cours de mathématiques de qiu chengtong pour les collégiens : la beauté et l'aspect pratique surgissent souvent naturellement lors de l'exploration des mystères des mathématiques.
2024-09-27
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en tant que matière fondamentale, les mathématiques jouent un rôle important dans la compréhension humaine du monde et dans son évolution. qu'il s'agisse de la naissance de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, ou du développement rapide de la médecine moderne et de l'intelligence artificielle, les mathématiques jouent un rôle important. rôle dans celui-ci.
pour former les meilleurs talents innovants, l’importance de l’enseignement des mathématiques va de soi. ces dernières années, le célèbre mathématicien qiu chengtong a investi beaucoup de temps et d'énergie dans le développement des talents mathématiques au niveau de l'éducation de base. récemment, lors de la cérémonie de fondation de l'institut de mathématiques et d'études interdisciplinaires de shanghai, qiu shing-tung a décerné des médailles aux classes de qiu shing-tung de nombreux collèges à travers le pays, notamment le collège de shanghai et le collège privé huayu. lors de la cérémonie de remise des diplômes, il a donné une leçon spéciale de mathématiques aux collégiens. cette revue publie une partie du contenu des conférences au profit des lecteurs.
les mathématiques sont une science belle et pratique qui fascine tous les mathématiciens depuis sa naissance. les mathématiques belles et pratiques naissent naturellement dans la nature, ce qui est très merveilleux en soi. ce qui est encore plus étonnant, c'est que les gens recherchent souvent la valeur pratique des mathématiques, mais découvrent ainsi la beauté des mathématiques. pour les mathématiciens, la beauté et l’aspect pratique surgissent souvent naturellement lorsqu’ils explorent les mystères des mathématiques, ce qui constitue une expérience très intéressante.
en fait, chaque érudit a des points de vue différents sur la beauté. l'académie qiuzhen de l'université tsinghua a invité un jour le professeur liu jude de l'académie des beaux-arts à donner une conférence sur la beauté aux yeux des artistes. ici, je vais aussi vous parler de la beauté aux yeux des mathématiciens et des scientifiques.
aucune matière n'a résisté à l'épreuve du temps comme les mathématiques
à mon avis, la beauté du monde doit être fondée sur la vérité, et c'est seulement alors qu'elle peut être appelée « beauté ». le professeur liu a déclaré que la beauté fait époque et transcende le temps et l'espace. cependant, la seule chose qui puisse exister au-delà du temps et de l’espace est la vérité. franchement, je pense qu’il n’y a qu’une seule vérité : les mathématiques. aucune matière n’a une description du monde qui a résisté à l’épreuve du temps comme les mathématiques. des érudits de la grèce antique aux scientifiques tels que newton et einstein, et jusqu'à aujourd'hui, les observations du monde par les êtres humains et les théories formées sur leur base changent constamment en laboratoire, à mesure que la technologie continue de se développer et de viser l'excellence, nous observations ; du monde physique donnent constamment de nouveaux résultats, et les conclusions antérieures sont constamment renversées.
la théorie de la relativité et la mécanique quantique ont donné aux scientifiques du xxe siècle des points de vue différents. elles ont modifié la physique classique et nous ont permis de mieux comprendre l’univers. qu’il s’agisse de la structure de protons extrêmement petits ou de l’espace lointain, les phénomènes que nous pouvons désormais observer sont inimaginables par nos prédécesseurs. par conséquent, d’une certaine manière, la vérité de la physique est en constante évolution.
dans cette série de magnifiques développements scientifiques, les mathématiciens ont apporté d’énormes contributions. dans de nombreuses situations importantes de développement de la physique fondamentale, les mathématiciens sont souvent à l’avant-garde, faisant avancer les physiciens, puis travaillant ensemble pour comprendre l’univers.
rappelons un développement scientifique extrêmement important : l'une des grandes contributions de newton a été le développement d'applications importantes du calcul en physique, révolutionnant ainsi les mathématiques elles-mêmes. au début du xixe siècle, les mathématiciens gauss et riemann ont développé un ensemble de théories mathématiques pour mieux comprendre l'électromagnétisme. cette théorie a finalement été complétée par maxwell, établissant ainsi les équations parfaites de maxwell. au début du xxe siècle, le mathématicien et physicien allemand weyl a étudié les équations de maxwell à l'aide de méthodes géométriques et les a intégrées au domaine de jauge qu'il a proposé. weyl a également été le premier mathématicien à proposer des principes de jauge. ces concepts sont devenus la base de la science moderne. nous savons également qu'en 1926, le géomètre français cartan a développé la théorie du contact, qui est aujourd'hui la théorie non commutative des champs de jauge.
depuis lors, un grand nombre de mathématiciens, dont le mathématicien chinois m. chen shengshen, se sont engagés dans la recherche de champs de jauge non commutatifs. on peut dire que tous les champs de jauge classiques ont été complétés par des géomètres. cependant, la quantification des champs de jauge en physique a dû attendre les années 1960 pour être achevée par plusieurs grands physiciens ; dans les années 1970, le modèle standard de la physique théorique est devenu l'ouvrage le plus important en science fondamentale. dans les travaux mentionnés ci-dessus, des théories mathématiques extrêmement profondes sont utilisées. ces théories dépassent en réalité la capacité d’assimilation des physiciens de l’époque.
la compréhension de la vérité par les physiciens évolue constamment, mais l'exactitude des théories mathématiques utilisées n'a jamais été remise en question. parce qu'ils reposent sur des hypothèses difficiles à remettre en question. ces hypothèses constituent les systèmes logiques les plus simples. ces systèmes constituent également la base de toute civilisation humaine.
de la grande vérité à la simplicité, c'est un résumé de la beauté des mathématiques
les mathématiciens utilisent des systèmes logiques stricts pour construire différents systèmes mathématiques pour décrire la nature, et à partir d'eux, ils peuvent voir les lois qui régissent la nature. dans ce processus, nous voyons comment la nature construit sa propre structure, magnifique et incomparable à toutes les autres choses.
la plus grande simplicité est un résumé de la beauté des mathématiques. les mathématiques les plus simples, à partir de 1=1, jusqu'à 1+1=2, 1+2=3... et continuent à dériver. de cette façon, les gens comprennent les nombres naturels et possèdent ainsi les mathématiques. depuis le début des mathématiques, depuis l’époque du calcul du bétail et des impôts, les humains ont compris que ces concepts abstraits sont une induction et un résumé exquis des choses. ceci est étroitement lié à la beauté. les mathématiques résument la réalité en vérité, et la beauté est basée sur la vérité. dans le même temps, la beauté guide les humains vers une découverte continue de la vérité. sans la recherche de la beauté, il serait difficile pour les humains de détecter l’existence de la vérité. le développement des mathématiques repose sur la quête de la beauté par les êtres humains, sur la perception de la vérité et sur la découverte de la vérité.
donnez un exemple intuitif. de nombreux peintres aiment peindre le bambou parce que le bambou est élégant, résistant et plein de caractère, reflétant les recherches spirituelles des intellectuels chinois. il existe de nombreuses façons pour les peintres de représenter le caractère du bambou. pour les mathématiciens, lorsqu’ils voient du bambou pour la première fois, ils voient une ligne droite. comme les peintres, ils ajouteront beaucoup de contenu à cette ligne droite.
par exemple, la construction de lignes droites est une chose intéressante pour les mathématiciens. sur cette ligne, on étiquette d'abord les nombres naturels, c'est-à-dire les entiers, à partir de 1, 2 et 3, qui sont les structures mathématiques de base, puis, pour enrichir sa structure, on construit également des fractions, comme 1/ ; 2, 3/ 4 et ainsi de suite, sont tracés de manière dense sur cette ligne droite.
quelle est la prochaine étape ? les grecs construisaient des nombres irrationnels. ils ont utilisé des lignes verticales pour construire un triangle avec deux côtés de longueur 1 et une hypoténuse de longueur √2 - ce fut la découverte des pythagoriciens grecs. √2 est un nombre irrationnel. après avoir réussi à construire des nombres irrationnels, nous avons ajouté une grande classe de nombres à la ligne droite, et les nombres sur la ligne droite étaient plus denses. mais cela ne suffisait pas, nous avons commencé à construire des nombres à l'aide de compas et de règles, mais de toute façon, nous ne parvenions pas à remplir la ligne.
il a fallu encore près de 1 500 ans avant de combler complètement la ligne droite et de transformer ce bambou en une ligne solide complète. afin d’atteindre cet objectif, les mathématiciens ont déployé beaucoup d’efforts avant de parvenir à une compréhension approfondie des lignes droites. tout comme un peintre qui perd du temps à décrire la signification du bambou, les mathématiciens utilisent également de nombreux concepts numériques abstraits pour construire des lignes droites.
au xve siècle, les mathématiciens ont commencé à introduire des nombres imaginaires pour cette ligne droite, ce qui a fait passer notre attention d'une ligne droite à un espace à deux dimensions - la reconnaissance de l'espace à deux dimensions est une chose très importante dans l'histoire de l'humanité. après l’émergence des nombres imaginaires, nous avons une compréhension plus claire de nombreuses équations d’ondes et de divers phénomènes d’ondes.
les vagues décrites par le peintre sont en réalité étroitement liées à des nombres imaginaires. cependant, nous ne sommes actuellement pas en mesure de dessiner de manière vivante des ondes dynamiques car notre compréhension des nombres imaginaires n’est pas assez claire. les nombres imaginaires sont les nombres les plus importants dans l’étude des systèmes dynamiques et sont également utilisés dans l’étude de la mécanique quantique.
de l'introduction d'entiers positifs tels que 1, 2, 3, etc., à une ligne droite, aux nombres imaginaires, à une explication complète de l'espace à deux dimensions, puis à l'espace à trois dimensions, ce processus s'achève en fait lentement. et progressivement grâce au développement des mathématiques. et ce progrès méthodique implique, outre un raisonnement mathématique rigoureux, la quête de la beauté par les mathématiciens. l’objectif que les mathématiciens espèrent atteindre est le suivant : les phénomènes que les gens voient et le monde qu’ils voient doivent être aussi complets que possible. s’il y a certains espaces qui ne peuvent pas encore être décrits, ce n’est pas idéal et doivent être compris de manière plus approfondie, ce qui nécessite de dresser un tableau parfait d’un point de vue mathématique. pour un mathématicien, cette image ressemble à une image. l’addition des points des nombres entiers donne une ligne droite – c’est satisfaisant. mais cela ne suffit pas à lui seul. l'ajout de nombres imaginaires peut décrire un espace à deux dimensions ; l'espace à deux dimensions n'est toujours pas suffisant, nous les ajoutons donc jusqu'au bout...
les mathématiciens s'appuient sur les conseils de la beauté pour trouver des vérités mathématiques
certaines personnes diront peut-être que le bambou n’est évidemment pas une droite, alors pourquoi les mathématiciens sont-ils si stupides de le considérer comme une droite ? c'est exact. la surface du bambou est un cylindre. les lignes droites ne sont que la première étape dans la description des caractéristiques du bambou. cette étape ne correspond pas entièrement aux phénomènes physiques.
passons à la description du bambou. trouvez un petit cercle avec un rayon fixe, perpendiculaire à la ligne droite, et tirez le centre du cercle le long de la ligne droite pour obtenir le cylindre attendu. la meilleure façon mathématique de décrire ce cylindre consiste à utiliser des nombres complexes. après avoir ajouté la structure des nombres complexes, le cylindre est appelé surface de riemann en mathématiques. la surface de riemann est largement utilisée pour décrire l’espace bidimensionnel et dans la physique moderne, et elle est vraiment puissante.
lorsque le rayon du petit cercle ci-dessus devient très petit, le cylindre devient une ligne droite. c'est une façon dont l'espace de grande dimension peut être utilisé pour décrire la réalité de basse dimension. lorsque le rayon du cercle change avec la position du centre du cercle, le cylindre peut devenir un bambou.
les géomètres peuvent utiliser le point de vue ci-dessus lorsqu’ils examinent le bambou. mais galilée, le leader de la révolution scientifique occidentale, ne verrait probablement pas les choses de cette façon, car il étudierait les diverses propriétés physiques du bambou, telles que l'élasticité, les propriétés structurelles et d'autres problèmes. ces problèmes ont été plus parfaitement résolus après l'émergence de la mécanique et du calcul newtoniens, et des mathématiciens tels que fermat, euler, lagrange, etc. ont été impliqués.
en physique moderne, nous pouvons remplacer les lignes droites par des espaces plats à trois ou quatre dimensions, tandis que les cercles peuvent être remplacés par des géométries plus complexes. une géométrie importante est l'espace de calabi-yau, à partir duquel divers phénomènes physiques peuvent être décrits.
diagramme schématique de l'espace calabi-yau
par conséquent, un mathématicien regarde un morceau de bambou vert différemment d’un peintre ou d’un artiste. les mathématiciens raisonneront logiquement et approfondiront leur compréhension, puis la décriront. or, nous pensons toujours qu’il ne suffit pas de raisonner sur l’espace tridimensionnel. au xixe siècle, commence la découverte des quaternions. peu de temps après, des octonions ont été découverts, pénétrant ainsi dans un espace de grande dimension. l'espace de grande dimension peut exprimer davantage de phénomènes dans la vie. l'espace de grande dimension est un problème important. lorsque des dizaines, des milliers ou des dizaines de milliers de particules roulent, un espace de grande dimension se forme, et l'intelligence artificielle doit désormais atteindre des dizaines de millions d'espaces dimensionnels. tous les phénomènes dans l'espace de grande dimension sont très beaux et contiennent de nombreuses vérités, c'est-à-dire l'existence des mathématiques.
tel est le monde aux yeux des mathématiciens et de leur quête de beauté. face aux milliers de mondes devant nous et à tant de phénomènes insaisissables, nous comptons sur les conseils de la beauté pour trouver la vérité mathématique. une ligne droite est tracée d'un bambou vers un espace bidimensionnel et entre progressivement dans un monde de haute dimension. les connexions s'enrichissent continuellement et ce sujet important est développé. il est plein de l'esprit des mathématiques, du simple au complexe, puis utilise un principe simple pour décrire les phénomènes naturels les plus complexes, et se rapproche enfin infiniment de la vérité.
qu’il s’agisse de la grèce antique ou de la renaissance, cet esprit a toujours été constant. l’art pictural de la renaissance était indissociable des mathématiques, qui ont favorisé le développement de la géométrie – ce qui montre aussi que la beauté et les mathématiques ont toujours été indissociables.
les mathématiques modernes jettent les bases théoriques de l’intelligence artificielle
les mathématiques ont de nombreuses applications dans la technologie moderne. par exemple, les géomètres étudient comment exprimer efficacement les belles caractéristiques des surfaces courbes ; la distribution des nombres premiers et la belle théorie des solutions entières sur les courbes elliptiques sont devenues des outils extrêmement importants pour les systèmes de sécurité modernes ; la localisation de la transformée de fourier et la dualité de l'impulsion ont produit des changements fondamentaux pour la science moderne, même pour la science informatique.
en prenant la géométrie comme exemple, il n’existe pas que des théories fascinantes qui jouent un rôle énorme dans la pratique moderne de l’ingénierie.
la technologie moderne nécessite beaucoup de connaissances sur les films minces, donc comment représenter avec précision des surfaces courbes bidimensionnelles est une connaissance indispensable en ingénierie. l'étude des surfaces bidimensionnelles remonte au grand scientifique euler, qui vivait à la même époque que newton. il utilisait le calcul pour expliquer la géométrie et créait la méthode variationnelle pour calculer certaines figures géométriques importantes. riemann et son professeur gauss sont sans aucun doute les deux fondateurs de la géométrie moderne. gauss est le père de la géométrie moderne, et le véritable fondateur est riemann. au milieu du xixe siècle, il a proposé la théorie de la géométrie riemannienne et de la géométrie conforme, qui a non seulement joué un rôle clé dans la physique théorique, mais a également joué un rôle clé. en infographie, la modélisation géométrique et les images médicales sont largement utilisées.
la théorie développée par mon élève gu xianfeng et moi-même en utilisant la méthode des surfaces de riemann s'est ensuite développée en une branche importante de la science de l'imagerie : la géométrie conforme computationnelle.
le contexte central des mathématiques computationnelles de la géométrie conforme est de prouver l'existence, le caractère unique, la régularité et la pertinence de la solution aux théorèmes à valeur unique, en particulier comment l'étendre à des surfaces discrètes. le cœur de l'informatique est la façon de concevoir des algorithmes ; et calculer des théorèmes à valeur unique. dans les ordinateurs, les surfaces lisses sont représentées comme des surfaces discrètes, les théories de la topologie moderne et de la géométrie différentielle sont étendues à des situations discrètes et les ordinateurs sont utilisés pour réaliser des concepts géométriques abstraits, qui peuvent conduire à de bonnes pratiques d'ingénierie.
la géométrie conforme est l'étude des invariants sous transformations conformes. la cartographie dite conforme est une cartographie qui maintient l'angle inchangé. par exemple, nous mappons une surface incurvée d'un visage humain en trois dimensions sur un disque plat en deux dimensions et dessinons deux courbes qui se croisent sur le visage humain. les courbes de la surface sont mappées sur la courbe plane, mais l'angle d'intersection reste inchangé. puisque la transformation conforme est unique, il est facile d’effectuer une comparaison de visages.
actuellement, les technologies de l’intelligence artificielle et de la science des données sont largement utilisées dans différents domaines tels que le diagnostic clinique, l’orientation chirurgicale et la prévision des risques. on peut dire que les mathématiques modernes ont jeté les bases théoriques de l'intelligence artificielle et ont indiqué l'orientation du développement de l'intelligence artificielle afin de surmonter les goulots d'étranglement. d’un autre côté, l’intelligence artificielle pose également des défis aux mathématiques et favorise le développement des mathématiques.
faisant le point sur les changements majeurs intervenus dans la science et la technologie au xxe siècle, ils s'appuient sur la compréhension approfondie de la structure de la matière par l'humanité. la théorie de la relativité et la mécanique quantique sont à la base de ces études, et les mathématiciens ont apporté des contributions approfondies à ces études. depuis la construction réussie du modèle standard de la physique des hautes énergies dans les années 1970, qui unifiait trois domaines différents de la physique, le plus grand souhait des physiciens a été d'intégrer la gravité dans le modèle standard. cette intégration nécessite une percée dans des concepts extrêmement créatifs. je pense qu'elle aura un impact profond sur la percée technologique que nous attendons avec impatience : l'informatique quantique. la façon de construire la géométrie quantique constituera une étape importante et une combinaison de vérité et de beauté.
la dispersion, le rassemblement, l’ascension et la chute de toutes choses, la structure du ciel, de la terre et de l’univers, ainsi que le contexte des affaires humaines et de l’économie sociale sont tous liés aux mathématiques de base. les mathématiques peuvent fournir la vérité et la beauté. la bonté exigée par la chine depuis cinq mille ans, la bienveillance et la droiture mentionnées par confucius et mencius, peuvent toutes être trouvées dans la vérité et la beauté, c'est-à-dire qu'elles peuvent être extraites de la mer de l'humanité. mathématiques. par conséquent, les mathématiques de base constituent la base de la construction d’un pays et le pont entre les cultures orientales et occidentales. si la culture chinoise peut se transmettre et perdurer pendant des milliers d’années, nous devons prêter attention aux mathématiques de base.
auteur : qiu chengtong
texte : qiu chengtong (doyen du collège qiuzhen de l'université tsinghua et premier lauréat chinois de la médaille fields) cet article est un discours prononcé par le professeur qiu chengtong à l'institut de mathématiques et d'études interdisciplinaires de shanghai le 17 août. est de "mathematical humanities". l'auteur a autorisé la publication, aucune reproduction n'est autorisée sans autorisation) image : l'image du titre provient de visual china et les images de l'article sont fournies par qiu chengtong éditeur : chu shuting éditeur : jiang peng.
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