Νέα

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

από το quntamagazine

Συγγραφέας: Erica Klarreich

Συλλογή Machine Heart

Επιμέλεια: Panda

Μετά από τρεις δεκαετίες σκληρής δουλειάς, οι μαθηματικοί κατάφεραν να αποδείξουν σημαντικά μέρη ενός μεγάλου μαθηματικού οράματος που ονομάζεται πρόγραμμα Langlands.

Μια ομάδα εννέα μαθηματικών απέδειξε με επιτυχία τη γεωμετρική εικασία Langlands, ένα από τα πιο διαδεδομένα παραδείγματα στα σύγχρονα μαθηματικά.

Ο διάσημος μαθηματικός Peter Scholze του Ινστιτούτου Μαθηματικών Max Planck (ο οποίος δεν συμμετείχε σε αυτή την απόδειξη) είπε: Αυτή η απόδειξη είναι το αποκορύφωμα τριάντα ετών σκληρής δουλειάς. «Είναι υπέροχο να το βλέπεις να επιλύεται».

Το πρόγραμμα Langlands προτάθηκε από τον Robert Langlands τη δεκαετία του 1960. Είναι μια ευρεία γενίκευση της ανάλυσης Fourier, ένα ευρύ πλαίσιο για την αναπαράσταση σύνθετων κυμάτων ως πολλαπλών ημιτονίων που ταλαντώνονται ομαλά. Το Πρόγραμμα Langlands έχει σημαντική θέση σε τρεις διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών: τη θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία και το λεγόμενο πεδίο συνάρτησης. Αυτά τα τρία πεδία συνδέονται μέσω ενός δικτύου αναλογιών που έχει ονομαστεί η «πέτρα της Ροζέτας» των μαθηματικών.

Τώρα, μια σειρά εγγράφων αποδεικνύει την εικασία Langlands για τις γεωμετρικές στήλες αυτής της πέτρας Rosetta: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

«Πουθενά αλλού αυτό δεν έχει αποδειχθεί τόσο ολοκληρωμένα και σθεναρά», λέει ο David Ben-Zvi από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν.

Ο Alexander Beilinson, ένας από τους κορυφαίους πρωτοπόρους της γεωμετρικής έκδοσης του προγράμματος Langlands, είπε: «Αυτά είναι όμορφα μαθηματικά, το πιο όμορφο είδος».

Η απόδειξη αποτελείται από 5 εργασίες, συνολικά πάνω από 800 σελίδες. Προέρχονται από μια ομάδα με επικεφαλής τον Dennis Gaitsgory (Ινστιτούτο Max Planck) και τον Sam Raskin (Πανεπιστήμιο Yale).

Ο Gaitsgory εργάζεται για την απόδειξη της γεωμετρικής εικασίας Langlands τα τελευταία 30 χρόνια. Τις τελευταίες δεκαετίες, ο ίδιος και οι συνεργάτες του απέκτησαν μεγάλο αριθμό ερευνητικών αποτελεσμάτων και ολοκλήρωσαν αυτήν την απόδειξη σε αυτές τις βάσεις. Ο Vincent Lafforgue του Πανεπιστημίου της Γκρενόμπλ-Άλπεις συγκρίνει αυτές τις προόδους με μια "ανερχόμενη θάλασσα" όπως λέει το ερευνητικό πνεύμα του Alexander Grothendieck, του εξαιρετικού μαθηματικού του 20ου αιώνα - Λύστε δύσκολα προβλήματα δημιουργώντας μια ανερχόμενη θάλασσα από ιδέες. .

Ο Dennis Gaitsgory (φωτογραφία αριστερά) και ο Sam Raskin (φωτογραφία δεξιά) οδήγησαν μια ομάδα εννέα ατόμων που απέδειξε τη γεωμετρική εικασία Langlands.

Θα χρειαστεί λίγος χρόνος για να επαληθευτεί η νέα τους απόδειξη, αλλά πολλοί μαθηματικοί λένε ότι πιστεύουν ότι η βασική ιδέα της είναι σωστή. «Η εσωτερική συνέπεια της θεωρίας είναι πολύ καλή, επομένως είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι είναι λάθος», είπε ο Lafforgue.

Στα χρόνια που προηγήθηκαν της απόδειξης, η ερευνητική ομάδα δημιούργησε περισσότερα από ένα μονοπάτια προς την καρδιά του προβλήματος. «Η κατανόηση που πήραν ήταν τόσο πλούσια και ευρεία που περιέβαλαν το πρόβλημα από όλες τις κατευθύνσεις», είπε «Δεν υπήρχε διαφυγή από αυτό».

μεγάλη ενοποιημένη θεωρία

Το 1967, ο 30χρονος καθηγητής του Πανεπιστημίου του Πρίνστον, Ρόμπερτ Λάνγκλαντς, εξέθεσε τις ιδέες του σε μια χειρόγραφη επιστολή 17 σελίδων προς τον Αντρέ Βάιλ, τον δημιουργό του Οράματος της Ροζέτα. Ο Langlands έγραψε ότι σε αυτή τη στήλη Rosetta Stone της θεωρίας αριθμών και των λειτουργικών πεδίων θα ήταν δυνατό να δημιουργηθεί μια γενικευμένη έκδοση της ανάλυσης Fourier που θα είχε εκπληκτικό εύρος και δύναμη.

Στην κλασική ανάλυση Fourier, μια διαδικασία που ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier χρησιμοποιείται για να δημιουργήσει μια αντιστοιχία μεταξύ δύο διαφορετικών τρόπων σκέψης για ένα μοτίβο κύματος, όπως ένα ηχητικό κύμα. Στη μία πλευρά αυτής της αντιστοιχίας βρίσκονται τα ίδια τα κύματα. (Την ονομάζουμε πλευρά του κύματος). Αυτό κυμαίνεται από απλά ημιτονοειδή κύματα (τα οποία από ακουστική άποψη είναι καθαροί τόνοι) έως πολύπλοκα κύματα που αποτελούνται από πολλαπλά ημιτονοειδή κύματα. Στην άλλη πλευρά αυτής της αντιστοιχίας είναι το φάσμα ενός συνημιτονικού κύματος - το ύψος στην ακουστική. (Οι μαθηματικοί το αποκαλούν φασματική πλευρά).

Ο μετασχηματισμός Fourier πηγαίνει μπρος-πίσω μεταξύ αυτών των δύο πλευρών. Στη μία κατεύθυνση, σπάει το κύμα σε ένα σύνολο συχνοτήτων, προς την άλλη κατεύθυνση, αναδομεί το κύμα με βάση τις συστατικές συχνότητες του. Αυτή η ικανότητα μετατροπής και προς τις δύο κατευθύνσεις επιτρέπει αμέτρητες εφαρμογές — χωρίς αυτήν, δεν θα είχαμε σύγχρονες τηλεπικοινωνίες, επεξεργασία σήματος, απεικόνιση μαγνητικού συντονισμού ή πολλές άλλες ανάγκες της σύγχρονης ζωής.

Ο Langlands πρότεινε ότι η θεωρία αριθμών και τα πεδία συναρτήσεων της Rosetta Stone έχουν επίσης παρόμοιους μετασχηματισμούς, αλλά τα κύματα και οι συχνότητες εδώ είναι πιο πολύπλοκα.

Στο παρακάτω βίντεο, ο μαθηματικός Alex Kontorovich του Πανεπιστημίου Rutgers μας ταξιδεύει στη χώρα των μαθηματικών για να κατανοήσουμε τις εκπληκτικές συμμετρίες στην καρδιά του προγράμματος Langlands.

Πηγή βίντεο: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

Σε καθένα από αυτά τα πεδία, υπάρχει μια πλευρά κύματος που αποτελείται από ένα σύνολο ειδικών συναρτήσεων που μοιάζουν με επαναλαμβανόμενα κύματα. Οι πιο καθαρές από αυτές τις ειδικές συναρτήσεις ονομάζονται ιδιοσυναρτήσεις και λειτουργούν σαν ημιτονοειδή κύματα. Κάθε ιδιοσυνάρτηση έχει μια ιδιοσυχνότητα. Ωστόσο, ενώ η συχνότητα ενός ημιτονοειδούς κύματος είναι ένας αριθμός, η συχνότητα μιας ιδιοσυνάρτησης είναι ένας άπειρος κατάλογος αριθμών.

Υπάρχει επίσης μια πλευρά φάσματος. Αυτό αποτελείτο από αντικείμενα στη θεωρία αριθμών. Πρότεινε ότι υπάρχει ένας μηχανισμός επεξεργασίας παρόμοιος με τον μετασχηματισμό Fourier που συνδέει την κυματική πλευρά εδώ με τη φασματική πλευρά. «Υπάρχει κάτι μαγικό σε αυτό», είπε ο Ben-Zvi «Δεν είναι κάτι που θα μπορούσαμε να προβλέψουμε χωρίς κανένα λόγο».

Τα κύματα και οι ετικέτες συχνότητάς τους προέρχονται από πολύ διαφορετικές σφαίρες δεδομένων, επομένως η απόδειξη μιας αντιστοιχίας μεταξύ τους θα ήταν ιδιαίτερα ικανοποιητική. Για παράδειγμα, στη δεκαετία του 1990, η απόδειξη της αντιστοιχίας της θεωρίας αριθμών Langlands ενός σχετικά μικρού συνόλου συναρτήσεων επέτρεψε στους Andrew Wiles και Richard Taylor να αποδείξουν το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - αυτό το πρόβλημα ήταν κάποτε το πιο διάσημο πρόβλημα που αποδείχθηκε στα μαθηματικά που η μαθηματική κοινότητα εργάζεται εδώ και τρεις αιώνες.

Ο Έντουαρντ Φρένκελ του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϋ είπε: Το Πρόγραμμα Langlands θεωρείται ως «η μεγάλη ενοποιημένη θεωρία των μαθηματικών». Ωστόσο, ακόμη και όταν οι μαθηματικοί έχουν εργαστεί για να αποδείξουν όλο και μεγαλύτερα μέρη του οράματος του Langlands, γνωρίζουν καλά ότι είναι ελλιπές. Στη στήλη γεωμετρίας αυτής της πέτρας Rosetta, η σχέση μεταξύ των κυμάτων και των ετικετών συχνότητας φαίνεται αδύνατο να αντικατοπτριστεί.

Κοκκος ΑΜΜΟΥ

Από το έργο του Langlands οι μαθηματικοί είχαν μια ιδέα για το πώς θα έμοιαζε η φασματική πλευρά της γεωμετρικής αντιστοιχίας Langlands. Η τρίτη στήλη (γεωμετρία) του Weil's Rosetta Stone περιλαμβάνει συμπαγείς επιφάνειες Riemann, συμπεριλαμβανομένων σφαιρών, επιφανειών σε σχήμα ντόνατ και πορώδεις επιφάνειες σε σχήμα ντόνατ. Μια δεδομένη επιφάνεια Riemann έχει ένα αντίστοιχο αντικείμενο, που ονομάζεται θεμελιώδης ομάδα, η οποία παρακολουθεί τις διάφορες μορφές βρόχων που περιβάλλουν την επιφάνεια.

Οι μαθηματικοί εικάζουν ότι η φασματική πλευρά που αντιστοιχεί στα γεωμετρικά Langlands θα πρέπει να αποτελείται από συγκεκριμένες μορφές απόσταξης της θεμελιώδους ομάδας.

Εάν η αντιστοιχία Langlands πρέπει να αντικατοπτρίζεται στις γεωμετρικές στήλες της πέτρας της Ροζέτα, τότε κάθε αναπαράσταση της θεμελιώδους ομάδας μιας επιφάνειας Riemann θα πρέπει να είναι μια ετικέτα συχνότητας - αλλά ποια ετικέτα συχνότητας;

Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να βρουν κανένα σύνολο χαρακτηριστικών συναρτήσεων των οποίων οι συχνότητες φαίνεται να σηματοδοτούν την αναπαράσταση θεμελιωδών ομάδων. Στη συνέχεια, στη δεκαετία του 1980, ο Vladimir Drinfeld, τώρα στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο, συνειδητοποίησε ότι ήταν δυνατό να δημιουργηθούν γεωμετρικές αντιστοιχίες Langlands αντικαθιστώντας τις ιδιοσυναρτήσεις με πιο σύνθετα αντικείμενα που ονομάζονται eigensheafs—αλλά εκείνη την εποχή, γνώριζε μόνο πώς δημιουργούνται μερικές στοίβες χαρακτηριστικών .

Τα δεμάτια είναι πολύ πιο βαθιά από τις συναρτήσεις, έτσι οι θεωρητικοί αριθμών εκείνη την εποχή δεν ήξεραν τι να κάνουν με τον γεωμετρικό ξάδερφο αυτού του ομολόγου του Langlands. Αλλά το γεωμετρικό πρόγραμμα Langlands (παρά τις απόκρυφες πτυχές του) έχει ένα μεγάλο πλεονέκτημα σε σχέση με τη θεωρητική έκδοση αριθμών του προγράμματος Langlands. Στο Geometric Langlands, η συχνότητα του στρώματος χαρακτηριστικών ελέγχεται από σημεία σε μια επιφάνεια Riemannian, με κάθε σημείο σε μια σφαίρα ή ένα ντόνατ να μοιάζει πολύ σε κοντινή απόσταση. Αλλά στη θεωρία αριθμών Langlands, οι συχνότητες ελέγχονται από πρώτους αριθμούς και κάθε πρώτος αριθμός έχει τις δικές του ιδιότητες. Οι μαθηματικοί δεν ξέρουν «πώς να πηγαίνουν από τον έναν πρώτο στον άλλο με ωραίο τρόπο», λέει η θεωρητικός αριθμών Ana Caraiani από το Imperial College του Λονδίνου.

Οι επιφάνειες Riemann διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στη φυσική, ειδικά στη θεωρία σύμμορφων πεδίων, όπου ελέγχουν τη συμπεριφορά των υποατομικών σωματιδίων σε ορισμένα πεδία δύναμης. Στις αρχές της δεκαετίας του 1990, ο Beilinson και ο Drinfeld έδειξαν πώς η θεωρία του σύμμορφου πεδίου θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία μερικών ιδιαίτερα ωραίων επιπέδων χαρακτηριστικών.

Αυτή η σύνδεση με τη θεωρία του σύμμορφου πεδίου οδήγησε τους Beilinson και Drinfeld να σκεφτούν πώς να κατασκευάσουν μια ανάλυση Fourier για το δεμάτιο. «Είναι σαν ένας κόκκος άμμου που πυροδοτεί την κρυστάλλωση», είπε ο Ben-Zvi.

Οι Beilinson και Drinfeld παρουσίασαν ένα πλούσιο όραμα για το πώς πρέπει να λειτουργούν οι γεωμετρικές αντιστοιχίες Langlands. Δεν είναι μόνο ότι κάθε αναπαράσταση μιας θεμελιώδους ομάδας πρέπει να επισημαίνεται με τη συχνότητα ενός επιπέδου χαρακτηριστικών. Πιστεύουν ότι αυτή η αλληλογραφία θα πρέπει επίσης να σέβεται τις σημαντικές σχέσεις και από τις δύο πλευρές.

Ο Beilinson εισήγαγε αυτό το αναπτυσσόμενο ερευνητικό τοπίο σε μια σειρά διαλέξεων στο Πανεπιστήμιο του Τελ Αβίβ στα μέσα της δεκαετίας του 1990. Ο Gaitsgory, ο οποίος ήταν μεταπτυχιακός φοιτητής εδώ εκείνη την εποχή, πάλευε να απορροφήσει κάθε λέξη του. «Ήμουν σαν ένα νεοεκκολαφθέν παπάκι που απέκτησε ένα είδος συμπεριφοράς αποτύπωσης», θυμάται.

Για τα επόμενα 30 χρόνια, η γεωμετρική εικασία Langlands ήταν η κύρια κινητήρια δύναμη της μαθηματικής καριέρας του Gaitsgory. «Δουλεύω ασταμάτητα όλα αυτά τα χρόνια, πλησιάζω όλο και πιο κοντά στον στόχο, αναπτύσσοντας διαφορετικά εργαλεία», είπε.

ανερχόμενη θάλασσα

Ο Beilinson και ο Drinfeld δήλωσαν μόνο χαλαρά τις εικασίες τους, οι οποίες αποδείχτηκαν λίγο υπεραπλουστευμένες από τον τρόπο που υποτίθεται ότι λειτουργούν οι σχέσεις στο "The Best Hope". Το 2012, ο Gaitsgory και η Dima Arinkin από το Πανεπιστήμιο του Wisconsin-Madison ανακάλυψαν πώς να μετατρέψουν αυτή την «καλύτερη ελπίδα» σε ακριβή εικασία.

Το επόμενο έτος, ο Gaitsgory έγραψε ένα περίγραμμα πιθανών τρόπων για να αποδείξει τη γεωμετρική εικασία Langlands. Το περίγραμμα βασίστηκε σε μεγάλο αριθμό ενδιάμεσων δηλώσεων, πολλές από τις οποίες δεν είχαν αποδειχθεί εκείνη την εποχή. Ο Gaitsgory και οι συνεργάτες του βάλθηκαν να τους αποδείξουν.

Τα επόμενα χρόνια, ο Gaitsgory και ο Nick Rozenblyum από το Πανεπιστήμιο του Τορόντο έγραψαν δύο βιβλία σε επίπεδα, αθροίζοντας σχεδόν 1.000 σελίδες. Σε αυτό το δίτομο σύνολο, το γεωμετρικό πρόγραμμα Langlands αναφέρεται μόνο μία φορά. «Αλλά ο σκοπός ήταν να βάλουμε τα θεμέλια που χρησιμοποιήσαμε αργότερα πολύ», είπε ο Gaitsgory.

Το 2020, ο Gaitsgory ανακάλυψε ξαφνικά ότι είχε πολύ λίγα στο πρόγραμμά του. «Πέρασα τρεις μήνες ξαπλωμένος στο κρεβάτι, απλώς σκεφτόμουν», είπε αυτές οι σκέψεις τελικά οδήγησαν σε μια εργασία (με έξι συγγραφείς). Αν και η εργασία επικεντρώθηκε στο λειτουργικό πεδίο του Προγράμματος Langlands, περιείχε επίσης "ένα σπόρο" που θα γινόταν βασικό συστατικό για την απόδειξη της γεωμετρικής εικασίας του Langlands: μια μέθοδος για την κατανόηση των ιδιοτήτων του λεγόμενου "λευκού θορύβου". "μέθοδοι.

Φωτογραφίες επτά άλλων ερευνητών. Δεξιόστροφα από αριστερά: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell και Dima Arinkin.

Στον κλασικό κόσμο της επεξεργασίας σήματος, τα ηχητικά κύματα μπορούν να κατασκευαστούν από ημιτονοειδή κύματα, των οποίων οι συχνότητες αντιστοιχούν στα γήπεδα του ήχου. Δεν αρκεί να γνωρίζετε ποιες φωνές περιέχει ένας ήχος - πρέπει επίσης να γνωρίζετε πόσο δυνατός είναι κάθε τόνος. Αυτές οι πληροφορίες σάς επιτρέπουν να γράψετε τον ήχο ως συνδυασμό ημιτονοειδών κυμάτων: απλώς ξεκινήστε με ένα ημιτονοειδές κύμα με πλάτος 1, πολλαπλασιάστε τα ημιτονοειδή κύματα με τον κατάλληλο παράγοντα έντασης και προσθέστε τα ημιτονοειδή κύματα μαζί. Το άθροισμα όλων των διαφορετικών ημιτονοειδών κυμάτων με πλάτος 1 είναι αυτό που ονομάζουμε συχνά «λευκό θόρυβο».

Στον κόσμο του Προγράμματος Geometric Langlands, το στρώμα χαρακτηριστικών λειτουργεί σαν ημιτονοειδές κύμα. Ο Gaitsgory και οι συνεργάτες του εντόπισαν κάτι που ονομάζεται δέσμη Πουανκαρέ, που φαίνεται να λειτουργεί σαν λευκός θόρυβος. Αλλά δεν ήταν σαφές σε αυτούς τους ερευνητές εάν κάθε χαρακτηριστικό στρώμα θα μπορούσε να αναπαρασταθεί σε ένα στρώμα Poincaré, πόσο μάλλον εάν θα είχαν όλοι το ίδιο πλάτος.

Την άνοιξη του 2022, ο Raskin και ο μεταπτυχιακός φοιτητής του Joakim Færgeman έδειξαν πώς να χρησιμοποιούν ιδέες από αυτή την εργασία των έξι συγγραφέων για να δείξουν ότι κάθε επίπεδο χαρακτηριστικών είναι πράγματι αναπαραστάσιμο σε ένα επίπεδο Poincaré. Μιλώντας για την απόδειξη της γεωμετρικής εικασίας του Langlands, ο Gaitsgory είπε: «Μετά το χαρτί του Sam και του Joakim, είμαι πολύ σίγουρος ότι μπορούμε να το κάνουμε σε σύντομο χρονικό διάστημα».

Οι ερευνητές πρέπει να αποδείξουν ότι όλα τα επίπεδα χαρακτηριστικών συμβάλλουν εξίσου στο επίπεδο Poincaré και ότι η αναπαράσταση θεμελιωδών ομάδων σηματοδοτεί τη συχνότητα αυτών των επιπέδων χαρακτηριστικών. Συνειδητοποίησαν ότι το πιο δύσκολο κομμάτι ήταν να ασχοληθούν με αναπαραστάσεις αυτής της θεμελιώδους ομάδας: μη αναγώγιμες αναπαραστάσεις.

Η επίλυση αυτών των μη αναστρέψιμων αναπαραστάσεων προέκυψε σε μια εποχή που η προσωπική ζωή του Ράσκιν ήταν σε αναταραχή. Μια μέρα, εβδομάδες αφότου αυτός και ο Færgeman δημοσίευσαν το έγγραφό τους στο Διαδίκτυο, ο Raskin έπρεπε να πάει εσπευσμένα την έγκυο σύζυγό του στο νοσοκομείο πριν επιστρέψει στο σπίτι για να πάει τον γιο του στο νηπιαγωγείο για πρώτη φορά. Η σύζυγος του Ράσκιν πέρασε έξι εβδομάδες στο νοσοκομείο μέχρι να γεννηθεί το δεύτερο παιδί τους. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η ζωή του Raskin κυλούσε συνεχώς - ταξίδευε συνεχώς πέρα ​​δώθε μεταξύ του σπιτιού, του σχολείου του γιου του και του νοσοκομείου για να εξασφαλίσει την κανονική ζωή του γιου του. «Όλη μου η ζωή εκείνη την εποχή ήταν τα αυτοκίνητα και η φροντίδα των ανθρώπων», είπε.

Συζήτησε για τα μαθηματικά στο τηλέφωνο με τον Γκαίτσγκορι ενώ οδηγούσε. Προς το τέλος της πρώτης από αυτές τις εβδομάδες, ο Ράσκιν συνειδητοποίησε ότι μπορούσε να περιορίσει αυτό το πρόβλημα της μη αναγώγιμης αναπαράστασης στην απόδειξη τριών γεγονότων που ήταν ήδη εφικτά εκείνη τη στιγμή. «Ήταν μια μαγική στιγμή για μένα», είπε, προσθέτοντας ότι η προσωπική του ζωή «ήταν γεμάτη αγωνίες και φόβους για το μέλλον, τα μαθηματικά ήταν κάτι που χρειαζόταν γείωση και διαλογισμό.

Μέχρι τις αρχές του 2023, ο Gaitsgory και ο Raskin, μαζί με τους Arinkin, Rozenblyum, Færgeman και τέσσερις άλλους ερευνητές, είχαν παράγει μια πλήρη απόδειξη της «καλύτερης ελπίδας» των Beilinson και Drinfeld, αναθεωρημένη από τους Gaitsgory και Arinkin. (Οι άλλοι ερευνητές ήταν ο Dario Beraldo του University College του Λονδίνου, ο Lin Chen του Πανεπιστημίου Tsinghua και οι Justin Campbell και Kevin Lin από το Πανεπιστήμιο του Σικάγο.) Η ομάδα πέρασε άλλον έναν χρόνο γράφοντας την απόδειξη. Δημοσίευσαν την απόδειξη στο διαδίκτυο τον Φεβρουάριο του τρέχοντος έτους. Αν και αυτές οι εργασίες ακολουθούν το περίγραμμα που αναπτύχθηκε από τον Gaitsgory το 2013, απλοποιούν την προσέγγιση του Gaitsgory και τη βελτιώνουν με πολλούς τρόπους. «Πολλοί έξυπνοι άνθρωποι συνέβαλαν με πολλές νέες ιδέες σε αυτό το απαράμιλλο επίτευγμα», είπε ο Lafforgue.

«Δεν το απέδειξαν απλώς», είπε ο Ben-Zvi, «ανέπτυξαν έναν ολόκληρο κόσμο γύρω του».

περαιτέρω ακτή

Για τον Gaitsgory, η πραγματοποίηση αυτού του ονείρου δεκαετιών απέχει πολύ από το τέλος της ιστορίας. Υπάρχουν πολλοί περαιτέρω γρίφοι που μπορούν να λύσουν οι μαθηματικοί - εξερευνώντας βαθύτερα τη σύνδεσή του με την κβαντική φυσική, επεκτείνοντας αυτό το αποτέλεσμα σε διάτρητες επιφάνειες Riemann, ανακαλύπτοντας τις επιπτώσεις του για άλλες στήλες της πέτρας της Ροζέτα. «Αυτό μοιάζει (τουλάχιστον σε μένα) περισσότερο σαν να κοπανάμε σε έναν μεγάλο ογκόλιθο, αλλά είμαστε ακόμα πολύ μακριά από τον πυρήνα», έγραψε ο Gaitsgory σε ένα email.

Οι ερευνητές που εργάζονται στα άλλα δύο πεδία είναι τώρα πρόθυμοι να μεταφράσουν αυτήν την απόδειξη. «Το γεγονός ότι ένα από τα κύρια θραύσματα έχει επιλυθεί θα πρέπει να έχει σημαντικό αντίκτυπο στη συνολική μελέτη της αλληλογραφίας των Langlands», είπε ο Ben-Zvi.

Αλλά δεν μπορούν να αναλυθούν τα πάντα - για παράδειγμα, στις ρυθμίσεις του τομέα της θεωρίας αριθμών και των συναρτήσεων, δεν υπάρχει ισοδύναμο με την ιδέα της θεωρίας σύμφωνου πεδίου και η θεωρία σύμφωνου πεδίου επιτρέπει στους ερευνητές να κατασκευάσουν ειδικές δομές σε γεωμετρικές ρυθμίσεις. Μεγάλο μέρος αυτής της απόδειξης θα απαιτήσει κάποια επίπονη προσαρμογή προτού μπορέσει να χρησιμοποιηθεί σε άλλους τομείς. Δεν είναι σαφές εάν μπορούμε να "μεταφέρουμε αυτές τις ιδέες σε ένα διαφορετικό πλαίσιο όπου μπορεί να μην είχαν χρησιμοποιηθεί", λέει ο Tony Feng του Berkeley.

Αλλά πολλοί ερευνητές είναι αισιόδοξοι ότι αυτή η ανερχόμενη θάλασσα ιδεών θα εξαπλωθεί τελικά σε άλλους τομείς. «Θα διαπεράσει όλα τα εμπόδια μεταξύ των κλάδων», είπε ο Ben-Zvi.

Την τελευταία δεκαετία, οι ερευνητές άρχισαν να ανακαλύπτουν συνδέσεις μεταξύ του γεωμετρικού πεδίου και των άλλων δύο πεδίων. «Αν (η εικασία του Γεωμετρικού Λάνγκλαντ) είχε αποδειχθεί επιτυχώς πριν από 10 χρόνια, τα αποτελέσματα θα ήταν πολύ διαφορετικά», είπε ο Φενγκ: «Οι άνθρωποι δεν θα είχαν συνειδητοποιήσει ότι ο αντίκτυπός της θα μπορούσε να επεκταθεί στην κοινότητα (Γεωμετρική Λάνγκλαντ).

Οι Gaitsgory, Raskin και οι συνεργάτες τους έχουν σημειώσει κάποια πρόοδο στη μετάφραση των γεωμετρικών αποδείξεων Langlands σε πεδία λειτουργικού τομέα. (Ο Ράσκιν υπαινίσσεται ότι ορισμένες από τις ανακαλύψεις που έκαναν ο Γκάιτσγκορι και ο Ράσκιν κατά τη διάρκεια της μακράς διαδρομής του τελευταίου «δεν έχουν ακόμη αποκαλυφθεί».) Εάν η μετάφραση πετύχει, θα μπορούσε να οδηγήσει σε ένα σύστημα πολύ πιο ακριβές από ό,τι γνώριζαν ή έστω μάντευαν προηγουμένως οι μαθηματικοί. Έκδοση Langlands τομέα συναρτήσεων.

Οι περισσότερες μεταφράσεις από πεδία γεωμετρίας σε πεδία θεωρίας αριθμών περνούν από τον τομέα συνάρτησης. Αλλά το 2021, ο Laurent Fargues και ο Scholze του Ινστιτούτου Μαθηματικών Jussieu στο Παρίσι σχεδίασαν μια λεγόμενη σκουληκότρυπα που μπορεί να φέρει την ιδέα των γεωμετρικών στηλών απευθείας σε ένα συγκεκριμένο μέρος του προγράμματος Langlands στη θεωρία αριθμών.

«Είμαι σίγουρα κάποιος που θέλει να μεταφράσει αυτές τις γεωμετρικές αποδείξεις του Langlands», είπε ο Scholze, αν σκεφτεί κανείς ότι αυτή η αναδυόμενη θάλασσα περιέχει χιλιάδες σελίδες κειμένου. «Είμαι λίγα χαρτιά πίσω αυτή τη στιγμή», είπε ο Scholze «Προσπαθώ να διαβάσω τα αποτελέσματά τους γύρω στο 2010».

Τώρα που οι ερευνητές των γεωμετρικών Langlands παρουσίασαν επιτέλους το μακροσκελές επιχείρημά τους σε μια εργασία, ο Caraiani ελπίζει ότι θα έχουν περισσότερο χρόνο να το συζητήσουν με ερευνητές στο πεδίο της θεωρίας αριθμών. «Οι άνθρωποι έχουν πολύ διαφορετικούς τρόπους σκέψης για τα προβλήματα», είπε «Είναι πάντα ωφέλιμο αν μπορούν να επιβραδύνουν, να μιλήσουν ο ένας στον άλλον και να κατανοήσουν την προοπτική του άλλου». της θεωρίας αριθμών, είναι απλώς θέμα χρόνου.

Όπως το θέτει ο Ben-Zvi: «Αυτά τα αποτελέσματα είναι τόσο ισχυρά που μόλις ξεκινήσεις, είναι δύσκολο να σταματήσεις».

Αρχικός σύνδεσμος: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/