qiu chengtongs mathematikunterricht für mittelschüler: schönheit und praktikabilität ergeben sich oft auf natürliche weise auf dem weg zur erkundung der geheimnisse der mathematik.
2024-09-27
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als grundlagenfach spielt mathematik eine wichtige rolle für das menschliche verständnis der welt und für die veränderung der welt. ob es um die geburt der relativitätstheorie und der quantenmechanik geht oder um die rasante entwicklung der modernen medizin und der künstlichen intelligenz, mathematik spielt eine wichtige rolle rolle darin.
für die förderung innovativer spitzentalente ist die mathematikausbildung selbstverständlich wichtig. der bekannte mathematiker qiu chengtong hat in den letzten jahren viel zeit und energie in die förderung mathematischer talente in der grundausbildung investiert. kürzlich verlieh qiu shing-tung bei der gründungszeremonie des shanghai institute of mathematics and interdisciplinary studies medaillen an qiu shing-tungs klassen aus vielen mittelschulen im ganzen land, darunter der shanghai middle school und der privaten huayu middle school. bei der lizenzverleihung erteilte er mittelschülern eine spezielle mathematikstunde. diese zeitschrift veröffentlicht einen teil der vorlesungsinhalte zum nutzen der leser.
mathematik ist eine schöne und praktische wissenschaft, die seit ihrer entstehung alle mathematiker fasziniert. schöne und praktische mathematik entsteht auf natürliche weise in der natur, was an sich schon sehr wunderbar ist. noch erstaunlicher ist, dass menschen oft den praktischen wert der mathematik anstreben, dabei aber auch die schönheit der mathematik entdecken. für mathematiker entstehen schönheit und praktikabilität oft auf natürliche weise auf dem weg zur erforschung der geheimnisse der mathematik, was eine sehr interessante erfahrung ist.
tatsächlich hat jeder gelehrte eine andere sicht auf schönheit. die qiuzhen-akademie der tsinghua-universität lud einmal professor liu jude von der akademie der schönen künste ein, einen vortrag über schönheit in den augen von künstlern zu halten. hier erzähle ich ihnen auch etwas über schönheit in den augen von mathematikern und wissenschaftlern.
kein fach hat die zeit so überdauert wie die mathematik
meiner meinung nach muss die schönheit der welt auf wahrheit basieren, und nur dann kann sie „schönheit“ genannt werden. professor liu sagte, dass schönheit epochal sei und zeit und raum überschreite. das einzige, was jenseits von zeit und raum existieren kann, ist jedoch die wahrheit. ehrlich gesagt glaube ich, dass es nur eine wahrheit gibt – mathematik. kein fach hat eine beschreibung der welt, die den test der zeit so überdauert hat wie die mathematik. von antiken griechischen gelehrten über wissenschaftler wie newton und einstein bis heute ändern sich die beobachtungen der menschen über die welt und die darauf basierenden theorien im labor ständig, da sich die technologie weiterentwickelt und nach exzellenz strebt der physischen welt liefern ständig neue ergebnisse und frühere schlussfolgerungen werden ständig auf den kopf gestellt.
die relativitätstheorie und die quantenmechanik gaben den wissenschaftlern im 20. jahrhundert unterschiedliche ansichten. sie veränderten die klassische physik und ermöglichten uns ein tieferes verständnis des universums. ob es sich um die struktur extrem kleiner protonen oder um den fernen weltraum handelt, die phänomene, die wir heute beobachten können, sind für unsere vorgänger unvorstellbar. daher ändert sich die wahrheit der physik in gewisser weise ständig.
zu dieser reihe großartiger wissenschaftlicher entwicklungen haben mathematiker einen großen beitrag geleistet. in vielen wichtigen entwicklungssituationen der grundlagenphysik stehen mathematiker oft an vorderster front, führen die physiker voran und arbeiten dann gemeinsam daran, das universum zu verstehen.
erinnern wir uns an eine äußerst wichtige entwicklung in der wissenschaft: einer von newtons großen beiträgen war die entwicklung wichtiger anwendungen der analysis in der physik und revolutionierte damit die mathematik selbst. im frühen 19. jahrhundert entwickelten die mathematiker gauß und riemann eine reihe mathematischer theorien, um ein tieferes verständnis des elektromagnetismus zu erlangen. diese theorie wurde schließlich von maxwell vervollständigt und stellte so die perfekten maxwell-gleichungen auf. zu beginn des 20. jahrhunderts untersuchte der deutsche mathematiker und physiker weyl die maxwell-gleichungen mit geometrischen methoden und machte sie zu einem teil des von ihm vorgeschlagenen eichgebiets. weyl war auch der erste mathematiker, der eichprinzipien vorschlug. wir wissen auch, dass der französische geometer cartan 1926 die kontakttheorie entwickelte, die heutige nichtkommutative eichfeldtheorie.
seitdem beschäftigen sich zahlreiche mathematiker, darunter der chinesische mathematiker herr chen shengshen, mit der erforschung nichtkommutativer eichfelder. man kann sagen, dass alle klassischen eichfelder durch geometer vervollständigt wurden. die quantifizierung von eichfeldern in der physik musste jedoch bis in die 1960er jahre warten, bis sie von mehreren großen physikern abgeschlossen wurde. in den 1970er jahren wurde das standardmodell der theoretischen physik zum wichtigsten werk der grundlagenwissenschaften. in der oben genannten arbeit werden äußerst fundierte mathematische theorien verwendet. tatsächlich überstiegen die damaligen physiker diese theorien.
das verständnis der physiker über die wahrheit ändert sich ständig, aber die richtigkeit der verwendeten mathematischen theorien wurde nie in frage gestellt. weil sie auf einigen annahmen basieren, die schwer zu hinterfragen sind. diese annahmen sind die einfachsten logischen systeme. diese systeme sind auch die grundlage aller menschlichen zivilisation.
von großer wahrheit bis hin zu einfachheit ist es eine zusammenfassung der schönheit der mathematik
mathematiker verwenden strenge logische systeme, um verschiedene mathematische systeme zur beschreibung der natur zu konstruieren, und aus ihnen können sie die gesetze erkennen, die die natur regieren. in diesem prozess sehen wir, wie die natur ihre eigene struktur aufbaut, die großartig und mit allen anderen dingen unvergleichlich ist.
die größte einfachheit ist eine zusammenfassung der schönheit der mathematik. die einfachste mathematik, beginnend mit 1=1, bis 1+1=2, 1+2=3... und weiter ableiten. auf diese weise verstehen die menschen die natürlichen zahlen und verfügen somit über mathematik. seit den anfängen der mathematik, seit der berechnung von viehzucht und steuern, haben die menschen erkannt, dass diese abstrakten konzepte eine exquisite einführung und zusammenfassung der dinge darstellen. dies hängt eng mit schönheit zusammen. die mathematik abstrahiert die realität in wahrheit, und schönheit basiert auf wahrheit. gleichzeitig führt schönheit den menschen dazu, kontinuierlich die wahrheit zu entdecken. ohne das streben nach schönheit wäre es für den menschen schwierig, die existenz der wahrheit zu erkennen. die entwicklung der mathematik beruht auf dem streben des menschen nach schönheit, der wahrnehmung der wahrheit und dem finden der wahrheit.
geben sie ein intuitives beispiel. viele maler malen gerne bambus, weil bambus elegant, robust und charaktervoll ist und die spirituellen bestrebungen chinesischer intellektueller widerspiegelt. für maler gibt es viele möglichkeiten, den charakter von bambus darzustellen. wenn mathematiker zum ersten mal bambus sehen, sehen sie wie maler viel inhalt zu dieser geraden linie.
für mathematiker ist beispielsweise die konstruktion von geraden eine interessante sache. in dieser zeile beschriften wir zunächst die natürlichen zahlen, d. 2, 3/ 4 usw. sind dicht auf dieser geraden gezeichnet.
was kommt als nächstes? die griechen konstruierten irrationale zahlen. sie verwendeten vertikale linien, um ein dreieck mit zwei seiten der länge 1 und einer hypotenuse der länge √2 zu konstruieren – das war die entdeckung der griechischen pythagoräer. √2 ist eine irrationale zahl. nachdem wir erfolgreich irrationale zahlen konstruiert hatten, fügten wir der geraden linie eine große klasse von zahlen hinzu, und die zahlen auf der geraden linie waren dichter. aber das reichte nicht, wir fingen an, mit zirkel und lineal zahlen zu konstruieren, aber auf jeden fall konnten wir die linie nicht ausfüllen.
es dauerte fast weitere 1.500 jahre, bis wir die gerade linie vollständig ausfüllten und diesen bambus in eine vollständig durchgezogene linie verwandelten. um dieses ziel zu erreichen, haben die mathematiker große anstrengungen unternommen, bevor sie endlich ein umfassendes verständnis der geraden erlangten. so wie ein maler seine zeit damit verschwendet, die bedeutung von bambus zu beschreiben, verwenden auch mathematiker viele abstrakte zahlenkonzepte, um gerade linien zu konstruieren.
im 15. jahrhundert begannen mathematiker, imaginäre zahlen für diese gerade linie einzuführen, was unseren fokus von einer geraden linie auf einen zweidimensionalen raum veränderte – die erkennung des zweidimensionalen raums ist eine sehr wichtige sache in der geschichte der menschheit. nach dem aufkommen imaginärer zahlen haben wir ein klareres verständnis vieler wellengleichungen und verschiedener wellenphänomene.
die vom maler beschriebenen wellen stehen tatsächlich in engem zusammenhang mit imaginären zahlen. allerdings sind wir derzeit nicht in der lage, dynamische wellen anschaulich zu zeichnen, da unser verständnis von imaginären zahlen nicht klar genug ist. imaginäre zahlen sind die wichtigsten zahlen bei der untersuchung dynamischer systeme und werden auch bei der untersuchung der quantenmechanik verwendet.
von der einführung positiver ganzzahlen wie 1, 2, 3 usw. über eine gerade, imaginäre zahlen bis hin zur vollständigen erklärung des zweidimensionalen raums und dann des dreidimensionalen raums – dieser prozess wird tatsächlich langsam abgeschlossen und allmählich durch die entwicklung der mathematik. und dieser methodische fortschritt beinhaltet neben rigorosem mathematischen denken auch das streben der mathematiker nach schönheit. das ziel, das mathematiker erreichen wollen, ist: die phänomene, die die menschen sehen, und die welt in ihren augen sollen so vollständig wie möglich sein. wenn es einige räume gibt, die noch nicht beschrieben werden können, sind sie nicht ideal und müssen gründlicher verstanden werden, was erfordert, ein perfektes bild aus mathematischer sicht zu zeichnen. für einen mathematiker sieht dieses bild wie ein bild aus. die addition der punkte aus den ganzen zahlen ergibt eine gerade linie – das ist zufriedenstellend. aber das allein reicht nicht aus, um den zweidimensionalen raum zu beschreiben, also fügen wir sie vollständig hinzu ...
mathematiker verlassen sich auf die führung der schönheit, um mathematische wahrheiten zu finden
manche leute mögen sagen, dass bambus offensichtlich keine linie ist. warum sind mathematiker dann so dumm, ihn als linie zu betrachten? das ist richtig. die oberfläche von bambus ist nur der erste schritt zur beschreibung der eigenschaften von bambus.
kommen wir zur beschreibung von bambus. suchen sie einen kleinen kreis mit einem festen radius, der senkrecht zur geraden linie steht, und ziehen sie den mittelpunkt des kreises entlang der geraden linie nach außen, um den erwarteten zylinder zu erhalten. der beste mathematische weg, diesen zylinder zu beschreiben, sind komplexe zahlen. nach addition der struktur komplexer zahlen wird der zylinder in der mathematik riemannsche fläche genannt. die riemann’sche oberfläche wird häufig zur beschreibung des zweidimensionalen raums und in der modernen physik verwendet und ist wirklich leistungsstark.
wenn der radius des obigen kleinen kreises sehr klein wird, wird der zylinder zu einer geraden linie. auf diese weise kann der hochdimensionale raum zur beschreibung der niedrigdimensionalen realität verwendet werden. wenn sich der radius des kreises mit der position des kreismittelpunkts ändert, kann der zylinder zu einem bambus werden.
geometer können bei der betrachtung von bambus den oben genannten standpunkt nutzen. aber galileo, der anführer der westlichen wissenschaftlichen revolution, würde das wahrscheinlich nicht so sehen, weil er die verschiedenen physikalischen eigenschaften von bambus, wie elastizität, strukturelle eigenschaften und andere themen, untersuchte. diese probleme wurden nach dem aufkommen der newtonschen mechanik und infinitesimalrechnung perfekter gelöst, und mathematiker wie fermat, euler, lagrange usw. waren daran beteiligt.
in der modernen physik können wir gerade linien durch drei- oder vierdimensionale flache räume ersetzen, während kreise durch komplexere geometrien ersetzt werden können. eine wichtige geometrie ist der calabi-yau-raum, aus dem verschiedene physikalische phänomene beschrieben werden können.
schematische darstellung des calabi-yau-raums
daher betrachtet ein mathematiker ein stück grünen bambus anders als ein maler oder künstler. mathematiker werden logisch argumentieren, ihr verständnis vertiefen und es dann beschreiben. wir haben immer noch das gefühl, dass es nicht ausreicht, über den dreidimensionalen raum nachzudenken. im 19. jahrhundert begann die entdeckung der quaternionen. bald darauf wurden oktonionen entdeckt und gelangten so in den hochdimensionalen raum. der hochdimensionale raum kann mehr phänomene im leben ausdrücken. der hochdimensionale raum ist ein wichtiges thema. wenn dutzende, tausende oder zehntausende von teilchen herumrollen, entsteht ein hochdimensionaler raum, und jetzt muss künstliche intelligenz zig millionen dimensionale räume erreichen. alle phänomene im hochdimensionalen raum sind sehr schön und enthalten viele wahrheiten, das heißt die existenz der mathematik.
dies ist die welt in den augen der mathematiker und ihres strebens nach schönheit. angesichts der tausenden von welten vor uns und so vieler unfassbarer phänomene verlassen wir uns auf die führung der schönheit, um die mathematische wahrheit zu finden. eine gerade linie wird von einem bambus zu einem zweidimensionalen raum gezogen und gelangt nach und nach in eine hochdimensionale welt. die verbindungen werden kontinuierlich bereichert und dieses wichtige thema wird weiterentwickelt. es ist voller dem geist der mathematik, von einfach bis komplex, und verwendet dann ein einfaches prinzip, um die komplexesten naturphänomene zu beschreiben, und kommt schließlich der wahrheit unendlich näher.
ob im antiken griechenland oder in der renaissance, dieser geist war immer gleichbleibend. die malerei der renaissance war untrennbar mit der mathematik verbunden, was die entwicklung der geometrie förderte – was auch zeigt, dass schönheit und mathematik schon immer untrennbar miteinander verbunden waren.
die moderne mathematik legt den theoretischen grundstein für künstliche intelligenz
mathematik hat zahlreiche anwendungen in der modernen technologie. geometer befassen sich beispielsweise damit, wie man die schönen merkmale gekrümmter oberflächen effektiv ausdrücken kann; die verteilung von primzahlen und die schöne theorie ganzzahliger lösungen auf elliptischen kurven sind zu äußerst wichtigen werkzeugen für moderne sicherheitssysteme geworden ort der fourier-transformation und impulsdualität haben grundlegende veränderungen für die moderne wissenschaft, sogar für die computerwissenschaft, hervorgebracht.
am beispiel der geometrie gibt es nicht nur faszinierende theorien, die in der modernen ingenieurspraxis eine große rolle spielen.
moderne technologie erfordert viel wissen über dünne filme, daher ist die genaue darstellung zweidimensionaler gekrümmter oberflächen ein unverzichtbares wissen im ingenieurwesen. das studium zweidimensionaler oberflächen geht auf den großen wissenschaftler euler zurück, der zur gleichen zeit wie newton lebte. er nutzte die infinitesimalrechnung zur erklärung der geometrie und entwickelte die variationsmethode zur berechnung einiger wichtiger geometrischer figuren. riemann und sein lehrer gauß sind zweifellos die beiden begründer der modernen geometrie. gauß ist der vater der modernen geometrie, und der wahre begründer ist riemann. mitte des 19. jahrhunderts schlug er die theorie der riemannschen geometrie und der konformen geometrie vor, die nicht nur eine schlüsselrolle in der theoretischen physik spielte, sondern auch eine schlüsselrolle spielte in der computergrafik werden häufig geometrische modelle und medizinische bilder verwendet.
die von meinem studenten gu xianfeng und mir mithilfe der methode der riemannschen flächen entwickelte theorie entwickelte sich später zu einem wichtigen zweig der bildgebungswissenschaft – der rechnergestützten konformen geometrie.
der kernkontext der rechnergestützten konformen geometrie-mathematik besteht darin, die existenz, eindeutigkeit, regelmäßigkeit und wohlgestelltheit der lösung einwertiger theoreme zu beweisen, insbesondere wie man sie auf diskrete oberflächen ausdehnt. der kern der informatik besteht darin, wie man algorithmen entwirft und berechnen sie einwertige theoreme. in computern werden glatte oberflächen als diskrete flächen dargestellt, theorien der modernen topologie und differentialgeometrie werden auf diskrete situationen ausgeweitet und computer werden verwendet, um abstrakte geometrische konzepte zu realisieren, die zu guter ingenieurpraxis führen können.
unter konformer geometrie versteht man die untersuchung von invarianten unter konformen transformationen. bei der sogenannten konformen abbildung handelt es sich um eine abbildung, bei der der winkel unverändert bleibt. beispielsweise bilden wir eine dreidimensionale gekrümmte oberfläche eines menschlichen gesichts auf eine zweidimensionale flache scheibe ab und zeichnen zwei sich schneidende kurven auf das menschliche gesicht. die kurven auf der oberfläche werden auf die ebene kurve abgebildet, der schnittwinkel bleibt jedoch unverändert. da die konforme transformation eindeutig ist, ist es einfach, einen gesichtsvergleich durchzuführen.
derzeit werden technologien der künstlichen intelligenz und der datenwissenschaft in verschiedenen bereichen wie der klinischen diagnose, der chirurgischen anleitung und der risikovorhersage weit verbreitet eingesetzt. man kann sagen, dass die moderne mathematik eine theoretische grundlage für künstliche intelligenz gelegt und die entwicklungsrichtung künstlicher intelligenz aufgezeigt hat, um engpässe zu überwinden. andererseits stellt künstliche intelligenz auch die mathematik vor herausforderungen und fördert die entwicklung der mathematik.
sie ziehen eine bestandsaufnahme der großen veränderungen in wissenschaft und technik im 20. jahrhundert und basieren auf dem tiefgreifenden verständnis der menschheit über die struktur der materie. die relativitätstheorie und die quantenmechanik bilden die grundlage dieser studien, und mathematiker haben tiefgreifende beiträge zu diesen studien geleistet. seit der erfolgreichen konstruktion des standardmodells der hochenergiephysik in den 1970er jahren, das drei verschiedene bereiche der physik vereinte, bestand der größte wunsch der physiker darin, die schwerkraft in das standardmodell aufzunehmen. diese integration erfordert einen durchbruch bei äußerst kreativen konzepten. ich glaube, dass sie einen tiefgreifenden einfluss auf den technologischen durchbruch haben wird, auf den wir uns freuen – das quantencomputing. die konstruktion der quantengeometrie wird ein wichtiger meilenstein und eine kombination aus wahrheit und schönheit sein.
die zerstreuung, ansammlung, der aufstieg und fall aller dinge, die struktur des himmels, der erde und des universums sowie der kontext menschlicher angelegenheiten und der sozialwirtschaft hängen alle mit der grundlegenden mathematik zusammen. die mathematik kann wahrheit und schönheit liefern, die china seit fünftausend jahren fordert, das wohlwollen und die gerechtigkeit, die konfuzius und menzius erwähnt haben, alle können in wahrheit und schönheit gefunden werden, das heißt, sie können aus dem meer von herausgerufen werden mathematik. daher ist die grundlegende mathematik die grundlage für den aufbau eines landes und die brücke zwischen östlichen und westlichen kulturen. wenn die chinesische kultur weitergegeben werden und tausende von jahren überdauern kann, müssen wir auf die grundlegende mathematik achten.
autor: qiu chengtong
text: qiu chengtong (dekan des qiuzhen college der tsinghua-universität und erster chinesischer gewinner der fields-medaille). dieser artikel ist eine rede von professor qiu chengtong am shanghai institute of mathematics and interdisciplinary studies. teil des inhalts stammt aus „mathematical humanities“. der autor hat die veröffentlichung autorisiert. eine vervielfältigung ist ohne genehmigung nicht gestattet.) bild: das titelbild stammt von visual china und die bilder im artikel wurden von qiu chengtong bereitgestellt. herausgeber: chu shuting herausgeber: jiang peng.
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