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クォンタママガジンより

著者: エリカ・クラライヒ

マシンハートコンピレーション

編集者：パンダ

30 年にわたる努力の末、数学者たちはラングランズ プログラムと呼ばれる壮大な数学的ビジョンの主要部分を証明することに成功しました。

9 人の数学者からなるチームが、現代数学で最も広く普及しているパラダイムの 1 つである幾何学ラングランズ予想の証明に成功しました。

マックス・プランク数学研究所の有名な数学者ピーター・ショルツ氏（この証明には関与していません）は、「この証明は30年間にわたる努力の集大成である」と述べました。 「それが解決されているのを見るのは素晴らしいことです。」

ラングランズ プログラムは、1960 年代にロバート ラングランズによって提案されました。これはフーリエ解析を広く一般化したもので、複雑な波を複数の滑らかに振動する正弦波として表すための広範囲にわたるフレームワークです。ラングランズ プログラムは、数論、幾何学、いわゆる関数場という数学の 3 つの異なる分野で重要な位置を占めています。これら 3 つの分野は、数学の「ロゼッタ ストーン」と呼ばれる類推のネットワークを通じて接続されています。

現在、一連の論文により、このロゼッタ ストーンの幾何学的な柱に関するラングランズ予想が証明されています: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

テキサス大学オースティン校のデビッド・ベン・ズヴィ氏は、「これほど包括的かつ確実に実証された例は他にない」と語る。

ラングランズ プログラムの幾何学的バージョンの主要な先駆者の 1 人であるアレクサンダー ベイリンソンは、「これは美しい数学であり、最も美しい種類です。」と述べました。

証明は 5 つの論文で構成され、合計 800 ページを超えます。彼らは、デニス・ゲイツゴーリー (マックス・プランク研究所) とサム・ラスキン (イェール大学) が率いるチームの出身です。

Gaitsgory は過去 30 年間、幾何学的なラングランズ予想の証明に取り組んできました。過去数十年にわたり、彼とその共同研究者らは多数の研究結果を取得し、それらに基づいてこの証明を完成させました。グルノーブル・アルプ大学のヴァンサン・ラフォルグ氏は、こうした進歩を「上昇する海」にたとえ、20世紀の傑出した数学者であるアレクサンダー・グロタンディークの研究精神に似ており、上昇するアイデアの海を作り出すことで困難な問題を解決すると述べた。 。

デニス・ゲイツゴリー (写真左) とサム・ラスキン (写真右) は 9 人からなるチームを率い、幾何学的ラングランズ予想を証明しました。

新しい証明を検証するには時間がかかるだろうが、多くの数学者はその中心となる考え方は正しいと信じていると述べている。 「理論内部の一貫性は非常に優れているため、それが間違っているとは信じがたい」とラフォルグ氏は語った。

証明に至るまでの数年間で、研究チームは問題の核心に到達するための複数の道を作成しました。 「彼らが得た理解は非常に豊かで幅広いものであり、彼らはこの問題をあらゆる方向から取り囲んでいた。そこから逃れることはできなかった。」と彼は語った。

大統一理論

1967年、30歳のプリンストン大学教授ロバート・ラングランズは、ロゼッタ・ストーンの創始者であるアンドレ・ヴェイユに宛てた17ページの手書きの手紙で自分の考えを説明した。ラングランズは、このロゼッタストーンの数論と関数分野のコラムで、驚くべき範囲と能力を持つフーリエ解析の一般化バージョンを作成することが可能であると書いています。

古典的なフーリエ解析では、フーリエ変換と呼ばれるプロセスを使用して、音波などの波形パターンに関する 2 つの異なる考え方間の対応関係を作成します。この対応の一方には波そのものがあります。 （これを波面と呼びます）。これは、単純な正弦波 (音響用語では純音) から、複数の正弦波で構成される複雑な波まで多岐にわたります。この対応関係の反対側には余弦波のスペクトル、つまり音響学におけるピッチがあります。 (数学者はこれをスペクトル面と呼びます)。

フーリエ変換はこれら 2 つの辺の間を行ったり来たりします。一方の方向では、波を一連の周波数に分割し、もう一方の方向では、その成分周波数に基づいて波を再構成します。この両方向に変換する機能により、数え切れないほどのアプリケーションが可能になります。これがなければ、現代の電気通信、信号処理、磁気共鳴画像処理、その他現代生活に必要なものは存在しません。

ラングランズは、ロゼッタ ストーンの数論と関数場フィールドにも同様の変換があるが、ここでの波動と周波数はより複雑であると提案しました。

下のビデオでは、ラトガース大学の数学者アレックス コントロビッチが数学の世界を案内し、ラングランズ プログラムの中心にある驚くべき対称性を理解します。

ビデオソース: https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

これらの各フィールドには、繰り返される波に似た一連の特別な関数で構成される波面があります。これらの特殊関数の中で最も純粋なものは固有関数と呼ばれ、正弦波のように動作します。すべての固有関数には固有周波数があります。ただし、正弦波の周波数は 1 つの数値ですが、固有関数の周波数は無限の数値のリストです。

スペクトル的な側面もあります。これは数論におけるオブジェクトで構成されており、ラングランズはこれらのオブジェクトが特徴的な関数のスペクトルをマークしていると信じていました。彼は、波側をスペクトル側に接続するフーリエ変換に似た処理メカニズムがあると提案しました。 ベン・ズヴィ氏は、「これには魔法のようなものがある。理由もなく予測できるものではない」と語った。

波とその周波数ラベルは非常に異なるデータ領域から来ているため、それらの間の対応関係を証明することは非常に有益です。たとえば、1990 年代に、比較的小さな関数セットの数論ラングランズ対応の証明により、アンドリュー ワイルズとリチャード テイラーはフェルマーの最終定理を証明することができました。この問題は、かつては数学で証明される最も有名な問題でした。数学コミュニティは 3 世紀にわたって取り組んできました。

カリフォルニア大学バークレー校のエドワード・フレンケル氏は、「ラングランズ・プログラムは「数学の大統一理論」とみなされている」と述べた。しかし、数学者たちはラングランズのビジョンのより大きな部分を証明するために取り組んできましたが、それが不完全であることをよく知っています。このロゼッタ ストーンの幾何学列では、波と周波数ラベルの関係を反映することは不可能であるように見えます。

砂粒

ラングランズの研究から、数学者は幾何学的なラングランズ対応のスペクトル面がどのようなものになるかについてのアイデアを持ちました。ワイルのロゼッタ ストーンの 3 番目の列 (幾何学) には、球、ドーナツ状の表面、および多孔質のドーナツ状の表面を含むコンパクトなリーマン面が含まれます。特定のリーマン面には、基本群と呼ばれる対応するオブジェクトがあり、面の周囲のさまざまな形式のループを追跡します。

数学者は、幾何学的なラングランズに対応するスペクトル側は基本群の特定の蒸留形式で構成されているはずだと推測しています。これらの特定の蒸留形式は基本群の表現とも呼ばれます。

ラングランズ対応がロゼッタ ストーンの幾何学的柱に反映される場合、リーマン面の基本群のすべての表現は周波数ラベルになるはずですが、どのような周波数ラベルでしょうか?

数学者は、その周波数が基本群の表現を特徴付けると思われる一連の特性関数を見つけることができません。その後 1980 年代に、現在シカゴ大学に在籍しているウラジミール ドリンフェルドは、固有関数を固有層と呼ばれるより複雑なオブジェクトに置き換えることによって幾何学的なラングランズ対応を作成できることに気づきました。しかし、当時彼が知っていたのは、いくつかの特徴スタックがどのように構築されるかだけでした。 。

層は関数よりもはるかに奥深いため、当時の数論者は、このラングランズに対応する幾何学的いとこをどう判断すればよいのかわかりませんでした。しかし、幾何学的なラングランズ プログラムには (その難解な側面にもかかわらず)、ラングランズ プログラムの数論的バージョンに比べて 1 つの大きな利点があります。幾何学的ラングランズでは、フィーチャ レイヤーの周波数はリーマン面上の点によって制御され、球またはドーナツ上の各点は近距離では非常によく似ています。しかし、ラングランズ数理論では、周波数は素数によって制御され、それぞれの素数には独自の特性があります。インペリアル・カレッジ・ロンドンの数論学者アナ・カラアニ氏は、数学者は「ある素数から別の素数にうまく移行する方法」を知らないと語る。

リーマン面は物理学、特に共形場理論において重要な役割を果たし、特定の力場における素粒子の挙動を制御します。 1990 年代初頭、Beilinson と Drinfeld は、共形場の理論を使用して特に優れたフィーチャ レイヤーを構築する方法を示しました。

この共形場の理論とのつながりにより、ベイリンソンとドリンフェルドは層のフーリエ解析を構築する方法を考えるようになりました。 「それは結晶化を引き起こす砂粒のようなものです」とベン・ズヴィ氏は言う。

Beilinson と Drinfeld は、幾何学的なラングランズ対応がどのように機能するかについて豊かなビジョンを提示しました。基本グループのすべての表現をフィーチャ レイヤーの頻度でマークする必要があるというだけではありません。ベイリンソン氏とドリンフェルド氏は、今回の対応は双方の重要な関係を尊重すべきだと考えており、この見通しを「最善の希望」と呼んでいる。

ベイリンソン氏は、1990 年代半ばにテルアビブ大学で行われた一連の講義で、この発展途上にある研究状況を紹介しました。 当時ここの大学院生だったゲイツゴリーさんは、その言葉をすべて吸収するのに苦労した。 「私は一種の刷り込み行動を身につけた孵化したばかりのアヒルの子のようでした」と彼は振り返る。

その後 30 年間、幾何学的なラングランズ予想がゲイツゴリーの数学的キャリアの主な原動力となってきました。 「私は何年も休みなく働き、さまざまなツールを開発しながら、どんどん目標に近づいてきました」と彼は言いました。

昇る海

ベイリンソンとドリンフェルドは自分たちの推測を大まかに述べただけで、「ベスト・ホープ」の関係がどのように機能するかを考えると、少し単純化しすぎていることが判明した。 2012 年、ウィスコンシン大学マディソン校のゲイツゴリー氏とディマ・アリンキン氏は、この「最善の希望」を正確な推測に変える方法を見つけ出しました。

翌年、ゲイツゴリーは幾何学的ラングランズ予想を証明する可能な方法の概要を書きました。この概要は多数の中間ステートメントに依存していましたが、その多くは当時証明されていませんでした。 ゲイツゴーリーと彼の協力者たちは、それらを証明しようと試みた。

その後数年間にわたって、トロント大学の Gaitsgory と Nick Rozenblyum はレイヤーに関する 2 冊の本を執筆し、合計すると 1,000 ページ近くになりました。この 2 巻セットでは、幾何学的なラングランズ プログラムについては 1 回だけ言及されています。 「しかし、目的は、私たちが後でよく使う基礎を築くことでした」とゲイツゴリー氏は語った。

2020 年、ゲイツゴリーさんは突然、自分のスケジュールにほとんど何も入っていないことに気づきました。 「私は3か月間ベッドに横になって考え続けました」と彼は言いました。これらの考えは最終的に（6人の著者による）論文につながりました。この論文はラングランズ プログラムの機能領域分野に焦点を当てていましたが、幾何学的なラングランズ予想、つまり層がいわゆる「ホワイト ノイズにどのように寄与するか」を理解する方法を証明する際の重要な要素となる「シード」も含まれていました。 」メソッド。

他の7人の研究者の写真。左から時計回りに：ダリオ・ベラルド、リン・チェン、ケビン・リン、ニック・ローゼンブリュム、ヨアキム・ファーゲマン、ジャスティン・キャンベル、ディマ・アリンキン。

古典的な信号処理の世界では、音波は正弦波から構成され、その周波数は音のピッチに対応します。サウンドに含まれるピッチを知るだけでは十分ではありません。また、各ピッチの大きさを知る必要もあります。この情報により、サウンドを正弦波の組み合わせとして記述することができます。振幅 1 の正弦波から始めて、その正弦波に適切なラウドネス係数を乗算し、正弦波を加算するだけです。振幅 1 のさまざまな正弦波の合計は、私たちがよく「ホワイト ノイズ」と呼ぶものです。

幾何学的ラングランズ プログラムの世界では、フィーチャ レイヤーは正弦波のように機能します。 Gaitsgory と彼の共同研究者らは、ホワイト ノイズのように機能するポアンカレ層と呼ばれるものを特定しました。しかし、これらの研究者にとって、各特性層がポアンカレ層で表現できるかどうか、ましてやそれらがすべて同じ振幅を持つかどうかは不明でした。

2022 年の春、Raskin と彼の大学院生 Joakim Færgeman は、その 6 人の著者による論文のアイデアを使用して、各フィーチャ レイヤーが実際にポアンカレ レイヤーで表現可能であることを示す方法を示しました。 幾何学的なラングランズ予想の証明について話したとき、ゲイツゴリー氏は次のように述べました。「サムとヨアキムの論文の後、私はそれを短期間で証明できると確信しています。」

研究者は、すべてのフィーチャ レイヤーがポアンカレ レイヤーに等しく寄与していること、および基本的なグループ表現がこれらのフィーチャ レイヤーの頻度をマークしていることを実証する必要があります。彼らは、最も難しい部分は、この基本的なグループの表現、つまり既約表現を扱うことであることに気づきました。

これらの還元不可能な表現の解決策は、ラスキンの私生活が混乱に陥っていたときに現れました。彼とファージマンが論文をオンラインに投稿してから数週間が経ったある日、ラスキンさんは息子を初めて幼稚園に連れていくために帰宅する前に、妊娠中の妻を病院に急行しなければならなかった。 ラスキンさんの妻は、第二子が生まれるまでの６週間を病院で過ごした。この間、ラスキンの人生は常に回転していました。息子の通常の生活を確保するために、彼は家、息子の学校、病院の間を常に行ったり来たりしていました。 「当時の私の人生は車と人の世話だけだった」と彼は語った。

彼は運転中にゲイツゴリーと電話で数学について話し合った。最初の数週間の終わり頃、ラスキンは、この還元不可能な表現の問題を、当時すでに手の届く範囲にあった 3 つの事実の証明に還元できることに気づきました。 「それは私にとって魔法のような時間でした」と彼は語り、自身の私生活は「私にとって、数学はグラウンディングと瞑想を必要とするものでした。その不安から解放してください」と付け加えた。

2023年初頭までに、ゲイツゴーリーとラスキンは、アリンキン、ローゼンブリュム、ファーゲマン、その他4人の研究者とともに、ゲイツゴーリーとアリンキンによって改訂されたベイリンソンとドリンフェルドの「最善の希望」の完全な証拠を作成した。 (他の研究者は、ユニバーシティ・カレッジ・ロンドンのダリオ・ベラルド氏、清華大学のリン・チェン氏、シカゴ大学のジャスティン・キャンベル氏とケビン・リン氏でした。)チームはさらに1年をかけて証明を書き上げました。彼らは今年2月にその証拠をオンラインに投稿した。これらの論文は、2013 年に Gaitsgory によって作成された概要に従っていますが、Gaitsgory のアプローチを簡素化し、多くの点で改良しています。 「多くの賢明な人々が、この比類のない成果に多くの新しいアイデアを貢献してくれました」とラフォーグ氏は語った。

「彼らはそれを証明しただけではありません」とベン・ズヴィは言いました、「彼らはそれを中心に世界全体を開発しました。」

さらに海岸

ゲイツゴーリーにとって、この数十年にわたる夢の実現は、まだ終わりには程遠い。量子物理学との関係をより深く調査し、この結果を穴あきリーマン面に拡張し、ロゼッタ ストーンの他の柱への影響を解明するなど、数学者が解決すべき謎はさらにたくさんあります。 「これは（少なくとも私には）大きな岩を削り取っているような気がしますが、私たちはまだ核心からは程遠いです」とゲイツゴリー氏は電子メールで書いた。

他の 2 つの分野に取り組んでいる研究者たちは現在、この証明を翻訳することに熱心に取り組んでいます。 「主要な断片の1つが解決されたという事実は、ラングランズ通信の研究全体に重大な影響を与えるはずだ」とベン・ズヴィ氏は述べた。

しかし、すべてを引き継ぐことができるわけではありません。たとえば、数理論と関数ドメイン設定では、共形場理論の考え方に相当するものはなく、共形場理論により、研究者は幾何学的フィーチャ レイヤーで特別な構造を構築できます。この証明の多くは、他の分野で使用する前に、骨の折れる調整が必要になります。バークレー校のトニー・フェン氏は、「これらのアイデアを、使用されなかったかもしれない別の文脈に移す」ことができるかどうかは不明だ、と語る。

しかし、多くの研究者は、この高まりつつあるアイデアの海が最終的には他の分野にも広がるだろうと楽観視している。 「それは分野間のあらゆる障壁を突破するだろう」とベン・ズヴィ氏は語った。

過去 10 年にわたり、研究者は幾何学の分野と他の 2 つの分野の間のつながりを発見し始めました。 「もし（幾何学ラングランズ予想が）10年前に証明されていたら、結果は大きく変わっていただろう」とファン氏は言う。

Gaitsgory、Raskin、および彼らの共同研究者は、幾何学的なラングランズ証明を関数領域フィールドに変換する点である程度の進歩を遂げました。 (ラスキンは、ゲイツゴーリーとラスキンが後者の長いドライブ中に行った発見の一部は「まだ明らかにされていない」とほのめかしている。) 翻訳が成功すれば、数学者が以前に知っていた、あるいは推測していたよりもはるかに正確なシステムにつながる可能性がある。ラングランズバージョン。

幾何学分野から数論分野への変換のほとんどは、関数ドメインを経由します。しかし2021年、パリのジュシュー数学研究所のローラン・ファルグとショルツは、数論におけるラングランズ・プログラムの特定の部分に幾何学柱のアイデアを直接もたらすことができる、いわゆるワームホールを設計した。

「私は間違いなく、これらの幾何学的なラングランズ証明を翻訳したい人間です」とショルツ氏は言う。この上昇する海には何千ページものテキストが含まれていることを考えると、それは簡単な仕事ではない。 ショルツ氏は、「現時点では論文数点遅れている」とし、「2010年頃の結果を調べているところだ」と語った。

幾何学的ラングランズの研究者らがついにその長い議論を論文で発表した今、カライアーニ氏は、数論分野の研究者たちと議論する時間がもっと取れることを望んでいる。 「人々は問題について非常に異なる考え方を持っています。ゆっくり話し合って、お互いの視点を理解することができれば、常に有益です。」彼女は、新しい研究のアイデアが現場に広がるだろうと予測しています。数論では、それは時間の問題です。

Ben-Zvi 氏は次のように述べています。「これらの結果は非常に堅固であるため、一度始めると止めるのは困難です。」

元のリンク: https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/