berita

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Mingmin Kresi dari Kuil Aofei
Qubit |. Akun publik QbitAI

9 ahli matematika, selama lebih dari 30 tahun, 5 makalah dengan total 800+ halaman...

Dugaan geometri Langlands akhirnya terbukti!

Ini adalah versi geometris dari program Langlands.

Program Langland Hal ini dianggap sebagai proyek tunggal terbesar dalam penelitian matematika modern dan dikenal sebagai "Teori Besar Matematika Terpadu". Ia mengusulkan bahwa tiga cabang matematika yang dikembangkan secara independen, teori bilangan, geometri aljabar, dan teori representasi kelompok, sebenarnya berkaitan erat.

Teorema terakhir Fermat terbukti sepenuhnya berkat penerapan program Langlands. Bukti Andrew Wiles tentang hubungan Langlands dalam teori bilangan untuk sekumpulan kecil fungsi memecahkan masalah yang telah mengganggu matematika selama 300 tahun.

Dugaan geometri Langlands diusulkan pada tahun 1980-an sebagai versi geometri program Langlands. Ini memberikan kerangka kerja untuk menerapkan metode dan konsep teori bilangan pada masalah geometri (dan sebaliknya).

Penggunaan dugaan ini dapat memberikan ide dan alat baru untuk banyak permasalahan yang belum terpecahkan di bidang matematika dan fisika. Misalnya, dapat diterapkan pada penelitian teori medan kuantum dan teori string.

Oleh karena itu, jika dugaan geometri Langlands terbukti, niscaya akan menimbulkan sensasi di kalangan matematikawan.

Pemenang Fields Medal Peter Scholze, yang sebagian besar mempelajari Program Langlands, menilai pencapaian terbaru ini sebagai "puncak dari upaya selama 30 tahun."

Akan sangat menyenangkan melihat masalah ini ditangani!

Alexander Beilinson, salah satu pendiri Program Geometric Langlands, juga mengatakan:

Bukti ini sungguh indah dan terbaik dari jenisnya.

Penelitian ini dipimpin oleh Dennis Gaitsgory dan Sam Raskin.

Tim beranggotakan 9 orang ini juga termasuk cendekiawan TiongkokChen Lin。

Dia adalah asisten profesor di Pusat Sains Matematika Yau Shing-tung Universitas Tsinghua dan memenangkan medali emas IMO pada usia 15 tahun.

Geometri, mata rantai terakhir Program Langlands

Program Langlands diusulkan pada tahun 1967.

Profesor Universitas Princeton berusia 30 tahunRobert Langland(Robert Langlands) mengirimkan surat tulisan tangan setebal 17 halaman kepada André Weil, pendiri "Rosetta Stone of Mathematics", di mana dia menjelaskan visinya.

("Batu Rosetta" di sini adalah metafora, mengacu pada analogi antara bidang matematika yang dikemukakan oleh ahli matematika André Weil. Analogi ini menggabungkan tiga bidang matematika, teori bilangan, geometri, dan bidang fungsi yang tampaknya berbeda. Bidang-bidang tersebut terhubung).

Langlands menulis, dalam "batu rosettta“Dalam bidang teori bilangan dan fungsi, dimungkinkan untuk membuat generalisasi analisis Fourier.

Analisis Fourier, kerangka kerja untuk merepresentasikan bentuk gelombang kompleks sebagai gelombang fungsi trigonometri yang berosilasi dengan lancar, adalah teknologi dasar untuk telekomunikasi modern, pemrosesan sinyal, pencitraan resonansi magnetik, dan sebagian besar kehidupan modern.

Mirip dengan hubungan antara suatu fungsi dan transformasi Fouriernya dalam analisis Fourier,Program Langlands menghubungkan ketiga bidang ini dengan membangun “korespondensi” serupa di dalamnya.

Transformasi Fourier mengubah bolak-balik antara gelombang dan spektrum, dan terdapat "gelombang" dan "spektrum" yang sesuai dalam Program Langlands.

Sisi "gelombang" terdiri dari beberapa fungsi khusus, dan sisi "spektrum" terdiri dari objek aljabar tertentu untuk menandai frekuensi "gelombang":

• Dalam teori bilangan, suatu fungsi adalah fungsi khusus yang didefinisikan pada bidang bilangan p-adic atau gelanggang Adel, dan objek aljabarnya adalah representasi dari grup Galois atau grup yang terkait dengannya;
• Dalam geometri, fungsinya adalah lapisan karakteristik (modul-D) yang didefinisikan pada permukaan Riemann, dan objek aljabar adalah representasi dari kelompok dasar permukaan Riemann pada kelompok aljabar G;
• Dalam domain fungsi, suatu fungsi adalah fungsi khusus yang didefinisikan pada suatu kurva, dan objek aljabar adalah representasi dari grup Galois atau grup yang terkait dengannya.

Oleh karena itu, Program Langlands memberikan perspektif terpadu yang menghubungkan tiga cabang matematika, teori bilangan, geometri, dan bidang fungsional, sehingga menghasilkan serangkaian masalah dan dugaan matematika yang mendalam dan ekstensif.

Melalui kerangka Program Langlands, banyak permasalahan sulit dalam teori bilangan tradisional dapat diubah menjadi permasalahan dalam teori representasi atau bidang lainnya, sehingga dapat diselesaikan dengan perspektif dan alat baru banyak masalah matematika tertentu yang telah diterapkan.

△Robert Langlands

Misalnya, pembuktian teorema terakhir Fermat mengambil ide dari program Langlands, menghubungkan kurva elips dan bentuk modular, dan akhirnya berhasil melalui hubungan ini.

Selain matematika itu sendiri, Program Langlands juga berperan penting dalam disiplin ilmu lain seperti fisika. Misalnya dalam teori medan kuantum dan teori string, beberapa ide dan metode Program Langlands telah diterapkan.

Diantaranya, dugaan geometris Langlands tidak hanya memiliki penerapan dan koneksi yang lebih luas, tetapi juga menyediakan alat yang ampuh dari perspektif geometris, sehingga sangat penting dalam program Langlands.

Namun, proses pembuktian Dugaan Langlands Geometris juga sangat sulit. Proses ini memakan waktu total 30 tahun, dan pembuktian akhir baru dimulai pada tahun 2013.

Isi bukti intinya adalah tentang korespondensi mendalam antara kemiripan diri dan simetri pada permukaan Riemann.

Untuk menggunakan kembali model analisis Fourier untuk menjelaskannya, para ahli matematika telah lama memahami sisi "spektrum" dari dugaan geometris Langlands, namun memahami sisi "gelombang" telah melalui proses yang panjang.

Bahkan ketika Langlands pertama kali mengusulkan program ini, bagian geometri tidak disertakan sama sekali. Baru pada tahun 1980-an ahli matematika Vladimir Drinfeld menyadari bahwa dengan mengganti fungsi Eigen, dimungkinkan untuk membuat versi geometri korespondensi Langlands.

Ekspresi tepat dari dugaan geometris Langlands baru muncul pada abad ini - pada tahun 2012, Dennis Gaitsgory dan Dima Arinkin menulis makalah lebih dari 150 halaman. Makalah tersebut memberikan pernyataan ini.

Dennis dan Alingin mengemukakan bahwa ide inti pembuktian dugaan geometri Langlands adalah mencari relasi ekivalen yang menggabungkan D dari kumpulan G pada kurva aljabar X (bundel serat pada ruang aljabar G, yang seratnya adalah salinan G) -Kategori modul (solusi persamaan diferensial dalam ruang tertentu) dihubungkan dengan kategori Ind-Coh sistem lokal grup ganda Langlands^ (yang mencakup semua objek Ind-kohomologis), yaitu:

Pada tahun 2013, Dennis menulis sketsa pembuktian dugaan geometri Langlands, namun sketsa ini mengandalkan banyak hasil antara yang belum terbukti. Pada tahun-tahun berikutnya, Dennis dan kolaboratornya berupaya membuktikan hasil tersebut.

Pada tahun 2020, Dennis mulai memikirkan cara memahami kontribusi setiap lapisan fitur terhadap "white noise", sebuah ide yang kemudian menjadi bagian penting dari pembuktiannya.

"White noise" di sini mengacu pada berkas Poincaré yang dikombinasikan dengan dugaan Langlands. Analogi penulis didasarkan pada gelombang sinus dalam transformasi Fourier.

Pada musim semi tahun 2022, Sam Raskin dan muridnya Joakim Færgeman menunjukkan bahwa setiap lapisan fitur berkontribusi terhadap "white noise" dalam beberapa hal, hasil yang membuat Dennis yakin mereka akan dapat segera membuktikannya.

Mulai tahun 2023, Dennis, Sam dan 7 kolaborator lainnya melancarkan serangan terakhir terhadap dugaan geometri Langlands. Bukti akhir mencakup 5 makalah, panjangnya lebih dari 800 halaman, dan diterbitkan tahun ini.

Artikel pertama membahas tentang konstruksi fungsi. Penting untuk membangun fungsi geometris Langlands LG dari arah automorfik ke arah spektral dalam lingkungan dengan karakteristik nol dan membuktikan kesetaraannya, yaitu dapat digunakan dalam dua Bentuk satu. korespondensi -ke-satu antar kategori.

Jika persamaan ini dapat dibuktikan maka dugaan geometri Langlands benar adanya.

Artikel kedua mempelajari interaksi antara lokalisasi Kac-Moody dan globalisasi, membuktikan bahwa fungsi tersebut memang merupakan fungsi kesetaraan dalam kondisi tertentu, sehingga memajukan bukti dugaan geometris Langlands.

Artikel ketiga berfungsi sebagai jembatan, tidak hanya memperluas hasil kesetaraan yang diketahui ke kasus-kasus yang lebih umum, tetapi juga menggunakan teknologi lokalisasi Kac-Moody untuk memahami kompatibilitas fungsi geometris Langlands dan fungsi suku konstan Sex memberikan wawasan penting.

Pada saat yang sama, dengan membuktikan kesesuaian dugaan geometris Langlands pada parameter spektral yang dapat direduksi, makalah ini meletakkan dasar untuk pembuktian lebih lanjut dugaan geometris Langlands pada parameter spektral yang tidak dapat direduksi.

Dalam makalah keempat, penulis membuktikan teorema kunci – teorema Ambidexterity. Teorema ini menunjukkan bahwa adjoint kiri dan adjoint kanan LG-cusp (yang dapat dianggap sebagai perilaku LG dalam kategori spesifik yang lebih kecil) bersifat isomorfik.

Makalah terakhir menggunakan kesimpulan ini untuk memperluas dugaan ke situasi umum, sehingga mengakhiri kerja pembuktian yang berlarut-larut.

Dua generasi ahli matematika bekerja sama untuk mengatasi masalah-masalah sulit

Tim peneliti dipimpin oleh profesor Harvard Dennis Gaitsgory dan profesor Yale Sam Raskin.

Penulis yang tersisa, searah jarum jam dari kiri ke kanan, adalah: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell dan Dima Arinkin.

△Sumber: Majalah Quantama

Perlu dicatat bahwa tim peneliti tersebut terdiri dari para sarjana Tiongkok:Chen Lin。

Chen Lin adalah asisten profesor di Pusat Sains Matematika Shing-tung Yau Universitas Tsinghua. Memperoleh gelar sarjana dari Peking University pada tahun 2016 dan gelar Ph.D. dari Harvard University pada tahun 2021. Beliau dianugerahi Harvard Excellence Scholarship 2020-2021.

Ia menunjukkan bakatnya yang luar biasa dalam bidang matematika ketika ia masih remaja. Pada usia 12 tahun, ia mengikuti kompetisi China Mathematical Olympiad (CMO) dan memperoleh nilai sempurna Kompetisi Olympiad (IMO) dan meraih medali emas.

Chen Lin telah lama mempelajari Program Geometri Langlands. Hubungannya dengan jurusan ini datang dari Denis Gatesgory.

Chen Lin mengungkapkan pada wawancara sebelumnya bahwa ia hanya memasuki bidang Geometri Langlands di bawah kepemimpinan Dennis. Sebelum meraih gelar Ph.D., ia hampir tidak mengetahui apa pun tentang teori representasi geometri, dan mempelajari banyak pengetahuan dasar di bawah bimbingan Dennis.

Setelah lulus dengan gelar Ph.D., Chen Lin telah berpartisipasi dalam proyek penelitian Dennis dan kolaborator lainnya mengenai dugaan geometris Langlands yang dikategorikan global.

Setelah menyelesaikan pembuktian dugaan dan penulisan makalah, ia akan terus memikirkan permasalahan Langlands dalam geometri lokal.

Faktanya, Program Langlands menarik banyak sarjana matematika Tiongkok. Yun Zhiwei, Zhang Wei, Yuan Xinyi, dan Zhu Xinwen di antara generasi emas Universitas Peking juga mendaki puncak ini.

Tautan referensi:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-menetapkan-dugaan-geometrik-langlands-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061