2024-07-23
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Mingmin Kresi du temple Aofei
Qubits | Compte public QbitAI
9 mathématiciens, depuis plus de 30 ans, 5 articles totalisant plus de 800 pages...
La conjecture géométrique de Langlands a enfin été prouvée !
C'est une version géométrique du programme de Langlands.
Programme Langlands Il est considéré comme le plus grand projet de recherche en mathématiques moderne et est connu sous le nom de « Grande Théorie Unifiée des Mathématiques ». Il propose que les trois branches développées indépendamment des mathématiques, la théorie des nombres, la géométrie algébrique et la théorie de la représentation de groupe, sont en réalité étroitement liées.
Le dernier théorème de Fermat a été pleinement prouvé grâce à l'application du programme de Langlands. La preuve par Andrew Wiles de la relation de Langlands en théorie des nombres pour un petit ensemble de fonctions a résolu un problème qui tourmentait les mathématiques depuis 300 ans.
La conjecture géométrique de Langlands a été proposée dans les années 1980 comme version géométrique du programme de Langlands. Il fournit un cadre pour appliquer les méthodes et concepts de la théorie des nombres aux problèmes géométriques (et vice versa).
L’utilisation de cette conjecture peut fournir de nouvelles idées et outils pour résoudre de nombreux problèmes non résolus dans les domaines des mathématiques et de la physique. Par exemple, il peut être appliqué à la recherche sur la théorie quantique des champs et la théorie des cordes.
Par conséquent, lorsque la conjecture géométrique de Langlands sera prouvée, elle fera sans aucun doute sensation dans la communauté mathématique.
Peter Scholze, lauréat de la médaille Fields et qui étudie principalement le programme Langlands, a qualifié cette dernière réalisation de "l'aboutissement de 30 ans d'efforts".
Ce serait formidable de voir ce problème être résolu !
Alexander Beilinson, l'un des fondateurs du programme Geographic Langlands, a également déclaré :
Cette preuve est vraiment belle et la meilleure du genre.
La recherche a été dirigée par Dennis Gaitsgory et Sam Raskin.
L'équipe de 9 membres comprend également des universitaires chinoisChen Lin。
Il est professeur adjoint au Centre des sciences mathématiques Yau Shing-tung de l'Université Tsinghua et a remporté la médaille d'or de l'OMI à l'âge de 15 ans.
Le programme Langlands a été proposé en 1967.
Professeur de l'Université de Princeton, 30 ansRobert Langlands(Robert Langlands) a envoyé une lettre manuscrite de 17 pages à André Weil, le fondateur de la « Pierre de Rosette des Mathématiques », dans laquelle il explique sa vision.
(La « Pierre de Rosette » est ici une métaphore, faisant référence à une analogie entre les domaines mathématiques proposée par le mathématicien André Weil. Cette analogie combine les trois domaines apparemment différents des mathématiques, de la théorie des nombres, de la géométrie et des champs de fonctions. Les champs sont connectés).
Langlands écrit, dans "pierre de Rosette"Dans le domaine de la théorie des nombres et des fonctions, il est possible de créer une généralisation de l'analyse de Fourier.
L'analyse de Fourier, un cadre permettant de représenter des formes d'onde complexes sous forme d'ondes de fonction trigonométrique à oscillation douce, est une technologie fondamentale pour les télécommunications modernes, le traitement du signal, l'imagerie par résonance magnétique et une grande partie de la vie moderne.
Semblable à la relation entre une fonction et sa transformée de Fourier dans l'analyse de Fourier,Le programme Langlands relie ces trois domaines en y établissant des « correspondances » similaires.
La transformée de Fourier effectue des conversions entre les ondes et les spectres, et il existe des « ondes » et des « spectres » correspondants dans le programme de Langlands.
Le côté « vague » est composé de quelques fonctions spéciales, et le côté « spectre » est composé de certains objets algébriques pour marquer la fréquence de la « vague » :
Par conséquent, le programme Langlands fournit une perspective unifiée qui relie les trois branches des mathématiques, de la théorie des nombres, de la géométrie et des domaines fonctionnels, et suscite ainsi une série de problèmes et de conjectures mathématiques profonds et étendus.
Grâce au cadre du programme Langlands, de nombreux problèmes difficiles de la théorie traditionnelle des nombres peuvent être transformés en problèmes de théorie des représentations ou dans d'autres domaines, afin d'être résolus avec de nouvelles perspectives et outils. Les idées et méthodes du programme Langlands peuvent être utilisées. de nombreux problèmes mathématiques spécifiques ont été appliqués.
△Robert Langlands
Par exemple, la preuve du dernier théorème de Fermat s'est appuyée sur les idées du programme de Langlands, reliant les courbes elliptiques et les formes modulaires, et a finalement été couronnée de succès grâce à ces connexions.
Outre les mathématiques elles-mêmes, le programme Langlands a également joué un rôle important dans d'autres disciplines telles que la physique. Par exemple, dans la théorie quantique des champs et la théorie des cordes, certaines des idées et méthodes du programme Langlands ont été appliquées.
Parmi elles, la conjecture géométrique de Langlands a non seulement des applications et des connexions plus larges, mais fournit également un outil puissant d'un point de vue géométrique, elle est donc particulièrement importante dans le programme de Langlands.
Cependant, le processus de preuve de la conjecture géométrique de Langlands a également été très difficile. Il a duré au total 30 ans et le travail de preuve final n'a commencé qu'en 2013.
Le contenu principal de la preuve concerne la correspondance profonde entre l'autosimilarité et la symétrie sur les surfaces de Riemann.
Pour expliquer à nouveau le modèle d'analyse de Fourier, les mathématiciens ont compris depuis longtemps le côté « spectre » de la conjecture géométrique de Langlands, mais la compréhension du côté « onde » a traversé un long processus.
Même lorsque Langlands a proposé ce programme pour la première fois, la partie géométrique n'était pas du tout incluse. Ce n'est que dans les années 1980 que le mathématicien Vladimir Drinfeld s'est rendu compte qu'en remplaçant les fonctions propres, il était possible de créer une version géométrique de la correspondance de Langlands.
L'expression précise de la conjecture géométrique de Langlands n'est apparue qu'au cours de ce siècle : en 2012, Dennis Gaitsgory et Dima Arinkin ont écrit un article de plus de 150 pages.
Dennis et Alingin ont souligné que l'idée principale de la preuve de la conjecture géométrique de Langlands est de trouver une relation d'équivalence qui combine le D du G-fibré sur la courbe algébrique X (le fibré de fibres sur l'espace algébrique G, dont les fibres sont copies de G) -La catégorie des modules (solutions d'équations différentielles dans certains espaces) est liée à la catégorie Ind-Coh des systèmes locaux du groupe dual de Langlands^ (qui comprend tous les objets Ind-cohomologiques), soit :
En 2013, Dennis a écrit une esquisse d'une preuve de la conjecture géométrique de Langlands, mais cette esquisse reposait sur de nombreux résultats intermédiaires qui n'avaient pas encore été prouvés. Au cours des années suivantes, Dennis et ses collaborateurs ont travaillé à prouver ces résultats.
En 2020, Dennis a commencé à réfléchir à la manière de comprendre la contribution de chaque couche de caractéristiques au « bruit blanc », une idée qui est devenue plus tard un élément clé de la preuve.
Le « bruit blanc » fait ici référence à la gerbe de Poincaré combinée à la conjecture de Langlands. L'analogie de l'auteur est basée sur l'onde sinusoïdale de la transformée de Fourier.
Au printemps 2022, Sam Raskin et son élève Joakim Færgeman ont montré que chaque couche de caractéristiques contribue d'une manière ou d'une autre au « bruit blanc », un résultat qui a permis à Dennis d'être sûr qu'ils seraient en mesure de le prouver bientôt.
À partir de 2023, Dennis, Sam et 7 autres collaborateurs ont lancé l'attaque finale contre la conjecture géométrique de Langlands. La preuve finale comprenait 5 articles, de plus de 800 pages, et a été publiée cette année.
Le premier article concerne la construction de foncteurs. Il est nécessaire de construire le foncteur géométrique de Langlands LG de la direction automorphe à la direction spectrale dans un environnement à caractéristiques nulles et de prouver son équivalence, c'est-à-dire qu'il peut être utilisé dans deux. correspondance biunivoque entre les catégories.
Si cette équivalence peut être prouvée, cela prouvera que la conjecture géométrique de Langlands est vraie.
Le deuxième article étudie l'interaction entre la localisation de Kac-Moody et la mondialisation, prouvant que le foncteur est bien un foncteur d'équivalence sous certaines conditions, faisant ainsi avancer la preuve de la conjecture géométrique de Langlands.
Le troisième article sert de pont, étendant non seulement les résultats d'équivalence connus à des cas plus généraux, mais utilisant également la technologie de localisation de Kac-Moody pour comprendre la compatibilité des foncteurs géométriques de Langlands et des foncteurs à termes constants. Le sexe fournit des informations clés.
Dans le même temps, en prouvant la compatibilité de la conjecture géométrique de Langlands sous des paramètres spectraux réductibles, cet article pose les bases d'une preuve supplémentaire de la conjecture géométrique de Langlands sous des paramètres spectraux irréductibles.
Dans le quatrième article, les auteurs ont prouvé un théorème clé : le théorème d’ambidextrie. Ce théorème montre que l'adjoint gauche et l'adjoint droit de LG-cusp (qui peuvent être considérés comme le comportement de LG dans une catégorie spécifique plus petite) sont isomorphes. C'est une étape importante pour prouver que LG est un foncteur d'équivalence.
Le dernier article a utilisé cette conclusion pour étendre la conjecture à des situations générales, mettant ainsi fin au long travail de preuve.
L'équipe de recherche était dirigée par le professeur Dennis Gaitsgory de Harvard et le professeur Sam Raskin de Yale.
Les autres auteurs, dans le sens des aiguilles d'une montre, de gauche à droite, sont : Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rosenblum Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell et Dima Arinkin.
△Source : Quantamagazine
Il convient de noter que l’équipe de recherche comprend des universitaires chinois :Chen Lin。
Chen Lin est professeur adjoint au Centre des sciences mathématiques Shing-tung Yau de l'Université Tsinghua. A obtenu un baccalauréat de l'Université de Pékin en 2016 et un doctorat de l'Université Harvard en 2021. Il a reçu la bourse d'excellence Harvard 2020-2021.
Il a fait preuve d'un grand talent en mathématiques lorsqu'il était adolescent. À l'âge de 12 ans, il a participé à la compétition de l'Olympiade mathématique de Chine (CMO) et a obtenu des notes parfaites. À l'âge de 15 ans, il est entré dans l'équipe nationale et a participé à l'International Mathematical. Olympiade (OMI) et a remporté une médaille d'or.
Chen Lin étudie depuis longtemps le programme de géométrie de Langlands. Son lien avec cette direction vient de Denis Gatesgory.
Chen Lin a révélé dans une interview précédente qu'il n'était entré dans le domaine de la géométrie Langlands que sous la direction de Dennis. Avant son doctorat, il ne savait presque rien de la théorie des représentations géométriques et avait acquis une grande partie des connaissances de base sous la direction de Dennis.
Après avoir obtenu son doctorat, Chen Lin a participé au projet de recherche de Dennis et d'autres collaborateurs sur la conjecture géométrique globale catégorisée de Langlands.
Après avoir terminé la preuve de la conjecture et rédigé l’article, il continuera à réfléchir aux problèmes de Langlands en géométrie locale.
En fait, le programme Langlands attire de nombreux chercheurs chinois en mathématiques. Yun Zhiwei, Zhang Wei, Yuan Xinyi et Zhu Xinwen parmi la génération dorée de l'Université de Pékin gravissent également ce sommet.
Liens de référence :
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061
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