berita

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

dari majalah kuantum

Pengarang: Erica Klarreich

Kompilasi Jantung Mesin

Penyunting: Panda

Setelah kerja keras selama tiga dekade, para ahli matematika telah berhasil membuktikan bagian utama dari visi matematika besar yang disebut program Langlands.

Sebuah tim yang terdiri dari sembilan ahli matematika berhasil membuktikan Dugaan Geometris Langlands, salah satu paradigma paling luas dalam matematika modern.

Matematikawan terkenal Peter Scholze dari Institut Matematika Max Planck (yang tidak terlibat dalam pembuktian ini) mengatakan: Pembuktian ini adalah puncak dari kerja keras selama tiga puluh tahun. "Senang rasanya melihatnya diselesaikan."

Program Langlands diusulkan oleh Robert Langlands pada tahun 1960an. Ini adalah generalisasi luas dari analisis Fourier, kerangka kerja yang luas untuk merepresentasikan gelombang kompleks sebagai beberapa sinusoid yang berosilasi dengan lancar. Program Langlands memiliki tempat penting dalam tiga bidang matematika yang berbeda: teori bilangan, geometri, dan bidang fungsi. Ketiga bidang ini terhubung melalui jaringan analogi yang disebut "batu Rosetta" dalam matematika.

Kini, serangkaian makalah membuktikan dugaan Langlands tentang kolom geometris Batu Rosetta ini: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

“Belum ada tempat lain yang menunjukkan hal ini secara komprehensif dan kuat,” kata David Ben-Zvi dari University of Texas di Austin.

Alexander Beilinson, salah satu pionir terkemuka Program Langlands versi geometris, mengatakan: "Ini adalah matematika yang indah, jenis yang paling indah."

Buktinya terdiri dari 5 makalah yang berjumlah lebih dari 800 halaman. Mereka berasal dari tim yang dipimpin oleh Dennis Gaitsgory (Max Planck Institute) dan Sam Raskin (Yale University).

Gaitsgory telah berupaya membuktikan dugaan geometris Langlands selama 30 tahun terakhir. Selama beberapa dekade terakhir, ia dan kolaboratornya telah memperoleh sejumlah besar hasil penelitian dan menyelesaikan bukti tersebut atas dasar tersebut. Vincent Lafforgue dari Universitas Grenoble-Alpes membandingkan kemajuan ini dengan "naiknya lautan"; menurutnya ini seperti semangat penelitian Alexander Grothendieck, ahli matematika terkemuka abad ke-20 - Memecahkan masalah sulit dengan menciptakan lautan ide yang meningkat. .

Dennis Gaitsgory (gambar kiri) dan Sam Raskin (gambar kanan) memimpin tim beranggotakan sembilan orang yang membuktikan Dugaan Geometris Langlands.

Diperlukan waktu untuk memverifikasi bukti baru mereka, namun banyak ahli matematika mengatakan mereka yakin gagasan intinya benar. “Konsistensi internal teori ini sangat baik, sehingga sulit dipercaya bahwa teori tersebut salah,” kata Lafforgue.

Pada tahun-tahun menjelang pembuktian, tim peneliti menciptakan lebih dari satu jalur menuju inti permasalahan. “Pemahaman yang mereka peroleh begitu kaya dan luas sehingga mereka mengepung masalah ini dari segala arah,” katanya. “Tidak ada jalan keluar darinya.”

teori kesatuan besar

Pada tahun 1967, profesor Universitas Princeton berusia 30 tahun, Robert Langlands, memaparkan idenya dalam surat tulisan tangan setebal 17 halaman kepada André Weil, pencipta Rosetta Stone. Langlands menulis bahwa dalam kolom teori bilangan dan bidang fungsional Rosetta Stone ini, dimungkinkan untuk membuat versi umum analisis Fourier yang memiliki cakupan dan kekuatan yang menakjubkan.

Dalam analisis Fourier klasik, proses yang disebut transformasi Fourier digunakan untuk membuat korespondensi antara dua cara berpikir berbeda tentang pola gelombang, seperti gelombang suara. Di satu sisi korespondensi ini terdapat gelombang itu sendiri. (Kami menyebutnya sisi gelombang). Ini berkisar dari gelombang sinus sederhana (yang dalam istilah akustik adalah nada murni) hingga gelombang kompleks yang terdiri dari beberapa gelombang sinus. Di sisi lain dari korespondensi ini adalah spektrum gelombang kosinus - nada dalam akustik. (Ahli matematika menyebutnya sisi spektral).

Transformasi Fourier terjadi bolak-balik antara kedua sisi. Di satu arah, ia memecah gelombang menjadi sekumpulan frekuensi; di arah lain, ia merekonstruksi gelombang berdasarkan frekuensi komponennya. Kemampuan untuk mengkonversi dua arah ini memungkinkan penerapan yang tak terhitung jumlahnya—tanpanya, kita tidak akan memiliki telekomunikasi modern, pemrosesan sinyal, pencitraan resonansi magnetik, atau banyak kebutuhan kehidupan modern lainnya.

Langlands mengusulkan bahwa teori bilangan Rosetta Stone dan bidang fungsi juga memiliki transformasi serupa, tetapi gelombang dan frekuensi di sini lebih kompleks.

Dalam video di bawah ini, ahli matematika Universitas Rutgers Alex Kontorovich membawa kita menjelajahi dunia matematika untuk memahami kesimetrian menakjubkan di jantung Program Langlands.

Sumber video: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

Pada masing-masing bidang tersebut terdapat sisi gelombang yang terdiri dari sekumpulan fungsi khusus yang menyerupai gelombang berulang. Fungsi khusus yang paling murni disebut fungsi eigen, dan berfungsi seperti gelombang sinus. Setiap fungsi eigen mempunyai frekuensi eigen. Namun, meskipun frekuensi gelombang sinus adalah satu bilangan, frekuensi fungsi eigen adalah daftar bilangan yang tak terhingga.

Ada juga sisi spektrum. Ini terdiri dari objek-objek dalam teori bilangan; Langlands percaya bahwa objek-objek ini menandai spektrum fungsi karakteristik. Dia mengusulkan bahwa ada mekanisme pemrosesan yang mirip dengan transformasi Fourier yang menghubungkan sisi gelombang ke sisi spektral. “Ada sesuatu yang ajaib tentang hal itu,” kata Ben-Zvi. “Itu bukanlah sesuatu yang dapat kami prediksi tanpa alasan apa pun.”

Gelombang dan label frekuensinya berasal dari bidang data yang sangat berbeda, sehingga membuktikan korespondensi di antara keduanya akan sangat bermanfaat. Misalnya, pada tahun 1990-an, pembuktian teori bilangan korespondensi Langlands dari sekumpulan fungsi yang relatif kecil memungkinkan Andrew Wiles dan Richard Taylor membuktikan Teorema Terakhir Fermat - soal ini pernah menjadi soal paling terkenal yang dibuktikan dalam matematika yang telah dikerjakan oleh komunitas matematika selama tiga abad.

Edward Frenkel dari Universitas California, Berkeley, berkata: Program Langlands dianggap sebagai "teori matematika terpadu yang agung". Meskipun para ahli matematika telah berupaya membuktikan bagian yang lebih besar dari visi Langlands, mereka sadar betul bahwa visi tersebut masih belum lengkap. Pada kolom geometri Batu Rosetta ini, hubungan antara gelombang dan label frekuensi sepertinya mustahil untuk direfleksikan.

Butir pasir

Dari karya Langlands-lah para ahli matematika mendapat gambaran tentang seperti apa sisi spektral korespondensi geometris Langlands. Kolom ketiga (geometri) Batu Rosetta Weil melibatkan permukaan Riemann yang kompak, termasuk bola, permukaan berbentuk donat, dan permukaan berbentuk donat berpori. Permukaan Riemannian tertentu mempunyai objek yang sesuai, yang disebut kelompok fundamental, yang melacak berbagai bentuk loop yang mengelilingi permukaan.

Matematikawan menduga bahwa sisi spektral yang berhubungan dengan Langlands geometris harus terdiri dari bentuk distilasi tertentu dari kelompok fundamental.

Jika korespondensi Langlands tercermin dalam kolom geometris Batu Rosetta, maka setiap representasi kelompok dasar permukaan Riemann harus berupa label frekuensi—tetapi label frekuensi apa?

Matematikawan tidak dapat menemukan himpunan fungsi karakteristik yang frekuensinya tampaknya menandai representasi kelompok fundamental. Kemudian pada tahun 1980-an, Vladimir Drinfeld, sekarang di Universitas Chicago, menyadari bahwa membuat korespondensi geometris Langlands dapat dilakukan dengan mengganti fungsi eigen dengan objek yang lebih kompleks yang disebut eigensheafs—tetapi pada saat itu, dia hanya mengetahui bagaimana beberapa tumpukan fitur dibangun. .

Berkas jauh lebih mendalam daripada fungsi, jadi para ahli teori bilangan pada saat itu tidak tahu apa pendapat tentang sepupu geometri Langlands ini. Namun program Langlands geometri (terlepas dari aspek misteriusnya) mempunyai satu keunggulan besar dibandingkan program Langlands versi teori bilangan. Dalam Geometric Langlands, frekuensi lapisan fitur dikendalikan oleh titik-titik pada permukaan Riemannian, dengan setiap titik pada bola atau donat terlihat sangat mirip dalam jarak dekat. Namun dalam teori bilangan Langlands, frekuensi dikendalikan oleh bilangan prima, dan setiap bilangan prima mempunyai sifat tersendiri. Matematikawan tidak tahu "bagaimana berpindah dari satu bilangan prima ke bilangan prima lainnya dengan cara yang baik," kata ahli teori bilangan Ana Caraiani dari Imperial College London.

Permukaan Riemann memainkan peran penting dalam fisika, khususnya dalam teori medan konformal, di mana permukaan tersebut mengontrol perilaku partikel subatom dalam medan gaya tertentu. Pada awal tahun 1990-an, Beilinson dan Drinfeld menunjukkan bagaimana teori medan konformal dapat digunakan untuk membangun beberapa lapisan fitur yang sangat bagus.

Hubungan dengan teori medan konformal ini membuat Beilinson dan Drinfeld berpikir tentang bagaimana membangun analisis Fourier untuk berkas tersebut. “Ini seperti butiran pasir yang memicu kristalisasi,” kata Ben-Zvi.

Beilinson dan Drinfeld menyajikan visi yang kaya tentang bagaimana korespondensi geometris Langlands seharusnya bekerja. Setiap representasi kelompok fundamental tidak hanya harus ditandai dengan frekuensi lapisan fitur. Mereka percaya bahwa korespondensi ini juga harus menghormati hubungan penting kedua belah pihak. Beilinson dan Drinfeld menyebut pandangan ini sebagai “harapan terbaik.”

Beilinson memperkenalkan lanskap penelitian yang berkembang ini dalam serangkaian kuliahnya di Universitas Tel Aviv pada pertengahan tahun 1990an. Gaitsgory, yang saat itu merupakan mahasiswa pascasarjana di sini, kesulitan menyerap setiap kata yang ada di dalamnya. “Saya seperti anak itik yang baru menetas dan memiliki perilaku yang melekat,” kenangnya.

Selama 30 tahun berikutnya, dugaan geometris Langlands telah menjadi kekuatan pendorong utama karir matematika Gaitsgory. “Saya telah bekerja tanpa henti selama bertahun-tahun, semakin dekat dengan tujuan saya, mengembangkan berbagai alat,” katanya.

laut yang naik

Beilinson dan Drinfeld hanya menyatakan dugaan mereka secara longgar, yang ternyata agak disederhanakan dengan cara kerja hubungan dalam "The Best Hope". Pada tahun 2012, Gaitsgory dan Dima Arinkin dari Universitas Wisconsin-Madison menemukan cara mengubah "harapan terbaik" ini menjadi tebakan yang akurat.

Tahun berikutnya, Gaitsgory menulis garis besar cara yang mungkin untuk membuktikan dugaan geometris Langlands. Garis besarnya bergantung pada sejumlah besar pernyataan perantara, yang banyak di antaranya belum terbukti pada saat itu. Gaitsgory dan kolaboratornya berusaha membuktikannya.

Selama beberapa tahun berikutnya, Gaitsgory dan Nick Rozenblyum dari Universitas Toronto menulis dua buku berlapis-lapis, sehingga jumlahnya mencapai hampir 1.000 halaman. Dalam kumpulan dua jilid ini, program geometri Langlands hanya disebutkan satu kali. “Tetapi tujuannya adalah untuk meletakkan fondasi yang kemudian banyak kami gunakan,” kata Gaitsgory.

Pada tahun 2020, Gaitsgory tiba-tiba menyadari bahwa jadwalnya sangat sedikit. “Saya menghabiskan tiga bulan berbaring di tempat tidur, hanya berpikir,” katanya. Pemikiran tersebut akhirnya menghasilkan sebuah makalah (dengan enam penulis). Meskipun makalah ini berfokus pada bidang domain fungsional Program Langlands, makalah ini juga berisi "benih" yang akan menjadi komponen kunci dalam membuktikan Dugaan Langlands geometris: sebuah metode untuk memahami properti " metode.

Foto tujuh peneliti lainnya. Searah jarum jam dari kiri: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell dan Dima Arinkin.

Dalam dunia pemrosesan sinyal klasik, gelombang suara dapat dibuat dari gelombang sinus, yang frekuensinya sesuai dengan nada suara. Mengetahui nada-nada yang terkandung dalam suatu suara saja tidak cukup - Anda juga perlu mengetahui seberapa keras setiap nada tersebut. Informasi ini memungkinkan Anda menulis suara sebagai kombinasi gelombang sinus: mulailah dengan gelombang sinus dengan amplitudo 1, kalikan gelombang sinus dengan faktor kenyaringan yang sesuai, dan jumlahkan gelombang sinus tersebut. Jumlah semua gelombang sinus yang berbeda dengan amplitudo 1 inilah yang sering kita sebut dengan "white noise".

Dalam dunia Program Langlands Geometris, lapisan fitur bertindak seperti gelombang sinus. Gaitsgory dan kolaboratornya mengidentifikasi sesuatu yang disebut berkas Poincaré, yang tampak seperti white noise. Namun tidak jelas bagi para peneliti apakah setiap lapisan karakteristik dapat direpresentasikan dalam lapisan Poincaré, apalagi apakah semuanya memiliki amplitudo yang sama.

Pada musim semi 2022, Raskin dan mahasiswa pascasarjananya Joakim Færgeman menunjukkan cara menggunakan ide dari makalah enam penulis tersebut untuk menunjukkan bahwa setiap lapisan fitur memang dapat direpresentasikan dalam lapisan Poincaré. Ketika berbicara tentang pembuktian dugaan geometris Langlands, Gaitsgory berkata: "Setelah makalah Sam dan Joakim, saya sangat yakin kita bisa melakukannya dalam waktu singkat."

Peneliti perlu menunjukkan bahwa semua lapisan fitur berkontribusi sama pada lapisan Poincaré dan bahwa representasi kelompok fundamental menandai frekuensi lapisan fitur ini. Mereka menyadari bahwa bagian tersulit adalah menangani representasi dari kelompok fundamental ini: representasi yang tidak dapat direduksi.

Penyelesaian atas representasi yang tidak dapat direduksi ini muncul pada saat kehidupan pribadi Raskin berada dalam kekacauan. Suatu hari, beberapa minggu setelah dia dan Færgeman memposting makalah mereka secara online, Raskin harus membawa istrinya yang sedang hamil ke rumah sakit sebelum kembali ke rumah untuk mengantar putranya ke taman kanak-kanak untuk pertama kalinya. Istri Raskin dirawat selama enam minggu di rumah sakit hingga anak kedua mereka lahir. Selama ini, kehidupan Raskin terus berputar - ia terus-menerus bepergian bolak-balik antara rumah, sekolah putranya, dan rumah sakit untuk memastikan kehidupan normal putranya. “Seluruh hidup saya saat itu hanyalah mobil dan mengurus orang,” ujarnya.

Dia berdiskusi matematika di telepon dengan Gaitsgory sambil mengemudi. Menjelang akhir minggu-minggu pertama tersebut, Raskin menyadari bahwa ia dapat mengurangi masalah keterwakilan yang tidak dapat direduksi menjadi pembuktian tiga fakta yang sudah dapat dijangkau pada saat itu. “Itu adalah saat yang ajaib bagi saya,” katanya, seraya menambahkan bahwa kehidupan pribadinya “dipenuhi dengan kecemasan dan ketakutan tentang masa depan. Bagi saya, matematika adalah sesuatu yang memerlukan landasan dan meditasi.

Pada awal tahun 2023, Gaitsgory dan Raskin, bersama dengan Arinkin, Rozenblyum, Færgeman, dan empat peneliti lainnya, telah menghasilkan bukti lengkap tentang "harapan terbaik" Beilinson dan Drinfeld, yang direvisi oleh Gaitsgory dan Arinkin. (Peneliti lainnya adalah Dario Beraldo dari University College London, Lin Chen dari Universitas Tsinghua, dan Justin Campbell dan Kevin Lin dari Universitas Chicago.) Tim tersebut menghabiskan satu tahun lagi untuk menulis buktinya. Mereka memposting buktinya secara online pada bulan Februari tahun ini. Meskipun makalah ini mengikuti garis besar yang dikembangkan oleh Gaitsgory pada tahun 2013, makalah ini menyederhanakan pendekatan Gaitsgory dan memperbaikinya dalam banyak hal. “Banyak orang pintar yang menyumbangkan banyak ide baru untuk pencapaian yang tak tertandingi ini,” kata Lafforgue.

“Mereka tidak hanya membuktikannya,” kata Ben-Zvi, “mereka mengembangkan dunia yang mengelilinginya.”

pantai lebih jauh

Bagi Gaitsgory, realisasi mimpi puluhan tahun ini masih jauh dari akhir cerita. Ada banyak teka-teki lebih lanjut yang harus dipecahkan oleh para ahli matematika - mengeksplorasi lebih dalam hubungannya dengan fisika kuantum, memperluas hasil ini ke permukaan Riemann yang berlubang, mencari tahu implikasinya terhadap kolom Batu Rosetta lainnya. “Ini terasa (setidaknya bagi saya) lebih seperti menghancurkan sebuah batu besar, namun kita masih sangat jauh dari intinya,” tulis Gaitsgory melalui email.

Para peneliti yang bekerja di dua bidang lainnya kini bersemangat untuk menerjemahkan bukti ini. “Fakta bahwa salah satu bagian utama telah terpecahkan seharusnya berdampak signifikan pada studi korespondensi Langlands secara keseluruhan,” kata Ben-Zvi.

Namun tidak semuanya dapat dibawa ke atas - misalnya, dalam teori bilangan dan pengaturan domain fungsi, tidak ada yang setara dengan gagasan teori medan konformal, dan teori medan konformal memungkinkan peneliti untuk membangun struktur khusus dalam pengaturan geometris. Sebagian besar bukti ini memerlukan penyesuaian yang melelahkan sebelum dapat digunakan di bidang lain. Tidak jelas apakah kita dapat "mentransfer ide-ide ini ke konteks lain yang mungkin belum pernah digunakan," kata Tony Feng dari Berkeley.

Namun banyak peneliti yang optimis bahwa lautan ide yang meningkat ini pada akhirnya akan menyebar ke bidang lain. “Ini akan menembus semua hambatan antar disiplin ilmu,” kata Ben-Zvi.

Selama dekade terakhir, para peneliti mulai menemukan hubungan antara bidang geometri dan dua bidang lainnya. “Jika (Dugaan Geometric Langlands) berhasil dibuktikan 10 tahun yang lalu, hasilnya akan sangat berbeda,” kata Feng. “Orang-orang tidak akan menyadari bahwa dampaknya mungkin meluas ke komunitas (Geometric Langlands) di luar.

Gaitsgory, Raskin, dan kolaboratornya telah mencapai beberapa kemajuan dalam menerjemahkan bukti geometris Langlands ke dalam bidang domain fungsional. (Raskin mengisyaratkan bahwa beberapa penemuan yang dibuat oleh Gaitsgory dan Raskin selama perjalanan panjang Gaitsgory "masih belum terungkap".) Jika terjemahannya berhasil, hal ini dapat menghasilkan sistem yang jauh lebih tepat daripada yang diketahui atau bahkan ditebak oleh para ahli matematika sebelumnya. Versi Langlands domain fungsi.

Sebagian besar terjemahan dari bidang geometri ke bidang teori bilangan melalui domain fungsi. Namun pada tahun 2021, Laurent Fargues dan Scholze dari Institut Matematika Jussieu di Paris merancang apa yang disebut lubang cacing yang dapat membawa gagasan kolom geometris langsung ke bagian tertentu dari Program Langlands dalam teori bilangan.

“Saya pastinya adalah seseorang yang ingin menerjemahkan bukti-bukti geometris Langlands ini,” kata Scholze. Itu bukan tugas yang mudah, mengingat naiknya permukaan laut ini berisi ribuan halaman teks. "Saat ini saya tertinggal beberapa makalah," kata Scholze. "Saya mencoba membaca hasilnya sekitar tahun 2010."

Kini setelah para peneliti geometri Langlands akhirnya memaparkan argumen panjang lebar mereka dalam sebuah makalah, Caraiani berharap mereka memiliki lebih banyak waktu untuk mendiskusikannya dengan para peneliti di bidang teori bilangan. “Orang-orang mempunyai cara berpikir yang sangat berbeda mengenai masalah,” katanya. “Selalu bermanfaat jika mereka bisa memperlambat, berbicara satu sama lain, dan memahami perspektif satu sama lain.” Dia memperkirakan bahwa ide-ide karya baru akan menyebar di lapangan teori bilangan, itu hanya masalah waktu saja.

Seperti yang dikatakan Ben-Zvi: “Hasil ini sangat kuat sehingga begitu Anda memulai, sulit untuk berhenti.”

Tautan asli: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/