2024-07-23
한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina
Mingmin Kresi Aofein temppelistä
Qubits |. Julkinen tili QbitAI
9 matemaatikkoa, yli 30 vuoden ajalta, 5 paperia, yhteensä yli 800 sivua...
Geometrinen Langlandsin arvelu on vihdoin todistettu!
Se on geometrinen versio Langlandsin ohjelmasta.
Langlands-ohjelma Sitä pidetään modernin matematiikan tutkimuksen suurimpana yksittäisenä projektina ja se tunnetaan nimellä "Matematiikan suuri yhtenäinen teoria". Se ehdottaa, että kolme itsenäisesti kehitettyä matematiikan haaraa, lukuteoria, algebrallinen geometria ja ryhmäesitysteoria, liittyvät itse asiassa läheisesti toisiinsa.
Fermatin viimeinen lause todistettiin täysin Langlands-ohjelman sovelluksen ansiosta. Andrew Wilesin todiste Langlandsin suhteesta lukuteoriassa pienelle joukolle funktioita ratkaisi ongelman, joka oli vaivannut matematiikkaa 300 vuotta.
Geometrinen Langlandsin arvelu ehdotettiin 1980-luvulla Langlands-ohjelman geometriseksi versioksi. Se tarjoaa puitteet lukuteorian menetelmien ja käsitteiden soveltamiselle geometrisiin ongelmiin (ja päinvastoin).
Tämän olettamuksen käyttäminen voi tarjota uusia ideoita ja työkaluja moniin ratkaisemattomiin ongelmiin matematiikan ja fysiikan aloilla. Sitä voidaan soveltaa esimerkiksi kvanttikenttäteorian ja merkkijonoteorian tutkimukseen.
Siksi, kun geometrinen Langlandsin arvelu todistetaan, se epäilemättä aiheuttaa sensaatiota matemaattisessa yhteisössä.
Fields-mitalin voittaja Peter Scholze, joka tutkii pääasiassa Langlands-ohjelmaa, arvioi tämän viimeisimmän saavutuksen "30 vuoden ponnistelujen huipentumaksi".
Olisi hienoa nähdä, että siihen puututaan!
Alexander Beilinson, yksi Geometric Langlands -ohjelman perustajista, sanoi myös:
Tämä todiste on todella kaunis ja paras laatuaan.
Tutkimusta johtivat Dennis Gaitsgory ja Sam Raskin.
9-henkiseen tiimiin kuuluu myös kiinalaisia tutkijoitaChen Lin。
Hän on apulaisprofessori Yau Shing-tungin matemaattisen tiedekeskuksen Tsinghuan yliopistossa ja voitti IMO:n kultamitalin 15-vuotiaana.
Langlands-ohjelmaa ehdotettiin vuonna 1967.
30-vuotias Princetonin yliopiston professoriRobert Langlands(Robert Langlands) lähetti 17-sivuisen käsin kirjoitetun kirjeen André Weilille, "Matematiikan Rosetta Stonen" perustajalle, jossa hän selitti näkemyksensä.
("Rosetta Stone" on tässä metafora, joka viittaa matemaatikko André Weilin esittämään analogiaan matemaattisten kenttien välillä. Tämä analogia yhdistää kolme näennäisesti erilaista matematiikan alaa, lukuteoriaa, geometriaa ja funktiokenttiä. kentät ovat yhteydessä toisiinsa).
Langlands kirjoittaa kirjassa "Rosettan kivi"Lukuteorian ja funktioiden alalla on mahdollista luoda yleistys Fourier-analyysistä.
Fourier-analyysi, kehys monimutkaisten aaltomuotojen esittämiseksi tasaisesti värähtelevinä trigonometrisinä funktioaaltoina, on perustavanlaatuinen tekniikka nykyaikaisessa televiestinnässä, signaalinkäsittelyssä, magneettikuvauksessa ja suuressa osassa nykyaikaista elämää.
Kuten funktion ja sen Fourier-muunnoksen välinen suhde Fourier-analyysissä,Langlands-ohjelma yhdistää nämä kolme aluetta luomalla niille samanlaisia "vastaavuuksia".
Fourier-muunnos muuntaa edestakaisin aaltojen ja spektrien välillä, ja Langlands-ohjelmassa on vastaavat "aallot" ja "spektrit".
"Aalto"-puoli koostuu joistakin erikoistoiminnoista, ja "spektri"-puoli koostuu tietyistä algebrallisista objekteista, jotka merkitsevät "aallon" taajuutta:
Siksi Langlands-ohjelma tarjoaa yhtenäisen näkökulman, joka yhdistää matematiikan, lukuteorian, geometrian ja funktionaalisten kenttien kolme haaraa ja synnyttää näin joukon syvällisiä ja laajoja matemaattisia ongelmia ja arvauksia.
Langlands-ohjelman puitteissa monet perinteisen lukuteorian vaikeat ongelmat voidaan muuttaa esitysteorian tai muiden alojen ongelmiksi, jotta ne voidaan ratkaista uusilla näkökulmilla ja työkaluilla monia erityisiä matemaattisia ongelmia.
△ Robert Langlands
Esimerkiksi Fermatin viimeisen lauseen todistus ammensi ideoita Langlandsin ohjelmasta, joka yhdistää elliptisiä käyriä ja modulaarisia muotoja, ja lopulta onnistui näiden yhteyksien kautta.
Itse matematiikan lisäksi Langlands-ohjelmalla oli tärkeä rooli myös muilla tieteenaloilla, kuten fysiikassa. Esimerkiksi kvanttikenttäteoriassa ja merkkijonoteoriassa joitain Langlands-ohjelman ideoita ja menetelmiä on sovellettu.
Niistä geometrisella Langlandsin arvelulla ei ole vain laajempia sovelluksia ja yhteyksiä, vaan se tarjoaa myös tehokkaan työkalun geometrisestä näkökulmasta, joten se on erityisen tärkeä Langlands-ohjelmassa.
Geometrisen Langlandin arvelun todistamisprosessi oli kuitenkin myös erittäin vaikea. Se kesti yhteensä 30 vuotta, ja lopullinen todistustyö alkoi vasta vuonna 2013.
Todistuksen ydinsisältö koskee syvää vastaavuutta itsensä samankaltaisuuden ja symmetrian välillä Riemannin pinnoilla.
Käyttääksemme Fourier-analyysimallia uudelleen selittämiseen, matemaatikot ovat pitkään ymmärtäneet geometrisen Langlandsin arvelun "spektripuolen" puolen, mutta "aaltopuolen" ymmärtäminen on käynyt läpi pitkän prosessin.
Jopa silloin, kun Langlands ensimmäisen kerran ehdotti tätä ohjelmaa, geometrinen osa ei sisällytetty siihen. Vasta 1980-luvulla matemaatikko Vladimir Drinfeld ymmärsi, että ominaisfunktiot korvaamalla on mahdollista luoda geometrinen versio Langlandin vastaavuudesta.
Geometrisen Langlandsin arvelun tarkka ilmaus ilmestyi vasta tällä vuosisadalla - vuonna 2012 Dennis Gaitsgory ja Dima Arinkin kirjoittivat yli 150-sivuisen paperin.
Dennis ja Alingin huomauttivat, että geometrisen Langlandsin oletuksen todistamisen ydinajatuksena on löytää ekvivalenssirelaatio, joka yhdistää G-nipun D:n algebrallisella käyrällä X (algebrallisen avaruuden G kuitukimppu, jonka kuidut ovat kopiot G) -Moduulikategoria (differentiaaliyhtälöiden ratkaisut tietyissä tiloissa) liittyy Langlandsin kaksoisryhmän paikallisten järjestelmien Ind-Coh-kategoriaan^ (joka sisältää kaikki Ind-kohomologiset objektit), eli:
Vuonna 2013 Dennis kirjoitti luonnoksen todisteesta geometrisesta Langlandsin oletuksesta, mutta tämä luonnos perustui moniin välituloksiin, joita ei ollut vielä todistettu. Seuraavina vuosina Dennis ja hänen työtoverinsa työskentelivät näiden tulosten todistamiseksi.
Vuonna 2020 Dennis alkoi pohtia, kuinka ymmärtää kunkin piirrekerroksen panos "valkoiseen kohinaan", ideasta, josta tuli myöhemmin tärkeä osa todistetta.
"Valkoinen kohina" viittaa tässä Poincarén nippuun yhdistettynä Langlandsin olettamukseen. Tekijän analogia perustuu Fourier-muunnoksen siniaaltoon.
Keväällä 2022 Sam Raskin ja hänen oppilaansa Joakim Færgeman osoittivat, että jokainen piirrekerros vaikuttaa jollain tavalla "valkoiseen kohinaan", minkä seurauksena Dennis oli varma, että he pystyvät todistamaan sen pian.
Vuodesta 2023 alkaen Dennis, Sam ja 7 muuta yhteistyökumppania aloittivat viimeisen hyökkäyksen geometristä Langlandsin arvelua vastaan. Lopullinen todistus sisälsi 5 paperia, yli 800 sivua, ja se julkaistiin tänä vuonna.
Ensimmäinen artikkeli käsittelee funktorien rakentamista Geometrinen Langlands-funktori LG on tarpeen rakentaa automorfisesta spektrisuuntaan ympäristössä, jossa on nollaominaisuudet, eli sitä voidaan käyttää kahdessa. - kategorioiden välinen vastaavuus yhteen.
Jos tämä vastaavuus voidaan todistaa, se osoittaa, että geometrinen Langlandsin arvelu on totta.
Toisessa artikkelissa tutkitaan Kac-Moody-lokalisaation ja globalisaation välistä vuorovaikutusta ja osoitetaan, että funktori on todellakin ekvivalenssifunktio tietyissä olosuhteissa, mikä edistää geometrisen Langlandsin arvelun todistetta.
Kolmas artikkeli ei ainoastaan laajentaa tunnettuja ekvivalenssituloksia yleisempiin tapauksiin, vaan käyttää myös Kac-Moody-lokalisointitekniikkaa geometristen Langlands-funktioiden ja vakiotermifunktioiden yhteensopivuuden ymmärtämiseksi.
Samanaikaisesti todistamalla geometrisen Langlandsin arvelun yhteensopivuuden pelkistetyillä spektriparametreilla, tämä artikkeli luo perustan geometrisen Langlandsin arvelun lisätodistukselle pelkistymättömien spektriparametrien alla.
Neljännessä artikkelissa kirjoittajat osoittivat keskeisen lauseen - kaksikätisyyden lauseen. Tämä lause osoittaa, että LG-cuspin vasen adjointti ja oikea adjoint (jota voidaan pitää LG:n käyttäytymisenä tietyssä pienemmässä kategoriassa) ovat isomorfisia. Tämä on tärkeä askel sen todistamisessa, että LG on ekvivalenssifunktio.
Viimeisessä artikkelissa käytettiin tätä päätelmää laajentamaan olettamus yleisiin tilanteisiin, mikä lopetti pitkittyneen todistustyön.
Tutkimusryhmää johtivat Harvardin professori Dennis Gaitsgory ja Yalen professori Sam Raskin.
Loput kirjoittajat myötäpäivään vasemmalta oikealle ovat: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell ja Dima Arinkin.
△ Lähde: Quantamagazine
On syytä huomata, että tutkimusryhmässä on kiinalaisia tutkijoita:Chen Lin。
Chen Lin on apulaisprofessori Tsinghuan yliopiston Shing-tung Yau -matematiikan tiedekeskuksessa. Hän suoritti kandidaatin tutkinnon Pekingin yliopistosta vuonna 2016 ja tohtorin tutkinnon Harvardin yliopistosta vuonna 2021. Hänelle myönnettiin Harvard 2020-2021 Excellence Scholarship.
Hän osoitti suurta kykyä matematiikassa, kun hän oli teini 12-vuotiaana, hän osallistui China Mathematical Olympiad (CMO) -kilpailuun ja saavutti täydet pisteet 15-vuotiaana, ja hän osallistui kansainväliseen matematiikkaan Olympiad (IMO) -kilpailussa ja voitti kultamitalin.
Chen Lin on opiskellut Langlandsin geometriaohjelmaa pitkään Hänen yhteytensä tähän suuntaan tuli Denis Gatesgorylta.
Chen Lin paljasti edellisessä haastattelussa, että hän tuli Geometry Langlandsin alalle vasta Dennisin johdolla. Ennen tohtorintutkintoaan hän ei tiennyt melkein mitään geometrisestä esitysteoriasta ja oppi suuren osan perustiedoista Dennisin ohjauksessa.
Valmistuttuaan tohtorintutkinnostaan Chen Lin on osallistunut Dennisin ja muiden yhteistyökumppaneiden tutkimusprojektiin globaalien luokiteltujen geometristen Langlandsin arvelujen parissa.
Suoritettuaan olettamuksen todisteen ja kirjoittanut paperin, hän jatkaa Langlandsin paikallisgeometrian asioiden pohtimista.
Itse asiassa Langlands-ohjelma houkuttelee monia kiinalaisia matematiikan tutkijoita. Pekingin yliopiston kultaisen sukupolven joukossa Yun Zhiwei, Zhang Wei, Yuan Xinyi ja Zhu Xinwen ovat myös kiipeämässä tälle huipulle.
Viitelinkit:
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061
Kerää ja järjestele viimeisimmät uutiset ja tee ei kaikista tarkastettavaksi ilmaiseksi.
