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de Quantamagazine

Auteur: Erica Klarreich

Compilation de coeurs de machines

Editeur : Panda

Après trois décennies de travail acharné, les mathématiciens ont réussi à prouver les principales parties d'une grande vision mathématique appelée le programme de Langlands.

Une équipe de neuf mathématiciens a prouvé avec succès la conjecture géométrique de Langlands, l'un des paradigmes les plus répandus en mathématiques modernes.

Le célèbre mathématicien Peter Scholze de l'Institut de mathématiques Max Planck (qui n'a pas participé à cette preuve) a déclaré : Cette preuve est l'aboutissement de trente années de travail acharné. "C'est formidable de voir que cela est résolu."

Le programme Langlands a été proposé par Robert Langlands dans les années 1960. Il s'agit d'une large généralisation de l'analyse de Fourier, un cadre de grande envergure permettant de représenter des ondes complexes sous la forme de multiples sinusoïdes oscillant doucement. Le programme Langlands occupe une place importante dans trois domaines différents des mathématiques : la théorie des nombres, la géométrie et ce qu'on appelle le domaine des fonctions. Ces trois domaines sont reliés par un réseau d'analogies appelé la « pierre de Rosette » des mathématiques.

Maintenant, une série d'articles prouve la conjecture de Langlands sur les colonnes géométriques de cette pierre de Rosette : https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

"Cela n'a été démontré nulle part ailleurs de manière aussi complète et aussi solide", déclare David Ben-Zvi de l'Université du Texas à Austin.

Alexander Beilinson, l'un des principaux pionniers de la version géométrique du programme Langlands, a déclaré : « Ce sont de belles mathématiques, les plus belles. »

La preuve se compose de 5 articles, totalisant plus de 800 pages. Ils proviennent d'une équipe dirigée par Dennis Gaitsgory (Institut Max Planck) et Sam Raskin (Université de Yale).

Gaitsgory travaille à prouver la conjecture géométrique de Langlands depuis 30 ans. Au cours des dernières décennies, lui et ses collaborateurs ont obtenu un grand nombre de résultats de recherche et ont complété cette preuve sur cette base. Vincent Lafforgue de l'Université de Grenoble-Alpes a comparé ces avancées à une « mer montante » ; il a dit que c'était à l'image de l'esprit de recherche d'Alexander Grothendieck, l'éminent mathématicien du XXe siècle. Résoudre des problèmes difficiles en créant une mer montante d'idées. .

Dennis Gaitsgory (photo de gauche) et Sam Raskin (photo de droite) ont dirigé une équipe de neuf personnes qui a prouvé la conjecture géométrique de Langlands.

Il faudra un certain temps pour vérifier leur nouvelle preuve, mais de nombreux mathématiciens disent croire que son idée fondamentale est correcte. "La cohérence interne de la théorie est très bonne, donc il est difficile de croire qu'elle soit fausse", a déclaré Lafforgue.

Au cours des années qui ont précédé la preuve, l’équipe de recherche a ouvert plusieurs voies menant au cœur du problème. "La compréhension qu'ils ont acquise était si riche et si large qu'ils ont abordé le problème dans toutes les directions", a-t-il déclaré. "Il n'y avait aucune possibilité d'y échapper".

théorie de la grande unification

En 1967, Robert Langlands, professeur à l'Université de Princeton, âgé de 30 ans, expose ses idées dans une lettre manuscrite de 17 pages adressée à André Weil, le créateur de Rosetta Stone Vision. Langlands a écrit que dans cette chronique de Rosetta Stone consacrée à la théorie des nombres et aux champs fonctionnels, il serait possible de créer une version généralisée de l'analyse de Fourier qui aurait une portée et une puissance étonnantes.

Dans l'analyse de Fourier classique, un processus appelé transformation de Fourier est utilisé pour créer une correspondance entre deux manières différentes de penser un modèle d'onde, tel qu'une onde sonore. D’un côté de cette correspondance se trouvent les vagues elles-mêmes. (Nous l'appelons le côté vague). Cela va des ondes sinusoïdales simples (qui, en termes acoustiques, sont des sons purs) aux ondes complexes composées de plusieurs ondes sinusoïdales. De l’autre côté de cette correspondance se trouve le spectre d’une onde cosinusoïdale – la hauteur en acoustique. (Les mathématiciens appellent cela le côté spectral).

La transformée de Fourier va et vient entre ces deux côtés. Dans un sens, il divise l’onde en un ensemble de fréquences ; dans l’autre sens, il reconstruit l’onde en fonction de ses fréquences composantes. Cette capacité de conversion dans les deux sens permet d'innombrables applications. Sans elle, nous n'aurions pas de télécommunications modernes, de traitement du signal, d'imagerie par résonance magnétique ou bien d'autres nécessités de la vie moderne.

Langlands a proposé que la théorie des nombres et les champs de fonctions de Rosetta Stone présentent également des transformations similaires, mais que les ondes et les fréquences sont ici plus complexes.

Dans la vidéo ci-dessous, Alex Kontorovich, mathématicien de l'Université Rutgers, nous emmène au pays des mathématiques pour comprendre les étonnantes symétries au cœur du programme Langlands.

Source vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

Dans chacun de ces domaines, il existe un côté onde constitué d’un ensemble de fonctions spéciales qui ressemblent à des ondes répétitives. Les fonctions spéciales les plus pures sont appelées fonctions propres et agissent comme des ondes sinusoïdales. Chaque fonction propre a une fréquence propre. Cependant, alors que la fréquence d’une onde sinusoïdale est un nombre, la fréquence d’une fonction propre est une liste infinie de nombres.

Il y a aussi un côté spectre. Il s'agissait d'objets en théorie des nombres ; Langlands pensait que ces objets marquaient le spectre des fonctions caractéristiques. Il a proposé qu'il existe un mécanisme de traitement similaire à la transformée de Fourier qui relie ici le côté onde au côté spectral. "Il y a quelque chose de magique là-dedans", a déclaré Ben-Zvi. "Ce n'est pas quelque chose que nous pouvons prédire sans aucune raison."

Les ondes et leurs étiquettes de fréquence proviennent de domaines de données très différents, il serait donc très enrichissant de prouver une correspondance entre elles. Par exemple, dans les années 1990, la preuve de la correspondance de Langlands d'un ensemble relativement restreint de fonctions a permis à Andrew Wiles et Richard Taylor de prouver le dernier théorème de Fermat - ce problème était autrefois le problème le plus célèbre à prouver en mathématiques. sur lequel la communauté mathématique travaille depuis trois siècles.

Edward Frenkel, de l'Université de Californie à Berkeley, a déclaré : Le programme Langlands est considéré comme « la grande théorie unifiée des mathématiques ». Pourtant, même si les mathématiciens se sont efforcés de prouver des parties de plus en plus vastes de la vision de Langlands, ils sont bien conscients qu'elle est incomplète. Dans la colonne Géométrie de cette Pierre de Rosette, la relation entre les ondes et les étiquettes de fréquence semble impossible à refléter.

Grain de sable

C'est à partir des travaux de Langlands que les mathématiciens ont eu une idée de ce à quoi ressemblerait le côté spectral de la correspondance géométrique de Langlands. La troisième colonne (géométrie) de la pierre de Rosette de Weil implique des surfaces de Riemann compactes, notamment des sphères, des surfaces en forme de beignet et des surfaces poreuses en forme de beignet. À une surface riemannienne donnée correspond un objet, appelé groupe fondamental, qui suit les différentes formes de boucles autour de la surface.

Les mathématiciens supposent que le côté spectral correspondant aux Langlands géométriques devrait être composé de formes de distillation spécifiques du groupe fondamental. Ces formes de distillation spécifiques sont également appelées représentations du groupe fondamental.

Si la correspondance de Langlands doit se refléter dans les colonnes géométriques de la pierre de Rosette, alors chaque représentation du groupe fondamental d'une surface de Riemann devrait être une étiquette de fréquence – mais quelle étiquette de fréquence ?

Les mathématiciens ne trouvent aucun ensemble de fonctions caractéristiques dont les fréquences semblent marquer la représentation des groupes fondamentaux. Puis, dans les années 1980, Vladimir Drinfeld, aujourd'hui à l'Université de Chicago, s'est rendu compte qu'il était possible de créer des correspondances géométriques de Langlands en remplaçant les fonctions propres par des objets plus complexes appelés gerbes propres. Mais à cette époque, il ne savait comment construire que quelques piles de caractéristiques. .

Les gerbes sont beaucoup plus profondes que les fonctions, c'est pourquoi les théoriciens des nombres de l'époque ne savaient pas quoi penser du cousin géométrique de cet homologue de Langlands. Mais le programme géométrique de Langlands (malgré ses aspects obscurs) présente un gros avantage sur la version théorique des nombres du programme de Langlands. Dans Geographic Langlands, la fréquence de la couche d'entités est contrôlée par des points sur une surface riemannienne, chaque point sur une sphère ou un beignet se ressemblant de près. Mais dans la théorie des nombres de Langlands, les fréquences sont contrôlées par des nombres premiers, et chaque nombre premier a ses propres propriétés. Les mathématiciens ne savent pas « comment passer facilement d'un nombre premier à un autre », explique Ana Caraiani, théoricienne des nombres de l'Imperial College de Londres.

Les surfaces de Riemann jouent un rôle important en physique, notamment dans la théorie conforme des champs, où elles contrôlent le comportement des particules subatomiques dans certains champs de force. Au début des années 1990, Beilinson et Drinfeld ont montré comment la théorie conforme des champs pouvait être utilisée pour créer des couches de caractéristiques particulièrement intéressantes.

Ce lien avec la théorie conforme des champs a amené Beilinson et Drinfeld à réfléchir à la manière de construire une analyse de Fourier pour la gerbe. "C'est comme un grain de sable qui déclenche la cristallisation", a expliqué Ben-Zvi.

Beilinson et Drinfeld ont présenté une vision riche de la manière dont les correspondances géométriques de Langlands devraient fonctionner. Il ne s’agit pas simplement que chaque représentation d’un groupe fondamental doive être marquée par la fréquence d’une couche de caractéristiques. Ils estiment que cette correspondance doit également respecter les relations importantes entre les deux parties. Beilinson et Drinfeld considèrent cette perspective comme « le meilleur espoir ».

Beilinson a présenté ce paysage de recherche en développement dans une série de conférences à l’Université de Tel Aviv au milieu des années 1990. Gaitsgory, qui était étudiant ici à l'époque, avait du mal à en absorber chaque mot. «J'étais comme un caneton nouvellement éclos qui avait acquis une sorte de comportement d'empreinte», se souvient-il.

Au cours des 30 années suivantes, la conjecture géométrique de Langlands a été le principal moteur de la carrière mathématique de Gaitsgory. "J'ai travaillé sans arrêt au fil des années, me rapprochant de plus en plus de l'objectif, développant différents outils", a-t-il déclaré.

la mer monte

Beilinson et Drinfeld n'ont énoncé que vaguement leurs conjectures, qui se sont révélées un peu simplistes par la façon dont les relations dans "Le meilleur espoir" sont censées fonctionner. En 2012, Gaitsgory et Dima Arinkin de l'Université du Wisconsin-Madison ont découvert comment transformer ce « meilleur espoir » en une estimation précise.

L'année suivante, Gaitsgory écrivit un aperçu des moyens possibles de prouver la conjecture géométrique de Langlands. L’ébauche reposait sur un grand nombre d’énoncés intermédiaires, dont beaucoup n’étaient pas encore prouvés. Gaitsgory et ses collaborateurs ont décidé de le prouver.

Au cours des années suivantes, Gaitsgory et Nick Rozenblyum de l'Université de Toronto ont écrit deux livres sur les couches, totalisant près de 1 000 pages. Dans cet ensemble en deux volumes, le programme géométrique de Langlands n'est mentionné qu'une seule fois. "Mais le but était de jeter les bases que nous avons beaucoup utilisées par la suite", a déclaré Gaitsgory.

En 2020, Gaitsgory s’est soudain rendu compte qu’il avait très peu de choses à son emploi du temps. "J'ai passé trois mois au lit, à réfléchir", a-t-il déclaré. Ces réflexions ont finalement abouti à un article (avec six auteurs). Bien que l'article se concentre sur le domaine fonctionnel du programme de Langlands, il contenait également « une graine » qui deviendrait un élément clé dans la preuve de la conjecture géométrique de Langlands : une méthode pour comprendre les propriétés de ce que l'on appelle le « bruit blanc ». " méthodes.

Photos de sept autres chercheurs. Dans le sens des aiguilles d'une montre, à partir de la gauche : Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell et Dima Arinkin.

Dans le monde classique du traitement du signal, les ondes sonores peuvent être construites à partir d’ondes sinusoïdales dont les fréquences correspondent aux hauteurs du son. Il ne suffit pas de savoir quelles hauteurs contient un son, vous devez également connaître le niveau sonore de chaque hauteur. Ces informations vous permettent d'écrire le son comme une combinaison d'ondes sinusoïdales : commencez simplement par une onde sinusoïdale d'amplitude 1, multipliez les ondes sinusoïdales par le facteur de volume approprié et additionnez les ondes sinusoïdales. La somme de toutes les différentes ondes sinusoïdales d’amplitude 1 est ce que nous appelons souvent le « bruit blanc ».

Dans le monde du programme Géométrique Langlands, la couche d'entités agit comme une onde sinusoïdale. Gaitsgory et ses collaborateurs ont identifié quelque chose appelé une gerbe de Poincaré, qui semble agir comme un bruit blanc. Mais ces chercheurs ne savaient pas si chaque couche caractéristique pouvait être représentée dans une couche de Poincaré, et encore moins si elles auraient toutes la même amplitude.

Au printemps 2022, Raskin et son étudiant diplômé Joakim Færgeman ont montré comment utiliser les idées de cet article de six auteurs pour montrer que chaque couche d'entités est effectivement représentable dans une couche Poincaré. En parlant de la preuve de la conjecture géométrique de Langlands, Gaitsgory a déclaré : « Après l'article de Sam et Joakim, je suis très sûr que nous pouvons le faire en peu de temps. »

Les chercheurs doivent démontrer que toutes les couches de caractéristiques contribuent de manière égale à la couche Poincaré et que la représentation du groupe fondamental marque la fréquence de ces couches de caractéristiques. Ils se sont rendu compte que le plus difficile était de s'occuper des représentations de ce groupe fondamental : les représentations irréductibles.

La résolution de ces représentations irréductibles surgit à une époque où la vie personnelle de Raskin est bouleversée. Un jour, quelques semaines après que lui et Færgeman ont mis en ligne leur article, Raskin a dû emmener sa femme enceinte à l'hôpital avant de rentrer chez lui pour emmener son fils à la maternelle pour la première fois. L'épouse de Raskin a passé six semaines à l'hôpital jusqu'à la naissance de leur deuxième enfant. Pendant ce temps, la vie de Raskin tournait constamment : il faisait constamment des allers-retours entre la maison, l'école de son fils et l'hôpital pour assurer une vie normale à son fils. "À cette époque, toute ma vie était consacrée aux voitures et à prendre soin des gens", a-t-il déclaré.

Il a discuté de mathématiques au téléphone avec Gaitsgory en conduisant. Vers la fin de la première de ces semaines, Raskin comprit qu’il pouvait réduire cet irréductible problème de représentation à la preuve de trois faits déjà à sa portée à l’époque. "C'était une période magique pour moi", a-t-il déclaré, ajoutant que sa vie personnelle "était remplie d'anxiété et de peur face à l'avenir. Pour moi, les mathématiques étaient quelque chose qui avait besoin d'être ancré et médité, pour me sortir de cette anxiété."

Début 2023, Gaitsgory et Raskin, avec Arinkin, Rozenblyum, Færgeman et quatre autres chercheurs, avaient produit une preuve complète du « meilleur espoir » de Beilinson et Drinfeld, révisée par Gaitsgory et Arinkin. (Les autres chercheurs étaient Dario Beraldo de l'University College London, Lin Chen de l'Université Tsinghua et Justin Campbell et Kevin Lin de l'Université de Chicago.) L'équipe a passé une autre année à rédiger la preuve. Ils ont mis la preuve en ligne en février de cette année. Bien que ces articles suivent le plan développé par Gaitsgory en 2013, ils simplifient l'approche de Gaitsgory et l'améliorent à bien des égards. "De nombreuses personnes intelligentes ont apporté de nombreuses idées nouvelles à cette réalisation sans précédent", a déclaré Lafforgue.

« Ils ne se sont pas contentés de le prouver », a déclaré Ben-Zvi, « ils ont développé tout un monde autour de cela ».

plus loin de la côte

Pour Gaitsgory, la réalisation de ce rêve vieux de plusieurs décennies est loin d’être la fin de l’histoire. Les mathématiciens doivent résoudre de nombreuses autres énigmes : explorer plus en profondeur son lien avec la physique quantique, étendre ce résultat aux surfaces de Riemann perforées et déterminer ses implications pour d'autres colonnes de la pierre de Rosette. "Cela ressemble (du moins pour moi) davantage à l'ébrèchement d'un gros rocher, mais nous sommes encore très loin du noyau", a écrit Gaitsgory dans un e-mail.

Les chercheurs travaillant dans les deux autres domaines s’empressent désormais de traduire cette preuve. "Le fait que l'un des fragments majeurs ait été résolu devrait avoir un impact significatif sur l'étude globale de la correspondance de Langlands", a déclaré Ben-Zvi.

Mais tout ne peut pas être transposé - par exemple, dans les contextes de la théorie des nombres et du domaine fonctionnel, il n'y a pas d'équivalent à l'idée de théorie conforme des champs, et la théorie conforme des champs permet aux chercheurs de construire des structures spéciales dans des contextes géométriques. Une grande partie de ces preuves nécessiteront quelques ajustements laborieux avant de pouvoir être utilisées dans d’autres domaines. Il n'est pas clair si nous pouvons « transférer ces idées dans un contexte différent où elles n'auraient peut-être pas été utilisées », déclare Tony Feng de Berkeley.

Mais de nombreux chercheurs sont optimistes quant au fait que cette mer montante d’idées finira par s’étendre à d’autres domaines. "Cela franchira toutes les barrières entre les disciplines", a déclaré Ben-Zvi.

Au cours de la dernière décennie, les chercheurs ont commencé à découvrir des liens entre le domaine de la géométrie et les deux autres domaines. "Si (la conjecture géométrique de Langlands) avait été prouvée avec succès il y a 10 ans, les résultats auraient été très différents", a déclaré Feng. "Les gens n'auraient pas réalisé que son impact pouvait s'étendre à la communauté (de Langlands géométriques) à l'extérieur.

Gaitsgory, Raskin et leurs collaborateurs ont fait des progrès dans la traduction des preuves géométriques de Langlands en domaines fonctionnels. (Raskin laisse entendre que certaines des découvertes faites par Gaitsgory et Raskin au cours du long voyage de ce dernier "n'ont pas encore été révélées".) Si la traduction réussit, elle pourrait conduire à un système bien plus précis que ce que les mathématiciens connaissaient ou même devinaient auparavant. Version Langlandaise.

La plupart des traductions des champs géométriques vers les domaines de la théorie des nombres passent par le domaine des fonctions. Mais en 2021, Laurent Fargues et Scholze de l'Institut de mathématiques Jussieu à Paris ont conçu ce qu'on appelle un trou de ver qui peut amener l'idée de colonnes géométriques directement à une certaine partie du programme Langlands en théorie des nombres.

"Je suis définitivement quelqu'un qui veut traduire ces preuves géométriques de Langlands", a déclaré Scholze. Ce n'est pas une tâche facile, étant donné que cette mer montante contient des milliers de pages de texte. "Je suis en retard de quelques articles pour le moment", a déclaré Scholze. "J'essaie de lire leurs résultats vers 2010".

Maintenant que les chercheurs géométriques de Langlands ont enfin présenté leur long argument dans un article, Caraiani espère qu'ils auront plus de temps pour en discuter avec des chercheurs dans le domaine de la théorie des nombres. "Les gens ont des manières très différentes de penser aux problèmes", a-t-elle déclaré. "C'est toujours bénéfique s'ils peuvent ralentir, se parler et comprendre le point de vue de chacun." de la théorie des nombres, ce n'est qu'une question de temps.

Comme le dit Ben-Zvi : « Ces résultats sont si solides qu’une fois qu’on commence, il est difficile de s’arrêter. »

Lien original : https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/