uutiset

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

quantamagazinesta

Kirjailija: Erica Klarreich

Koneen sydän -kokoelma

Toimittaja: Panda

Kolmen vuosikymmenen kovan työn jälkeen matemaatikot ovat onnistuneet todistamaan tärkeimmät osat suuresta matemaattisesta visiosta, jota kutsutaan Langlands-ohjelmaksi.

Yhdeksän matemaatikon ryhmä osoitti onnistuneesti Geometric Langlands -oletuksen, yhden modernin matematiikan yleisimpiä paradigmoja.

Kuuluisa matemaatikko Peter Scholze Max Planck Institute for Mathematicsista (joka ei ollut mukana tässä todistuksessa) sanoi: Tämä todiste on kolmenkymmenen vuoden kovan työn huipentuma. – On hienoa nähdä, että asia on ratkaistu.

Langlands-ohjelmaa ehdotti Robert Langlands 1960-luvulla. Se on laaja yleistys Fourier-analyysistä, kauaskantoinen viitekehys monimutkaisten aaltojen esittämiseksi useina tasaisesti värähtelevinä siniaaltoina. Langlands-ohjelmalla on tärkeä paikka kolmella eri matematiikan alueella: lukuteoriassa, geometriassa ja ns. funktiokentässä. Nämä kolme alaa ovat yhteydessä toisiinsa analogioiden verkoston kautta, jota on kutsuttu matematiikan "Rosetta-kiveksi".

Nyt sarja papereita todistaa Langlandsin oletuksen tämän Rosetta-kiven geometrisista pylväistä: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

"Mikään muualla tätä ei ole osoitettu näin kattavasti ja vankasti", sanoo David Ben-Zvi Texasin yliopistosta Austinissa.

Alexander Beilinson, yksi Langlands-ohjelman geometrisen version johtavista pioneereista, sanoi: "Tämä on kaunista matematiikkaa, kaunein laji."

Vedos koostuu 5 paperista, yhteensä yli 800 sivua. He tulevat tiimistä, jota johtaa Dennis Gaitsgory (Max Planck Institute) ja Sam Raskin (Yalen yliopisto).

Gaitsgory on työskennellyt geometrisen Langlandsin arvelun todistamiseksi viimeisen 30 vuoden ajan. Muutaman viime vuosikymmenen aikana hän ja hänen työtoverinsa ovat saaneet suuren määrän tutkimustuloksia ja täydentäneet tätä todistusta niiden pohjalta. Vincent Lafforgue Grenoble-Alpesin yliopistosta vertasi näitä edistysaskeleita "nousevaan mereen", hän sanoi, että se oli kuin 1900-luvun erinomaisen matemaatikon tutkimushenki .

Dennis Gaitsgory (kuvassa vasemmalla) ja Sam Raskin (kuvassa oikealla) johtivat yhdeksän hengen tiimiä, joka osoitti Geometric Langlands -oletuksen.

Heidän uuden todisteensa tarkistaminen vie jonkin aikaa, mutta monet matemaatikot sanovat uskovansa sen ydinajatuksen olevan oikea. "Teorian sisäinen johdonmukaisuus on erittäin hyvä, joten on vaikea uskoa, että se on väärin", Lafforgue sanoi.

Todistusta edeltäneiden vuosien aikana tutkimusryhmä loi useamman kuin yhden polun ongelman ytimeen. "Heidän ymmärrys oli niin rikas ja laaja, että he ympäröivät ongelmaa kaikista suunnista", hän sanoi.

suuri yhtenäinen teoria

Vuonna 1967 30-vuotias Princetonin yliopiston professori Robert Langlands esitti ideansa 17-sivuisessa käsinkirjoitetussa kirjeessä Rosetta-kiven luojalle. Langlands kirjoitti, että tässä Rosetta Stonen lukuteorian ja funktionaalisten kenttien sarakkeessa olisi mahdollista luoda Fourier-analyysin yleistetty versio, jolla olisi hämmästyttävä laajuus ja voima.

Klassisessa Fourier-analyysissä Fourier-muunnokseksi kutsuttua prosessia käytetään luomaan vastaavuus kahden erilaisen aaltomallin, kuten ääniaallon, välillä. Tämän kirjeenvaihdon toisella puolella ovat itse aallot. (Kutsumme sitä aallon puolelle). Tämä vaihtelee yksinkertaisista siniaalloista (jotka ovat akustisesti puhtaita ääniä) monimutkaisiin aaltoihin, jotka koostuvat useista siniaaloista. Tämän vastaavuuden toisella puolella on kosiniaallon spektri - äänenkorkeus akustiikassa. (Matemaatikot kutsuvat tätä spektripuoleksi).

Fourier-muunnos kulkee edestakaisin näiden kahden puolen välillä. Yhdessä suunnassa se hajottaa aallon taajuuksiksi toisessa suunnassa, se rekonstruoi aallon sen komponenttitaajuuksien perusteella. Tämä kyky muuntaa molempiin suuntiin mahdollistaa lukemattomia sovelluksia – ilman sitä meillä ei olisi nykyaikaista tietoliikennettä, signaalinkäsittelyä, magneettikuvausta tai monia muita nykyajan elämän tarpeita.

Langlands ehdotti, että myös Rosetta Stonen lukuteoria- ja funktiokenttäkentillä on samanlaisia ​​muunnoksia, mutta aallot ja taajuudet ovat tässä monimutkaisempia.

Alla olevassa videossa Rutgersin yliopiston matemaatikko Alex Kontorovich vie meidät matematiikan maan halki ymmärtääkseen Langlands-ohjelman ytimessä olevat upeat symmetriat.

Videon lähde: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

Jokaisessa näistä kentistä on aaltopuoli, joka koostuu joukosta erikoistoimintoja, jotka muistuttavat toistuvia aaltoja. Puhtaimmat näistä erikoisfunktioista kutsutaan ominaisfunktioiksi, ja ne toimivat kuin siniaalto. Jokaisella ominaisfunktiolla on ominaistaajuus. Vaikka siniaallon taajuus on yksi luku, ominaisfunktion taajuus on kuitenkin ääretön lukuluettelo.

Siinä on myös spektripuoli. Tämä koostui lukuteorian kohteista. Langlands uskoi, että nämä objektit merkitsivät ominaisten funktioiden spektriä. Hän ehdotti, että on olemassa Fourier-muunnoksen kaltainen käsittelymekanismi, joka yhdistää aallon puolen tässä spektripuolelle. "Siinä on jotain maagista", Ben-Zvi sanoi, "emme voi ennustaa ilman mitään syytä."

Aallot ja niiden taajuusmerkinnät tulevat hyvin erilaisista dataalueista, joten niiden välisen vastaavuuden osoittaminen olisi erittäin palkitsevaa. Esimerkiksi 1990-luvulla todiste lukuteorian Langlandin vastaavuudesta suhteellisen pienelle funktiojoukolle antoi Andrew Wilesille ja Richard Taylorille mahdollisuuden todistaa Fermatin viimeisen lauseen - tämä ongelma oli kerran tunnetuin matematiikan yksi ongelma jonka parissa matemaattinen yhteisö on työskennellyt kolme vuosisataa.

Edward Frenkel Kalifornian yliopistosta Berkeleystä sanoi: Langlands-ohjelmaa pidetään "suurena yhtenäisenä matematiikan teoriana". Silti vaikka matemaatikot ovat työskennelleet todistaakseen yhä suurempia osia Langlandsin visiosta, he tietävät hyvin, että se on epätäydellinen. Tämän Rosetta-kiven geometriapylväässä aaltojen ja taajuusmerkkien välistä suhdetta näyttää mahdottomalta heijastaa.

Hiekan jyvä

Langlandsin työstä matemaatikot saivat käsityksen siitä, miltä geometrisen Langlandsin kirjeenvaihdon spektripuoli näyttäisi. Weilin Rosetta-kiven kolmas pylväs (geometria) sisältää kompakteja Riemannin pintoja, mukaan lukien pallot, donitsimaiset pinnat ja huokoiset donitsimaiset pinnat. Tietyllä Riemannin pinnalla on vastaava objekti, jota kutsutaan perusryhmäksi, joka seuraa pinnan ympärillä olevien silmukoiden eri muotoja.

Matemaatikot olettavat, että geometristä Langlandia vastaavan spektripuolen tulisi koostua perusryhmän erityisistä tislausmuodoista. Näitä erityisiä tislausmuotoja kutsutaan myös perusryhmän esityksiksi.

Jos Langlandsin vastaavuus heijastuu Rosetta-kiven geometrisiin pylväisiin, niin jokaisen Riemmann-pinnan perusryhmän esityksen tulisi olla taajuusnimike – mutta mikä taajuusnimike?

Matemaatikot eivät löydä mitään tunnusomaisia ​​funktioita, joiden taajuudet näyttävät merkitsevän perusryhmien esitystä. Sitten 1980-luvulla Vladimir Drinfeld, nyt Chicagon yliopistossa, tajusi, että oli mahdollista luoda geometrisia Langlands-vastaavuuksia korvaamalla ominaisfunktiot monimutkaisemmilla objekteilla, joita kutsutaan ominaissheafiksi – mutta tuolloin hän tiesi vain, kuinka muutama ominaisuuspino rakennetaan. .

Lyhteet ovat paljon syvällisempiä kuin funktiot, joten numeroteoreetikot eivät tuolloin tienneet mitä tehdä tästä Langlandsin vastineen geometrisesta serkusta. Mutta geometrisella Langlands-ohjelmalla (huolimatta sen vaikeaselkoisista näkökohdista) on yksi suuri etu Langlands-ohjelman lukuteoreettiseen versioon verrattuna. Geometric Langlandsissa piirrekerroksen taajuutta ohjaavat pisteet Riemannin pinnalla, jolloin jokainen pallon tai donitsin piste näyttää lähietäisyydeltä hyvin samanlaiselta. Mutta Langlandsin lukuteoriassa taajuuksia ohjataan alkuluvuilla, ja jokaisella alkuluvulla on omat ominaisuutensa. Matemaatikot eivät tiedä "miten siirtyä alkuluvusta toiseen mukavalla tavalla", sanoo numeroteoreetikko Ana Caraiani Imperial Collegesta Lontoosta.

Riemannin pinnoilla on tärkeä rooli fysiikassa, erityisesti konformikenttäteoriassa, jossa ne säätelevät subatomisten hiukkasten käyttäytymistä tietyissä voimakentissä. 1990-luvun alussa Beilinson ja Drinfeld osoittivat, kuinka konformista kenttäteoriaa voidaan käyttää erityisen mukavien ominaisuuskerrosten rakentamiseen.

Tämä yhteys konformiseen kenttäteoriaan sai Beilinsonin ja Drinfeldin pohtimaan, kuinka lyhteen Fourier-analyysi rakennetaan. "Se on kuin hiekkajyvä, joka laukaisee kiteytymisen", Ben-Zvi sanoi.

Beilinson ja Drinfeld esittivät rikkaan näkemyksen siitä, kuinka geometristen Langlandsin vastaavuuksien tulisi toimia. Kyse ei ole vain siitä, että jokainen perusryhmän esitys tulisi merkitä piirrekerroksen taajuudella. He uskovat, että tämän kirjeenvaihdon tulisi myös kunnioittaa molempien osapuolten tärkeitä suhteita.

Beilinson esitteli tätä kehittyvää tutkimusmaisemaa luentosarjassa Tel Avivin yliopistossa 1990-luvun puolivälissä. Gaitsgory, joka oli tuolloin täällä jatko-opiskelija, kamppaili omaksuakseen sen jokaisen sanan. "Olin kuin vastakuoriutunut ankanpoikanen, joka sai eräänlaisen painamiskäyttäytymisen", hän muistelee.

Seuraavan 30 vuoden ajan geometrinen Langlandsin arvelu on ollut Gaitsgoryn matemaattisen uran tärkein liikkeellepaneva voima. "Olen työskennellyt taukoamatta vuosien ajan, päässyt lähemmäs tavoitetta ja kehittänyt erilaisia ​​työkaluja", hän sanoi.

nouseva meri

Beilinson ja Drinfeld esittivät vain löyhästi olettamuksensa, jotka osoittautuivat hieman liioitelluiksi sen suhteen, miten "Parhaan toivon" suhteiden oletetaan toimivan. Vuonna 2012 Gaitsgory ja Dima Arinkin Wisconsin-Madisonin yliopistosta keksivät, kuinka tämä "paras toivo" muutetaan tarkaksi arvaukseksi.

Seuraavana vuonna Gaitsgory kirjoitti luonnoksen mahdollisista tavoista todistaa geometrinen Langlandsin arvelu. Luonnos perustui lukuisiin väliväitteisiin, joista monet olivat tuolloin todistamattomia. Gaitsgory ja hänen työtoverinsa pyrkivät todistamaan ne.

Seuraavien vuosien aikana Gaitsgory ja Nick Rozenblyum Toronton yliopistosta kirjoittivat kaksi kerrosta käsittelevää kirjaa, yhteensä lähes 1000 sivua. Tässä kaksiosaisessa sarjassa geometrinen Langlands-ohjelma mainitaan vain kerran. "Mutta tarkoituksena oli luoda perusta, jota käytimme myöhemmin paljon", Gaitsgory sanoi.

Vuonna 2020 Gaitsgory huomasi yhtäkkiä, että hänellä oli hyvin vähän aikatauluaan. "Vietin kolme kuukautta sängyssä, vain ajatellut", hän sanoi lopulta paperiin (kuuden kirjoittajan kanssa). Vaikka paperi keskittyi Langlands-ohjelman toiminnalliseen alueeseen, se sisälsi myös "siemenen", josta tulisi avainkomponentti geometrisen Langlandsin arvelun todistamisessa: menetelmä ominaisuuksien ymmärtämiseksi, kuinka kerrokset vaikuttavat niin kutsuttuun "valkoiseen kohinaan". "menetelmiä.

Seitsemän muun tutkijan kuvia. Myötäpäivään vasemmalta: Dario Beraldo, Lin Chen, Kevin Lin, Nick Rozenblyum, Joakim Færgeman, Justin Campbell ja Dima Arinkin.

Klassisessa signaalinkäsittelyn maailmassa ääniaaltoja voidaan rakentaa siniaaloista, joiden taajuudet vastaavat äänen korkeuksia. Ei riitä, että tietää, mitä sävelkorkeuksia ääni sisältää - sinun on myös tiedettävä, kuinka voimakas kukin sävel on. Näiden tietojen avulla voit kirjoittaa äänen siniaaltojen yhdistelmänä: aloita vain amplitudin 1 siniaallolla, kerro siniaallot sopivalla äänenvoimakkuuskertoimella ja lisää siniaallot yhteen. Kaikkien eri siniaaltojen summa, joiden amplitudi on 1, on se, mitä kutsumme usein "valkoiseksi kohinaksi".

Geometric Langlands -ohjelman maailmassa piirrekerros toimii kuin siniaalto. Gaitsgory ja hänen työtoverinsa tunnistivat jotain nimeltä Poincarén nippu, joka näyttää toimivan kuin valkoinen kohina. Mutta näille tutkijoille oli epäselvää, voitaisiinko jokainen ominaiskerros esittää Poincarén kerroksessa, puhumattakaan siitä, olisiko niillä kaikilla sama amplitudi.

Keväällä 2022 Raskin ja hänen jatko-opiskelijansa Joakim Færgeman osoittivat, kuinka tuon kuuden kirjoittajan artikkelin ideoita voidaan käyttää osoittamaan, että jokainen piirrekerros on todellakin esitettävissä Poincaré-kerroksessa. Puhuessaan geometrisen Langlandsin arvelun todistuksesta Gaitsgory sanoi: "Samin ja Joakimin paperin jälkeen olen hyvin varma, että voimme tehdä sen lyhyessä ajassa."

Tutkijoiden on osoitettava, että kaikki piirrekerrokset vaikuttavat yhtäläisesti Poincarén kerrokseen ja että perusryhmäesitys merkitsee näiden piirrekerrosten taajuutta. He ymmärsivät, että vaikein osa oli käsitellä tämän perusryhmän esityksiä: redusoitumattomia esityksiä.

Näiden pelkistymättömien esitysten ratkaisu syntyi aikana, jolloin Raskinin henkilökohtainen elämä oli myllerryksessä. Eräänä päivänä, viikkoja sen jälkeen, kun hän ja Færgeman julkaisivat paperinsa verkossa, Raskin joutui kiirehtimään raskaana olevan vaimonsa sairaalaan ennen kuin hän palasi kotiin viemään poikansa ensimmäistä kertaa päiväkotiin. Raskinin vaimo vietti kuusi viikkoa sairaalassa, kunnes heidän toinen lapsensa syntyi. Tänä aikana Raskinin elämä pyöri jatkuvasti - hän matkusti jatkuvasti edestakaisin kodin, poikansa koulun ja sairaalan välillä varmistaakseen poikansa normaalin elämän. "Koko elämäni siihen aikaan oli autoja ja ihmisistä huolehtimista", hän sanoi.

Hän keskusteli matematiikasta puhelimessa Gaitsgoryn kanssa ajaessaan. Ensimmäisten viikkojen loppupuolella Raskin tajusi, että hän voisi vähentää tämän pelkistämättömän esitysongelman todistamaan kolme tosiasiaa, jotka olivat jo tuolloin käden ulottuvilla. "Se oli taianomaista aikaa minulle", hän sanoi ja lisäsi, että hänen henkilökohtainen elämänsä oli täynnä ahdistusta ja pelkoa tulevaisuuden suhteen.

Vuoden 2023 alkuun mennessä Gaitsgory ja Raskin yhdessä Arinkinin, Rozenblyumin, Færgemanin ja neljän muun tutkijan kanssa olivat tuottaneet täydellisen todisteen Beilinsonin ja Drinfeldin "parhasta toivosta", jonka Gaitsgory ja Arinkin ovat tarkistaneet. (Muut tutkijat olivat Dario Beraldo University Collegesta Lontoosta, Lin Chen Tsinghuan yliopistosta ja Justin Campbell ja Kevin Lin Chicagon yliopistosta.) Ryhmä käytti vielä vuoden todisteen kirjoittamiseen. He julkaisivat todisteen verkossa tämän vuoden helmikuussa. Vaikka nämä paperit noudattavat Gaitsgoryn vuonna 2013 kehittämää linjausta, ne yksinkertaistavat Gaitsgoryn lähestymistapaa ja parantavat sitä monin tavoin. "Monet älykkäät ihmiset antoivat paljon uusia ideoita tähän ennennäkemättömään saavutukseen", Lafforgue sanoi.

"He eivät vain todistaneet sitä", Ben-Zvi sanoi, "he kehittivät kokonaisen maailman ympärilleen."

kauempana rannikkoa

Gaitsgorylle tämän vuosikymmeniä vanhan unelman toteutuminen on kaukana tarinan lopusta. Matemaatikoilla on monia muitakin ratkaistavia arvoituksia - tutkitaan syvällisemmin sen yhteyttä kvanttifysiikkaan, laajennetaan tämä tulos rei'itettyihin Riemannin pintoihin ja selvitetään sen vaikutukset muihin Rosetta-kiven pylväisiin. "Tämä tuntuu (ainakin minusta) enemmän suuren kiven halkeamiselta, mutta olemme silti hyvin kaukana ytimestä", Gaitsgory kirjoitti sähköpostissa.

Kahdella muulla alalla työskentelevät tutkijat ovat nyt innokkaita kääntämään tämän todisteen. "Sillä, että yksi suurimmista fragmenteista on ratkaistu, pitäisi olla merkittävä vaikutus Langlandsin kirjeenvaihdon kokonaistutkimukseen", Ben-Zvi sanoi.

Mutta kaikkea ei voida tuoda yli - esimerkiksi lukuteorian ja funktioalueen asetuksissa ei ole vastinetta konformisen kenttäteorian idealle, ja konforminen kenttäteoria antaa tutkijoille mahdollisuuden rakentaa erikoisrakenteita geometrisissa asetuksissa. Suuri osa tästä todisteesta vaatii työlästä säätämistä ennen kuin sitä voidaan käyttää muilla aloilla. On epäselvää, voimmeko "siirtää nämä ideat toiseen kontekstiin, jossa niitä ei ehkä ole käytetty", sanoo Berkeleyn Tony Feng.

Mutta monet tutkijat ovat optimistisia, että tämä nouseva ideameri leviää lopulta muille aloille. "Se läpäisee kaikki tieteenalojen väliset esteet", Ben-Zvi sanoi.

Viimeisen vuosikymmenen aikana tutkijat ovat alkaneet löytää yhteyksiä geometriakentän ja kahden muun kentän välillä. "Jos (Geometric Langlands -oletus) olisi todistettu menestyksekkäästi 10 vuotta sitten, tulokset olisivat olleet hyvin erilaisia", Feng sanoi, "ihmiset eivät olisi ymmärtäneet, että sen vaikutus voi ulottua (Geometric Langlands) -yhteisöön.

Gaitsgory, Raskin ja heidän työtoverinsa ovat edistyneet geometristen Langlands-todisteiden kääntämisessä toiminnallisiksi aluekentiksi. (Raskin vihjaa, että joitain Gaitsgoryn ja Raskinin jälkimmäisen pitkän matkan aikana tekemistä löydöistä "ei ole vielä paljastettu".) Jos käännös onnistuu, se voi johtaa järjestelmään, joka on paljon tarkempi kuin matemaatikot aiemmin tiesivät tai jopa arvasivat Langlands versio.

Useimmat käännökset geometriakentistä lukuteoriakenttiin kulkevat funktioalueen läpi. Mutta vuonna 2021 Laurent Fargues ja Scholze Jussieu-matematiikan instituutista Pariisista suunnittelivat niin sanotun madonreiän, joka voi tuoda geometristen pylväiden idean suoraan Langlands-ohjelman tiettyyn osaan lukuteoriassa.

"Olen ehdottomasti joku, joka haluaa kääntää nämä geometriset Langlands-todistukset", Scholze sanoi, että se ei ole helppo tehtävä, kun otetaan huomioon, että tämä nouseva meri sisältää tuhansia sivuja tekstiä. "Olen muutaman paperin jäljessä tällä hetkellä", Scholze sanoi. "Yritän lukea heidän tuloksiaan vuoden 2010 tienoilla."

Nyt kun geometriset Langlandsin tutkijat ovat vihdoin esittäneet pitkän väitteensä paperissa, Caraiani toivoo, että heillä on enemmän aikaa keskustella siitä lukuteorian tutkijoiden kanssa. "Ihmisillä on hyvin erilaisia ​​tapoja ajatella ongelmista", hän sanoi. "On aina hyödyllistä, jos he voivat hidastaa, puhua toisilleen ja ymmärtää toistensa näkökulmaa." lukuteoriassa, se on vain ajan kysymys.

Kuten Ben-Zvi sanoo: "Nämä tulokset ovat niin kestäviä, että kun aloittaa, on vaikea lopettaa."

Alkuperäinen linkki: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/