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da quantamagazine

Autore: Erica Klarreich

Compilazione del cuore della macchina

Editore: Panda

Dopo tre decenni di duro lavoro, i matematici sono riusciti a dimostrare gran parte di una grande visione matematica chiamata programma Langlands.

Un team di nove matematici ha dimostrato con successo la congettura geometrica di Langlands, uno dei paradigmi più diffusi nella matematica moderna.

Il famoso matematico Peter Scholze dell'Istituto Max Planck di Matematica (che non fu coinvolto in questa dimostrazione) disse: Questa dimostrazione è il culmine di trent'anni di duro lavoro. "È bello vedere che il problema viene risolto."

Il programma Langlands è stato proposto da Robert Langlands negli anni '60. Si tratta di un'ampia generalizzazione dell'analisi di Fourier, un quadro di vasta portata per rappresentare onde complesse come sinusoidi multipli che oscillano dolcemente. Il Programma Langlands occupa un posto importante in tre diverse aree della matematica: teoria dei numeri, geometria e il cosiddetto campo delle funzioni. Questi tre campi sono collegati attraverso una rete di analogie che è stata chiamata la "stele di Rosetta" della matematica.

Ora, una serie di articoli dimostra la congettura di Langlands sulle colonne geometriche di questa Stele di Rosetta: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

"In nessun altro luogo ciò è stato dimostrato in modo così completo e robusto", afferma David Ben-Zvi dell'Università del Texas ad Austin.

Alexander Beilinson, uno dei principali pionieri della versione geometrica del Programma Langlands, disse: "Questa è la matematica più bella, la più bella".

La prova è composta da 5 documenti, per un totale di oltre 800 pagine. Provengono da un team guidato da Dennis Gaitsgory (Max Planck Institute) e Sam Raskin (Yale University).

Gaitsgory ha lavorato per dimostrare la congettura geometrica di Langlands negli ultimi 30 anni. Negli ultimi decenni lui e i suoi collaboratori hanno ottenuto un gran numero di risultati di ricerca e su queste basi hanno completato questa prova. Vincent Lafforgue dell'Università di Grenoble-Alpes ha paragonato questi progressi a un "mare che sale"; ha detto che era come lo spirito di ricerca di Alexander Grothendieck, l'eccezionale matematico del XX secolo. Risolvere problemi difficili creando un mare crescente di idee .

Dennis Gaitsgory (foto a sinistra) e Sam Raskin (foto a destra) hanno guidato un team di nove persone che ha dimostrato la congettura geometrica di Langlands.

Ci vorrà del tempo per verificare la nuova dimostrazione, ma molti matematici ritengono che l'idea centrale sia corretta. "La coerenza interna della teoria è molto buona, quindi è difficile credere che sia sbagliata", ha detto Lafforgue.

Negli anni precedenti alla dimostrazione, il gruppo di ricerca ha creato più di un percorso per arrivare al cuore del problema. "La comprensione che hanno ottenuto è stata così ricca e ampia che hanno circondato il problema da tutte le direzioni", ha detto "Non c'era via di scampo".

teoria della grande unificazione

Nel 1967, il professore trentenne dell'Università di Princeton Robert Langlands espose le sue idee in una lettera scritta a mano di 17 pagine ad André Weil, il creatore della Rosetta Stone Vision. Langlands scrisse che in questa colonna di Rosetta Stone sulla teoria dei numeri e sui campi funzionali sarebbe stato possibile creare una versione generalizzata dell’analisi di Fourier che avrebbe una portata e una potenza sorprendenti.

Nella classica analisi di Fourier, un processo chiamato trasformata di Fourier viene utilizzato per creare una corrispondenza tra due diversi modi di pensare a un modello d'onda, come un'onda sonora. Da un lato di questa corrispondenza ci sono le onde stesse. (Lo chiamiamo lato dell'onda). Si va dalle semplici onde sinusoidali (che in termini acustici sono toni puri) alle onde complesse costituite da più onde sinusoidali. Dall'altro lato di questa corrispondenza c'è lo spettro di un'onda coseno - l'altezza in acustica. (I matematici lo chiamano il lato spettrale).

La trasformata di Fourier va avanti e indietro tra questi due lati. In una direzione, scompone l’onda in un insieme di frequenze; ​​nell’altra direzione, ricostruisce l’onda in base alle frequenze che la compongono. Questa capacità di conversione in entrambe le direzioni consente innumerevoli applicazioni: senza di essa non avremmo le telecomunicazioni moderne, l'elaborazione dei segnali, la risonanza magnetica o molte altre necessità della vita moderna.

Langlands ha proposto che anche la teoria dei numeri di Rosetta Stone e i campi dei campi funzionali abbiano trasformazioni simili, ma le onde e le frequenze qui sono più complesse.

Nel video qui sotto, il matematico della Rutgers University Alex Kontorovich ci guida attraverso la terra della matematica per comprendere le straordinarie simmetrie nel cuore del Programma Langlands.

Fonte video: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

In ciascuno di questi campi c'è un lato dell'onda costituito da una serie di funzioni speciali che ricordano le onde ripetute. Le più pure di queste funzioni speciali sono chiamate autofunzioni e agiscono come onde sinusoidali. Ogni autofunzione ha una frequenza propria. Tuttavia, mentre la frequenza di un'onda sinusoidale è un numero, la frequenza di un'autofunzione è un elenco infinito di numeri.

C'è anche un lato dello spettro. Questo consisteva in oggetti nella teoria dei numeri. Langlands credeva che questi oggetti segnassero lo spettro delle funzioni caratteristiche. Ha proposto che esista un meccanismo di elaborazione simile alla trasformata di Fourier che collega il lato dell'onda qui al lato spettrale. "C'è qualcosa di magico in questo", ha detto Ben-Zvi "Non è qualcosa che potremmo prevedere senza alcuna ragione."

Le onde e le relative etichette di frequenza provengono da ambiti di dati molto diversi, quindi dimostrare una corrispondenza tra loro sarebbe molto gratificante. Ad esempio, negli anni '90, la dimostrazione della teoria dei numeri della corrispondenza di Langlands di un insieme relativamente piccolo di funzioni ha permesso ad Andrew Wiles e Richard Taylor di dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat: un tempo questo era il problema più famoso da dimostrare in matematica su cui la comunità matematica lavora da tre secoli.

Edward Frenkel dell'Università della California, Berkeley, ha affermato: Il Programma Langlands è considerato "la grande teoria unificata della matematica". Eppure, anche se i matematici hanno lavorato per dimostrare parti sempre più ampie della visione di Langlands, sono ben consapevoli che essa è incompleta. Nella colonna geometrica di questa Stele di Rosetta, la relazione tra onde ed etichette di frequenza sembra impossibile da riflettere.

Granello di sabbia

Fu dal lavoro di Langlands che i matematici ebbero un'idea di come sarebbe stato il lato spettrale della corrispondenza geometrica di Langlands. La terza colonna (geometria) della Stele di Rosetta di Weil coinvolge superfici di Riemann compatte, comprese sfere, superfici a forma di ciambella e superfici porose a forma di ciambella. Una data superficie riemanniana ha un oggetto corrispondente, chiamato gruppo fondamentale, che traccia le diverse forme di anelli attorno alla superficie.

I matematici ipotizzano che il lato spettrale corrispondente alle Langlands geometriche dovrebbe essere composto da forme di distillazione specifiche del gruppo fondamentale. Queste forme di distillazione specifiche sono anche chiamate rappresentazioni del gruppo fondamentale.

Se la corrispondenza di Langlands dovesse riflettersi nelle colonne geometriche della Stele di Rosetta, allora ogni rappresentazione del gruppo fondamentale di una superficie di Riemann dovrebbe essere un'etichetta di frequenza: ma quale etichetta di frequenza?

I matematici non riescono a trovare alcun insieme di funzioni caratteristiche le cui frequenze sembrano segnare la rappresentazione di gruppi fondamentali. Poi, negli anni '80, Vladimir Drinfeld, ora all'Università di Chicago, si rese conto che era possibile creare corrispondenze geometriche di Langlands sostituendo le autofunzioni con oggetti più complessi chiamati eigensheaf, ma a quel tempo sapeva solo come vengono costruiti alcuni stack di caratteristiche. .

I fasci sono molto più profondi delle funzioni, quindi i teorici dei numeri dell'epoca non sapevano cosa pensare del cugino geometrico di questa controparte di Langlands. Ma il programma geometrico di Langlands (malgrado i suoi aspetti arcani) presenta un grande vantaggio rispetto alla versione teorica dei numeri del programma di Langlands. In Geometric Langlands, la frequenza del feature layer è controllata da punti su una superficie Riemanniana, con ciascun punto su una sfera o su una ciambella che appare molto simile a distanza ravvicinata. Ma nella teoria dei numeri di Langlands, le frequenze sono controllate dai numeri primi, e ciascun numero primo ha le sue proprietà. I matematici non sanno "come passare da un numero primo all'altro in modo carino", afferma la teorica dei numeri Ana Caraiani dell'Imperial College di Londra.

Le superfici di Riemann svolgono un ruolo importante in fisica, soprattutto nella teoria dei campi conformi, dove controllano il comportamento delle particelle subatomiche in determinati campi di forza. All'inizio degli anni '90, Beilinson e Drinfeld mostrarono come la teoria dei campi conformi potesse essere utilizzata per costruire alcuni feature layer particolarmente interessanti.

Questa connessione con la teoria dei campi conformi ha portato Beilinson e Drinfeld a pensare a come costruire un'analisi di Fourier per il fascio. "È come un granello di sabbia che innesca la cristallizzazione", ha detto Ben-Zvi.

Beilinson e Drinfeld hanno presentato una visione ricca di come dovrebbero funzionare le corrispondenze geometriche di Langlands. Non si tratta solo del fatto che ogni rappresentazione di un gruppo fondamentale dovrebbe essere contrassegnata con la frequenza di un feature layer. Ritengono che questa corrispondenza dovrebbe anche rispettare le importanti relazioni tra entrambe le parti. Beilinson e Drinfeld definiscono questa prospettiva "la migliore speranza".

Beilinson ha introdotto questo panorama di ricerca in via di sviluppo in una serie di conferenze all’Università di Tel Aviv a metà degli anni ’90. Gaitsgory, che all'epoca era uno studente laureato qui, fece fatica ad assorbirne ogni parola. "Ero come un anatroccolo appena nato che ha acquisito una sorta di comportamento imprinting", ricorda.

Per i successivi 30 anni, la congettura geometrica di Langlands è stata la principale forza trainante della carriera matematica di Gaitsgory. "Ho lavorato senza sosta nel corso degli anni, avvicinandomi sempre di più all'obiettivo, sviluppando strumenti diversi", ha affermato.

mare in aumento

Beilinson e Drinfeld hanno espresso solo vagamente le loro congetture, che si sono rivelate un po' semplificate dal modo in cui dovrebbero funzionare le relazioni in "The Best Hope". Nel 2012, Gaitsgory e Dima Arinkin dell'Università del Wisconsin-Madison hanno capito come trasformare questa "migliore speranza" in un'ipotesi accurata.

L'anno successivo, Gaitsgory scrisse uno schema dei possibili modi per dimostrare la congettura geometrica di Langlands. Lo schema si basava su un gran numero di affermazioni intermedie, molte delle quali all’epoca non erano state dimostrate. Gaitsgory e i suoi collaboratori hanno deciso di dimostrarli.

Negli anni successivi, Gaitsgory e Nick Rozenblyum dell’Università di Toronto scrissero due libri sui livelli, per un totale di quasi 1.000 pagine. In questa serie di due volumi, il programma geometrico di Langlands è menzionato una sola volta. "Ma lo scopo era quello di gettare le basi che in seguito abbiamo utilizzato molto", ha detto Gaitsgory.

Nel 2020, Gaitsgory ha scoperto improvvisamente di avere ben poco nel suo programma. "Ho passato tre mesi sdraiato a letto, solo a pensare", ha detto. Quei pensieri alla fine hanno portato a un articolo (con sei autori). Sebbene l'articolo si concentrasse sul campo dei domini funzionali del Programma Langlands, conteneva anche "un seme" che sarebbe diventato un componente chiave per dimostrare la congettura geometrica di Langlands: un metodo per comprendere le proprietà come gli strati contribuiscono al cosiddetto "rumore bianco". "metodi.

Foto di altri sette ricercatori. In senso orario da sinistra: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell e Dima Arinkin.

Nel mondo classico dell'elaborazione del segnale, le onde sonore possono essere costruite da onde sinusoidali, le cui frequenze corrispondono alle altezze del suono. Non è sufficiente sapere quali toni sono contenuti in un suono: devi anche sapere quanto è forte ogni tono. Queste informazioni ti consentono di scrivere il suono come una combinazione di onde sinusoidali: basta iniziare con un'onda sinusoidale di ampiezza 1, moltiplicare le onde sinusoidali per il fattore di sonorità appropriato e sommare insieme le onde sinusoidali. La somma di tutte le diverse onde sinusoidali con ampiezza pari a 1 è ciò che spesso chiamiamo "rumore bianco".

Nel mondo del Programma Geometric Langlands, il feature layer si comporta come un'onda sinusoidale. Gaitsgory e i suoi collaboratori hanno identificato qualcosa chiamato covone di Poincaré, che sembra agire come un rumore bianco. Ma a questi ricercatori non era chiaro se ogni strato caratteristico potesse essere rappresentato in uno strato di Poincaré, per non parlare se avrebbero tutti la stessa ampiezza.

Nella primavera del 2022, Raskin e il suo studente laureato Joakim Færgeman hanno mostrato come utilizzare le idee di quell’articolo di sei autori per dimostrare che ogni livello di caratteristiche è effettivamente rappresentabile in uno strato di Poincaré. Parlando della dimostrazione della congettura geometrica di Langlands, Gaitsgory ha detto: "Dopo l'articolo di Sam e Joakim, sono molto sicuro che potremo farcela in breve tempo".

I ricercatori devono dimostrare che tutti i feature layer contribuiscono equamente allo strato di Poincaré e che la rappresentazione del gruppo fondamentale segna la frequenza di questi feature layer. Si sono resi conto che la parte più difficile era avere a che fare con le rappresentazioni di questo gruppo fondamentale: le rappresentazioni irriducibili.

La risoluzione di queste rappresentazioni irriducibili emerse in un momento in cui la vita personale di Raskin era in subbuglio. Un giorno, settimane dopo che lui e Færgeman avevano pubblicato il loro articolo online, Raskin dovette portare di corsa la moglie incinta in ospedale prima di tornare a casa per portare suo figlio all'asilo per la prima volta. La moglie di Raskin trascorse sei settimane in ospedale finché non nacque il loro secondo figlio. Durante questo periodo, la vita di Raskin era costantemente in movimento: viaggiava costantemente avanti e indietro tra casa, la scuola di suo figlio e l'ospedale per garantire una vita normale a suo figlio. "Tutta la mia vita a quel tempo era dedicata alle macchine e alla cura delle persone", ha detto.

Ha discusso di matematica al telefono con Gaitsgory mentre guidava. Verso la fine della prima di quelle settimane, Raskin si rese conto che avrebbe potuto ridurre questo irriducibile problema della rappresentazione alla dimostrazione di tre fatti che all’epoca erano già a portata di mano. "È stato un momento magico per me", ha detto, aggiungendo che la sua vita personale "era piena di ansia e paura per il futuro. Per me, la matematica era qualcosa che necessitava di radicamento e meditazione. Fammi uscire da quell'ansia".

All'inizio del 2023, Gaitsgory e Raskin, insieme ad Arinkin, Rozenblyum, Færgeman e altri quattro ricercatori, avevano prodotto una prova completa della "migliore speranza" di Beilinson e Drinfeld, rivista da Gaitsgory e Arinkin. (Gli altri ricercatori erano Dario Beraldo dell'University College di Londra, Lin Chen della Tsinghua University e Justin Campbell e Kevin Lin dell'Università di Chicago.) Il team ha trascorso un altro anno a scrivere la prova. Hanno pubblicato la prova online nel febbraio di quest'anno. Sebbene questi documenti seguano lo schema sviluppato da Gaitsgory nel 2013, semplificano l'approccio di Gaitsgory e lo migliorano in molti modi. "Molte persone intelligenti hanno contribuito con molte nuove idee a questo risultato senza precedenti", ha affermato Lafforgue.

“Non l’hanno solo dimostrato”, ha detto Ben-Zvi, “hanno sviluppato un intero mondo attorno ad esso”.

ulteriore costa

Per Gaitsgory, la realizzazione di questo sogno vecchio di decenni è ben lungi dall’essere la fine della storia. Ci sono molti altri enigmi da risolvere per i matematici: esplorare più a fondo la sua connessione con la fisica quantistica, estendere questo risultato alle superfici perforate di Riemann, capire le sue implicazioni per altre colonne della Stele di Rosetta. "Questo sembra (almeno a me) più come scheggiare un grosso masso, ma siamo ancora molto lontani dal nucleo", ha scritto Gaitsgory in una e-mail.

I ricercatori che lavorano negli altri due campi sono ora ansiosi di tradurre questa prova. "Il fatto che uno dei frammenti principali sia stato risolto dovrebbe avere un impatto significativo sullo studio complessivo della corrispondenza di Langlands", ha detto Ben-Zvi.

Ma non tutto può essere trasferito: ad esempio, nella teoria dei numeri e nelle impostazioni del dominio delle funzioni, non esiste un equivalente dell'idea della teoria dei campi conformi, e la teoria dei campi conformi consente ai ricercatori di costruire strutture speciali in impostazioni geometriche. Gran parte di queste prove richiederanno alcune laboriose modifiche prima di poter essere utilizzate in altri campi. Non è chiaro se possiamo "trasferire queste idee in un contesto diverso dove potrebbero non essere state utilizzate", afferma Tony Feng di Berkeley.

Ma molti ricercatori sono ottimisti sul fatto che questo crescente mare di idee finirà per diffondersi in altri campi. "Supererà tutte le barriere tra le discipline", ha detto Ben-Zvi.

Negli ultimi dieci anni, i ricercatori hanno iniziato a scoprire le connessioni tra il campo della geometria e gli altri due campi. “Se (la congettura geometrica di Langlands) fosse stata dimostrata con successo 10 anni fa, i risultati sarebbero stati molto diversi”, ha detto Feng, “la gente non si sarebbe resa conto che il suo impatto avrebbe potuto estendersi alla comunità (Geometric Langlands).

Gaitsgory, Raskin e i loro collaboratori hanno fatto alcuni progressi nella traduzione delle dimostrazioni geometriche di Langlands in campi di domini funzionali. (Raskin suggerisce che alcune delle scoperte fatte da Gaitsgory e Raskin durante il lungo viaggio di quest'ultimo "devono ancora essere rivelate".) Se la traduzione avrà successo, potrebbe portare a un sistema molto più preciso di quanto i matematici precedentemente conoscessero o addirittura immaginassero Versione Langlands.

La maggior parte delle traduzioni dai campi della geometria ai campi della teoria dei numeri passano attraverso il dominio delle funzioni. Ma nel 2021 Laurent Fargues e Scholze dell'Istituto di matematica Jussieu di Parigi hanno progettato un cosiddetto wormhole che può portare l'idea delle colonne geometriche direttamente a una certa parte del programma Langlands nella teoria dei numeri.

"Sono sicuramente qualcuno che vuole tradurre queste dimostrazioni geometriche di Langlands", ha detto Scholze. Non è un compito facile, considerando che questo mare in aumento contiene migliaia di pagine di testo. "Sono alcuni documenti indietro al momento", ha detto Scholze "Sto cercando di leggere i loro risultati intorno al 2010."

Ora che i ricercatori geometrici di Langlands hanno finalmente presentato la loro lunga argomentazione in un articolo, Caraiani spera che avranno più tempo per discuterla con i ricercatori nel campo della teoria dei numeri. "Le persone hanno modi molto diversi di pensare ai problemi", ha detto. "È sempre utile se riescono a rallentare, a parlare tra loro e a comprendere la prospettiva reciproca". della teoria dei numeri, è solo questione di tempo.

Come dice Ben-Zvi: “Questi risultati sono così solidi che una volta che inizi, è difficile fermarsi”.

Link originale: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/