notícias

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

da revista quantam

Autora: Erica Klarreich

Compilação de coração de máquina

Editor: Panda

Após três décadas de trabalho árduo, os matemáticos conseguiram provar partes importantes de uma grande visão matemática chamada programa de Langlands.

Uma equipe de nove matemáticos provou com sucesso a Conjectura Geométrica de Langlands, um dos paradigmas mais difundidos na matemática moderna.

O famoso matemático Peter Scholze, do Instituto Max Planck de Matemática (que não esteve envolvido nesta prova) disse: Esta prova é o culminar de trinta anos de trabalho árduo. “É ótimo ver isso sendo resolvido.”

O Programa Langlands foi proposto por Robert Langlands na década de 1960. É uma ampla generalização da análise de Fourier, uma estrutura de longo alcance para representar ondas complexas como múltiplas sinusóides oscilantes suavemente. O Programa Langlands ocupa um lugar importante em três áreas diferentes da matemática: teoria dos números, geometria e o chamado campo de funções. Esses três campos estão conectados através de uma rede de analogias que tem sido chamada de “pedra de Roseta” da matemática.

Agora, uma série de artigos comprova a conjectura de Langlands das colunas geométricas desta Pedra de Roseta: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

“Em nenhum outro lugar isso foi demonstrado de forma tão abrangente e robusta”, diz David Ben-Zvi, da Universidade do Texas em Austin.

Alexander Beilinson, um dos principais pioneiros da versão geométrica do Programa Langlands, disse: "Esta é uma bela matemática, do tipo mais bonito."

A prova é composta por 5 artigos, totalizando mais de 800 páginas. Eles vêm de uma equipe liderada por Dennis Gaitsgory (Instituto Max Planck) e Sam Raskin (Universidade de Yale).

Gaitsgory tem trabalhado para provar a conjectura geométrica de Langlands nos últimos 30 anos. Nas últimas décadas, ele e seus colaboradores obtiveram um grande número de resultados de pesquisas e concluíram esta prova com base neles. Vincent Lafforgue, da Universidade de Grenoble-Alpes, comparou esses avanços a um “mar crescente”, disse que era como o espírito de pesquisa de Alexander Grothendieck, o notável matemático do século 20, para resolver problemas difíceis criando um mar crescente de ideias. .

Dennis Gaitsgory (foto à esquerda) e Sam Raskin (foto à direita) lideraram uma equipe de nove pessoas que comprovou a Conjectura Geométrica de Langlands.

Levará algum tempo para verificar a sua nova prova, mas muitos matemáticos dizem acreditar que a sua ideia central está correta. “A consistência interna da teoria é muito boa, por isso é difícil acreditar que esteja errada”, disse Lafforgue.

Nos anos que antecederam a prova, a equipe de pesquisa criou mais de um caminho para chegar ao cerne do problema. “O entendimento que obtiveram foi tão rico e amplo que cercaram o problema de todas as direções”, disse ele. “Não havia como escapar dele”.

grande teoria unificada

Em 1967, Robert Langlands, professor da Universidade de Princeton, expôs as suas ideias numa carta manuscrita de 17 páginas a André Weil, o criador da Visão da Pedra de Roseta. Langlands escreveu que nesta coluna da Pedra de Roseta sobre teoria dos números e campos funcionais seria possível criar uma versão generalizada da análise de Fourier que teria alcance e poder surpreendentes.

Na análise clássica de Fourier, um processo chamado transformada de Fourier é usado para criar uma correspondência entre duas maneiras diferentes de pensar sobre um padrão de onda, como uma onda sonora. De um lado desta correspondência estão as próprias ondas. (Chamamos isso de lado da onda). Isso varia de ondas senoidais simples (que em termos acústicos são tons puros) até ondas complexas compostas por múltiplas ondas senoidais. Do outro lado desta correspondência está o espectro de uma onda cosseno - o tom na acústica. (Os matemáticos chamam isso de lado espectral).

A transformada de Fourier vai e volta entre esses dois lados. Numa direção, ele quebra a onda em um conjunto de frequências; na outra direção, ele reconstrói a onda com base nas frequências que a compõem; Esta capacidade de conversão em ambas as direções permite inúmeras aplicações – sem ela, não teríamos telecomunicações modernas, processamento de sinais, imagens de ressonância magnética ou muitas outras necessidades da vida moderna.

Langlands propôs que a teoria dos números e os campos de campos funcionais de Rosetta Stone também têm transformações semelhantes, mas as ondas e frequências aqui são mais complexas.

No vídeo abaixo, o matemático da Universidade Rutgers, Alex Kontorovich, nos leva pela terra da matemática para compreender as impressionantes simetrias que estão no cerne do Programa Langlands.

Fonte do vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

Em cada um desses campos, existe um lado de onda que consiste em um conjunto de funções especiais que se assemelham a ondas repetidas. As mais puras dessas funções especiais são chamadas de autofunções e agem como ondas senoidais. Toda função própria tem uma frequência própria. No entanto, enquanto a frequência de uma onda senoidal é um número, a frequência de uma função própria é uma lista infinita de números.

Há também um lado do espectro. Na teoria dos números, consistia em objetos. Langlands acreditava que esses objetos marcavam o espectro de funções características; Ele propôs que existe um mecanismo de processamento semelhante à transformada de Fourier que conecta o lado da onda aqui ao lado espectral. “Há algo mágico nisso”, disse Ben-Zvi. “Não é algo que possamos prever sem qualquer razão”.

As ondas e seus rótulos de frequência vêm de domínios de dados muito diferentes, portanto, provar uma correspondência entre elas seria altamente gratificante. Por exemplo, na década de 1990, a prova da correspondência de Langlands da teoria dos números de um conjunto relativamente pequeno de funções permitiu a Andrew Wiles e Richard Taylor provar o Último Teorema de Fermat - este problema já foi o problema mais famoso a ser provado em matemática. em que a comunidade matemática vem trabalhando há três séculos.

Edward Frenkel, da Universidade da Califórnia, Berkeley, disse: O Programa Langlands é considerado "a grande teoria unificada da matemática". No entanto, embora os matemáticos tenham trabalhado para provar partes cada vez maiores da visão de Langlands, estão bem conscientes de que esta está incompleta. Na coluna geométrica desta Pedra de Roseta, a relação entre ondas e rótulos de frequência parece impossível de refletir.

Grão de areia

Foi a partir do trabalho de Langlands que os matemáticos tiveram uma ideia de como seria o lado espectral da correspondência geométrica de Langlands. A terceira coluna (geometria) da Pedra de Roseta de Weil envolve superfícies compactas de Riemann, incluindo esferas, superfícies em forma de rosca e superfícies porosas em forma de rosca. Uma determinada superfície Riemanniana possui um objeto correspondente, denominado grupo fundamental, que rastreia as diferentes formas de loops ao redor da superfície.

Os matemáticos conjecturam que o lado espectral correspondente aos Langlands geométricos deveria ser composto por formas de destilação específicas do grupo fundamental. Essas formas de destilação específicas também são chamadas de representações do grupo fundamental.

Se a correspondência de Langlands for refletida nas colunas geométricas da Pedra de Roseta, então cada representação do grupo fundamental de uma superfície de Riemann deveria ser um rótulo de frequência – mas que rótulo de frequência?

Os matemáticos não conseguem encontrar nenhum conjunto de funções características cujas frequências pareçam marcar a representação de grupos fundamentais. Então, na década de 1980, Vladimir Drinfeld, agora na Universidade de Chicago, percebeu que era possível criar correspondências geométricas de Langlands substituindo funções próprias por objetos mais complexos chamados feixes próprios - mas naquela época, ele só sabia como algumas pilhas de recursos são construídas .

Os feixes são muito mais profundos do que as funções, por isso os teóricos dos números da época não sabiam o que fazer com o primo geométrico desta contraparte de Langlands. Mas o programa geométrico de Langlands (apesar dos seus aspectos misteriosos) tem uma grande vantagem sobre a versão teórica dos números do programa de Langlands. Em Geometric Langlands, a frequência da camada de feição é controlada por pontos em uma superfície Riemanniana, com cada ponto em uma esfera ou donut parecendo muito semelhante de perto. Mas na teoria dos números de Langlands, as frequências são controladas por números primos, e cada número primo tem as suas próprias propriedades. Os matemáticos não sabem “como passar de um primo a outro de uma maneira agradável”, diz a teórica dos números Ana Caraiani, do Imperial College London.

As superfícies de Riemann desempenham um papel importante na física, especialmente na teoria dos campos conformes, onde controlam o comportamento das partículas subatômicas em certos campos de força. No início da década de 1990, Beilinson e Drinfeld mostraram como a teoria de campos conformes poderia ser usada para construir algumas camadas de características particularmente interessantes.

Esta conexão com a teoria do campo conforme levou Beilinson e Drinfeld a pensar sobre como construir uma análise de Fourier para o feixe. “É como um grão de areia que desencadeia a cristalização”, disse Ben-Zvi.

Beilinson e Drinfeld apresentaram uma visão rica de como as correspondências geométricas de Langlands deveriam funcionar. Não se trata apenas de que cada representação de um grupo fundamental deva ser marcada com uma frequência de uma camada de feição. Eles acreditam que esta correspondência também deve respeitar as relações importantes de ambos os lados e Beilinson e Drinfeld chamam esta perspectiva de “a melhor esperança”.

Beilinson apresentou este cenário de investigação em desenvolvimento numa série de palestras na Universidade de Tel Aviv em meados da década de 1990. Gaitsgory, que era estudante de pós-graduação aqui na época, lutou para absorver cada palavra. “Eu era como um patinho recém-nascido que adquiriu uma espécie de comportamento de impressão”, lembra ele.

Nos 30 anos seguintes, a conjectura geométrica de Langlands tem sido a principal força motriz da carreira matemática de Gaitsgory. “Tenho trabalhado sem parar ao longo dos anos, chegando cada vez mais perto do objetivo, desenvolvendo diversas ferramentas”, disse.

mar subindo

Beilinson e Drinfeld formularam apenas vagamente suas conjecturas, que se revelaram um pouco simplificadas pela forma como os relacionamentos em "A Melhor Esperança" deveriam funcionar. Em 2012, Gaitsgory e Dima Arinkin, da Universidade de Wisconsin-Madison, descobriram como transformar esta “melhor esperança” num palpite preciso.

No ano seguinte, Gaitsgory escreveu um esboço de possíveis maneiras de provar a conjectura geométrica de Langlands. O esboço baseou-se num grande número de declarações intermédias, muitas das quais não foram comprovadas na altura. Gaitsgory e seus colaboradores decidiram prová-los.

Nos anos seguintes, Gaitsgory e Nick Rozenblyum, da Universidade de Toronto, escreveram dois livros sobre camadas, totalizando quase 1.000 páginas. Neste conjunto de dois volumes, o programa geométrico de Langlands é mencionado apenas uma vez. “Mas o objetivo era estabelecer as bases que mais tarde usamos muito”, disse Gaitsgory.

Em 2020, Gaitsgory descobriu repentinamente que tinha muito pouco em sua agenda. “Passei três meses deitado na cama, apenas pensando”, disse ele. Esses pensamentos acabaram resultando em um artigo (com seis autores). Embora o artigo se concentrasse no campo do domínio funcional do Programa Langlands, ele também continha "uma semente" que se tornaria um componente chave na prova da conjectura geométrica de Langlands: um método para compreender as propriedades de como as camadas contribuem para o chamado "ruído branco". " métodos.

Fotos de outros sete pesquisadores. No sentido horário a partir da esquerda: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell e Dima Arinkin.

No mundo clássico do processamento de sinais, as ondas sonoras podem ser construídas a partir de ondas senoidais, cujas frequências correspondem às alturas do som. Não é suficiente saber quais tons um som contém - você também precisa saber o quão alto é cada tom. Esta informação permite escrever o som como uma combinação de ondas senoidais: basta começar com uma onda senoidal de amplitude 1, multiplicar as ondas senoidais pelo fator de volume apropriado e adicionar as ondas senoidais. A soma de todas as diferentes ondas senoidais com amplitude 1 é o que costumamos chamar de “ruído branco”.

No mundo do Programa Geométrico Langlands, a camada de feições atua como uma onda senoidal. Gaitsgory e seus colaboradores identificaram algo chamado feixe de Poincaré, que parece agir como ruído branco. Mas não estava claro para estes investigadores se cada camada característica poderia ser representada numa camada de Poincaré, muito menos se todas teriam a mesma amplitude.

Na primavera de 2022, Raskin e seu aluno Joakim Færgeman mostraram como usar as ideias daquele artigo de seis autores para mostrar que cada camada de feição é de fato representável em uma camada de Poincaré. Ao falar sobre a prova da conjectura geométrica de Langlands, Gaitsgory disse: “Depois do artigo de Sam e Joakim, tenho certeza de que poderemos fazê-lo em pouco tempo”.

Os pesquisadores precisam demonstrar que todas as camadas de feições contribuem igualmente para a camada de Poincaré e que a representação do grupo fundamental marca a frequência dessas camadas de feições. Perceberam que o mais difícil era lidar com as representações desse grupo fundamental: as representações irredutíveis.

A resolução destas representações irredutíveis surgiu num momento em que a vida pessoal de Raskin estava em crise. Um dia, semanas depois de ele e Færgeman terem publicado o seu artigo online, Raskin teve de levar a sua mulher grávida às pressas para o hospital antes de regressar a casa para levar o filho ao jardim de infância pela primeira vez. A esposa de Raskin passou seis semanas no hospital até o nascimento do segundo filho. Durante esse período, a vida de Raskin girava constantemente - ele viajava constantemente entre a casa, a escola de seu filho e o hospital para garantir a vida normal de seu filho. “Minha vida inteira naquela época girava em torno de carros e de cuidar das pessoas”, disse ele.

Ele discutiu matemática ao telefone com Gaitsgory enquanto dirigia. Perto do final da primeira daquelas semanas, Raskin percebeu que poderia reduzir este problema irredutível de representação à prova de três factos que já estavam ao nosso alcance na altura. “Foi um momento mágico para mim”, disse ele, acrescentando que sua vida pessoal “estava cheia de ansiedade e medo em relação ao futuro. Para mim, a matemática era algo que precisava de ancoragem e meditação.

No início de 2023, Gaitsgory e Raskin, juntamente com Arinkin, Rozenblyum, Færgeman e quatro outros investigadores, produziram uma prova completa da "melhor esperança" de Beilinson e Drinfeld, revista por Gaitsgory e Arinkin. (Os outros investigadores foram Dario Beraldo, da University College London, Lin Chen, da Universidade Tsinghua, e Justin Campbell e Kevin Lin, da Universidade de Chicago.) A equipa passou mais um ano a redigir a prova. Eles postaram a prova online em fevereiro deste ano. Embora estes artigos sigam o esboço desenvolvido por Gaitsgory em 2013, eles simplificam a abordagem de Gaitsgory e melhoram-na em muitos aspectos. “Muitas pessoas inteligentes contribuíram com muitas ideias novas para esta conquista incomparável”, disse Lafforgue.

“Eles não apenas provaram isso”, disse Ben-Zvi, “eles desenvolveram um mundo inteiro em torno disso”.

mais costa

Para Gaitsgory, a realização deste sonho de décadas está longe de ser o fim da história. Há muitos outros enigmas para os matemáticos resolverem - explorando mais profundamente a sua ligação à física quântica, estendendo este resultado às superfícies perfuradas de Riemann, descobrindo as suas implicações para outras colunas da Pedra de Roseta. “Isso parece (pelo menos para mim) mais como desbastar uma grande pedra, mas ainda estamos muito longe do núcleo”, escreveu Gaitsgory por e-mail.

Os investigadores que trabalham nos outros dois campos estão agora ansiosos por traduzir esta prova. “O facto de um dos principais fragmentos ter sido resolvido deverá ter um impacto significativo no estudo global da correspondência de Langlands”, disse Ben-Zvi.

Mas nem tudo pode ser trazido de volta - por exemplo, na teoria dos números e nas configurações do domínio da função, não há equivalente à ideia da teoria do campo conforme, e a teoria do campo conforme permite aos pesquisadores construir estruturas especiais em configurações geométricas. Grande parte desta prova exigirá alguns ajustes trabalhosos antes de poder ser usada em outros campos. Não está claro se podemos “transferir essas ideias para um contexto diferente onde elas poderiam não ter sido usadas”, diz Tony Feng, de Berkeley.

Mas muitos pesquisadores estão otimistas de que esse mar crescente de ideias acabará por se espalhar para outros campos. “Irá penetrar todas as barreiras entre as disciplinas”, disse Ben-Zvi.

Na última década, os pesquisadores começaram a descobrir conexões entre o campo da geometria e os outros dois campos. “Se (a conjectura geométrica de Langlands) tivesse sido comprovada com sucesso há 10 anos, os resultados teriam sido muito diferentes”, disse Feng. “As pessoas não teriam percebido que seu impacto poderia se estender à comunidade (geométrica de Langlands).

Gaitsgory, Raskin e seus colaboradores fizeram alguns progressos na tradução das provas geométricas de Langlands em campos de domínio funcional. (Raskin sugere que algumas das descobertas que Gaitsgory e Raskin fizeram durante a longa viagem deste último "ainda não foram reveladas".) Se a tradução for bem-sucedida, poderá levar a um sistema muito mais preciso do que os matemáticos sabiam ou até mesmo adivinhavam. Versão de Langlands.

A maioria das traduções dos campos da geometria para os campos da teoria dos números passa pelo domínio da função. Mas em 2021, Laurent Fargues e Scholze, do Instituto Jussieu de Matemática de Paris, projetaram um chamado buraco de minhoca que pode levar a ideia de colunas geométricas diretamente a uma determinada parte do Programa Langlands na teoria dos números.

“Definitivamente sou alguém que deseja traduzir essas provas geométricas de Langlands”, disse Scholze. Essa não é uma tarefa fácil, considerando que este mar crescente contém milhares de páginas de texto. "Estou alguns artigos atrasados ​​no momento", disse Scholze. "Estou tentando ler os resultados por volta de 2010."

Agora que os pesquisadores geométricos de Langlands finalmente apresentaram seu extenso argumento em um artigo, Caraiani espera que tenham mais tempo para discuti-lo com pesquisadores da área de teoria dos números. “As pessoas têm maneiras muito diferentes de pensar sobre os problemas”, disse ela. “É sempre benéfico se elas puderem desacelerar, conversar umas com as outras e entender a perspectiva umas das outras.” da teoria dos números, é apenas uma questão de tempo.

Como diz Ben-Zvi: “Estes resultados são tão robustos que, uma vez iniciado, é difícil parar”.

Link original: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/