邱成通の中学生向け数学レッスン: 美しさと実用性は、数学の謎を探求する過程で自然に生まれることがよくあります。
2024-09-27
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基礎科目としての数学は、相対性理論や量子力学の誕生でも、現代医学や人工知能の急速な発展でも、人間の世界理解と世界の変化に重要な役割を果たしています。その中で重要な役割を果たします。
優れた革新的人材を育成するためには、数学教育の重要性は自明の理です。近年、著名な数学者邱成通氏は、基礎教育段階での数学的才能の育成に多大な時間とエネルギーを投資してきました。最近、上海数学学際研究院の創立式典で、邱聖東氏は上海中学校や私立華宇中学校など全国の多くの中学校から邱聖東氏のクラスにメダルを授与した。免許証授与式では中学生に数学の特別授業を行った。本誌では、読者の皆様のために講演内容の一部を掲載します。
数学は、誕生以来すべての数学者を魅了してきた美しく実践的な科学です。美しく実用的な数学は自然の中で自然に生まれ、それ自体とても素晴らしいことです。さらに驚くべきことは、人々はしばしば数学の実践的な価値を追求しますが、その過程で数学の美しさを発見するということです。数学者にとって、美しさと実用性は数学の謎を探求する過程で自然に生まれることが多く、それは非常に興味深い経験です。
実際、学者はそれぞれ美について異なる見解を持っています。清華大学秋鎮学院はかつて美術学院から劉居徳教授を招き、芸術家の目に映る美についての講義を行った。ここでは、数学者や科学者の目に映る美しさについてもお話します。
数学ほど時の試練に耐えた科目はない
私の考えでは、世界の美しさは真実に基づいていなければならず、そうして初めてそれを「美しさ」と呼ぶことができるのです。劉教授は、美は時間と空間を超える画期的なものであると語った。しかし、時間と空間を超えて存在できるのは真実だけです。率直に言って、真実はただ一つ、数学だと思います。数学ほど、時の試練に耐えて世界を描写できる科目はありません。古代ギリシャの学者からニュートンやアインシュタインのような科学者に至るまで、そして今日に至るまで、テクノロジーが発展し卓越性を追求し続けるにつれて、人類の世界観察とそれに基づいて形成された理論は常に変化しています。物理世界の研究は常に新しい結果を生み出しており、以前の結論は常に覆されています。
相対性理論と量子力学は、20 世紀の科学者に異なる見解を与え、古典物理学を変え、宇宙についてのより深い理解をもたらしました。極微小な陽子の構造であれ、遠い宇宙であれ、私たちが現在観測できる現象は、先人が想像できなかったものであり、ある意味、物理学の真実は常に変化しています。
この一連の素晴らしい科学の発展において、数学者は多大な貢献をしてきました。基礎物理学の多くの重要な開発状況では、数学者が最前線に立って物理学者を先導し、協力して宇宙を理解することがよくあります。
科学における非常に重要な発展を思い出してみましょう。ニュートンの大きな貢献の 1 つは、物理学における微積分の重要な応用の開発であり、それによって数学自体に革命をもたらしました。 19 世紀初頭、数学者ガウスとリーマンは電磁気学をより深く理解するために一連の数学理論を開発しました。この理論は最終的にマクスウェルによって完成され、完全なマクスウェル方程式が確立されました。 20 世紀初頭、ドイツの数学者で物理学者のワイルは、幾何学的な方法でマクスウェルの方程式を研究し、彼が提案したゲージ場の一部となりました。これらの概念は現代科学の基礎となりました。また、1926 年にフランスの幾何学者カルタンが、今日の非可換ゲージ場の理論である接触理論を開発したこともわかっています。
それ以来、中国の数学者陳勝深氏を含む多くの数学者が非可換ゲージ場の研究に従事してきました。すべての古典的なゲージ場は幾何学によって完成されたと言えます。しかし、物理学におけるゲージ場の定量化は 1960 年代まで待たなければならず、1970 年代までに数人の偉大な物理学者によって完成され、理論物理学の標準模型が基礎科学における最も重要な研究となりました。上記の作品では、非常に奥深い数学理論が使用されています。これらの理論は実際のところ、当時の物理学者が理解できる能力を超えています。
物理学者の真実の理解は常に変化していますが、使用されている数学理論の正しさが疑問視されたことは一度もありません。なぜなら、それらは疑うのが難しいいくつかの仮定に基づいているからです。これらの仮定は最も単純な論理システムであり、すべての人類文明の基礎でもあります。
偉大な真実から単純さまで、数学の美しさをまとめたものです
数学者は厳密な論理システムを使用して、自然を記述するためのさまざまな数学システムを構築し、そこから自然を支配する法則を見ることができます。このプロセスでは、自然がどのようにして壮大で他のものと比較できない独自の構造を構築しているかがわかります。
最大の簡潔さは数学の美しさを要約したものです。最も単純な数学は、1=1 から始まり、1+1=2、1+2=3... と導き続けます。このようにして、人々は自然数を理解し、数学を理解できるようになりました。数学の始まりから、家畜や税金の計算の時代から、人間はこれらの抽象的な概念が物事の絶妙な帰納法と要約であることに気づいてきました。これは美容と密接な関係があります。数学は現実を真実に抽象し、美は真実に基づいています。同時に、美は人間を常に真実を発見するように導きます。美を追求しなければ、人間は真実の存在に気づくことは難しいでしょう。数学の発展は、人間の美の追求、真実の認識、真実の発見にかかっています。
直感的な例を挙げてください。多くの画家が竹を描くことを好むのは、竹が優雅で、丈夫で、個性に満ちており、中国の知識人の精神的な追求を反映しているからです。画家が竹の特徴を表現するにはさまざまな方法があります。数学者にとって、最初に竹を見たとき、彼らは画家と同じように、この直線に多くの内容を追加します。
たとえば、直線の構築は数学者にとって興味深いものです。この行では、まず基本的な数学構造である 1、2、3 から始まる自然数、つまり整数にラベルを付けます。次に、その構造を強化するために、1/ などの分数も作成します。この直線上に2、3/4などが密集して描かれています。
次は何でしょうか？ギリシャ人は無理数を作りました。彼らは垂直線を使用して、長さ 1 の 2 辺と長さ √2 の斜辺を持つ三角形を構築しました。これはギリシャのピタゴラス派の発見でした。 √2は無理数です。無理数の構築に成功した後、直線に大きなクラスの数を追加すると、直線上の数がより密になりました。しかしそれだけでは不十分で、コンパスや定規を使って数字を書き始めましたが、いずれにしても線を埋めることはできませんでした。
この竹を直線を完全に埋めて完全な実線にするまでには、さらに 1,500 年近くかかりました。この目標を達成するために、数学者は最終的に直線を完全に理解するまで多大な努力を費やしました。画家が竹の意味を説明するのに時間を無駄にするのと同じように、数学者も直線を構築するために抽象的な数の概念をたくさん使います。
15 世紀に、数学者はこの直線に虚数を導入し始めました。これにより、私たちの焦点は直線から 2 次元空間に変わりました。2 次元空間を認識することは、人類の歴史において非常に重要なことです。虚数の出現後、私たちは多くの波動方程式と波のさまざまな現象をより明確に理解できるようになりました。
画家が描いた波は、実際には虚数と密接に関係しています。しかし、虚数に対する理解が十分ではないため、ダイナミックな波を生き生きと描くことができないのが現状です。虚数は力学系の研究において最も重要な数であり、量子力学の研究でも使用されます。
1、2、3などの正の整数の導入から、直線、虚数、2次元空間の完全な説明、そして3次元空間へのプロセスは、実際にはゆっくりと完了します。そして徐々に数学の発展を通じて。そして、この系統的な進歩には、厳密な数学的推論に加えて、数学者による美の追求が伴います。数学者が達成したいと願っている目標は、人々が見る現象とその目に映る世界が可能な限り完全であることです。まだ記述できない空間がある場合、それは理想的ではなく、より徹底的に理解する必要があり、そのためには数学的な観点から完璧な絵を描く必要があります。数学者にとって、この画像は絵のように見えます。整数のポイントを合計すると直線になります。これは満足のいくものです。しかし、これだけでは虚数を追加するだけでは 2 次元空間を表現できません。したがって、虚数を追加していきます。
数学者は美しさの導きに頼って数学的真実を見つける
竹は明らかに線ではないと言う人もいるかもしれませんが、なぜ数学者は竹を線とみなすほど愚かなのでしょうか?これは正しいです。竹の表面は円柱です。直線は竹の特性を説明するための最初のステップにすぎません。このステップは物理現象に完全には準拠していません。
竹の説明に移りましょう。直線に垂直な固定半径の小さな円を見つけ、円の中心を直線に沿って引き出して、期待する円柱を取得します。この円柱を数学的に表現する最良の方法は、複素数を使用することです。複素数の構造を追加した後の円柱は、数学ではリーマン面と呼ばれます。リーマン面は 2 次元空間の記述や現代物理学で広く使用されており、非常に強力です。
上記の小さな円の半径が非常に小さくなると、円柱は直線になります。これは、高次元の空間を使用して低次元の現実を記述することができる方法です。円の中心の位置に応じて円の半径が変化すると、円柱は竹になります。
幾何学者は竹を観察するときに上記の視点を使用できます。しかし、西洋科学革命の指導者であるガリレオは、竹の弾性や構造、その他の問題など、竹のさまざまな物理的特性を研究していたため、おそらくこのようには考えなかったでしょう。これらの問題は、ニュートン力学と微積分の出現後により完全に解決され、フェルマー、オイラー、ラグランジュなどの数学者が関与しました。
現代の物理学では、直線を 3 次元または 4 次元の平面空間に置き換えることができ、円をより複雑な幾何学に置き換えることができます。重要な幾何学はカラビ-ヤウ空間であり、そこからさまざまな物理現象を記述することができます。
カラビ・ヤウ空間の模式図
したがって、数学者は、画家や芸術家とは異なる方法で青竹を観察します。数学者は論理的に推論して理解を深めてから記述します。さて、私たちはまだ 3 次元空間について推論するだけでは十分ではないと感じています。 19 世紀に四元数の発見が始まりました。その後すぐに八元数が発見され、高次元空間に突入しました。高次元空間は、人生におけるより多くの現象を表現することができます。高次元空間は重要な問題であり、数十、数千、数万の粒子が転がると高次元空間が形成され、人工知能は数千万次元空間に到達する必要があります。高次元空間のあらゆる現象はとても美しく、そこには多くの真理、つまり数学の存在が含まれています。
これは数学者と彼らの美の追求の目に映る世界です。私たちの目の前にある何千もの世界と、非常に多くの理解できない現象に直面して、私たちは数学的真実を見つけるために美の導きに依存しています。竹から二次元の空間に直線を引き、徐々に高次元の世界へとつながりを深め、この重要な主題を展開していきます。単純なものから複雑なものまで数学の精神が詰まっており、シンプルな原理を使って最も複雑な自然現象を記述し、最終的には限りなく真実に近づきます。
古代ギリシャであろうとルネサンス時代であろうと、この精神は常に一貫しています。ルネサンス時代の絵画芸術は数学と切り離すことができず、それが幾何学の発展につながりました。これはまた、美と数学が常に切り離せないものであったことを示しています。
現代数学は人工知能の理論的基礎を築く
数学は現代のテクノロジーに数多く応用されています。たとえば、曲面の美しい特徴を効果的に表現する方法に関する幾何学者の扱いや、楕円曲線上の美しい整数解の理論は、現代のセキュリティ システムにとって非常に重要なツールとなっています。フーリエ変換の位置と運動量の二重性は、現代科学、さらには計算科学に根本的な変化をもたらしました。
幾何学を例に挙げると、現代の工学実践において大きな役割を果たしているのは魅力的な理論だけではありません。
現代の技術では薄膜に関する多くの知識が必要とされており、二次元曲面をいかに正確に表現するかは工学において不可欠な知識です。 2 次元表面の研究は、ニュートンと同時代に生きた偉大な科学者オイラーに遡ります。彼は微積分を使用して幾何学を説明し、いくつかの重要な幾何学図形を計算するための変分法を作成しました。リーマンとその教師であるガウスは間違いなく現代幾何学の二人の創始者です。ガウスは現代幾何学の父であり、本当の創始者はリーマンです。19世紀半ばに彼はリーマン幾何学と共形幾何学の理論を提案し、理論物理学において重要な役割を果たしただけでなく、重要な役割を果たしました。コンピュータ グラフィックスでは、幾何学モデリングと医療画像が広く使用されています。
リーマン面の方法を使用して私の学生のgu xianfengと私が開発した理論は、後に画像科学の重要な分野である計算等角幾何学に発展しました。
計算による共形幾何数学の中心的な文脈は、単一値定理の解の存在、一意性、規則性、および適切な設定を証明することであり、特にそれを離散面に拡張する方法は、コンピュータサイエンスの核心です。アルゴリズムと単一値定理を計算します。コンピューターでは、滑らかな表面は離散面として表現され、現代のトポロジーと微分幾何学の理論は離散的な状況に拡張され、コンピューターは抽象的な幾何学的概念を実現するために使用され、優れたエンジニアリングの実践につながります。
共形幾何学は、共形変換の下での不変量の研究です。いわゆる等角写像は、角度を変えない写像です。たとえば、3 次元のフェース サーフェスを 2 次元の平らなディスクにマッピングし、そのフェース上に 2 つの交差するカーブを描きます。サーフェス上のカーブは平面カーブにマッピングされますが、交差角度は変わりません。等角変換が独特なので顔比較が容易です。
現在、人工知能やデータサイエンス技術は、臨床診断、手術指導、リスク予測などのさまざまな分野で広く活用されています。現代数学は人工知能の理論的基礎を築き、ボトルネックを突破するための人工知能の開発の方向性を示したと言えます。一方で、人工知能は数学に挑戦をもたらし、数学の発展を促進します。
20世紀の科学技術における大きな変化を振り返ると、それらは物質の構造に対する人類の深い理解に基づいています。相対性理論と量子力学はこれらの研究の基礎であり、数学者はこれらの研究に深く貢献してきました。 1970 年代に、物理学の 3 つの異なる分野を統合する高エネルギー物理学の標準模型の構築に成功して以来、物理学者の最大の願いは、標準模型に重力を組み込むことでした。この統合には、非常に創造的な概念におけるブレークスルーが必要であり、私たちが期待している技術的なブレークスルーである量子コンピューティングに大きな影響を与えると私は信じています。量子幾何学をどのように構築するかは重要なマイルストーンであり、真実と美の組み合わせとなるでしょう。
万物の分散、集合、隆起と滅亡、天、地、宇宙の構造、人間情勢や社会経済の状況はすべて基礎数学に関係しています。数学は、中国が五千年にわたって要求してきた善と孔子と孟子が言った仁と義をすべて真と美の中に見つけることができ、つまり海から呼び出すことができます。数学。したがって、基礎的な数学は国家建設の基礎であり、東洋文化と西洋文化の間の架け橋となります。中国文化が何千年も受け継がれていくのであれば、私たちは基礎的な数学に注意を払わなければなりません。
著者:邱成通
文：邱成通（清華大学秋鎮学院長、中国人初のフィールズ賞受賞者。この記事は8月17日に上海数学学際研究所で邱成通教授が行った講演です。内容の一部は以下の通りです） 「数学的人文科学」より 著者は出版を許可しています、許可なく複製は許可されていません） 写真：タイトル写真はvisual chinaからのもので、記事内の写真はqiu chengtong編集者：chu shuting編集者：jiang pengによって提供されています。
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