lecciones de matemáticas de qiu chengtong para estudiantes de secundaria: la belleza y la practicidad a menudo surgen de forma natural en el camino hacia la exploración de los misterios de las matemáticas.
2024-09-27
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las matemáticas, como materia básica, desempeñan un papel importante en la comprensión humana del mundo y en su cambio. ya sea el nacimiento de la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, o el rápido desarrollo de la medicina moderna y la inteligencia artificial, las matemáticas desempeñan un papel importante. papel importante en el mismo.
para cultivar los mejores talentos innovadores, la importancia de la educación matemática es evidente. en los últimos años, el conocido matemático qiu chengtong ha invertido mucho tiempo y energía en cultivar talentos matemáticos en la etapa de educación básica. recientemente, en la ceremonia de fundación del instituto de matemáticas y estudios interdisciplinarios de shanghai, qiu shing-tung otorgó medallas a las clases de qiu shing-tung de muchas escuelas intermedias de todo el país, incluidas la escuela secundaria de shanghai y la escuela secundaria privada huayu. en la ceremonia de licencia, impartió una lección especial de matemáticas a estudiantes de secundaria. esta revista publica parte del contenido de las conferencias para beneficio de los lectores.
las matemáticas son una ciencia hermosa y práctica que ha fascinado a todos los matemáticos desde su nacimiento. las matemáticas hermosas y prácticas surgen naturalmente en la naturaleza, que es maravillosa en sí misma. lo que es aún más sorprendente es que la gente a menudo persigue el valor práctico de las matemáticas, pero descubre su belleza en el proceso. para los matemáticos, la belleza y la practicidad a menudo surgen de forma natural en el camino hacia la exploración de los misterios de las matemáticas, lo cual es una experiencia muy interesante.
de hecho, cada estudioso tiene diferentes puntos de vista sobre la belleza. la academia qiuzhen de la universidad tsinghua invitó una vez al profesor liu jude de la academia de bellas artes a dar una conferencia sobre la belleza a los ojos de los artistas. aquí también les hablaré sobre la belleza a los ojos de matemáticos y científicos.
ninguna materia ha resistido la prueba del tiempo como las matemáticas.
en mi opinión, la belleza del mundo debe basarse en la verdad, y sólo entonces se le puede llamar "belleza". el profesor liu dijo que la belleza hace época y trasciende el tiempo y el espacio. sin embargo, lo único que puede existir más allá del tiempo y el espacio es la verdad. francamente, creo que sólo hay una verdad: las matemáticas. ninguna materia tiene una descripción del mundo que haya resistido la prueba del tiempo como las matemáticas. desde los antiguos eruditos griegos hasta científicos como newton y einstein, y hasta la actualidad, las observaciones del mundo que hacen los seres humanos y las teorías formadas a partir de ellas cambian constantemente en el laboratorio, a medida que la tecnología continúa desarrollándose y esforzándose por alcanzar la excelencia. del mundo físico constantemente producen nuevos resultados y las conclusiones anteriores son constantemente revocadas.
la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica dieron a los científicos del siglo xx diferentes puntos de vista. cambiaron la física clásica y nos dieron una comprensión más profunda del universo. ya sea la estructura de protones extremadamente pequeños o el espacio distante, los fenómenos que ahora podemos observar son inimaginables para nuestros predecesores. por lo tanto, en cierto sentido, la verdad de la física cambia constantemente.
en esta serie de magníficos avances científicos, los matemáticos han hecho enormes contribuciones. en muchas situaciones importantes de desarrollo de la física básica, los matemáticos suelen estar a la vanguardia, guiando a los físicos hacia adelante y luego trabajando juntos para comprender el universo.
recordemos un avance extremadamente importante en la ciencia: una de las grandes contribuciones de newton fue el desarrollo de importantes aplicaciones del cálculo en física, revolucionando así las matemáticas mismas. a principios del siglo xix, los matemáticos gauss y riemann desarrollaron un conjunto de teorías matemáticas para obtener una comprensión más profunda del electromagnetismo. esta teoría finalmente fue completada por maxwell, estableciendo así las ecuaciones perfectas de maxwell. a principios del siglo xx, el matemático y físico alemán weyl estudió las ecuaciones de maxwell mediante métodos geométricos y las incluyó en los campos de calibre que propuso. weyl también fue el primer matemático en proponer principios de calibre que se convirtieron en la base de la ciencia moderna. también sabemos que en 1926, el geómetra francés cartan desarrolló la teoría del contacto, que es la actual teoría de campos de calibre no conmutativo.
desde entonces, un gran número de matemáticos, incluido el matemático chino chen shengshen, se han dedicado a la investigación de campos de calibre no conmutativos. se puede decir que todos los campos de ancho clásicos fueron completados por geómetras. sin embargo, la cuantificación de los campos de calibre en física tuvo que esperar hasta la década de 1960 para ser completada por varios grandes físicos; en la década de 1970, el modelo estándar de física teórica se convirtió en el trabajo más importante de la ciencia básica; en el trabajo anterior se utilizan teorías matemáticas extremadamente profundas. en realidad, estas teorías están más allá de la capacidad de asimilar de los físicos de entonces.
la comprensión de la verdad por parte de los físicos cambia constantemente, pero nunca se ha cuestionado la exactitud de las teorías matemáticas utilizadas. porque se basan en algunos supuestos que son difíciles de cuestionar. estos supuestos son los sistemas lógicos más simples. estos sistemas son también la base de toda la civilización humana.
de la gran verdad a la simplicidad, es un resumen de la belleza de las matemáticas.
los matemáticos utilizan sistemas lógicos estrictos para construir diferentes sistemas matemáticos para describir la naturaleza, y a partir de ellos pueden ver las leyes que la gobiernan. en este proceso, vemos cómo la naturaleza construye su propia estructura, que es magnífica e incomparable a todas las demás cosas.
la mayor simplicidad es un resumen de la belleza de las matemáticas. las matemáticas más simples, empezando desde 1=1, hasta 1+1=2, 1+2=3... y seguir derivando. de esta manera, la gente entiende los números naturales y, por tanto, tiene matemáticas. desde los inicios de las matemáticas, desde la época del cálculo del ganado y los impuestos, el ser humano se ha dado cuenta de que estos conceptos abstractos son una exquisita inducción y resumen de las cosas. esto está estrechamente relacionado con la belleza. las matemáticas abstraen la realidad y la convierten en verdad, y la belleza se basa en la verdad. al mismo tiempo, la belleza guía al ser humano a descubrir continuamente la verdad. sin la búsqueda de la belleza, sería difícil para los humanos detectar la existencia de la verdad. el desarrollo de las matemáticas se basa en la búsqueda de la belleza por parte de los seres humanos, la percepción de la verdad y su búsqueda.
dé un ejemplo intuitivo. a muchos pintores les gusta pintar bambú porque el bambú es elegante, resistente y lleno de carácter, lo que refleja las búsquedas espirituales de los intelectuales chinos. los pintores tienen muchas formas de representar el carácter del bambú. los matemáticos, cuando ven bambú por primera vez, ven una línea recta. como los pintores, agregarán mucho contenido a esta línea recta.
por ejemplo, la construcción de líneas rectas es algo interesante para los matemáticos. en esta línea etiquetamos primero los números naturales, es decir, los enteros, a partir del 1, 2 y 3, que son las estructuras matemáticas básicas, luego, para enriquecer su estructura, construimos también fracciones, como 1/; 2, 3/4 y así sucesivamente, se dibujan densamente en esta línea recta.
¿qué sigue? los griegos construyeron números irracionales. usaron líneas verticales para construir un triángulo con dos lados de longitud 1 y una hipotenusa de longitud √2; este fue el descubrimiento de los pitagóricos griegos. √2 es un número irracional. después de construir con éxito números irracionales, agregamos una gran clase de números a la línea recta, y los números en la línea recta eran más densos. pero eso no fue suficiente, comenzamos a construir números usando compases y reglas, pero en cualquier caso, no pudimos llenar la línea.
pasaron casi otros 1.500 años antes de que llenáramos completamente la línea recta y convirtiéramos este bambú en una línea sólida completa. para lograr este objetivo, los matemáticos dedicaron mucho esfuerzo antes de finalmente tener una comprensión profunda de las líneas rectas. al igual que un pintor que pierde el tiempo describiendo el significado del bambú, los matemáticos también utilizan muchos conceptos numéricos abstractos para construir líneas rectas.
en el siglo xv, los matemáticos comenzaron a introducir números imaginarios para esta línea recta, lo que cambió nuestro enfoque de una línea recta a un espacio bidimensional; reconocer el espacio bidimensional es algo muy importante en la historia de la humanidad. después de la aparición de los números imaginarios, tenemos una comprensión más clara de muchas ecuaciones de ondas y diversos fenómenos ondulatorios.
las ondas descritas por el pintor en realidad están estrechamente relacionadas con números imaginarios. sin embargo, actualmente no podemos dibujar vívidamente ondas dinámicas porque nuestra comprensión de los números imaginarios no es lo suficientemente clara. los números imaginarios son los números más importantes en el estudio de sistemas dinámicos y también se utilizan en el estudio de la mecánica cuántica.
desde la introducción de números enteros positivos como 1, 2, 3, etc., hasta una línea recta, números imaginarios, una explicación perfecta del espacio bidimensional y luego el espacio tridimensional: este proceso en realidad se completa lentamente. y gradualmente a través del desarrollo de las matemáticas. y este avance metódico implica, además de un razonamiento matemático riguroso, la búsqueda de la belleza por parte de los matemáticos. el objetivo que los matemáticos esperan lograr es: los fenómenos que ven las personas y el mundo ante sus ojos deben ser lo más completos posible. si hay algunos espacios que aún no se pueden describir, no es ideal y debe entenderse más a fondo, lo que requiere dibujar una imagen perfecta desde una perspectiva matemática. para un matemático, esta imagen parece un cuadro. sumar los puntos de los números enteros da como resultado una línea recta; esto es satisfactorio. pero esto por sí solo no es suficiente. sumar números imaginarios puede describir el espacio bidimensional; el espacio bidimensional todavía no es suficiente, así que los sumamos hasta el final...
los matemáticos confían en la guía de la belleza para encontrar verdades matemáticas
algunas personas pueden decir que el bambú obviamente no es una línea, entonces ¿por qué los matemáticos son tan estúpidos al considerarlo como una línea? esto es correcto. la superficie del bambú es un cilindro. las líneas rectas son sólo el primer paso para describir las características del bambú. este paso no se corresponde completamente con los fenómenos físicos.
pasemos a describir el bambú. encuentre un círculo pequeño con un radio fijo, que sea perpendicular a la línea recta, y extraiga el centro del círculo a lo largo de la línea recta para obtener el cilindro que esperamos. la mejor forma matemática de describir este cilindro es con números complejos. después de sumar la estructura de números complejos, el cilindro se llama superficie de riemann en matemáticas. la superficie de riemann se usa ampliamente para describir el espacio bidimensional y en la física moderna, y es realmente poderosa.
cuando el radio del pequeño círculo anterior se vuelve muy pequeño, el cilindro se convierte en una línea recta. esta es una forma en que el espacio de alta dimensión puede usarse para describir la realidad de baja dimensión. cuando el radio del círculo cambia con la posición del centro del círculo, el cilindro puede convertirse en un bambú.
los geómetras pueden utilizar el punto de vista anterior al observar el bambú. pero galileo, el líder de la revolución científica occidental, probablemente no lo vería de esta manera, porque estudiaría las diversas propiedades físicas del bambú, como la elasticidad, la estructura y otras cuestiones. estos problemas se resolvieron de manera más perfecta después del surgimiento de la mecánica y el cálculo newtonianos, y han estado involucrados matemáticos como fermat, euler, lagrange, etc.
en la física moderna, podemos reemplazar las líneas rectas con espacios planos de tres o cuatro dimensiones, mientras que los círculos pueden reemplazarse con geometrías más complejas. una geometría importante es el espacio calabi-yau, a partir del cual se pueden describir diversos fenómenos físicos.
diagrama esquemático del espacio calabi-yau.
por lo tanto, un matemático mira un trozo de bambú verde de manera diferente que un pintor o artista. los matemáticos razonarán lógicamente y profundizarán su comprensión, y luego la describirán. ahora todavía sentimos que no es suficiente razonar sobre el espacio tridimensional. en el siglo xix se inició el descubrimiento de los cuaterniones. poco después, se descubrieron los octoniones, ingresando así al espacio de alta dimensión. el espacio de alta dimensión puede expresar más fenómenos en la vida. el espacio de alta dimensión es un tema importante. cuando docenas, miles o decenas de miles de partículas ruedan, se forma un espacio de alta dimensión, y ahora la inteligencia artificial necesita alcanzar decenas de millones de espacios de dimensión. todos los fenómenos en el espacio de alta dimensión son muy hermosos y contienen muchas verdades, es decir, la existencia de las matemáticas.
éste es el mundo a los ojos de los matemáticos y su búsqueda de la belleza. al enfrentarnos a los miles de mundos que tenemos ante nosotros y a tantos fenómenos incomprensibles, confiamos en la guía de la belleza para encontrar la verdad matemática. se traza una línea recta desde un bambú hasta un espacio bidimensional y gradualmente entra en un mundo de alta dimensión. las conexiones se enriquecen continuamente y se desarrolla este importante tema. está lleno del espíritu de las matemáticas, de lo simple a lo complejo, y luego utiliza un principio simple para describir los fenómenos más complejos de la naturaleza y finalmente se acerca infinitamente a la verdad.
ya sea en la antigua grecia o en la época del renacimiento, este espíritu siempre ha sido constante. el arte de la pintura durante el renacimiento era inseparable de las matemáticas, lo que condujo al desarrollo de la geometría, lo que también demuestra que la belleza y las matemáticas siempre han sido inseparables.
las matemáticas modernas sientan las bases teóricas de la inteligencia artificial
las matemáticas tienen numerosas aplicaciones en la tecnología moderna. por ejemplo, el tratamiento de los geómetras sobre cómo expresar eficazmente las hermosas características de las superficies curvas; la distribución de números primos y la hermosa teoría de las soluciones enteras en curvas elípticas se han convertido en herramientas extremadamente importantes para los sistemas de seguridad modernos; la ubicación de la transformada de fourier y la dualidad del momento han producido cambios fundamentales para la ciencia moderna, incluso la ciencia computacional.
tomando como ejemplo la geometría, no sólo existen teorías fascinantes que desempeñan un papel muy importante en la práctica de la ingeniería moderna.
la tecnología moderna requiere mucho conocimiento sobre películas delgadas, por lo que cómo representar con precisión superficies curvas bidimensionales es un conocimiento indispensable en ingeniería. el estudio de las superficies bidimensionales se remonta al gran científico euler, que vivió en la misma época que newton. usó el cálculo para explicar la geometría y creó el método variacional para calcular algunas figuras geométricas importantes. riemann y su maestro gauss son sin duda los dos fundadores de la geometría moderna. gauss es el padre de la geometría moderna, y el verdadero fundador es riemann. a mediados del siglo xix, propuso la teoría de la geometría riemanniana y la geometría conforme, que no solo jugó un papel clave en la física teórica, sino que también jugó un papel clave. en gráficos por computadora, el modelado geométrico y las imágenes médicas se utilizan ampliamente.
la teoría desarrollada por mi alumno gu xianfeng y por mí utilizando el método de superficies de riemann se convirtió más tarde en una importante rama de la ciencia de la imagen: la geometría conforme computacional.
el contexto central de las matemáticas de geometría conforme computacional es demostrar la existencia, la unicidad, la regularidad y el buen planteamiento de la solución a un teorema de un solo valor, especialmente cómo extenderlo a superficies discretas. el núcleo de la informática es cómo diseñar; algoritmos y calcular teoremas de valor único. en las computadoras, las superficies lisas se representan como superficies discretas, las teorías de la topología moderna y la geometría diferencial se extienden a situaciones discretas, y las computadoras se utilizan para realizar conceptos geométricos abstractos, que pueden conducir a buenas prácticas de ingeniería.
la geometría conforme es el estudio de invariantes bajo transformaciones conformes. el llamado mapeo conforme es un mapeo que mantiene el ángulo sin cambios. por ejemplo, asignamos una superficie de cara tridimensional a un disco plano bidimensional y dibujamos dos curvas que se cruzan en la cara. las curvas de la superficie se asignan a la curva plana, pero el ángulo de intersección permanece sin cambios. dado que la transformación conforme es única, es fácil realizar una comparación de caras.
actualmente, las tecnologías de inteligencia artificial y ciencia de datos han sido ampliamente utilizadas en diferentes campos como el diagnóstico clínico, la orientación quirúrgica y la predicción de riesgos. se puede decir que las matemáticas modernas han sentado una base teórica para la inteligencia artificial y han señalado la dirección de desarrollo de la inteligencia artificial para superar los cuellos de botella. por otro lado, la inteligencia artificial también plantea desafíos a las matemáticas y promueve el desarrollo de las matemáticas.
haciendo un balance de los principales cambios ocurridos en la ciencia y la tecnología en el siglo xx, se basan en la profunda comprensión por parte de la humanidad de la estructura de la materia. la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica son la base de estos estudios, y los matemáticos han hecho contribuciones profundas a estos estudios. desde la exitosa construcción del modelo estándar de física de altas energías en la década de 1970, que unificó tres campos diferentes de la física, el mayor deseo de los físicos ha sido incluir la gravedad en el modelo estándar. esta integración requiere un gran avance en conceptos extremadamente creativos. creo que tendrá un profundo impacto en el avance tecnológico que esperamos: la computación cuántica. cómo construir la geometría cuántica será un hito importante y una combinación de verdad y belleza.
la dispersión, reunión, surgimiento y destrucción de todas las cosas, la estructura del cielo, la tierra y el universo, y el contexto de los asuntos humanos y la economía social están todos relacionados con las matemáticas básicas. las matemáticas pueden proporcionar verdad y belleza. la bondad requerida por china durante cinco mil años, la benevolencia y la rectitud mencionadas por confucio y mencio, se pueden encontrar en la verdad y la belleza, es decir, pueden surgir del mar de matemáticas. por tanto, las matemáticas básicas son la base para construir un país y el puente entre las culturas oriental y occidental. si la cultura china puede transmitirse y perdurar durante miles de años, debemos prestar atención a las matemáticas básicas.
autor: qiu chengtong
texto: qiu chengtong (decano del qiuzhen college de la universidad de tsinghua y primer ganador chino de la medalla fields. este artículo es un discurso pronunciado por el profesor qiu chengtong en el instituto de matemáticas y estudios interdisciplinarios de shanghai el 17 de agosto. parte del contenido es de "humanidades matemáticas". el autor ha autorizado la publicación, no se permite la reproducción sin permiso) imagen: la imagen del título proviene de visual china y las imágenes del artículo son proporcionadas por qiu chengtong editor: chu shuting editor: jiang peng.
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