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von Quantamagazine

Autorin: Erica Klarreich

Maschinenherz-Zusammenstellung

Herausgeber: Panda

Nach drei Jahrzehnten harter Arbeit ist es Mathematikern gelungen, wesentliche Teile einer großen mathematischen Vision namens Langlands-Programm zu beweisen.

Einem Team aus neun Mathematikern gelang der Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung, eines der am weitesten verbreiteten Paradigmen der modernen Mathematik.

Der berühmte Mathematiker Peter Scholze vom Max-Planck-Institut für Mathematik (der an diesem Beweis nicht beteiligt war) sagte: „Dieser Beweis ist der Höhepunkt von dreißig Jahren harter Arbeit.“ „Es ist großartig zu sehen, dass es gelöst wird.“

Das Langlands-Programm wurde in den 1960er Jahren von Robert Langlands vorgeschlagen. Es handelt sich um eine umfassende Verallgemeinerung der Fourier-Analyse, einen weitreichenden Rahmen zur Darstellung komplexer Wellen als mehrere gleichmäßig oszillierende Sinuskurven. Das Langlands-Programm nimmt in drei verschiedenen Bereichen der Mathematik einen wichtigen Platz ein: Zahlentheorie, Geometrie und das sogenannte Funktionenfeld. Diese drei Bereiche sind durch ein Netzwerk von Analogien verbunden, das als „Rosetta-Stein“ der Mathematik bezeichnet wird.

Nun beweist eine Reihe von Arbeiten die Langlands-Vermutung über die geometrischen Säulen dieses Rosetta-Steins: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

„Nirgendwo sonst wurde dies so umfassend und überzeugend nachgewiesen“, sagt David Ben-Zvi von der University of Texas in Austin.

Alexander Beilinson, einer der führenden Pioniere der geometrischen Version des Langlands-Programms, sagte: „Das ist wunderschöne Mathematik, die schönste Art.“

Der Beweis besteht aus 5 Arbeiten mit insgesamt über 800 Seiten. Sie stammen von einem Team um Dennis Gaitsgory (Max-Planck-Institut) und Sam Raskin (Yale University).

Gaitsgory arbeitet seit 30 Jahren am Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung. Er und seine Mitarbeiter haben in den letzten Jahrzehnten zahlreiche Forschungsergebnisse gewonnen und auf dieser Grundlage den Beweis erbracht. Vincent Lafforgue von der Universität Grenoble-Alpes verglich diese Fortschritte mit einem „steigenden Meer“; er sagte, es sei wie der Forschergeist von Alexander Grothendieck, dem herausragenden Mathematiker des 20. Jahrhunderts .

Dennis Gaitsgory (Bild links) und Sam Raskin (Bild rechts) leiteten ein neunköpfiges Team, das die Geometrische Langlands-Vermutung bewies.

Es wird einige Zeit dauern, ihren neuen Beweis zu überprüfen, aber viele Mathematiker sagen, dass sie glauben, dass die Kernidee richtig ist. „Die interne Konsistenz der Theorie ist sehr gut, daher ist es schwer zu glauben, dass sie falsch ist“, sagte Lafforgue.

In den Jahren vor dem Beweis hat das Forschungsteam mehr als einen Weg zum Kern des Problems gefunden. „Das Verständnis, das sie erlangten, war so umfassend und weitreichend, dass sie das Problem von allen Seiten umzingelten“, sagte er. „Es gab kein Entrinnen.“

große einheitliche Theorie

Im Jahr 1967 legte der 30-jährige Professor der Princeton University, Robert Langlands, seine Ideen in einem 17-seitigen handgeschriebenen Brief an André Weil, den Schöpfer der Rosetta Stone, dar. Langlands schrieb, dass es in dieser Rosetta Stone-Kolumne über Zahlentheorie und Funktionsfelder möglich sei, eine verallgemeinerte Version der Fourier-Analyse zu erstellen, die einen erstaunlichen Umfang und eine erstaunliche Aussagekraft hätte.

In der klassischen Fourier-Analyse wird ein Prozess namens Fourier-Transformation verwendet, um eine Entsprechung zwischen zwei unterschiedlichen Denkweisen über ein Wellenmuster, beispielsweise eine Schallwelle, herzustellen. Auf der einen Seite dieser Korrespondenz stehen die Wellen selbst. (Wir nennen es die Wellenseite). Dies reicht von einfachen Sinuswellen (die im akustischen Sinne reine Töne sind) bis hin zu komplexen Wellen, die aus mehreren Sinuswellen bestehen. Auf der anderen Seite dieser Entsprechung befindet sich das Spektrum einer Kosinuswelle – die Tonhöhe in der Akustik. (Mathematiker nennen dies die Spektralseite).

Die Fourier-Transformation geht zwischen diesen beiden Seiten hin und her. In der einen Richtung zerlegt es die Welle in eine Reihe von Frequenzen; in der anderen Richtung rekonstruiert es die Welle basierend auf ihren Komponentenfrequenzen. Diese Fähigkeit zur Umwandlung in beide Richtungen ermöglicht unzählige Anwendungen – ohne sie gäbe es keine moderne Telekommunikation, Signalverarbeitung, Magnetresonanztomographie und viele andere Notwendigkeiten des modernen Lebens.

Langlands schlug vor, dass die Zahlentheorie und die Funktionsfeldfelder von Rosetta Stone ebenfalls ähnliche Transformationen aufweisen, die Wellen und Frequenzen hier jedoch komplexer sind.

Im Video unten führt uns der Mathematiker der Rutgers University, Alex Kontorovich, durch das Land der Mathematik, um die atemberaubenden Symmetrien im Herzen des Langlands-Programms zu verstehen.

Videoquelle: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

In jedem dieser Felder gibt es eine Wellenseite, die aus einer Reihe spezieller Funktionen besteht, die sich wiederholenden Wellen ähneln. Die reinsten dieser Sonderfunktionen werden Eigenfunktionen genannt und wirken wie Sinuswellen. Jede Eigenfunktion hat eine Eigenfrequenz. Während jedoch die Frequenz einer Sinuswelle eine Zahl ist, ist die Frequenz einer Eigenfunktion eine unendliche Liste von Zahlen.

Es gibt auch eine Spektrumseite. Dies bestand aus Objekten in der Zahlentheorie; Langlands glaubte, dass diese Objekte das Spektrum charakteristischer Funktionen markierten. Er schlug vor, dass es einen Verarbeitungsmechanismus ähnlich der Fourier-Transformation gibt, der hier die Wellenseite mit der Spektralseite verbindet. „Das hat etwas Magisches“, sagte Ben-Zvi. „Das können wir nicht ohne Grund vorhersagen.“

Die Wellen und ihre Frequenzbezeichnungen stammen aus sehr unterschiedlichen Datenbereichen, daher wäre der Nachweis einer Übereinstimmung zwischen ihnen äußerst lohnenswert. Beispielsweise ermöglichte der Beweis der zahlentheoretischen Langlands-Korrespondenz einer relativ kleinen Menge von Funktionen Andrew Wiles und Richard Taylor, den letzten Satz von Fermat zu beweisen – dieses Problem war einst das berühmteste zu beweisende Problem in der Mathematik an dem die mathematische Gemeinschaft seit drei Jahrhunderten arbeitet.

Edward Frenkel von der University of California in Berkeley sagte: Das Langlands-Programm gilt als „die große einheitliche Theorie der Mathematik“. Doch obwohl Mathematiker daran gearbeitet haben, immer größere Teile von Langlands‘ Vision zu beweisen, sind sie sich bewusst, dass sie unvollständig ist. In der Geometriespalte dieses Rosetta-Steins scheint die Beziehung zwischen Wellen und Frequenzbezeichnungen unmöglich wiedergegeben zu werden.

Sandkorn

Aufgrund der Arbeit von Langlands hatten Mathematiker eine Vorstellung davon, wie die Spektralseite der geometrischen Langlands-Korrespondenz aussehen würde. Die dritte Säule (Geometrie) von Weils Rosetta-Stein umfasst kompakte Riemann-Oberflächen, einschließlich Kugeln, Donut-förmige Oberflächen und poröse Donut-förmige Oberflächen. Zu einer bestimmten Riemannschen Oberfläche gehört ein entsprechendes Objekt, die Grundgruppe, die die verschiedenen Formen von Schleifen um die Oberfläche verfolgt.

Mathematiker vermuten, dass die den geometrischen Langlands entsprechende Spektralseite aus spezifischen Destillationsformen der Grundgruppe bestehen sollte. Diese spezifischen Destillationsformen werden auch Darstellungen der Grundgruppe genannt.

Wenn sich die Langlands-Korrespondenz in den geometrischen Säulen des Rosetta-Steins widerspiegeln soll, dann sollte jede Darstellung der Grundgruppe einer Riemannschen Fläche eine Frequenzbezeichnung sein – aber welche Frequenzbezeichnung?

Mathematiker können keinen Satz charakteristischer Funktionen finden, deren Häufigkeiten die Darstellung grundlegender Gruppen zu kennzeichnen scheinen. Dann erkannte Vladimir Drinfeld, jetzt an der University of Chicago, in den 1980er Jahren, dass es möglich war, geometrische Langlands-Korrespondenzen zu erstellen, indem man Eigenfunktionen durch komplexere Objekte namens Eigengarben ersetzte – aber zu diesem Zeitpunkt wusste er nur, wie ein paar Feature-Stacks aufgebaut werden .

Garben sind viel tiefgründiger als Funktionen, daher wussten Zahlentheoretiker damals nicht, was sie vom geometrischen Cousin dieses Langlands-Gegenstücks halten sollten. Aber das geometrische Langlands-Programm hat (trotz seiner arkanen Aspekte) einen großen Vorteil gegenüber der zahlentheoretischen Version des Langlands-Programms. In den geometrischen Langlands wird die Frequenz des Feature-Layers durch Punkte auf einer Riemannschen Oberfläche gesteuert, wobei jeder Punkt auf einer Kugel oder einem Donut aus nächster Nähe sehr ähnlich aussieht. Aber in der Langlands-Zahlentheorie werden die Häufigkeiten durch Primzahlen gesteuert, und jede Primzahl hat ihre eigenen Eigenschaften. Mathematiker wissen nicht, „wie man auf schöne Weise von einer Primzahl zur anderen übergeht“, sagt die Zahlentheoretikerin Ana Caraiani vom Imperial College London.

Riemann-Oberflächen spielen eine wichtige Rolle in der Physik, insbesondere in der konformen Feldtheorie, wo sie das Verhalten subatomarer Teilchen in bestimmten Kraftfeldern steuern. In den frühen 1990er Jahren zeigten Beilinson und Drinfeld, wie die konforme Feldtheorie zum Aufbau einiger besonders schöner Feature-Layer genutzt werden kann.

Diese Verbindung zur konformen Feldtheorie veranlasste Beilinson und Drinfeld dazu, darüber nachzudenken, wie man eine Fourier-Analyse für die Garbe erstellen könnte. „Es ist wie ein Sandkorn, das eine Kristallisation auslöst“, sagte Ben-Zvi.

Beilinson und Drinfeld präsentierten eine umfassende Vision davon, wie geometrische Langlands-Korrespondenzen funktionieren sollten. Es geht nicht nur darum, dass jede Darstellung einer Grundgruppe mit einer Häufigkeit eines Feature-Layers gekennzeichnet sein sollte. Sie glauben, dass diese Korrespondenz auch die wichtigen Beziehungen auf beiden Seiten respektieren sollte. Beilinson und Drinfeld nennen diesen Ausblick „die beste Hoffnung“.

Beilinson stellte diese sich entwickelnde Forschungslandschaft Mitte der 1990er Jahre in einer Reihe von Vorlesungen an der Universität Tel Aviv vor. Gaitsgory, der damals hier als Doktorand arbeitete, hatte Mühe, jedes Wort davon zu verstehen. „Ich war wie ein frisch geschlüpftes Entlein, das eine Art Prägeverhalten entwickelt hat“, erinnert er sich.

In den nächsten 30 Jahren war die geometrische Langlands-Vermutung die treibende Kraft in Gaitsgorys mathematischer Karriere. „Ich habe über die Jahre ununterbrochen gearbeitet, bin dem Ziel immer näher gekommen und habe verschiedene Tools entwickelt“, sagte er.

steigender Meeresspiegel

Beilinson und Drinfeld äußerten ihre Vermutungen nur locker, was sich aufgrund der Art und Weise, wie die Beziehungen in „The Best Hope“ funktionieren sollen, als etwas zu stark vereinfacht herausstellte. Im Jahr 2012 fanden Gaitsgory und Dima Arinkin von der University of Wisconsin-Madison heraus, wie man diese „beste Hoffnung“ in eine genaue Vermutung umwandeln kann.

Im folgenden Jahr verfasste Gaitsgory einen Überblick über mögliche Wege zum Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung. Der Entwurf stützte sich auf eine Vielzahl von Zwischenaussagen, von denen viele zum damaligen Zeitpunkt unbewiesen waren. Gaitsgory und seine Mitarbeiter machten sich daran, dies zu beweisen.

In den nächsten Jahren schrieben Gaitsgory und Nick Rozenblyum von der University of Toronto zwei Bücher über Schichten mit einem Gesamtumfang von fast 1.000 Seiten. In diesem zweibändigen Satz wird das geometrische Langlands-Programm nur einmal erwähnt. „Aber der Zweck bestand darin, den Grundstein zu legen, den wir später häufig nutzten“, sagte Gaitsgory.

Im Jahr 2020 stellte Gaitsgory plötzlich fest, dass er nur noch sehr wenig auf seinem Terminplan hatte. „Ich habe drei Monate im Bett gelegen und nur nachgedacht“, sagte er. Diese Gedanken führten schließlich zu einem Artikel (mit sechs Autoren). Obwohl sich das Papier auf den funktionalen Bereich des Langlands-Programms konzentrierte, enthielt es auch „einen Keim“, der eine Schlüsselkomponente beim Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung werden sollte: eine Methode zum Verständnis der Eigenschaften, wie Schichten zum sogenannten „weißen Rauschen“ beitragen " Methoden.

Fotos von sieben weiteren Forschern. Im Uhrzeigersinn von links: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell und Dima Arinkin.

In der klassischen Welt der Signalverarbeitung können Schallwellen aus Sinuswellen aufgebaut werden, deren Frequenzen den Tonhöhen des Klangs entsprechen. Es reicht nicht aus, zu wissen, welche Tonhöhen ein Ton enthält – Sie müssen auch wissen, wie laut jede Tonhöhe ist. Mithilfe dieser Informationen können Sie den Klang als Kombination von Sinuswellen schreiben: Beginnen Sie einfach mit einer Sinuswelle der Amplitude 1, multiplizieren Sie die Sinuswellen mit dem entsprechenden Lautstärkefaktor und addieren Sie die Sinuswellen. Die Summe aller verschiedenen Sinuswellen mit einer Amplitude von 1 ist das, was wir oft „weißes Rauschen“ nennen.

In der Welt des Geometrischen Langlands-Programms verhält sich der Feature-Layer wie eine Sinuswelle. Gaitsgory und seine Mitarbeiter identifizierten eine sogenannte Poincaré-Garbe, die wie weißes Rauschen zu wirken scheint. Diesen Forschern war jedoch unklar, ob jede charakteristische Schicht in einer Poincaré-Schicht dargestellt werden kann, geschweige denn, ob sie alle die gleiche Amplitude haben würden.

Im Frühjahr 2022 zeigten Raskin und sein Doktorand Joakim Færgeman, wie sie Ideen aus diesem von sechs Autoren verfassten Artikel nutzen können, um zu zeigen, dass jede Feature-Ebene tatsächlich in einer Poincaré-Ebene darstellbar ist. Als Gaitsgory über den Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung sprach, sagte er: „Nach der Arbeit von Sam und Joakim bin ich mir sehr sicher, dass wir es in kurzer Zeit schaffen können.“

Forscher müssen nachweisen, dass alle Merkmalsschichten gleichermaßen zur Poincaré-Schicht beitragen und dass die grundlegende Gruppendarstellung die Häufigkeit dieser Merkmalsschichten kennzeichnet. Sie erkannten, dass der schwierigste Teil darin bestand, sich mit Darstellungen dieser grundlegenden Gruppe zu befassen: irreduziblen Darstellungen.

Die Lösung dieser irreduziblen Darstellungen erfolgte zu einer Zeit, als Raskins Privatleben in Aufruhr war. Eines Tages, Wochen nachdem er und Færgeman ihren Artikel online gestellt hatten, musste Raskin seine schwangere Frau schnell ins Krankenhaus bringen, bevor er nach Hause zurückkehrte, um seinen Sohn zum ersten Mal in den Kindergarten zu bringen. Raskins Frau verbrachte sechs Wochen im Krankenhaus, bis ihr zweites Kind geboren wurde. Während dieser Zeit drehte sich Raskins Leben ständig – er pendelte ständig zwischen seinem Zuhause, der Schule seines Sohnes und dem Krankenhaus hin und her, um das normale Leben seines Sohnes zu gewährleisten. „Mein ganzes Leben drehte sich damals um Autos und die Betreuung von Menschen“, sagte er.

Während der Fahrt telefonierte er mit Gaitsgory über Mathematik. Gegen Ende der ersten dieser Wochen erkannte Raskin, dass er dieses irreduzible Darstellungsproblem auf den Beweis von drei Tatsachen reduzieren konnte, die zu diesem Zeitpunkt bereits in Reichweite waren. „Es war eine magische Zeit für mich“, sagte er und fügte hinzu, dass sein Privatleben „voller Angst und Furcht vor der Zukunft war. Für mich war Mathematik etwas, das Erdung und Meditation brauchte, um mich aus dieser Angst herauszuholen.“

Bis Anfang 2023 hatten Gaitsgory und Raskin zusammen mit Arinkin, Rozenblyum, Færgeman und vier weiteren Forschern einen vollständigen Beweis für Beilinsons und Drinfelds „beste Hoffnung“ vorgelegt, der von Gaitsgory und Arinkin überarbeitet wurde. (Die anderen Forscher waren Dario Beraldo vom University College London, Lin Chen von der Tsinghua University sowie Justin Campbell und Kevin Lin von der University of Chicago.) Das Team verbrachte ein weiteres Jahr damit, den Beweis zu schreiben. Sie haben den Beweis im Februar dieses Jahres online gestellt. Obwohl diese Arbeiten dem von Gaitsgory im Jahr 2013 entwickelten Entwurf folgen, vereinfachen sie den Ansatz von Gaitsgory und verbessern ihn in vielerlei Hinsicht. „Viele kluge Leute haben viele neue Ideen zu dieser beispiellosen Leistung beigetragen“, sagte Lafforgue.

„Sie haben es nicht nur bewiesen“, sagte Ben-Zvi, „sie haben eine ganze Welt darum herum entwickelt.“

weitere Küste

Für Gaitsgory ist die Verwirklichung dieses jahrzehntealten Traums noch lange nicht das Ende der Geschichte. Es gibt noch viele weitere Rätsel, die Mathematiker lösen müssen – sie müssen den Zusammenhang mit der Quantenphysik genauer erforschen, dieses Ergebnis auf perforierte Riemann-Oberflächen ausdehnen und seine Auswirkungen auf andere Säulen des Rosetta-Steins herausfinden. „Das fühlt sich (zumindest für mich) eher so an, als würde man einen großen Felsbrocken abschlagen, aber wir sind immer noch sehr weit vom Kern entfernt“, schrieb Gaitsgory in einer E-Mail.

Forscher, die auf den anderen beiden Gebieten arbeiten, sind nun bestrebt, diesen Beweis zu übersetzen. „Die Tatsache, dass eines der Hauptfragmente gelöst wurde, sollte erhebliche Auswirkungen auf die Gesamtstudie der Langlands-Korrespondenz haben“, sagte Ben-Zvi.

Aber nicht alles lässt sich übertragen – zum Beispiel gibt es in der Zahlentheorie und in den Funktionsbereichseinstellungen kein Äquivalent zur Idee der konformen Feldtheorie, und die konforme Feldtheorie ermöglicht es Forschern, spezielle Strukturen in geometrischen Merkmalsschichten zu konstruieren. Viele dieser Beweise werden einige mühsame Optimierungen erfordern, bevor sie in anderen Bereichen verwendet werden können. Es ist unklar, ob wir „diese Ideen auf einen anderen Kontext übertragen können, in dem sie möglicherweise nicht verwendet wurden“, sagt Tony Feng von Berkeley.

Viele Forscher sind jedoch optimistisch, dass sich dieses wachsende Ideenmeer schließlich auch auf andere Bereiche ausbreiten wird. „Es wird alle Grenzen zwischen den Disziplinen überwinden“, sagte Ben-Zvi.

Im letzten Jahrzehnt haben Forscher begonnen, Zusammenhänge zwischen dem Geometriebereich und den beiden anderen Bereichen zu entdecken. „Wenn (die geometrische Langlands-Vermutung) vor 10 Jahren erfolgreich bewiesen worden wäre, wären die Ergebnisse ganz anders ausgefallen“, sagte Feng. „Die Leute hätten nicht erkannt, dass sich ihre Auswirkungen auf die (geometrische Langlands-)Gemeinschaft außerhalb erstrecken könnten.“

Gaitsgory, Raskin und ihre Mitarbeiter haben einige Fortschritte bei der Übersetzung geometrischer Langlands-Beweise in funktionale Domänenfelder gemacht. (Raskin weist darauf hin, dass einige der Entdeckungen, die Gaitsgory und Raskin während seiner langen Reise machten, „noch nicht enthüllt wurden“.) Wenn die Übersetzung gelingt, könnte sie zu einem System führen, das weitaus präziser ist, als Mathematiker bisher wussten oder sogar vermuteten Langlands-Version.

Die meisten Übersetzungen von Geometriefeldern in Zahlentheoriefelder erfolgen über den Funktionsbereich. Doch im Jahr 2021 entwarfen Laurent Fargues und Scholze vom Jussieu-Institut für Mathematik in Paris ein sogenanntes Wurmloch, das die Idee geometrischer Säulen direkt zu einem bestimmten Teil des Langlands-Programms in der Zahlentheorie bringen kann.

„Ich bin definitiv jemand, der diese geometrischen Langlands-Beweise übersetzen möchte“, sagte Scholze, keine leichte Aufgabe, wenn man bedenkt, dass dieses steigende Meer Tausende von Seiten Text enthält. „Ich bin im Moment ein paar Zeitungen im Rückstand“, sagte Scholze, „ich versuche, ihre Ergebnisse um 2010 herum zu lesen.“

Nachdem die geometrischen Langlands-Forscher ihre ausführliche Argumentation nun endlich in einem Aufsatz dargelegt haben, hofft Caraiani, dass sie mehr Zeit haben, sie mit Forschern auf dem Gebiet der Zahlentheorie zu diskutieren. „Menschen haben sehr unterschiedliche Denkweisen über Probleme“, sagte sie. „Es ist immer von Vorteil, wenn sie langsamer werden, miteinander reden und die Perspektive des anderen verstehen.“ Nach der Zahlentheorie ist es nur eine Frage der Zeit.

Wie Ben-Zvi es ausdrückt: „Diese Ergebnisse sind so überzeugend, dass es schwer ist, wieder aufzuhören, wenn man einmal angefangen hat.“

Ursprünglicher Link: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-gemetric-langlands-conjecture-20240719/