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퀀타마진에서

저자: 에리카 클라라이히

기계 심장 편집

편집자: 팬더

30년 간의 노력 끝에 수학자들은 랭글랜즈 프로그램(Langlands Program)이라는 거대한 수학적 비전의 주요 부분을 증명하는 데 성공했습니다.

9명의 수학자들로 구성된 팀이 현대 수학에서 가장 널리 퍼진 패러다임 중 하나인 기하학적 랭글랜드 추측(Geometric Langlands Conjecture)을 성공적으로 증명했습니다.

(이 증명에는 참여하지 않은) 막스 플랑크 수학 연구소의 유명한 수학자 Peter Scholze는 다음과 같이 말했습니다. 이 증명은 30년 간의 노력의 정점입니다. "문제가 해결되는 것을 보니 정말 좋습니다."

Langlands 프로그램은 1960년대 Robert Langlands에 의해 제안되었습니다. 이는 복잡한 파동을 여러 개의 부드럽게 진동하는 정현파로 표현하기 위한 광범위한 프레임워크인 푸리에 분석의 광범위한 일반화입니다. Langlands 프로그램은 수학의 세 가지 다른 영역, 즉 정수론, 기하학 및 소위 함수 분야에서 중요한 위치를 차지합니다. 이 세 가지 분야는 수학의 "로제타석"이라고 불리는 유추 네트워크를 통해 연결됩니다.

이제 일련의 논문이 이 로제타석의 기하학적 기둥에 대한 Langlands 추측을 증명합니다: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

텍사스 대학교 오스틴 캠퍼스의 David Ben-Zvi는 "이렇게 포괄적이고 강력하게 입증된 곳은 다른 곳에서는 없습니다."라고 말합니다.

랭글랜즈 프로그램의 기하학적 버전의 주요 선구자 중 한 명인 Alexander Beilinson은 다음과 같이 말했습니다. "이것은 아름다운 수학, 가장 아름다운 종류입니다."

교정본은 총 800페이지가 넘는 5개의 논문으로 구성되어 있습니다. 그들은 Dennis Gaitsgory(Max Planck Institute)와 Sam Raskin(Yale University)이 이끄는 팀에서 왔습니다.

Gaitsgory는 지난 30년 동안 기하학적 Langlands 추측을 증명하기 위해 노력해 왔습니다. 지난 수십 년 동안 그와 그의 동료들은 수많은 연구 결과를 얻었고 이를 바탕으로 이 증명을 완성했습니다. 그르노블 알프스 대학의 빈센트 라포그(Vincent Lafforgue)는 이러한 발전을 '떠오르는 바다'에 비유했으며, 이는 20세기 뛰어난 수학자 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grothendieck)의 연구 정신과 같다고 말했습니다. .

Dennis Gaitsgory(왼쪽 사진)와 Sam Raskin(오른쪽 사진)은 9명으로 구성된 팀을 이끌고 기하학적 랭글랜즈 추측을 증명했습니다.

새로운 증명을 검증하는 데는 시간이 좀 걸리겠지만, 많은 수학자들은 그 핵심 아이디어가 정확하다고 믿고 있다고 말합니다. Lafforgue는 "이론의 내부 일관성이 매우 좋아서 틀렸다고 믿기 어렵다"고 말했습니다.

증거가 나오기까지 수년 동안 연구팀은 문제의 핵심에 접근하는 하나 이상의 경로를 만들었습니다. "그들이 얻은 이해는 너무 풍부하고 광범위해서 문제를 모든 방향에서 포괄했습니다."라고 그는 말했습니다.

대통일론

1967년, 30세의 프린스턴 대학교 교수인 로버트 랭글랜즈(Robert Langlands)는 로제타 스톤의 창시자인 앙드레 웨일(André Weil)에게 17페이지 분량의 손으로 쓴 편지를 통해 자신의 생각을 정리했습니다. Langlands는 정수론과 함수 분야에 관한 이 Rosetta Stone 칼럼에서 놀라운 범위와 힘을 지닌 푸리에 분석의 일반화된 버전을 만드는 것이 가능할 것이라고 썼습니다.

고전적인 푸리에 분석에서는 푸리에 변환이라는 프로세스를 사용하여 음파와 같은 파동 패턴에 대해 생각하는 두 가지 서로 다른 방식 사이의 대응을 생성합니다. 이 대응의 한쪽에는 파도 자체가 있습니다. (우리는 그것을 파도 측면이라고 부릅니다). 이는 단순한 사인파(음향적 용어로 순음)부터 여러 사인파로 구성된 복잡한 파동까지 다양합니다. 이 대응의 반대편에는 코사인파의 스펙트럼, 즉 음향학의 피치가 있습니다. (수학자들은 이것을 스펙트럼 측면이라고 부릅니다).

푸리에 변환은 이 두 변 사이를 오가며 진행됩니다. 한 방향에서는 파동을 일련의 주파수로 나누고, 다른 방향에서는 구성 요소 주파수를 기반으로 파동을 재구성합니다. 양방향으로 변환할 수 있는 이러한 능력은 셀 수 없이 많은 응용을 가능하게 합니다. 이것이 없었다면 현대 통신, 신호 처리, 자기 공명 영상 또는 기타 현대 생활의 필수품을 사용할 수 없었을 것입니다.

Langlands는 Rosetta Stone의 정수론과 함수장 필드도 유사한 변환을 가지지만 여기서의 파동과 주파수는 더 복잡하다고 제안했습니다.

아래 비디오에서 Rutgers University의 수학자 Alex Kontorovich는 Langlands 프로그램의 핵심에 있는 놀라운 대칭성을 이해하기 위해 우리를 수학의 땅으로 안내합니다.

영상 출처: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

이들 각 필드에는 반복되는 파동과 유사한 일련의 특수 기능으로 구성된 파동면이 있습니다. 이러한 특수 함수 중 가장 순수한 것을 고유함수라고 하며 사인파처럼 작동합니다. 모든 고유함수에는 고유주파수가 있습니다. 그러나 사인파의 주파수는 하나의 숫자인 반면 고유함수의 주파수는 무한한 숫자 목록입니다.

스펙트럼 측면도 있습니다. 이것은 정수론의 대상으로 구성되었습니다. Langlands는 이러한 대상이 특징적인 기능의 스펙트럼을 표시한다고 믿었습니다. 그는 여기서 파동 측면을 스펙트럼 측면에 연결하는 푸리에 변환과 유사한 처리 메커니즘이 있다고 제안했습니다. Ben-Zvi는 "뭔가 마법 같은 것이 있습니다. 이유 없이는 예측할 수 없는 일입니다."라고 말했습니다.

파동과 주파수 레이블은 매우 다른 데이터 영역에서 나오므로 이들 사이의 일치성을 증명하는 것은 매우 보람 있는 일입니다. 예를 들어, 1990년대에 상대적으로 작은 함수 집합에 대한 정수론 랭글랜드 대응의 증명을 통해 Andrew Wiles와 Richard Taylor는 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있었습니다. 이 문제는 한때 수학에서 증명된 가장 유명한 문제였습니다. 수학계가 300년 동안 연구해 온 것입니다.

University of California, Berkeley의 Edward Frenkel은 다음과 같이 말했습니다. Langlands 프로그램은 "수학의 대통합 이론"으로 간주됩니다. 그러나 수학자들은 Langlands의 비전의 더 큰 부분을 증명하기 위해 노력했지만 그것이 불완전하다는 것을 잘 알고 있습니다. 이 로제타스톤의 기하학 열에서는 파동과 주파수 라벨의 관계를 반영하는 것이 불가능해 보입니다.

모래알

수학자들이 기하학적 Langlands 대응의 스펙트럼 측면이 어떻게 생겼는지에 대한 아이디어를 얻은 것은 Langlands의 작업에서 나왔습니다. Weil의 Rosetta Stone의 세 번째 열(기하학)은 구, 도넛 모양 표면 및 다공성 도넛 모양 표면을 포함한 컴팩트한 리만 표면을 포함합니다. 주어진 리만 표면에는 표면 주위의 다양한 형태의 루프를 추적하는 기본 그룹이라는 해당 개체가 있습니다.

수학자들은 기하학적 랭글랜드에 해당하는 스펙트럼 측면이 기본 그룹의 특정 증류 형태로 구성되어야 한다고 추측합니다.

Langlands 대응이 로제타석의 기하학적 기둥에 반영되려면 리만 표면의 기본 그룹에 대한 모든 표현이 주파수 레이블이어야 합니다. 그러나 주파수 레이블은 무엇입니까?

수학자들은 주파수가 기본 그룹의 표현을 표시하는 것처럼 보이는 특성 함수 세트를 찾을 수 없습니다. 그 후 1980년대에 현재 시카고 대학교에 있는 Vladimir Drinfeld는 고유함수를 고유층이라고 하는 더 복잡한 객체로 대체하여 기하학적인 Langlands 대응 관계를 만드는 것이 가능하다는 것을 깨달았습니다. .

다발은 함수보다 훨씬 더 심오하므로 당시 정수론자들은 이 Langlands 대응 기하학적 사촌을 어떻게 해석해야 할지 몰랐습니다. 그러나 기하 Langlands 프로그램은 (그 난해한 측면에도 불구하고) Langlands 프로그램의 수론적 버전에 비해 한 가지 큰 장점을 가지고 있습니다. 기하학적 Langlands에서 피처 레이어의 빈도는 리만 표면의 점에 의해 제어되며 구 또는 도넛의 각 점은 가까운 거리에서 매우 유사하게 보입니다. 그러나 Langlands 정수론에서는 빈도가 소수에 의해 제어되며 각 소수는 고유한 속성을 갖습니다. 수학자들은 "좋은 방법으로 한 소수에서 다른 소수로 이동하는 방법"을 모른다고 런던 임페리얼 칼리지(Imperial College London)의 정수 이론가 Ana Caraiani가 말했습니다.

리만 표면은 물리학, 특히 등각장 이론에서 중요한 역할을 하며 특정 역장에서 아원자 입자의 동작을 제어합니다. 1990년대 초 Beilinson과 Drinfeld는 등각장 이론을 사용하여 특히 멋진 피처 레이어를 구축할 수 있는 방법을 보여주었습니다.

등각장 이론과의 이러한 연결로 인해 Beilinson과 Drinfeld는 다발에 대한 푸리에 분석을 구성하는 방법에 대해 생각하게 되었습니다. Ben-Zvi는 “이는 결정화를 촉발하는 모래알과 같습니다.”라고 말했습니다.

Beilinson과 Drinfeld는 기하학적 Langlands 대응이 어떻게 작동해야 하는지에 대한 풍부한 비전을 제시했습니다. 기본 그룹의 모든 표현에 피처 레이어의 빈도가 표시되어야 하는 것은 아닙니다. 그들은 이 서신이 양측의 중요한 관계도 존중해야 한다고 믿습니다. Beilinson과 Drinfeld는 이러한 전망을 "최고의 희망"이라고 부릅니다.

Beilinson은 1990년대 중반 Tel Aviv University에서 열린 일련의 강의에서 이러한 발전하는 연구 환경을 소개했습니다. 당시 이곳 대학원생이었던 Gaitsgory는 그 내용을 모두 흡수하려고 애썼습니다. “나는 마치 일종의 각인 행동을 습득한 갓 부화한 오리새끼 같았습니다.”라고 그는 회상합니다.

다음 30년 동안 기하학적 Langlands 추측은 Gaitsgory의 수학적 경력의 주요 원동력이었습니다. "저는 수년 동안 쉬지 않고 일하면서 목표에 점점 더 가까워지고 다양한 도구를 개발해 왔습니다."라고 그는 말했습니다.

떠오르는 바다

Beilinson과 Drinfeld는 자신들의 추측을 대략적으로만 언급했는데, 이는 "The Best Hope"의 관계가 작동하는 방식에 따라 약간 지나치게 단순화된 것으로 판명되었습니다. 2012년에 위스콘신 대학교 매디슨 캠퍼스의 Gaitsgory와 Dima Arinkin은 이 "최선의 희망"을 정확한 추측으로 바꾸는 방법을 알아냈습니다.

다음 해에 Gaitsgory는 기하학적 Langlands 추측을 증명할 수 있는 가능한 방법의 개요를 작성했습니다. 개요는 다수의 중간 진술에 의존했으며 그 중 다수는 당시 입증되지 않았습니다. Gaitsgory와 그의 협력자들은 이를 증명하기 시작했습니다.

그 후 몇 년 동안 토론토 대학의 Gaitsgory와 Nick Rozenblyum은 레이어에 관한 두 권의 책을 집필하여 거의 1,000페이지에 달했습니다. 두 권으로 구성된 이 세트에서 기하학적 Langlands 프로그램은 단 한 번만 언급됩니다. "그러나 그 목적은 나중에 우리가 많이 사용하는 기반을 마련하는 것이었습니다."라고 Gaitsgory는 말했습니다.

2020년에 Gaitsgory는 갑자기 자신의 일정이 거의 없다는 것을 깨달았습니다. “3개월 동안 침대에 누워서 생각만 했어요.” 그런 생각이 결국 (6명의 저자와 함께) 논문으로 이어졌다고 그는 말했습니다. 이 논문은 랭글랜즈 프로그램의 기능적 영역 분야에 중점을 두었지만 기하학적 랭글랜즈 추측(층이 소위 "백색 잡음"에 어떻게 기여하는지를 이해하는 방법)을 증명하는 핵심 구성 요소가 될 "시드"도 포함하고 있습니다. " 방법.

다른 연구자 7명의 사진. 왼쪽부터 시계방향으로: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell 및 Dima Arinkin.

신호 처리의 고전적인 세계에서 음파는 사인파로 구성될 수 있으며, 사인파의 주파수는 소리의 음높이에 해당합니다. 소리에 어떤 음조가 포함되어 있는지 아는 것만으로는 충분하지 않습니다. 또한 각 음조의 크기도 알아야 합니다. 이 정보를 사용하면 사운드를 사인파의 조합으로 작성할 수 있습니다. 진폭 1의 사인파로 시작하고 사인파에 적절한 음량 인자를 곱한 다음 사인파를 더하면 됩니다. 진폭이 1인 모든 다른 사인파의 합을 우리는 종종 "백색 잡음"이라고 부릅니다.

기하학적 Langlands 프로그램의 세계에서 피처 레이어는 사인파처럼 작동합니다. Gaitsgory와 그의 동료들은 백색 소음처럼 작용하는 것으로 보이는 Poincaré 뭉치라는 것을 확인했습니다. 그러나 이들 연구자들에게는 각 특성 레이어가 푸앵카레 레이어로 표현될 수 있는지 여부는 물론, 모두 동일한 진폭을 갖는지 여부도 불분명했습니다.

2022년 봄, Raskin과 그의 대학원생 Joakim Færgeman은 6명의 저자 논문의 아이디어를 사용하여 각 피처 레이어가 실제로 푸앵카레 레이어에서 표현 가능하다는 것을 보여주는 방법을 보여주었습니다. 기하학적인 Langlands 추측의 증명에 관해 Gaitsgory는 다음과 같이 말했습니다. "Sam과 Joakim의 논문 이후, 나는 우리가 짧은 시간 안에 그것을 해낼 수 있다고 확신합니다."

연구자들은 모든 피처 레이어가 푸앵카레 레이어에 동일하게 기여하고 기본 그룹 표현이 이러한 피처 레이어의 빈도를 표시한다는 것을 입증해야 합니다. 그들은 가장 어려운 부분이 이 기본 그룹의 표현, 즉 환원 불가능한 표현을 다루는 것임을 깨달았습니다.

이러한 환원할 수 없는 표현의 해결은 Raskin의 개인 생활이 혼란에 빠졌을 때 나타났습니다. 그와 Færgeman이 온라인에 논문을 게시한 지 몇 주가 지난 어느 날, Raskin은 처음으로 아들을 유치원에 데려가기 위해 집으로 돌아가기 전에 임신한 아내를 급히 병원으로 데려가야 했습니다. Raskin의 아내는 둘째 아이가 태어날 때까지 6주 동안 병원에 입원했습니다. 이 기간 동안 Raskin의 삶은 끊임없이 회전했습니다. 그는 아들의 정상적인 생활을 보장하기 위해 집, 아들의 학교, 병원을 끊임없이 오가며 이동했습니다. "그 당시 내 삶은 자동차와 사람들을 돌보는 일이었습니다."라고 그는 말했습니다.

그는 운전 중에 Gaitsgory와 전화로 수학에 대해 논의했습니다. 그 몇 주가 끝날 무렵, Raskin은 이 환원 불가능한 표현 문제를 당시 이미 도달할 수 있었던 세 가지 사실을 증명하는 것으로 줄일 수 있다는 것을 깨달았습니다. 그는 “나에게는 마법 같은 시간이었다”며 “개인 생활은 미래에 대한 불안과 두려움으로 가득 차 있었다”고 덧붙였다. 나에게 수학은 기초와 명상이 필요한 일이었다.

2023년 초까지 Gaitsgory와 Raskin은 Arinkin, Rozenblyum, Færgeman 및 기타 4명의 연구자와 함께 Gaitsgory와 Arinkin이 수정한 Beilinson과 Drinfeld의 "최고의 희망"에 대한 완전한 증거를 생성했습니다. (다른 연구자들은 University College London의 Dario Beraldo, Tsinghua University의 Lin Chen, Chicago 대학의 Justin Campbell과 Kevin Lin이었습니다.) 팀은 증거를 작성하는 데 1년을 더 보냈습니다. 그들은 올해 2월에 그 증거를 온라인에 올렸습니다. 이 논문은 Gaitsgory가 2013년에 개발한 개요를 따르지만 Gaitsgory의 접근 방식을 단순화하고 여러 방식으로 개선합니다. Lafforgue는 "많은 똑똑한 사람들이 이 비교할 수 없는 성취에 많은 새로운 아이디어를 기여했습니다."라고 말했습니다.

Ben-Zvi는 "그들은 단지 그것을 증명한 것이 아닙니다"라고 말했습니다. "그들은 그것을 중심으로 전 세계를 발전시켰습니다."

더 먼 해안

Gaitsgory에게 있어 이 수십년 간의 꿈의 실현은 이야기의 끝과는 거리가 멀습니다. 수학자들이 풀어야 할 더 많은 수수께끼가 있습니다. 양자 물리학과의 연관성을 더 깊이 탐구하고, 이 결과를 천공된 리만 표면으로 확장하고, 로제타석의 다른 기둥에 대한 의미를 알아내는 것입니다. Gaitsgory는 이메일에서 "이것은 (적어도 나에게는) 큰 바위를 쪼개는 것과 비슷하지만 우리는 여전히 핵심에서 멀리 떨어져 있습니다"라고 썼습니다.

다른 두 분야에서 연구하는 연구자들은 이제 이 증거를 번역하기 위해 열심입니다. Ben-Zvi는 “주요 단편 중 하나가 해결되었다는 사실은 Langlands 서신의 전반적인 연구에 중요한 영향을 미칠 것입니다.”라고 말했습니다.

그러나 모든 것을 가져올 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 수 이론 및 함수 영역 설정에서는 등각장 이론의 아이디어와 동등한 것이 없으며 등각장 이론을 통해 연구자는 기하학적 설정 레이어에서 특수 구조를 구성할 수 있습니다. 이 증명의 대부분은 다른 분야에서 사용되기 전에 약간의 힘든 조정이 필요할 것입니다. Berkeley의 Tony Feng은 "이러한 아이디어를 사용되지 않은 다른 상황으로 이전"할 수 있는지 여부는 불분명하다고 말합니다.

그러나 많은 연구자들은 이처럼 떠오르는 아이디어의 바다가 결국 다른 분야로 확산될 것이라고 낙관하고 있습니다. Ben-Zvi는 "이것은 학문 분야 간의 모든 장벽을 뚫을 것"이라고 말했습니다.

지난 10년 동안 연구자들은 기하학 분야와 다른 두 분야 사이의 연관성을 발견하기 시작했습니다. Feng은 “만약 (기하학 랭글랜즈 추측)이 10년 전에 성공적으로 입증되었다면 결과는 매우 달라졌을 것입니다.”라고 Feng은 말했습니다. “사람들은 그 영향이 (기하학 랭글랜즈) 커뮤니티 외부로 확장될 수 있다는 것을 깨닫지 못했을 것입니다.

Gaitsgory, Raskin 및 그들의 공동 작업자는 기하학적 Langlands 증명을 기능적 도메인 필드로 변환하는 데 약간의 진전을 이루었습니다. (Raskin은 Gaitsgory와 Raskin이 오랜 연구 기간 동안 만든 발견 중 일부가 "아직 공개되지 않았다"고 암시합니다.) 번역이 성공하면 수학자들이 이전에 알고 있거나 추측했던 것보다 훨씬 더 정확한 시스템으로 이어질 수 있습니다. 랭글랜드 버전.

기하학 분야에서 정수론 분야로의 대부분의 번역은 함수 영역을 거칩니다. 그러나 2021년 파리 Jussieu Institute of Mathematics의 Laurent Fargues와 Scholze는 기하학적 기둥의 아이디어를 정수론의 Langlands 프로그램의 특정 부분에 직접 가져올 수 있는 소위 웜홀을 설계했습니다.

Scholze는 "나는 이러한 기하학적인 Langlands 증명을 번역하고 싶은 사람입니다."라고 Scholze는 말했습니다. 이 떠오르는 바다에는 수천 페이지의 텍스트가 포함되어 있다는 점을 고려하면 쉬운 일이 아닙니다. Scholze는 "현재 논문 몇 편이 뒤쳐져 있습니다. 2010년경에 나온 결과를 읽으려고 노력 중입니다."라고 말했습니다.

이제 기하학 Langlands 연구자들이 마침내 그들의 긴 주장을 논문으로 발표했으므로 Caraiani는 정수론 분야의 연구자들과 이에 대해 논의할 더 많은 시간을 갖기를 희망합니다. 그는 “사람들은 문제에 대해 생각하는 방식이 매우 다르다”며 “서로 이야기를 나누고, 서로의 관점을 이해할 수 있다면 언제나 유익하다”고 말했다. 정수론에서는 시간 문제일 뿐입니다.

Ben-Zvi가 말했듯이 "이러한 결과는 매우 강력하여 일단 시작하면 중단하기 어렵습니다."

원본 링크: https://www.Quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/