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아오페이 사원(Aofei Temple)의 밍민 크레시(Mingmin Kresi)
Qubits 공개 계정 QbitAI

30년 넘게 활동한 9명의 수학자, 총 800페이지가 넘는 5개의 논문...

기하학적 랭글랜즈 추측이 마침내 증명되었습니다!

이것은 Langlands 프로그램의 기하학적 버전입니다.

랭글랜즈 프로그램 이는 현대 수학 연구에서 가장 큰 단일 프로젝트로 간주되며 "수학의 대통합이론"으로 알려져 있습니다. 이는 독립적으로 개발된 수학의 세 가지 분야인 정수론, 대수기하학 및 그룹 표현 이론이 실제로 밀접하게 관련되어 있다고 제안합니다.

Fermat의 마지막 정리는 Langlands 프로그램을 적용하여 완전히 증명되었습니다. 소수의 함수 집합에 대한 정수론의 Langlands 관계에 대한 Andrew Wiles의 증명은 300년 동안 수학을 괴롭혔던 문제를 해결했습니다.

기하학적인 Langlands 추측은 Langlands 프로그램의 기하학적 버전으로 1980년대에 제안되었습니다. 이는 정수론 방법과 개념을 기하학적 문제에 적용하기 위한 프레임워크를 제공합니다(그 반대의 경우도 마찬가지).

이 추측을 사용하면 수학과 물리학 분야에서 해결되지 않은 많은 문제에 대한 새로운 아이디어와 도구를 제공할 수 있습니다. 예를 들어 양자장론이나 끈이론 연구에 응용할 수 있다.

따라서 기하학적인 랭글랜즈의 추측이 증명되면 수학계에 큰 반향을 불러일으킬 것이 분명하다.

랭글랜즈 프로그램을 주로 연구하고 있는 필즈상 수상자 피터 숄체(Peter Scholze)는 이번 성과를 “30년 노력의 정점”이라고 평가했다.

그것이 해결되는 것을 보는 것이 좋을 것입니다!

기하학적 랭글랜즈 프로그램(Geometric Langlands Programme)의 창립자 중 한 명인 Alexander Beilinson도 다음과 같이 말했습니다.

이 증거는 정말 아름답고 동종 최고의 증거입니다.

이 연구는 Dennis Gaitsgory와 Sam Raskin이 주도했습니다.

9명으로 구성된 팀에는 중국 학자도 포함돼 있다.첸 린。

그는 칭화대학교 야우싱퉁 수리과학센터 조교수로 재직하고 있으며 15세에 IMO 금메달을 수상했습니다.

Langlands 프로그램의 마지막 고리인 기하학

랭글랜즈 프로그램은 1967년에 제안되었습니다.

30세 프린스턴 대학교 교수로버트 랭글랜즈(로버트 랭글랜즈)는 '수학의 로제타스톤' 창시자인 안드레 웨유에게 자신의 비전을 설명하는 17페이지 분량의 손편지를 보냈습니다.

(여기서 "로제타 스톤"은 수학자 앙드레 웨유(André Weil)가 제안한 수학 분야 간의 유추를 가리키는 비유입니다. 이 유비는 겉보기에는 서로 다른 수학, 수론, 기하학, 함수 분야의 세 가지 분야를 결합합니다. 분야는 서로 연결되어 있습니다.)

Langlands는 "로제타스톤"수론과 함수 분야에서는 푸리에 분석의 일반화를 만드는 것이 가능합니다.

복잡한 파형을 부드럽게 진동하는 삼각 함수 파동으로 표현하기 위한 프레임워크인 푸리에 분석은 현대 통신, 신호 처리, 자기 공명 영상 및 현대 생활의 대부분을 위한 기본 기술입니다.

푸리에 분석에서 함수와 푸리에 변환 간의 관계와 유사하게,Langlands 프로그램은 유사한 "대응"을 설정함으로써 이 세 가지 영역을 연결합니다.

푸리에 변환은 파동과 스펙트럼 사이를 앞뒤로 변환하며 Langlands 프로그램에는 해당 "파동"과 "스펙트럼"이 있습니다.

"파동" 측은 몇 가지 특수 함수로 구성되고 "스펙트럼" 측은 "파동"의 주파수를 표시하는 특정 대수 개체로 구성됩니다.

• 수론에서 함수는 p진수장이나 아델링(Adel ring)에 정의된 특별한 함수이고, 대수적 대상은 갈루아군 또는 이와 관련된 군의 표현이다.
• 기하학에서 함수는 리만 곡면에 정의된 특성층(D-모듈)이고, 대수적 객체는 대수 그룹 G에서 리만 곡면의 기본 그룹을 표현한 것입니다.
• 함수 영역에서 함수는 곡선 위에 정의된 특수 함수이고, 대수적 대상은 갈루아군 또는 이와 관련된 군을 표현한 것입니다.

따라서 Langlands 프로그램은 수학, 정수론, 기하학, 함수 분야의 세 가지 분야를 연결하는 통일된 관점을 제공하여 일련의 심오하고 광범위한 수학적 문제와 추측을 가져옵니다.

Langlands 프로그램의 프레임워크를 통해 전통적인 정수론의 많은 어려운 문제는 표현 이론이나 다른 분야의 문제로 변환되어 새로운 관점과 도구로 해결될 수 있습니다. Langlands 프로그램의 아이디어와 방법은 다음과 같습니다. 많은 특정 수학 문제가 적용되었습니다.

△로버트 랭글랜즈

예를 들어 페르마의 마지막 정리 증명은 타원 곡선과 모듈러 형태를 연결하는 랭글랜즈 프로그램의 아이디어를 바탕으로 했으며 이러한 연결을 통해 궁극적으로 성공했습니다.

수학 자체 외에도 랭글랜즈 프로그램은 물리학과 같은 다른 분야에서도 중요한 역할을 했습니다. 예를 들어 양자장 이론과 끈 이론에서는 랭글랜즈 프로그램의 아이디어와 방법 중 일부가 적용되었습니다.

그중에서도 기하학적 랭글랜즈 추측은 더 폭넓은 적용과 연결성을 가질 뿐만 아니라 기하학적 관점에서 강력한 도구를 제공하므로 랭글랜즈 프로그램에서는 특히 중요하다.

하지만 기하학적 랭글랜즈 추측을 증명하는 과정도 매우 어려웠고, 총 30년이 걸렸고, 최종 증명 작업은 2013년에야 시작됐다.

핵심 증명 내용은 리만 표면의 자기 유사성과 대칭성 사이의 깊은 대응에 관한 것입니다.

푸리에 분석 모델을 다시 사용하여 설명하자면, 수학자들은 기하학적 랭글랜드 추측의 '스펙트럼' 측면을 오랫동안 이해해 왔지만, '파동' 측면을 이해하는 데는 오랜 과정을 거쳤습니다.

Langlands가 이 프로그램을 처음 제안했을 때에도 기하학적 부분은 전혀 포함되지 않았습니다. 1980년대가 되어서야 수학자 Vladimir Drinfeld는 고유함수를 대체하여 Langlands 대응의 기하학적 버전을 만드는 것이 가능하다는 것을 깨달았습니다.

기하학적인 Langlands 추측의 정확한 표현은 금세기에야 나타났습니다. 2012년에 Dennis Gaitsgory와 Dima Arinkin은 150페이지가 넘는 논문을 썼습니다.

Dennis와 Alingin은 기하학적 Langlands 추측을 증명하는 핵심 아이디어는 대수 곡선 X(대수 공간 G의 섬유 다발, 그 섬유가 G의 사본) - 모듈 범주(특정 공간에서 미분 방정식의 해)는 Langlands 이중 그룹^(모든 Ind-cohomological 객체를 포함)의 로컬 시스템의 Ind-Coh 범주와 연결됩니다. 즉:

2013년에 Dennis는 기하학적 Langlands 추측의 증거에 대한 스케치를 작성했지만 이 스케치는 아직 입증되지 않은 많은 중간 결과에 의존했습니다. 다음 해에 Dennis와 그의 동료들은 이러한 결과를 증명하기 위해 노력했습니다.

2020년에 Dennis는 "백색 잡음"에 대한 각 기능 계층의 기여를 이해하는 방법에 대해 생각하기 시작했습니다. 이 아이디어는 나중에 증명의 핵심 부분이 되었습니다.

여기서 "백색 잡음"은 Langlands의 추측과 결합된 Poincaré 단을 의미하며, 저자의 비유는 푸리에 변환의 사인파를 기반으로 합니다.

2022년 봄, Sam Raskin과 그의 학생 Joakim Færgeman은 모든 피처 레이어가 어떤 방식으로든 '백색 잡음'에 기여한다는 것을 보여주었습니다. 그 결과 Dennis는 곧 이를 증명할 수 있을 것이라고 확신했습니다.

2023년부터 Dennis, Sam 및 7명의 다른 공동 작업자는 기하학적 Langlands 추측에 대한 최종 공격을 시작했습니다. 최종 증명에는 800페이지가 넘는 5개의 논문이 포함되어 있으며 올해 출판되었습니다.

첫 번째 기사는 펑터의 구성에 관한 것입니다. 특성이 0인 환경에서 자동 형태에서 스펙트럼 방향으로 기하학적 Langlands 펑터 LG를 구성하고 그 동등성을 증명하는 것이 필요합니다. 즉, 두 가지에서 사용할 수 있습니다. 카테고리 간의 일대일 대응.

이 등가성이 증명될 수 있다면 기하학적 랭글랜드 추측이 참이라는 것이 증명될 것입니다.

두 번째 기사에서는 Kac-Moody 지역화와 세계화 사이의 상호 작용을 연구하여 펑터가 특정 조건에서 실제로 등가 펑터임을 입증함으로써 기하학적 Langlands 추측의 증명을 발전시켰습니다.

세 번째 기사는 알려진 동등성 결과를 보다 일반적인 경우로 확장할 뿐만 아니라 Kac-Moody 위치 파악 기술을 사용하여 기하학적 Langlands 펑터와 상수 항 펑터의 호환성을 이해하는 가교 역할을 합니다.

동시에, 축소 가능한 스펙트럼 매개변수 하에서 기하학적 Langlands 추측의 호환성을 입증함으로써, 이 논문은 환원 불가능한 스펙트럼 매개변수 하에서 기하학적 Langlands 추측의 추가 증명을 위한 토대를 마련합니다.

네 번째 논문에서 저자는 핵심 정리인 양손잡이 정리를 증명했습니다. 이 정리는 LG-cusp의 왼쪽 수반과 오른쪽 수반(특정, 작은 범주에서 LG의 동작으로 간주될 수 있음)이 동형임을 보여줍니다. 이는 LG가 등가 함수임을 증명하는 중요한 단계입니다.

마지막 논문에서는 이 결론을 사용하여 추측을 일반적인 상황으로 확장함으로써 오랜 시간이 걸렸던 증명 작업을 마무리했습니다.

두 세대의 수학자들이 함께 협력하여 어려운 문제를 해결합니다.

연구팀은 하버드 교수 Dennis Gaitsgory와 Yale 교수 Sam Raskin이 이끌었습니다.

나머지 저자는 왼쪽에서 오른쪽으로 시계 방향으로 Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell 및 Dima Arinkin입니다.

△출처: 퀀타매거진

연구팀에 중국 학자들이 포함되어 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다.첸 린。

Chen Lin은 칭화대학교 Shing-tung Yau 수학과학센터의 조교수입니다. 2016년 북경대학교에서 학사 학위를, 2021년 하버드 대학교에서 박사 학위를 취득했습니다. 그는 하버드 2020-2021 우수 장학금을 받았습니다.

그는 10대 때 수학에 뛰어난 재능을 보였으며, 12세 때 중국수학올림피아드(CMO) 대회에 참가해 만점을 받았다. 올림피아드(IMO) 대회에 출전해 금메달을 획득했습니다.

Chen Lin은 오랫동안 Langlands 기하학 프로그램을 연구해 왔습니다. 이 방향에 대한 그의 연결은 Denis Gatesgory로부터 나왔습니다.

Chen Lin은 이전 인터뷰에서 Dennis의 지도 하에 기하학 Langlands 분야에 입문했다고 밝혔습니다. 박사학위를 받기 전에는 기하학적 표현이론에 대해 거의 아는 바가 없었고, 데니스의 지도 하에 많은 기초지식을 배웠습니다.

박사 학위를 취득한 후 Chen Lin은 전 세계적으로 분류된 기하학적 Langlands 추측에 대한 Dennis 및 기타 공동 연구 프로젝트에 참여해 왔습니다.

추측의 증명을 완료하고 논문을 작성한 후 그는 국부 기하학의 Langlands 문제에 대해 계속해서 생각할 것입니다.

실제로 Langlands 프로그램은 많은 중국 수학 학자들의 관심을 끌고 있습니다. 북경대 황금세대 윤지웨이, 장웨이, 위안신이, 주신원도 이 정상에 오르고 있다.

참조 링크:
[1]https://www.quantamagazine.org/기념물-증거-정착-기하학적-랑글랜드-추측-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061