2024-07-23
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Mingmin Kresi vom Aofei-Tempel
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9 Mathematiker aus mehr als 30 Jahren, 5 Aufsätze mit insgesamt über 800 Seiten ...
Die geometrische Langlands-Vermutung wurde endlich bewiesen!
Es ist eine geometrische Version des Langlands-Programms.
Langlands-Programm Es gilt als das größte Einzelprojekt der modernen Mathematikforschung und ist als „Grand Unified Theory of Mathematics“ bekannt. Es geht davon aus, dass die drei unabhängig voneinander entwickelten Zweige der Mathematik, Zahlentheorie, algebraische Geometrie und Gruppendarstellungstheorie, tatsächlich eng miteinander verbunden sind.
Der letzte Satz von Fermat wurde dank der Anwendung des Langlands-Programms vollständig bewiesen. Andrew Wiles‘ Beweis der Langlands-Beziehung in der Zahlentheorie für eine kleine Menge von Funktionen löste ein Problem, das die Mathematik seit 300 Jahren beschäftigte.
Die geometrische Langlands-Vermutung wurde in den 1980er Jahren als geometrische Version des Langlands-Programms vorgeschlagen. Es bietet einen Rahmen für die Anwendung zahlentheoretischer Methoden und Konzepte auf geometrische Probleme (und umgekehrt).
Die Verwendung dieser Vermutung kann neue Ideen und Werkzeuge für viele ungelöste Probleme in den Bereichen Mathematik und Physik liefern. Es kann beispielsweise auf die Forschung zur Quantenfeldtheorie und Stringtheorie angewendet werden.
Wenn die geometrische Langlands-Vermutung bewiesen wird, wird sie daher zweifellos für Aufsehen in der mathematischen Gemeinschaft sorgen.
Der Fields-Medaillengewinner Peter Scholze, der sich hauptsächlich mit dem Langlands-Programm beschäftigt, bewertete diese jüngste Errungenschaft als „den Höhepunkt von 30 Jahren Bemühungen“.
Es wäre toll zu sehen, wie es angegangen wird!
Alexander Beilinson, einer der Gründer des Geometrischen Langlands-Programms, sagte auch:
Dieser Beweis ist wirklich schön und der beste seiner Art.
Die Forschung wurde von Dennis Gaitsgory und Sam Raskin geleitet.
Zum 9-köpfigen Team gehören auch chinesische WissenschaftlerChen Lin。
Er ist Assistenzprofessor am Yau Shing-tung Mathematical Science Center der Tsinghua-Universität und gewann im Alter von 15 Jahren die IMO-Goldmedaille.
Das Langlands-Programm wurde 1967 vorgeschlagen.
30-jähriger Professor an der Princeton UniversityRobert Langlands(Robert Langlands) schickte einen 17-seitigen handgeschriebenen Brief an André Weil, den Gründer des „Rosetta Stone of Mathematics“, in dem er seine Vision erläuterte.
(Der „Rosetta-Stein“ ist hier eine Metapher, die sich auf eine vom Mathematiker André Weil vorgeschlagene Analogie zwischen mathematischen Feldern bezieht. Diese Analogie vereint die drei scheinbar unterschiedlichen Gebiete Mathematik, Zahlentheorie, Geometrie und Funktionsfelder. Felder sind miteinander verbunden.)
Langlands schreibt: „Rosetta Stone„Im Bereich der Zahlentheorie und Funktionen ist es möglich, eine Verallgemeinerung der Fourier-Analyse zu schaffen.
Die Fourier-Analyse, ein Rahmenwerk zur Darstellung komplexer Wellenformen als gleichmäßig oszillierende trigonometrische Funktionswellen, ist eine grundlegende Technologie für die moderne Telekommunikation, Signalverarbeitung, Magnetresonanztomographie und einen Großteil des modernen Lebens.
Ähnlich der Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Fourier-Transformation in der Fourier-Analyse,Das Langlands-Programm verbindet diese drei Bereiche, indem es in ihnen ähnliche „Korrespondenzen“ herstellt.
Die Fourier-Transformation wandelt zwischen Wellen und Spektren hin und her, und im Langlands-Programm gibt es entsprechende „Wellen“ und „Spektren“.
Die „Wellen“-Seite besteht aus einigen Sonderfunktionen und die „Spektrum“-Seite besteht aus bestimmten algebraischen Objekten, um die Frequenz der „Welle“ zu markieren:
Daher bietet das Langlands-Programm eine einheitliche Perspektive, die die drei Zweige Mathematik, Zahlentheorie, Geometrie und Funktionsfelder verbindet und so eine Reihe tiefgreifender und umfassender mathematischer Probleme und Vermutungen hervorbringt.
Durch den Rahmen des Langlands-Programms können viele schwierige Probleme der traditionellen Zahlentheorie in Probleme der Darstellungstheorie oder anderer Bereiche umgewandelt werden, sodass sie mit neuen Perspektiven und Werkzeugen gelöst werden können viele spezifische mathematische Probleme wurden angewendet.
△Robert Langlands
Beispielsweise stützte sich der Beweis von Fermats letztem Satz auf Ideen aus Langlands‘ Programm, das elliptische Kurven und Modulformen verband, und war letztendlich durch diese Verbindungen erfolgreich.
Neben der Mathematik selbst spielte das Langlands-Programm auch in anderen Disziplinen wie der Physik eine wichtige Rolle. Beispielsweise wurden in der Quantenfeldtheorie und der Stringtheorie einige Ideen und Methoden des Langlands-Programms angewendet.
Unter diesen hat die geometrische Langlands-Vermutung nicht nur umfassendere Anwendungen und Verbindungen, sondern stellt auch aus geometrischer Sicht ein leistungsstarkes Werkzeug dar und ist daher im Langlands-Programm besonders wichtig.
Allerdings war der Beweis der Geometrischen Langlands-Vermutung ebenfalls sehr schwierig. Er dauerte insgesamt 30 Jahre und die endgültigen Beweisarbeiten begannen erst im Jahr 2013.
Der Kerninhalt des Beweises betrifft die tiefe Korrelation zwischen Selbstähnlichkeit und Symmetrie auf Riemannschen Flächen.
Um das Fourier-Analysemodell noch einmal zu erklären: Mathematiker haben die „Spektrum“-Seite der geometrischen Langlands-Vermutung schon lange verstanden, aber das Verständnis der „Wellen“-Seite hat einen langen Prozess durchlaufen.
Selbst als Langlands dieses Programm erstmals vorschlug, war der geometrische Teil überhaupt nicht enthalten. Erst in den 1980er Jahren erkannte der Mathematiker Vladimir Drinfeld, dass es durch Ersetzen der Eigenfunktionen möglich ist, eine geometrische Version der Langlands-Korrespondenz zu erstellen.
Der genaue Ausdruck der geometrischen Langlands-Vermutung erschien erst in diesem Jahrhundert – im Jahr 2012 verfassten Dennis Gaitsgory und Dima Arinkin eine mehr als 150-seitige Arbeit.
Dennis und Alingin wiesen darauf hin, dass die Kernidee des Beweises der geometrischen Langlands-Vermutung darin besteht, eine Äquivalenzbeziehung zu finden, die das D des G-Bündels auf der algebraischen Kurve X (das Faserbündel auf dem algebraischen Raum G, dessen Fasern sind) kombiniert Kopien von G) – Die Kategorie der Module (Lösungen von Differentialgleichungen in bestimmten Räumen) ist mit der Ind-Coh-Kategorie lokaler Systeme der Langlands-Doppelgruppe^ (die alle Ind-kohomologischen Objekte umfasst) verbunden, das heißt:
Im Jahr 2013 verfasste Dennis eine Skizze eines Beweises der geometrischen Langlands-Vermutung, doch diese Skizze stützte sich auf viele Zwischenergebnisse, die noch nicht bewiesen waren. In den folgenden Jahren arbeiteten Dennis und seine Mitarbeiter daran, diese Ergebnisse zu beweisen.
Im Jahr 2020 begann Dennis darüber nachzudenken, wie er den Beitrag jeder Feature-Ebene zum „weißen Rauschen“ verstehen könnte, eine Idee, die später zu einem wichtigen Bestandteil des Beweises wurde.
Das „weiße Rauschen“ bezieht sich hier auf die Poincaré-Garbe in Kombination mit der Langlands-Vermutung. Die Analogie des Autors basiert auf der Sinuswelle in der Fourier-Transformation.
Im Frühjahr 2022 zeigten Sam Raskin und sein Schüler Joakim Færgeman, dass jede Feature-Ebene in irgendeiner Weise zum „weißen Rauschen“ beiträgt, ein Ergebnis, das Dennis zu der Überzeugung brachte, dass sie es bald beweisen könnten.
Ab 2023 starteten Dennis, Sam und sieben weitere Mitarbeiter den letzten Angriff auf die geometrische Langlands-Vermutung. Der endgültige Beweis umfasste fünf Aufsätze mit mehr als 800 Seiten und wurde dieses Jahr veröffentlicht.
Der erste Artikel befasst sich mit der Konstruktion von Funktoren. Es ist notwendig, den geometrischen Langlands-Funktor LG von der automorphen zur spektralen Richtung in einer Umgebung mit Nulleigenschaften zu konstruieren und seine Äquivalenz zu beweisen, das heißt, er kann in zwei Fällen verwendet werden Stellen Sie eine Eins her -zu-eins-Korrespondenz zwischen Kategorien.
Wenn diese Äquivalenz bewiesen werden kann, wird bewiesen, dass die geometrische Langlands-Vermutung wahr ist.
Der zweite Artikel untersucht die Wechselwirkung zwischen Kac-Moody-Lokalisierung und Globalisierung und beweist, dass der Funktor unter bestimmten Bedingungen tatsächlich ein Äquivalenzfunktor ist, wodurch der Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung vorangetrieben wird.
Der dritte Artikel dient als Brücke und erweitert nicht nur die bekannten Äquivalenzergebnisse auf allgemeinere Fälle, sondern liefert auch wichtige Erkenntnisse mithilfe der Kac-Moody-Lokalisierungstechnologie, um die Kompatibilität geometrischer Langlands-Funktoren und Sex-Term-Funktoren zu verstehen.
Gleichzeitig legt dieser Artikel durch den Nachweis der Kompatibilität der geometrischen Langlands-Vermutung unter reduzierbaren Spektralparametern den Grundstein für einen weiteren Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung unter irreduziblen Spektralparametern.
Im vierten Artikel bewiesen die Autoren einen Schlüsselsatz – den Ambidexteritätssatz. Dieser Satz zeigt, dass der linke Adjungierte und der rechte Adjungierte von LG (die als das Verhalten von LG in einer bestimmten, kleineren Kategorie angesehen werden können) isomorph sind. Dies ist ein wichtiger Schritt zum Beweis, dass LG ein Äquivalenzfunktor ist.
Der letzte Artikel nutzte diese Schlussfolgerung, um die Vermutung auf allgemeine Situationen auszudehnen und damit die langwierige Beweisarbeit zu beenden.
Das Forschungsteam wurde von Harvard-Professor Dennis Gaitsgory und Yale-Professor Sam Raskin geleitet.
Die übrigen Autoren sind im Uhrzeigersinn von links nach rechts: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell und Dima Arinkin.
△Quelle: Quantamagazine
Es ist erwähnenswert, dass dem Forschungsteam chinesische Wissenschaftler angehören:Chen Lin。
Chen Lin ist Assistenzprofessor am Shing-tung Yau Mathematical Science Center der Tsinghua-Universität. Er erhielt 2016 einen Bachelor-Abschluss von der Peking-Universität und 2021 einen Ph.D. von der Harvard-Universität. Er wurde mit dem Harvard 2020-2021 Excellence Scholarship ausgezeichnet.
Als Teenager zeigte er großes Talent in Mathematik. Im Alter von 12 Jahren nahm er am China Mathematical Olympiad (CMO)-Wettbewerb teil und erzielte perfekte Ergebnisse. Mit 15 Jahren trat er in die Nationalmannschaft ein und nahm an der Internationalen Mathematikolympiade teil Olympiade (IMO)-Wettbewerb und gewann eine Goldmedaille.
Chen Lin studiert seit langem das Langlands-Geometrieprogramm. Seine Verbindung zu dieser Richtung kam von Denis Gatesgory.
Chen Lin gab in einem früheren Interview bekannt, dass er erst unter der Leitung von Dennis in den Bereich der Geometrie Langlands eingestiegen sei. Vor seiner Promotion wusste er fast nichts über die Theorie der geometrischen Darstellung und erlernte einen Großteil des Grundwissens unter Dennis‘ Anleitung.
Nach seinem Doktortitel beteiligte sich Chen Lin am Forschungsprojekt von Dennis und anderen Mitarbeitern zur globalen kategorisierten geometrischen Langlands-Vermutung.
Nachdem er den Beweis der Vermutung abgeschlossen und die Arbeit geschrieben hat, wird er weiter über Langlands Probleme in der lokalen Geometrie nachdenken.
Tatsächlich zieht das Langlands-Programm viele chinesische Mathematikwissenschaftler an. Auch Yun Zhiwei, Zhang Wei, Yuan Xinyi und Zhu Xinwen aus der goldenen Generation der Peking-Universität erklimmen diesen Gipfel.
Referenzlinks:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061
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