qiu chengtong의 중학생을 위한 수학 수업: 아름다움과 실용성은 종종 수학의 신비를 탐구하는 과정에서 자연스럽게 발생합니다.
2024-09-27
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수학은 기초과목으로서 인류가 세계를 이해하고 세상을 변화시키는 데 중요한 역할을 한다. 상대성 이론과 양자역학의 탄생이든, 현대 의학과 인공지능의 급속한 발전이든, 수학은 중요한 역할을 한다. 그 안에서 역할.
최고의 혁신 인재를 양성하기 위해서는 수학 교육의 중요성은 자명합니다. 최근 몇 년 동안 유명한 수학자 qiu chengtong은 기초 교육 단계에서 수학적 재능을 키우는 데 많은 시간과 에너지를 투자했습니다. 최근 상하이 수학 및 학제 간 연구 연구소 창립식에서 qiu shing-tung은 상하이 중학교와 사립 huayu 중학교를 포함하여 전국의 많은 중학교에서 qiu shing-tung의 수업에 메달을 수여했습니다. 자격증 수여식에서 그는 중학생들에게 수학 특별 수업을 가르쳤다. 본 저널은 독자들의 유익을 위해 강의 내용의 일부를 게재합니다.
수학은 탄생 이후 모든 수학자들을 매료시켜온 아름답고 실용적인 과학입니다. 아름답고 실용적인 수학은 자연 속에서 자연스럽게 생겨나는데, 그 자체가 참으로 경이롭습니다. 더욱 놀라운 것은 사람들이 종종 수학의 실용적 가치를 추구하지만, 그 과정에서 수학의 아름다움을 발견한다는 사실이다. 수학자에게는 수학의 신비를 탐구하는 과정에서 아름다움과 실용성이 자연스럽게 떠오르는 경우가 많으며 이는 매우 흥미로운 경험입니다.
사실, 학자마다 아름다움에 대한 견해가 다릅니다. 칭화대학교 치우진 아카데미(qiuzhen academy)는 한때 미술 아카데미의 liu jude 교수를 초청하여 예술가의 눈에 비친 아름다움에 대한 강의를 한 적이 있습니다. 여기서는 수학자, 과학자의 눈으로 본 아름다움에 대해서도 말씀드리겠습니다.
수학만큼 시간의 시험을 견뎌낸 과목은 없습니다
내 생각에는 세상의 아름다움은 진실에 바탕을 두어야 하며, 그래야만 그것을 '아름다움'이라고 부를 수 있다. liu 교수는 아름다움은 획기적인 것이며 시간과 공간을 초월한다고 말했습니다. 그러나 시간과 공간을 초월하여 존재할 수 있는 유일한 것은 진실이다. 솔직히 말하면, 수학이라는 진리는 단 하나뿐이라고 생각합니다. 수학처럼 시간의 시험을 견뎌온 세계를 설명하는 주제는 없습니다. 고대 그리스 학자부터 뉴턴, 아인슈타인과 같은 과학자, 그리고 오늘날에 이르기까지 인간의 세계에 대한 관찰과 이를 바탕으로 형성된 이론은 기술이 계속 발전하고 우수성을 추구함에 따라 실험실에서 끊임없이 변화하고 있습니다. 물리적 세계의 모든 결과는 끊임없이 새로운 결과를 낳고 있으며, 이전의 결론은 끊임없이 뒤집혀지고 있습니다.
상대성이론과 양자역학은 20세기 과학자들에게 다양한 관점을 제시해 주었으며, 고전 물리학을 변화시켰고 우리에게 우주에 대한 더 깊은 이해를 제공했습니다. 극히 작은 양성자의 구조든, 먼 우주의 구조든, 지금 우리가 관찰할 수 있는 현상은 우리 선조들이 상상조차 할 수 없는 일이다. 그러므로 어떤 의미에서 물리학의 진리는 끊임없이 변화하고 있다.
이 일련의 장엄한 과학적 발전에서 수학자들은 큰 공헌을 했습니다. 기초 물리학의 많은 중요한 개발 상황에서 수학자들은 종종 최전선에 서서 물리학자들을 이끌고 우주를 이해하기 위해 함께 노력합니다.
과학에서 매우 중요한 발전을 떠올려 봅시다. 뉴턴의 가장 큰 공헌 중 하나는 물리학에서 미적분학의 중요한 응용을 발전시켜 수학 자체에 혁명을 일으킨 것입니다. 19세기 초 수학자 가우스(gauss)와 리만(riemann)은 전자기학에 대한 더 깊은 이해를 얻기 위해 일련의 수학적 이론을 개발했으며, 이 이론은 마침내 맥스웰에 의해 완성되어 완벽한 맥스웰 방정식을 확립했습니다. 20세기 초 독일의 수학자이자 물리학자인 weyl은 기하학적 방법을 통해 maxwell의 방정식을 연구하여 그가 제안한 게이지 분야의 일부로 만들었습니다. 또한 weyl은 이러한 개념을 현대 과학의 기초가 되었습니다. 우리는 또한 1926년에 프랑스의 기하학자인 카르탕(cartan)이 오늘날의 비교환 게이지 필드 이론인 접촉 이론을 개발했다는 것을 알고 있습니다.
이후 중국 수학자 chen shengshen을 비롯한 수많은 수학자들이 비가환 게이지장 연구에 참여해 왔습니다. 모든 고전적인 게이지 필드는 기하학으로 완성되었다고 할 수 있습니다. 그러나 물리학에서 게이지 필드의 정량화는 몇몇 위대한 물리학자들에 의해 1970년대에 완료될 때까지 기다려야 했으며, 이론 물리학의 표준 모델은 기초 과학에서 가장 중요한 작업이 되었습니다. 위에서 언급한 작업에서는 매우 심오한 수학적 이론이 사용됩니다. 이러한 이론은 실제로 그 당시 물리학자들이 받아들일 수 있는 능력을 넘어서는 것입니다.
진리에 대한 물리학자들의 이해는 끊임없이 변화하고 있지만, 사용된 수학적 이론의 정확성에 대해서는 결코 의문의 여지가 없습니다. 왜냐하면 그것은 질문하기 어려운 몇 가지 가정에 기초하고 있기 때문입니다. 이러한 가정은 모든 인류 문명의 기초이기도 합니다.
위대한 진실에서 단순성까지, 수학의 아름다움을 요약한 책입니다.
수학자들은 엄격한 논리 체계를 사용하여 자연을 설명하는 다양한 수학적 체계를 구성하고, 그 체계에서 자연을 지배하는 법칙을 볼 수 있습니다. 이 과정에서 우리는 자연이 어떻게 다른 모든 것과 비교할 수 없는 웅장하고 자신만의 구조를 구축하는지 봅니다.
가장 큰 단순성은 수학의 아름다움을 요약한 것입니다. 1=1에서 시작하여 1+1=2, 1+2=3...까지 계속해서 도출하는 가장 간단한 수학입니다. 이런 식으로 사람들은 자연수를 이해하고 수학을 갖게 됩니다. 수학이 시작될 때부터, 가축과 세금을 계산할 때부터 인간은 이러한 추상적인 개념이 사물에 대한 절묘한 귀납이자 요약임을 깨달았습니다. 이는 아름다움과 밀접한 관련이 있습니다. 수학은 현실을 진리로 추상화하고, 아름다움은 진리에 기초합니다. 동시에 아름다움은 인간이 끊임없이 진실을 발견하도록 이끈다. 아름다움을 추구하지 않는다면 인간은 진리의 존재를 감지하기 어려울 것입니다. 수학의 발전은 인간이 아름다움을 추구하고, 진리를 인식하고, 진리를 찾는 데에 달려 있습니다.
직관적인 예를 들어보세요. 많은 화가들이 대나무를 그리는 것을 좋아하는데, 대나무는 우아하고 강인하며 개성이 넘치고 중국 지식인의 정신적 추구를 반영하기 때문입니다. 화가들이 대나무의 특성을 묘사하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 수학자들은 처음 대나무를 볼 때 화가들처럼 직선을 보고 이 직선에 많은 내용을 추가할 것이다.
예를 들어, 직선의 구성은 수학자에게 흥미로운 일입니다. 이 줄에서는 먼저 기본 수학적 구조인 1, 2, 3부터 시작하여 자연수, 즉 정수에 레이블을 지정한 다음 구조를 풍부하게 하기 위해 1/과 같은 분수도 구성합니다. 2, 3/4 등은 이 직선 위에 촘촘하게 그려져 있습니다.
다음은 무엇입니까? 그리스인들은 무리수를 만들었습니다. 그들은 수직선을 사용하여 두 변의 길이가 1이고 빗변의 길이가 √2인 삼각형을 만들었습니다. 이것은 그리스 피타고라스 학파의 발견이었습니다. √2는 무리수입니다. 무리수를 성공적으로 구성한 후 직선에 많은 종류의 숫자를 추가했고 직선의 숫자는 더 조밀해졌습니다. 하지만 그것만으로는 충분하지 않았습니다. 우리는 컴퍼스와 자를 사용하여 숫자를 만들기 시작했지만 어쨌든 선을 채울 수 없었습니다.
우리가 직선을 완전히 채우고 이 대나무를 완전한 실선으로 바꾸기까지는 거의 1,500년이 걸렸습니다. 이 목표를 달성하기 위해 수학자들은 많은 노력을 기울여 마침내 직선을 완전히 이해하게 되었습니다. 화가가 대나무의 의미를 설명하느라 시간을 낭비하는 것처럼, 수학자 역시 직선을 구성하기 위해 추상적인 수 개념을 많이 사용합니다.
15세기에 수학자들은 이 직선에 허수를 도입하기 시작했고, 이는 우리의 초점을 직선에서 2차원 공간으로 바꾸었습니다. 2차원 공간에 대한 인식은 인류 역사에서 매우 중요한 것입니다. 허수의 출현 이후 우리는 많은 파동 방정식과 다양한 파동 현상을 더 명확하게 이해하게 되었습니다.
화가가 묘사한 파동은 사실 허수와 밀접한 관련이 있다. 그러나 현재 우리는 허수에 대한 이해가 명확하지 않기 때문에 역동적인 파도를 생생하게 그릴 수 없습니다. 허수는 역학계 연구에 있어서 가장 중요한 숫자이며, 양자역학 연구에도 사용됩니다.
1, 2, 3 등과 같은 양의 정수 도입부터 직선, 허수, 2차원 공간의 완전한 설명, 그리고 3차원 공간까지 - 이 과정은 사실 천천히 완성된다. 그리고 점차적으로 수학의 발달을 통해. 그리고 이러한 체계적인 발전에는 엄격한 수학적 추론 외에도 수학자들의 아름다움 추구가 포함됩니다. 수학자들이 달성하고자 하는 목표는 사람들이 보는 현상과 그들의 눈에 보이는 세상이 최대한 완전해야 한다는 것입니다. 아직 설명할 수 없는 공간이 있다면 이상적이지 않으며 더 철저하게 이해해야 하기 때문에 수학적 관점에서 완벽한 그림을 그려야 합니다. 수학자에게는 이 이미지가 그림처럼 보입니다. 정수의 점을 더하면 직선이 됩니다. 이는 만족스럽습니다. 하지만 이것만으로는 충분하지 않습니다. 허수를 추가하면 2차원 공간을 설명할 수 있으므로 계속해서 추가합니다.
수학자들은 수학적 진리를 찾기 위해 아름다움의 인도에 의존합니다.
어떤 사람들은 대나무가 분명히 선이 아니라고 말할 수 있는데 왜 수학자들은 대나무를 선으로 간주하는 것이 그렇게 어리석습니까? 이것은 맞습니다. 대나무의 표면은 대나무의 특성을 설명하는 첫 번째 단계일 뿐입니다.
대나무에 대한 설명으로 넘어 갑시다. 직선에 수직인 고정된 반지름을 가진 작은 원을 찾고 원의 중심을 직선을 따라 당겨서 예상한 원통을 얻습니다. 이 원통을 설명하는 가장 좋은 수학적 방법은 복소수를 사용하는 것입니다. 복소수의 구조를 더한 원통을 수학에서는 리만 곡면(riemann surface)이라고 합니다. 리만 곡면은 2차원 공간을 설명하는 데나 현대 물리학에서 널리 사용되며 정말 강력합니다.
위의 작은 원의 반경이 매우 작아지면 원통은 직선이 됩니다. 이는 고차원 공간을 사용하여 저차원 현실을 설명할 수 있는 방법입니다. 원의 중심 위치에 따라 원의 반지름이 변하면 원통은 대나무가 될 수 있습니다.
기하학자는 대나무를 볼 때 위의 관점을 사용할 수 있습니다. 그러나 서양 과학 혁명의 지도자인 갈릴레오는 아마도 이것을 그렇게 보지 않았을 것입니다. 왜냐하면 그는 탄력성, 구조적 특성 및 기타 문제와 같은 대나무의 다양한 물리적 특성을 연구했기 때문입니다. 이러한 문제는 뉴턴 역학과 미적분학이 등장한 이후 더욱 완벽하게 해결되었으며, 페르마, 오일러, 라그랑주 등의 수학자들이 참여했습니다.
현대 물리학에서는 직선을 3차원 또는 4차원 평면 공간으로 대체할 수 있고, 원은 보다 복잡한 기하학으로 대체할 수 있습니다. 중요한 기하학은 다양한 물리적 현상을 설명할 수 있는 calabi-yau 공간입니다.
calabi-yau 공간의 개략도
그러므로 수학자들은 화가나 예술가와는 다르게 푸른 대나무 조각을 본다. 수학자들은 논리적으로 추론하고 이해를 깊게 한 다음 이를 설명합니다. 이제 우리는 여전히 3차원 공간을 추론하는 것만으로는 충분하지 않다고 느낍니다. 19세기에 쿼터니언의 발견이 시작되었습니다. 얼마 지나지 않아 옥토니언이 발견되어 고차원 공간으로 진입하게 되었습니다. 고차원 공간은 삶의 더 많은 현상을 표현할 수 있습니다. 고차원 공간은 중요한 문제다. 수십, 수천, 수만 개의 입자가 굴러다니면 고차원 공간이 형성되는데, 이제 인공지능은 수천만 차원 공간에 도달해야 한다. 고차원 공간의 모든 현상은 매우 아름답고 그 안에는 많은 진리, 즉 수학의 존재가 담겨 있습니다.
이것이 바로 수학자들의 눈으로 본 세상이고 그들이 아름다움을 추구하는 모습입니다. 우리 앞에 놓인 수천 개의 세계와 포착할 수 없는 수많은 현상에 직면하면서 우리는 수학적 진리를 찾기 위해 아름다움의 인도에 의지합니다. 대나무에서 직선이 2차원 공간으로 그려지며 점차 고차원의 세계로 들어가며 연결이 지속적으로 풍부해지고 이 중요한 주제가 전개된다. 단순한 것부터 복잡한 것까지 수학의 정신이 가득 담겨 있으며, 단순한 원리를 이용해 가장 복잡한 자연 현상을 기술하며 마침내 진실에 한없이 가까워진다.
고대 그리스든 르네상스든 이 정신은 언제나 일관되어 왔습니다. 르네상스의 회화 예술은 기하학의 발전을 촉진한 수학과 분리될 수 없었습니다. 이는 또한 아름다움과 수학이 항상 분리될 수 없었음을 보여줍니다.
현대 수학은 인공지능의 이론적 토대를 마련한다
수학은 현대 기술에 수많은 응용을 가지고 있습니다. 예를 들어, 기하학은 곡면의 아름다운 특징을 효과적으로 표현하는 방법을 다루고 있습니다. 소수의 분포와 타원 곡선의 아름다운 정수 해 이론은 현대 보안 시스템에 매우 중요한 도구가 되었습니다. 푸리에 변환의 위치와 운동량 이중성은 현대 과학, 심지어 계산 과학에도 근본적인 변화를 가져왔습니다.
기하학을 예로 들면, 현대 공학 실무에서 큰 역할을 하는 매혹적인 이론만 있는 것은 아닙니다.
현대 기술은 박막에 대한 많은 지식을 요구하므로 2차원 곡면을 정확하게 표현하는 방법은 공학에서 없어서는 안 될 지식입니다. 2차원 표면에 대한 연구는 뉴턴과 같은 시대에 살았던 위대한 과학자 오일러로 거슬러 올라갑니다. 그는 미적분학을 사용하여 기하학을 설명하고 몇 가지 중요한 기하학적 도형을 계산하는 변분법을 창안했습니다. 리만과 그의 스승인 가우스는 의심할 여지 없이 현대 기하학의 두 창시자입니다. 가우스는 현대 기하학의 아버지이며, 실제 창시자는 리만이다. 19세기 중반 그는 리만 기하학과 등각기하학 이론을 제시했는데, 이는 이론물리학에서 핵심적인 역할을 했을 뿐만 아니라 핵심적인 역할을 했다. 컴퓨터 그래픽에서는 기하학적 모델링과 의료 이미지가 널리 사용됩니다.
내 학생 gu xianfeng과 내가 리만 표면 방법을 사용하여 개발한 이론은 나중에 이미징 과학의 중요한 분야인 전산 등각 기하학으로 발전했습니다.
전산등각기하학 수학의 핵심 맥락은 단일 값 정리에 대한 해의 존재, 고유성, 규칙성 및 적합성을 증명하는 것입니다. 특히 이를 이산 표면으로 확장하는 방법은 알고리즘을 설계하는 방법입니다. 단일 값 정리를 계산합니다. 컴퓨터에서는 매끈한 표면이 이산면으로 표현되고, 현대 위상수학과 미분기하학의 이론은 이산적인 상황으로 확장되며, 컴퓨터를 사용하여 추상적인 기하학적 개념을 실현함으로써 좋은 공학적 실천으로 이어질 수 있습니다.
등각기하학(conformal geometry)은 등각 변환에서 불변량을 연구하는 학문입니다. 소위 컨포멀 매핑(conformal mapping)은 각도를 변경하지 않고 유지하는 매핑입니다. 예를 들어, 3차원 사람 얼굴 곡면을 2차원 평면 디스크에 매핑하고, 사람 얼굴에 두 개의 교차 곡선을 그립니다. 표면의 곡선은 평면 곡선에 매핑되지만 교차 각도는 변경되지 않습니다. 등각변환이 독특하기 때문에 얼굴 비교가 용이하다.
현재 인공지능과 데이터 사이언스 기술은 임상 진단, 수술 지도, 위험 예측 등 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다. 현대 수학은 인공지능의 이론적 토대를 마련하고, 병목현상을 돌파할 수 있는 인공지능의 발전 방향을 제시했다고 할 수 있다. 반면 인공지능은 수학에 도전장을 던지고 수학의 발전을 촉진하기도 한다.
20세기 과학기술의 주요 변화를 살펴보며, 물질의 구조에 대한 인류의 심층적인 이해를 바탕으로 하고 있습니다. 상대성이론과 양자역학은 이러한 연구의 기초이며, 수학자들은 이러한 연구에 깊이 있는 기여를 해왔습니다. 1970년대에 세 가지 다른 물리학 분야를 통합한 고에너지 물리학의 표준 모델이 성공적으로 구축된 이후 물리학자들의 가장 큰 소망은 표준 모델에 중력을 넣는 것이었습니다. 이러한 통합에는 매우 창의적인 개념의 획기적인 발전이 필요합니다. 저는 이것이 우리가 기대하는 기술적 혁신인 양자 컴퓨팅에 중대한 영향을 미칠 것이라고 믿습니다. 양자 기하학을 구성하는 방법은 중요한 이정표이자 진실과 아름다움의 결합이 될 것입니다.
만물의 흩어짐과 모임, 흥망성쇠, 천지와 우주의 구조, 인간사와 사회경제의 맥락 등은 모두 기초수학과 관련되어 있다. 수학은 진리와 아름다움을 제공할 수 있습니다. 중국이 오천년 동안 요구한 선함과 공자와 맹자가 언급한 인의는 모두 진리와 아름다움에 있습니다. 즉, 바다에서 불러올 수 있습니다. 수학. 그러므로 기초수학은 국가를 건설하는 기초이자 동서양 문화를 잇는 가교이다. 중국 문화가 수천 년 동안 계승되고 지속될 수 있다면 우리는 기초 수학에 관심을 기울여야 합니다.
저자: 치우 청통(qiu chengtong)
글: 치우 쳉통(칭화대 치우전대학 학장, 중국인 최초 필즈상 수상자) 이 글은 8월 17일 상하이 수학과 학제간 연구소의 치우 쳉통 교수가 한 연설이다. 내용의 일부 저자는 "수학 인문학"에서 출판을 승인했으며 허가 없이 복제할 수 없습니다.) 사진: 제목 사진은 visual china에서 가져온 것이며 기사의 사진은 qiu chengtong에서 제공했습니다. 편집자: chu shuting 편집자: jiang peng.
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