibilità dei funtori geometrici di Langlands e dei funtori a termine costante. Sex fornisce spunti chiave.

Allo stesso tempo, dimostrando la compatibilità della congettura geometrica di Langlands con parametri spettrali riducibili, questo articolo pone le basi per un’ulteriore prova della congettura geometrica di Langlands con parametri spettrali irriducibili.

Nel quarto articolo, gli autori hanno dimostrato un teorema chiave: il teorema dell'ambidestrità. Questo teorema mostra che l'aggiunto sinistro e l'aggiunto destro della cuspide LG (che può essere considerato come il comportamento di LG in una categoria specifica e più piccola) sono isomorfi. Questo è un passo importante per dimostrare che LG è un funtore di equivalenza.

L'ultimo articolo ha utilizzato questa conclusione per estendere la congettura a situazioni generali, ponendo fine al lungo lavoro di dimostrazione.

Due generazioni di matematici lavorano insieme per affrontare problemi difficili

Il gruppo di ricerca era guidato dal professore di Harvard Dennis Gaitsgory e dal professore di Yale Sam Raskin.

I restanti autori, in senso orario da sinistra a destra, sono: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell e Dima Arinkin.

△Fonte: Quantamagazine

Vale la pena notare che il gruppo di ricerca comprende studiosi cinesi:Chen Lin。

Chen Lin è un professore assistente presso il Centro di scienze matematiche Shing-tung Yau dell'Università di Tsinghua. Ha conseguito una laurea presso l'Università di Pechino nel 2016 e un dottorato di ricerca presso l'Università di Harvard nel 2021. Gli è stata assegnata la borsa di studio di eccellenza Harvard 2020-2021.

Ha mostrato un grande talento in matematica quando era un adolescente. All'età di 12 anni, ha partecipato alla competizione China Mathematical Olympiad (CMO) e ha ottenuto punteggi perfetti. All'età di 15 anni, è entrato nella squadra nazionale e ha partecipato all'International Mathematical Competizione delle Olimpiadi (IMO) e ha vinto una medaglia d'oro.

Chen Lin studia da molto tempo il Programma di Geometria Langlands. Il suo legame con questa direzione proveniva da Denis Gatesgory.

Chen Lin ha rivelato in una precedente intervista di essere entrato nel campo della Geometria Langlands solo sotto la guida di Dennis. Prima del dottorato, non sapeva quasi nulla della teoria della rappresentazione geometrica e apprese gran parte delle conoscenze di base sotto la guida di Dennis.

Dopo aver conseguito il dottorato, Chen Lin ha partecipato al progetto di ricerca di Dennis e altri collaboratori sulla congettura geometrica categorizzata globale di Langlands.

Dopo aver completato la dimostrazione della congettura e scritto l'articolo, continuerà a riflettere sulle questioni di Langlands nella geometria locale.

In effetti, il Programma Langlands attira molti studiosi di matematica cinesi. Anche Yun Zhiwei, Zhang Wei, Yuan Xinyi e Zhu Xinwen, appartenenti alla generazione d'oro dell'Università di Pechino, stanno scalando questa vetta.

Link di riferimento:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061