Новости

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

из квантового журнала

Автор: Эрика Кларрайх

Машинное сердце, подборка

Редактор: Панда

После трех десятилетий напряженной работы математикам удалось доказать основные части великого математического видения, называемого программой Ленглендса.

Команда из девяти математиков успешно доказала геометрическую гипотезу Ленглендса, одну из самых распространенных парадигм в современной математике.

Знаменитый математик Петер Шольце из Института математики Макса Планка (который не участвовал в этом доказательстве) сказал: «Это доказательство является кульминацией тридцати лет напряженной работы». «Приятно видеть, что проблема решена».

Программа Ленглендса была предложена Робертом Ленглендсом в 1960-х годах. Это широкое обобщение анализа Фурье, далеко идущая основа представления сложных волн в виде множества плавно колеблющихся синусоид. Программа Ленглендса занимает важное место в трех различных областях математики: теории чисел, геометрии и так называемом функциональном поле. Эти три области связаны сетью аналогий, которую назвали «Розеттским камнем» математики.

Теперь серия статей доказывает гипотезу Ленглендса о геометрических колоннах Розеттского камня: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

«Нигде больше это не было так подробно и убедительно продемонстрировано», — говорит Дэвид Бен-Цви из Техасского университета в Остине.

Александр Бейлинсон, один из ведущих пионеров геометрической версии программы Ленглендса, сказал: «Это прекрасная математика, самый красивый вид».

Доказательство состоит из 5 статей общим объемом более 800 страниц. Они созданы командой под руководством Денниса Гайтсгори (Институт Макса Планка) и Сэма Раскина (Йельский университет).

Гейтсгори работал над доказательством геометрической гипотезы Ленглендса последние 30 лет. За последние несколько десятилетий он и его сотрудники получили большое количество результатов исследований и на их основе завершили данное доказательство. Винсент Лафорг из Университета Гренобль-Альпы сравнивает эти достижения с «поднимающимся морем», по его словам, это похоже на исследовательский дух Александра Гротендика, выдающегося математика 20-го века: решать сложные проблемы, создавая поднимающееся море идей; .

Деннис Гайтсгори (на фото слева) и Сэм Раскин (на фото справа) возглавили команду из девяти человек, которая доказала геометрическую гипотезу Ленглендса.

Проверка нового доказательства займет некоторое время, но многие математики говорят, что верят в его основную идею. «Внутренняя непротиворечивость теории очень хороша, поэтому трудно поверить, что она неверна», — сказал Лаффорг.

За годы, предшествовавшие доказательству, исследовательская группа нашла не один путь к сути проблемы. «Понимание, которое они получили, было настолько глубоким и широким, что они окружили проблему со всех сторон», - сказал он. «От нее невозможно было уйти».

теория великого объединения

В 1967 году 30-летний профессор Принстонского университета Роберт Ленглендс изложил свои идеи в 17-страничном рукописном письме Андре Вейлю, создателю Розеттского камня. Ленглендс писал, что в этой колонке Розеттского камня, посвященной теории чисел и функциональным полям, можно будет создать обобщенную версию анализа Фурье, которая будет иметь удивительные возможности и силу.

В классическом анализе Фурье процесс, называемый преобразованием Фурье, используется для установления соответствия между двумя различными способами мышления о волновой модели, например о звуковой волне. С одной стороны этого соответствия находятся сами волны. (Мы называем это стороной волны). Это варьируется от простых синусоидальных волн (которые с акустической точки зрения представляют собой чистые тона) до сложных волн, состоящих из нескольких синусоидальных волн. По другую сторону этого соответствия находится спектр косинусоидальной волны – высота звука в акустике. (Математики называют это спектральной стороной).

Преобразование Фурье происходит между этими двумя сторонами. В одном направлении он разбивает волну на набор частот; в другом направлении он восстанавливает волну на основе ее составляющих частот. Эта способность преобразования в обоих направлениях позволяет использовать бесчисленные приложения — без нее у нас не было бы современных телекоммуникаций, обработки сигналов, магнитно-резонансной томографии и многих других потребностей современной жизни.

Ленглендс предположил, что теория чисел Розетты Стоун и поля функциональных полей также имеют аналогичные преобразования, но волны и частоты здесь более сложны.

В видео ниже математик из Университета Рутгерса Алекс Конторович знакомит нас с миром математики, чтобы понять потрясающие симметрии, лежащие в основе программы Ленглендса.

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

В каждом из этих полей есть сторона волны, состоящая из набора особых функций, напоминающих повторяющиеся волны. Самые чистые из этих специальных функций называются собственными функциями и действуют как синусоидальные волны. Каждая собственная функция имеет собственную частоту. Однако, хотя частота синусоидальной волны представляет собой одно число, частота собственной функции представляет собой бесконечный список чисел.

Существует также сторона спектра. Сюда входили объекты теории чисел; Ленглендс считал, что эти объекты обозначают спектр характеристических функций; Он предположил, что существует механизм обработки, аналогичный преобразованию Фурье, который соединяет здесь волновую сторону со спектральной стороной. «В этом есть что-то волшебное», — сказал Бен-Цви. «Это не то, что мы могли бы предсказать без какой-либо причины».

Волны и их частотные метки происходят из совершенно разных областей данных, поэтому доказательство соответствия между ними было бы очень полезно. Например, в 1990-х годах доказательство соответствия Ленглендса теории чисел относительно небольшого набора функций позволило Эндрю Уайлсу и Ричарду Тейлору доказать Великую теорему Ферма - эта проблема когда-то была самой известной проблемой, которую удалось доказать в математике. над которой математическое сообщество работает уже три столетия.

Эдвард Френкель из Калифорнийского университета в Беркли сказал: «Программа Ленглендса считается «великой объединенной теорией математики». Однако даже несмотря на то, что математики работают над доказательством все большей и большей части видения Ленглендса, они прекрасно осознают, что оно неполно. В колонке геометрии Розеттского камня связь между волнами и частотными метками кажется невозможно отразить.

Песчинка

Именно из работ Ленглендса математики получили представление о том, как будет выглядеть спектральная сторона геометрического соответствия Ленглендса. Третий столбец (геометрия) Розеттского камня Вейля включает в себя компактные римановы поверхности, включая сферы, поверхности в форме пончика и пористые поверхности в форме пончика. У данной римановой поверхности есть соответствующий объект, называемый фундаментальной группой, который отслеживает различные формы петель, окружающих поверхность.

Математики предполагают, что спектральная сторона, соответствующая геометрическому Ленглендсу, должна состоять из определенных дистилляционных форм фундаментальной группы. Эти конкретные дистилляционные формы также называются представлениями фундаментальной группы.

Если соответствие Ленглендса должно быть отражено в геометрических столбцах Розеттского камня, тогда каждое представление фундаментальной группы римановой поверхности должно быть частотной меткой — но какой частотной меткой?

Математики не могут найти ни одного набора характеристических функций, частоты которых, по-видимому, обозначают представление фундаментальных групп. Затем, в 1980-х годах, Владимир Дринфельд, сейчас работающий в Чикагском университете, понял, что можно создать геометрические соответствия Ленглендса, заменяя собственные функции более сложными объектами, называемыми собственными пучками, но в то время он знал только, как строятся несколько стеков признаков. .

Пучки гораздо более сложны, чем функции, поэтому теоретики чисел в то время не знали, что делать с геометрическим двоюродным братом этого аналога Ленглендса. Но геометрическая программа Ленглендса (несмотря на ее загадочные аспекты) имеет одно большое преимущество перед теоретико-числовой версией программы Ленглендса. В Geometric Langlands частота слоя объектов контролируется точками на римановой поверхности, причем каждая точка на сфере или бублике с близкого расстояния выглядит очень похожей. Но в теории чисел Ленглендса частоты управляются простыми числами, и каждое простое число имеет свои свойства. Математики не знают, «как правильно перейти от одного простого числа к другому», — говорит теоретик чисел Ана Караиани из Имперского колледжа Лондона.

Римановы поверхности играют важную роль в физике, особенно в конформной теории поля, где они контролируют поведение субатомных частиц в определенных силовых полях. В начале 1990-х годов Бейлинсон и Дринфельд показали, как можно использовать конформную теорию поля для построения некоторых особенно хороших векторных слоев.

Эта связь с конформной теорией поля заставила Бейлинсона и Дринфельда задуматься о том, как построить анализ Фурье для пучка. «Это похоже на песчинку, которая вызывает кристаллизацию», — сказал Бен-Цви.

Бейлинсон и Дринфельд представили богатое видение того, как должны работать геометрические соответствия Ленглендса. Дело не только в том, что каждое представление фундаментальной группы должно быть отмечено частотой векторного слоя. Они считают, что эта переписка должна также уважать важные отношения с обеих сторон, и Дринфельд называет такую ​​точку зрения «лучшей надеждой».

Бейлинсон представил эту развивающуюся исследовательскую среду в серии лекций в Тель-Авивском университете в середине 1990-х годов. Гайцгори, который в то время был здесь аспирантом, с трудом впитал в себя каждое слово. «Я был похож на только что вылупившегося утенка, который приобрел своего рода импринтинговое поведение», — вспоминает он.

В течение следующих 30 лет геометрическая гипотеза Ленглендса была главной движущей силой математической карьеры Гайтсгори. «Я работал без перерыва на протяжении многих лет, все ближе и ближе приближаясь к цели, разрабатывая различные инструменты», — сказал он.

поднимающееся море

Бейлинсон и Дринфельд лишь в общих чертах изложили свои предположения, которые оказались немного упрощенными из-за того, как должны работать отношения в «Лучшей надежде». В 2012 году Гайцгори и Дима Аринкин из Университета Висконсин-Мэдисон придумали, как превратить эту «лучшую надежду» в точное предположение.

В следующем году Гайцгори написал план возможных способов доказательства геометрической гипотезы Ленглендса. Схема опиралась на большое количество промежуточных утверждений, многие из которых на тот момент не были доказаны. Гайцгори и его сотрудники намеревались доказать это.

В течение следующих нескольких лет Гайтсгори и Ник Розенблюм из Университета Торонто написали две книги о слоях общим объемом около 1000 страниц. В этом двухтомнике геометрическая программа Ленглендса упоминается только один раз. «Но цель заключалась в том, чтобы заложить фундамент, который мы позже много использовали», — сказал Гайцгори.

В 2020 году Гайцгори вдруг обнаружил, что в его графике очень мало дел. «Я провел три месяца, лежа в постели и просто думая», — сказал он. Эти мысли в конечном итоге привели к написанию статьи (с шестью авторами). Хотя статья была посвящена функциональной области программы Ленглендса, она также содержала «зародыш», который стал ключевым компонентом в доказательстве геометрической гипотезы Ленглендса: метод понимания свойств слоев в так называемом «белом шуме». "методы.

Фотографии семи других исследователей. Слева по часовой стрелке: Дарио Беральдо, Лин Чен, Кевин Лин, Ник Розенблюм, Йоаким Фергеман, Джастин Кэмпбелл и Дима Аринкин.

В классическом мире обработки сигналов звуковые волны могут быть созданы из синусоидальных волн, частоты которых соответствуют высоте звука. Недостаточно знать, какие высоты содержит звук — нужно также знать, насколько громким является каждый звук. Эта информация позволяет вам записать звук как комбинацию синусоид: просто начните с синусоидальной волны с амплитудой 1, умножьте синусоидальные волны на соответствующий коэффициент громкости и сложите синусоидальные волны вместе. Сумма всех различных синусоидальных волн с амплитудой 1 — это то, что мы часто называем «белым шумом».

В мире программы Геометрического Ленглендса векторный слой действует как синусоидальная волна. Гайцгори и его коллеги определили нечто, называемое пучком Пуанкаре, который, по-видимому, действует как белый шум. Но этим исследователям было неясно, может ли каждый характерный слой быть представлен в слое Пуанкаре, не говоря уже о том, будут ли все они иметь одинаковую амплитуду.

Весной 2022 года Раскин и его аспирант Йоаким Фергеман показали, как использовать идеи из этой статьи шести авторов, чтобы показать, что каждый векторный слой действительно представим в слое Пуанкаре. Говоря о доказательстве геометрической гипотезы Ленглендса, Гайтсгори сказал: «После статьи Сэма и Йоакима я совершенно уверен, что мы сможем сделать это за короткое время».

Исследователям необходимо продемонстрировать, что все векторные слои вносят равный вклад в слой Пуанкаре и что представление фундаментальной группы отмечает частоту этих векторных слоев. Они поняли, что самое сложное — это иметь дело с представлениями этой фундаментальной группы: неприводимыми представлениями.

Разрешение этих непреодолимых представлений возникло в то время, когда личная жизнь Раскина была в смятении. Однажды, через несколько недель после того, как он и Фергеман опубликовали свою статью в Интернете, Раскину пришлось срочно отвезти беременную жену в больницу, прежде чем вернуться домой, чтобы впервые отвести сына в детский сад. Жена Раскина провела в больнице шесть недель, пока у них не родился второй ребенок. В это время жизнь Раскина постоянно крутилась – он постоянно ездил туда и обратно между домом, школой сына и больницей, чтобы обеспечить сыну нормальную жизнь. «Вся моя жизнь в то время была связана с автомобилями и заботой о людях», - сказал он.

Математику он обсуждал по телефону с Гайцгорием, пока ехал. К концу первой из этих недель Раскин понял, что может свести проблему несводимой репрезентации к доказательству трех фактов, которые на тот момент уже были в пределах досягаемости. «Для меня это было волшебное время», — сказал он, добавив, что его личная жизнь «была наполнена тревогами и страхами о будущем». Для меня математика была тем, что требовало заземления и медитации.

К началу 2023 года Гайцгори и Раскин вместе с Аринкиным, Розенблюмом, Фергеманом и четырьмя другими исследователями представили полное доказательство «наилучшей надежды» Бейлинсона и Дринфельда, пересмотренное Гайцгори и Аринкиным. (Другими исследователями были Дарио Беральдо из Университетского колледжа Лондона, Линь Чен из Университета Цинхуа, а также Джастин Кэмпбелл и Кевин Линь из Чикагского университета.) Команда потратила еще год на написание доказательства. Они разместили доказательство в Интернете в феврале этого года. Хотя эти статьи следуют схеме, разработанной Гайцгори в 2013 году, они упрощают подход Гайцгори и во многих отношениях улучшают его. «Многие умные люди внесли много новых идей в это беспрецедентное достижение», — сказал Лаффорг.

«Они не просто доказали это, — сказал Бен-Цви, — они создали целый мир вокруг этого».

дальнейшее побережье

Для Гайцгори реализация этой многолетней мечты еще далека от завершения истории. Математикам предстоит решить еще много загадок: более глубоко изучить связь этого явления с квантовой физикой, распространить этот результат на перфорированные римановы поверхности, выяснить его последствия для других колонн Розеттского камня. «Это (по крайней мере, для меня) больше похоже на раскалывание большого валуна, но мы все еще очень далеки от ядра», — написал Гайтсгори в электронном письме.

Исследователи, работающие в двух других областях, теперь стремятся перевести это доказательство. "Тот факт, что один из основных фрагментов был раскрыт, должен оказать существенное влияние на общее изучение переписки Ленглендса", - сказал Бен-Цви.

Но не все можно перенести — например, в теории чисел и параметрах области функций не существует эквивалента идее конформной теории поля, а конформная теория поля позволяет исследователям конструировать специальные структуры в геометрических параметрах слоя. Большая часть этого доказательства потребует кропотливой доработки, прежде чем его можно будет использовать в других областях. Неясно, сможем ли мы «перенести эти идеи в другой контекст, где они, возможно, не были бы использованы», говорит Тони Фэн из Беркли.

Но многие исследователи оптимистичны в отношении того, что это растущее море идей в конечном итоге распространится на другие области. «Он преодолеет все барьеры между дисциплинами», — сказал Бен-Цви.

За последнее десятилетие исследователи начали обнаруживать связи между областью геометрии и двумя другими областями. «Если бы (геометрическая гипотеза Ленглендса) была успешно доказана 10 лет назад, результаты были бы совсем другими», — сказал Фэн, — «Люди не осознавали бы, что ее влияние может распространиться на (геометрическое) сообщество Ленглендса.

Гайцгори, Раскин и их сотрудники добились определенного прогресса в переводе геометрических доказательств Ленглендса в функциональные области. (Раскин намекает, что некоторые открытия, сделанные Гайтсгори и Раскином во время долгого путешествия последнего, «еще не раскрыты».) Если перевод окажется успешным, он может привести к созданию системы, которая будет гораздо более точной, чем математики ранее знали или даже догадывались. Версия Ленглендса функциональной области.

Большинство переводов из полей геометрии в поля теории чисел проходят через область определения функций. Но в 2021 году Лоран Фарг и Шольце из Института математики Жюссье в Париже спроектировали так называемую червоточину, которая может перенести идею геометрических столбцов непосредственно в определенную часть программы Ленглендса по теории чисел.

«Я определенно тот, кто хочет перевести эти геометрические доказательства Ленглендса», — сказал Шольце, это непростая задача, учитывая, что это поднимающееся море содержит тысячи страниц текста. «На данный момент я отстаю от нескольких статей», — сказал Шольце, — «Я пытаюсь прочитать их результаты за 2010 год».

Теперь, когда исследователи-геометрические Ленглендсы наконец представили свои пространные аргументы в статье, Караиани надеется, что у них будет больше времени, чтобы обсудить их с исследователями в области теории чисел. «Люди по-разному думают о проблемах», - сказала она. «Всегда полезно, если они смогут замедлиться, поговорить друг с другом и понять точку зрения друг друга». Она предсказывает, что идеи новой работы будут распространяться в этой области. теории чисел, это всего лишь вопрос времени.

Как говорит Бен-Цви: «Эти результаты настолько надежны, что, начав, трудно остановиться».

Оригинальная ссылка: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/