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de la revista cuantitativa

Autor: Erica Klarreich

Compilación del corazón de la máquina

Editor: Panda

Después de tres décadas de arduo trabajo, los matemáticos han logrado demostrar partes importantes de una gran visión matemática llamada programa Langlands.

Un equipo de nueve matemáticos demostró con éxito la conjetura geométrica de Langlands, uno de los paradigmas más extendidos de las matemáticas modernas.

El famoso matemático Peter Scholze del Instituto Max Planck de Matemáticas (que no participó en esta prueba) dijo: Esta prueba es la culminación de treinta años de arduo trabajo. "Es fantástico ver cómo se resuelve".

El Programa Langlands fue propuesto por Robert Langlands en la década de 1960. Es una amplia generalización del análisis de Fourier, un marco de largo alcance para representar ondas complejas como múltiples sinusoides que oscilan suavemente. El Programa Langlands tiene un lugar importante en tres áreas diferentes de las matemáticas: teoría de números, geometría y el llamado campo de funciones. Estos tres campos están conectados a través de una red de analogías que se ha denominado la "piedra de Roseta" de las matemáticas.

Ahora, una serie de artículos prueban la conjetura de Langlands sobre las columnas geométricas de esta Piedra Rosetta: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

"En ningún otro lugar se ha demostrado esto de manera tan completa y sólida", dice David Ben-Zvi de la Universidad de Texas en Austin.

Alexander Beilinson, uno de los principales pioneros de la versión geométrica del Programa Langlands, dijo: "Estas son matemáticas hermosas, del tipo más hermoso".

La prueba consta de 5 artículos, con un total de más de 800 páginas. Provienen de un equipo liderado por Dennis Gaitsgory (Instituto Max Planck) y Sam Raskin (Universidad de Yale).

Gaitsgory ha estado trabajando en la demostración de la conjetura geométrica de Langlands durante los últimos 30 años. Durante las últimas décadas, él y sus colaboradores han obtenido una gran cantidad de resultados de investigación y han completado esta prueba sobre esta base. Vincent Lafforgue, de la Universidad de Grenoble-Alpes, comparó estos avances con un "mar creciente"; dijo que era como el espíritu de investigación de Alexander Grothendieck, el destacado matemático del siglo XX. Resolver problemas difíciles creando un mar creciente de ideas. .

Dennis Gaitsgory (en la foto de la izquierda) y Sam Raskin (en la foto de la derecha) lideraron un equipo de nueve personas que demostró la conjetura geométrica de Langlands.

Llevará algún tiempo verificar su nueva prueba, pero muchos matemáticos dicen que creen que su idea central es correcta. "La consistencia interna de la teoría es muy buena, por lo que es difícil creer que esté equivocada", dijo Lafforgue.

En los años previos a la prueba, el equipo de investigación creó más de un camino hacia el meollo del problema. "El entendimiento que obtuvieron fue tan rico y amplio que rodearon el problema desde todas las direcciones", dijo. "No había forma de escapar de él".

gran teoría unificada

En 1967, Robert Langlands, profesor de la Universidad de Princeton, de 30 años, expuso sus ideas en una carta escrita a mano de 17 páginas a André Weil, el creador de Rosetta Vision. Langlands escribió que en esta columna de Rosetta Stone sobre teoría de números y campos funcionales sería posible crear una versión generalizada del análisis de Fourier que tendría un alcance y un poder asombrosos.

En el análisis clásico de Fourier, se utiliza un proceso llamado transformada de Fourier para crear una correspondencia entre dos formas diferentes de pensar acerca de un patrón de onda, como una onda sonora. A un lado de esta correspondencia están las propias olas. (Lo llamamos el lado de la onda). Esto va desde ondas sinusoidales simples (que en términos acústicos son tonos puros) hasta ondas complejas formadas por múltiples ondas sinusoidales. Al otro lado de esta correspondencia está el espectro de una onda coseno: el tono en acústica. (Los matemáticos lo llaman lado espectral).

La transformada de Fourier va y viene entre estos dos lados. En una dirección, divide la onda en un conjunto de frecuencias; en la otra dirección, reconstruye la onda en función de las frecuencias que la componen. Esta capacidad de convertir en ambas direcciones permite innumerables aplicaciones; sin ella, no tendríamos telecomunicaciones modernas, procesamiento de señales, imágenes por resonancia magnética ni muchas otras necesidades de la vida moderna.

Langlands propuso que la teoría de números y los campos de campos funcionales de Rosetta Stone también tienen transformaciones similares, pero las ondas y frecuencias aquí son más complejas.

En el siguiente vídeo, el matemático de la Universidad de Rutgers, Alex Kontorovich, nos lleva a través del mundo de las matemáticas para comprender las sorprendentes simetrías en el corazón del Programa Langlands.

Fuente del vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

En cada uno de estos campos, hay un lado de onda que consta de un conjunto de funciones especiales que se asemejan a ondas repetidas. Las más puras de estas funciones especiales se denominan funciones propias y actúan como ondas sinusoidales. Cada función propia tiene una frecuencia propia. Sin embargo, mientras que la frecuencia de una onda sinusoidal es un número, la frecuencia de una función propia es una lista infinita de números.

También hay un lado del espectro. Éste consistía en objetos en la teoría de números; Langlands creía que estos objetos marcaban el espectro de funciones características. Propuso que existe un mecanismo de procesamiento similar a la transformada de Fourier que conecta el lado de la onda con el lado espectral. "Hay algo mágico en esto", dijo Ben-Zvi. "No es algo que podamos predecir sin ningún motivo".

Las ondas y sus etiquetas de frecuencia provienen de ámbitos de datos muy diferentes, por lo que demostrar una correspondencia entre ellas sería muy gratificante. Por ejemplo, en la década de 1990, la prueba de la correspondencia de Langland de la teoría de números de un conjunto relativamente pequeño de funciones permitió a Andrew Wiles y Richard Taylor demostrar el último teorema de Fermat: este problema fue una vez el problema más famoso demostrado en matemáticas. en el que la comunidad matemática ha estado trabajando durante tres siglos.

Edward Frenkel de la Universidad de California, Berkeley, dijo: El Programa Langlands se considera "la gran teoría unificada de las matemáticas". Sin embargo, aunque los matemáticos han trabajado para demostrar partes cada vez más amplias de la visión de Langlands, son muy conscientes de que es incompleta. En la columna de geometría de esta Piedra Rosetta, la relación entre ondas y etiquetas de frecuencia parece imposible de reflejar.

Grano de arena

Fue a partir del trabajo de Langlands que los matemáticos tuvieron una idea de cómo sería el lado espectral de la correspondencia geométrica de Langlands. La tercera columna (geometría) de la Piedra Rosetta de Weil involucra superficies compactas de Riemann, incluidas esferas, superficies en forma de rosquilla y superficies porosas en forma de rosquilla. Una superficie riemanniana determinada tiene un objeto correspondiente, llamado grupo fundamental, que rastrea las diferentes formas de bucles alrededor de la superficie.

Los matemáticos conjeturan que el lado espectral correspondiente a los Langlands geométricos debería estar compuesto de formas de destilación específicas del grupo fundamental. Estas formas de destilación específicas también se denominan representaciones del grupo fundamental.

Si la correspondencia de Langlands ha de reflejarse en las columnas geométricas de la Piedra de Rosetta, entonces cada representación del grupo fundamental de una superficie de Riemann debería ser una etiqueta de frecuencia, pero ¿qué etiqueta de frecuencia?

Los matemáticos no pueden encontrar ningún conjunto de funciones características cuyas frecuencias parezcan marcar la representación de grupos fundamentales. Luego, en la década de 1980, Vladimir Drinfeld, ahora en la Universidad de Chicago, se dio cuenta de que era posible crear correspondencias geométricas de Langlands reemplazando funciones propias con objetos más complejos llamados haces propios, pero en ese momento, solo sabía cómo se construyen unas pocas pilas de características. .

Los haces son mucho más profundos que las funciones, por lo que los teóricos de números de la época no sabían qué hacer con el primo geométrico de esta contraparte de Langlands. Pero el programa geométrico de Langlands (a pesar de sus aspectos arcanos) tiene una gran ventaja sobre la versión teórica de números del programa Langlands. En Geométrico Langlands, la frecuencia de la capa de entidades está controlada por puntos en una superficie de Riemann, y cada punto en una esfera o donut parece muy similar a corta distancia. Pero en la teoría de números de Langlands, las frecuencias están controladas por números primos, y cada número primo tiene sus propias propiedades. Los matemáticos no saben "cómo pasar de un número primo a otro de manera agradable", dice la teórica de números Ana Caraiani del Imperial College de Londres.

Las superficies de Riemann desempeñan un papel importante en la física, especialmente en la teoría conforme de campos, donde controlan el comportamiento de las partículas subatómicas en determinados campos de fuerza. A principios de la década de 1990, Beilinson y Drinfeld demostraron cómo se podía utilizar la teoría de campos conforme para construir algunas capas de características particularmente interesantes.

Esta conexión con la teoría de campos conforme llevó a Beilinson y Drinfeld a pensar en cómo construir un análisis de Fourier para la gavilla. "Es como un grano de arena que provoca la cristalización", dijo Ben-Zvi.

Beilinson y Drinfeld presentaron una rica visión de cómo deberían funcionar las correspondencias geométricas de Langlands. No se trata simplemente de que cada representación de un grupo fundamental deba marcarse con la frecuencia de una capa de características. Consideran que esta correspondencia también debería respetar las importantes relaciones entre ambas partes. Beilinson y Drinfeld llaman a esta perspectiva "la mejor esperanza".

Beilinson presentó este panorama de investigación en desarrollo en una serie de conferencias en la Universidad de Tel Aviv a mediados de los años noventa. Gaitsgory, que era un estudiante de posgrado aquí en ese momento, luchó por asimilar cada palabra. “Yo era como un patito recién nacido que adquirió una especie de comportamiento de impronta”, recuerda.

Durante los siguientes 30 años, la conjetura geométrica de Langlands ha sido la principal fuerza impulsora de la carrera matemática de Gaitsgory. "He estado trabajando sin parar a lo largo de los años, acercándome cada vez más a la meta, desarrollando diferentes herramientas", afirmó.

mar creciente

Beilinson y Drinfeld solo expresaron vagamente sus conjeturas, que resultaron ser un poco simplificadas por la forma en que se supone que funcionan las relaciones en "The Best Hope". En 2012, Gaitsgory y Dima Arinkin de la Universidad de Wisconsin-Madison descubrieron cómo convertir esta "mejor esperanza" en una suposición precisa.

Al año siguiente, Gaitsgory escribió un resumen de posibles formas de probar la conjetura geométrica de Langlands. El esquema se basó en una gran cantidad de afirmaciones intermedias, muchas de las cuales no estaban comprobadas en ese momento. Gaitsgory y sus colaboradores se propusieron demostrarlos.

Durante los años siguientes, Gaitsgory y Nick Rozenblyum, de la Universidad de Toronto, escribieron dos libros sobre capas, que suman casi 1.000 páginas. En este conjunto de dos volúmenes, el programa geométrico Langlands se menciona sólo una vez. “Pero el propósito era sentar las bases que luego utilizamos mucho”, dijo Gaitsgory.

En 2020, Gaitsgory de repente descubrió que tenía muy poco en su agenda. "Pasé tres meses acostado en la cama, simplemente pensando", dijo. Esos pensamientos finalmente llevaron a un artículo (con seis autores). Aunque el artículo se centró en el campo del dominio funcional del Programa Langlands, también contenía "una semilla" que se convertiría en un componente clave para demostrar la conjetura geométrica de Langlands: un método para comprender las propiedades de cómo las capas contribuyen al llamado "ruido blanco". " métodos.

Fotos de otros siete investigadores. En el sentido de las agujas del reloj, desde la izquierda: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell y Dima Arinkin.

En el mundo clásico del procesamiento de señales, las ondas sonoras se pueden construir a partir de ondas sinusoidales, cuyas frecuencias corresponden a los tonos del sonido. No es suficiente saber qué tonos contiene un sonido; también es necesario saber qué tan alto es cada tono. Esta información le permite escribir el sonido como una combinación de ondas sinusoidales: simplemente comience con una onda sinusoidal de amplitud 1, multiplique las ondas sinusoidales por el factor de sonoridad apropiado y sume las ondas sinusoidales. La suma de todas las ondas sinusoidales diferentes con una amplitud de 1 es lo que a menudo llamamos "ruido blanco".

En el mundo del Programa Geométrico Langlands, la capa de entidades actúa como una onda sinusoidal. Gaitsgory y sus colaboradores identificaron algo llamado gavilla de Poincaré, que parece actuar como ruido blanco. Pero estos investigadores no tenían claro si cada capa característica podría representarse en una capa de Poincaré, y mucho menos si todas tendrían la misma amplitud.

En la primavera de 2022, Raskin y su estudiante de posgrado Joakim Færgeman mostraron cómo utilizar ideas de ese artículo de seis autores para demostrar que cada capa de características es efectivamente representable en una capa de Poincaré. Al hablar de la prueba de la conjetura geométrica de Langlands, Gaitsgory dijo: "Después del artículo de Sam y Joakim, estoy muy seguro de que podremos hacerlo en poco tiempo".

Los investigadores deben demostrar que todas las capas de características contribuyen por igual a la capa de Poincaré y que la representación del grupo fundamental marca la frecuencia de estas capas de características. Se dieron cuenta de que lo más difícil era lidiar con las representaciones de este grupo fundamental: las representaciones irreductibles.

La resolución de estas representaciones irreductibles surgió en un momento en que la vida personal de Raskin estaba en crisis. Un día, semanas después de que él y Færgeman publicaran su artículo en línea, Raskin tuvo que llevar a su esposa embarazada al hospital antes de regresar a casa para llevar a su hijo al jardín de infantes por primera vez. La esposa de Raskin pasó seis semanas en el hospital hasta que nació su segundo hijo. Durante este tiempo, la vida de Raskin daba vueltas constantemente: viajaba constantemente de ida y vuelta entre su casa, la escuela de su hijo y el hospital para garantizar la vida normal de su hijo. "Toda mi vida en ese momento eran los autos y cuidar a la gente", dijo.

Habló de matemáticas por teléfono con Gaitsgory mientras conducía. Hacia el final de la primera de esas semanas, Raskin se dio cuenta de que podía reducir este problema de representación irreductible a probar tres hechos que ya estaban a nuestro alcance en ese momento. "Fue un momento mágico para mí", dijo, y agregó que su vida personal "estaba llena de ansiedad y miedo sobre el futuro. Para mí, las matemáticas eran algo que necesitaba conexión a tierra y meditación, para sacarme de esa ansiedad".

A principios de 2023, Gaitsgory y Raskin, junto con Arinkin, Rozenblyum, Færgeman y otros cuatro investigadores, habían producido una prueba completa de la "mejor esperanza" de Beilinson y Drinfeld, revisada por Gaitsgory y Arinkin. (Los otros investigadores fueron Dario Beraldo del University College London, Lin Chen de la Universidad Tsinghua y Justin Campbell y Kevin Lin de la Universidad de Chicago). El equipo pasó otro año escribiendo la prueba. Publicaron la prueba en línea en febrero de este año. Aunque estos artículos siguen el esquema desarrollado por Gaitsgory en 2013, simplifican el enfoque de Gaitsgory y lo mejoran en muchos aspectos. "Muchas personas inteligentes contribuyeron con muchas ideas nuevas a este logro incomparable", dijo Lafforgue.

"No sólo lo demostraron", dijo Ben-Zvi, "desarrollaron todo un mundo a su alrededor".

más costa

Para Gaitsgory, la realización de este sueño de décadas está lejos del final de la historia. Hay muchos más enigmas que los matemáticos deben resolver: explorar más profundamente su conexión con la física cuántica, extender este resultado a las superficies perforadas de Riemann y descubrir sus implicaciones para otras columnas de la Piedra Rosetta. "Esto se siente (al menos para mí) más como derribar una gran roca, pero todavía estamos muy lejos del núcleo", escribió Gaitsgory en un correo electrónico.

Los investigadores que trabajan en los otros dos campos están ahora ansiosos por traducir esta prueba. "El hecho de que uno de los fragmentos principales haya sido resuelto debería tener un impacto significativo en el estudio general de la correspondencia de Langlands", dijo Ben-Zvi.

Pero no todo se puede resumir; por ejemplo, en la teoría de números y la configuración del dominio de funciones, no existe un equivalente a la idea de la teoría de campos conforme, y la teoría de campos conforme permite a los investigadores construir estructuras especiales en configuraciones de capas de características geométricas. Gran parte de esta prueba requerirá algunos ajustes laboriosos antes de que pueda usarse en otros campos. No está claro si podemos "transferir estas ideas a un contexto diferente donde tal vez no se hayan utilizado", dice Tony Feng de Berkeley.

Pero muchos investigadores son optimistas en cuanto a que este creciente mar de ideas eventualmente se extenderá a otros campos. "Va a traspasar todas las barreras entre disciplinas", afirmó Ben-Zvi.

Durante la última década, los investigadores han comenzado a descubrir conexiones entre el campo de la geometría y los otros dos campos. “Si (la conjetura geométrica de Langlands) se hubiera probado con éxito hace 10 años, los resultados habrían sido muy diferentes”, dijo Feng. “La gente no se habría dado cuenta de que su impacto podría extenderse a la comunidad (de Geométrica Langlands).

Gaitsgory, Raskin y sus colaboradores han logrado algunos avances en la traducción de las pruebas geométricas de Langlands a campos de dominio funcionales. (Raskin insinúa que algunos de los descubrimientos que Gaitsgory y Raskin hicieron durante el largo viaje de este último "aún no han sido revelados"). Si la traducción tiene éxito, podría conducir a un sistema mucho más preciso de lo que los matemáticos conocían o incluso adivinaban anteriormente. Versión Langlands.

La mayoría de las traducciones de los campos de la geometría a los campos de la teoría de números pasan por el dominio de funciones. Pero en 2021, Laurent Fargues y Scholze, del Instituto Jussieu de Matemáticas de París, diseñaron un llamado agujero de gusano que puede llevar la idea de columnas geométricas directamente a una determinada parte del Programa Langlands en teoría de números.

"Definitivamente soy alguien que quiere traducir estas pruebas geométricas de Langlands", dijo Scholze. No es una tarea fácil, considerando que este mar creciente contiene miles de páginas de texto. "En este momento estoy retrasado con algunos artículos", dijo Scholze. "Estoy tratando de leer sus resultados alrededor de 2010".

Ahora que los investigadores geométricos de Langlands finalmente han presentado su extenso argumento en un artículo, Caraiani espera tener más tiempo para discutirlo con investigadores en el campo de la teoría de números. "Las personas tienen formas muy diferentes de pensar sobre los problemas", dijo. "Siempre es beneficioso si pueden reducir el ritmo, hablar entre sí y comprender la perspectiva de los demás". de la teoría de números, es sólo cuestión de tiempo.

Como dice Ben-Zvi: “Estos resultados son tan sólidos que una vez que empiezas, es difícil detenerse”.

Enlace original: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/