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Nuevo informe de sabiduría

Editor: Eneas tiene mucho sueño

[Introducción a la Nueva Sabiduría] El profesor de matemáticas del MIT, Larry Guth, y el ganador de la medalla Fields de la Universidad de Oxford, James Maynard, lograron un gran avance en la hipótesis de Riemann, rompiendo directamente el récord de más de 80 años. Curiosamente, sacrificaron a un "hijo abandonado" en el proceso, complicando y dificultando la situación, pero acercándose a la respuesta.

Uno de los "siete grandes problemas matemáticos del milenio": la hipótesis de Riemann (RH) ha logrado un avance significativo. ¡Los matemáticos están un paso más cerca de conquistar la "corona de las conjeturas"!

El MIT propuso restricciones más estrictas sobre posibles excepciones a la Hipótesis de Riemann, una medida que rompió directamente el récord de 80 años.

Dirección del artículo: https://arxiv.org/abs/2405.20552

Hoy en día, la hipótesis de Riemann sigue siendo uno de los misterios sin resolver más importantes de las matemáticas. Si se pudiera demostrar, los matemáticos obtendrían una comprensión más profunda de la distribución de los números primos,

Además, muchos trabajos en el campo de la teoría de números y las funciones variables complejas se basan en la premisa de que la hipótesis de Riemann es cierta. Por lo tanto, una vez que se demuestre la hipótesis de Riemann, muchos otros trabajos también quedarán completamente demostrados.

Quien resuelva la hipótesis de Riemann recibirá una recompensa de 1 millón de dólares del Clay Mathematics Institute.

Actualmente, los matemáticos no tienen idea de cómo probar la hipótesis de Riemann, pero aún pueden obtener resultados útiles demostrando que existe un número limitado de posibles excepciones.

En mayo, Maynard y Larry Guth del MIT establecieron un nuevo límite superior en el número de excepciones de un tipo específico, rompiendo un récord anterior que se había mantenido durante más de 80 años.

Con la nueva prueba, obtienen una mejor aproximación del número de números primos en intervalos cortos en la recta numérica y, con suerte, brindan más información sobre los números primos.

Todavía está lejos de resolverse por completo la hipótesis de Riemann, pero no deja de ser un momento histórico.

Henryk Iwaniec de la Universidad de Rutgers comentó: "Este es un resultado sensacional. El proceso fue muy, muy difícil, pero lograron una joya".

Tao Zhexuan apreció mucho este artículo:

Guth y Maynard lograron un avance significativo en la hipótesis de Riemann, proporcionando las primeras mejoras sustanciales al clásico límite de Ingham de 1940 sobre los ceros de la función zeta de Riemann (y, de manera más general, las restricciones a gran escala que rigen los valores de varias series de Dirichlet).

Él cree que este es un momento histórico: "En los ochenta años transcurridos desde la existencia de la Hipótesis de Riemann, el único impulso para esta restricción ha sido una pequeña mejora en el error de (1)".

Aunque también admitió que “todavía estamos lejos de resolver del todo esta conjetura”.

Ya sabes, ya en 2008, Xian-Jin Li, un matemático de la Universidad Brigham Young en los Estados Unidos, también publicó un artículo sobre arxiv, afirmando haber demostrado la hipótesis de Riemann. Más tarde, Terence Tao y el matemático francés Alain Connes (ambos ganadores de la Medalla Fields) señalaron despiadadamente los errores en el proceso de demostración de Li.

Bueno, esta vez la investigación de Guth y Maynard fue enviada por Terence Tao, lo que demuestra su extraordinaria importancia.

desvío inteligente

La hipótesis de Riemann implica una fórmula central en la teoría de números: la función zeta de Riemann. La función ζ es una generalización de suma simple:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Esta serie se volverá infinita a medida que aumente el número de términos. Los matemáticos llaman a este proceso "divergencia". Pero si en cambio suma:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Obtendremos π^2/6, que es aproximadamente igual a 1,64.

Y Riemann tuvo una idea inesperadamente genial, convirtiendo dicha serie en una función como se muestra a continuación:

Entonces ζ(1) es infinito, pero ζ(2) = π^2/6.

Las cosas se ponen realmente interesantes cuando hacemos de s un número complejo.

Los números complejos tienen dos partes: la "parte real", que es el número de la vida cotidiana, y la "parte imaginaria", que es el número cotidiano multiplicado por la raíz cuadrada de -1 (que los matemáticos escriben como i).

Los números complejos se pueden trazar en el plano con la parte real en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. Por ejemplo, 3+4i.

La función ζ toma puntos en el plano complejo como entrada y genera otros números complejos.

Resulta que para algunos números complejos el valor de la función ζ es cero. Determinar la ubicación exacta de estos ceros en el plano complejo es uno de los problemas más interesantes de las matemáticas.

En 1859, Riemann conjeturó: todos los puntos cero están concentrados en dos rectas. Si ampliamos la función zeta para que pueda manejar entradas negativas, encontramos que el valor de la función zeta es cero para todos los números pares negativos: -2, -4, -6, etc.

Esto es relativamente fácil de demostrar, por lo que se denominan ceros triviales.

Cuando la parte real de s es menor que 1, la suma de toda la serie puede divergir.Para que la función sea aplicable a un rango más amplio, Riemann reescribió la función ζ anterior en la forma anterior

Riemann supuso que todos los demás ceros de la función (es decir, ceros no triviales) tienen partes reales de 1/2 y, por tanto, se encuentran en esta línea vertical.

Ésta es la hipótesis de Riemann y demostrarla ha sido extremadamente difícil.

Los matemáticos saben que la parte real de todo cero no trivial debe estar entre cero y 1, pero no pueden descartar que algunos ceros puedan tener una parte real de 0,499.

Lo que pueden hacer es demostrar que esos puntos cero deben ser muy raros.

De manera más intuitiva, se puede dibujar un número infinito de puntos según la función ζ.Riemann supuso que estos puntos tienen un cierto patrón de disposición, algunos de ellos están en una línea horizontal y la otra parte en una línea vertical. Todos estos puntos están dispuestos en estas dos líneas rectas sin excepción.

En la figura anterior, dado que hay infinitos puntos, no podemos usar la enumeración para demostrar que todos los puntos están en estas dos líneas, porque la verificación nunca será completa. Pero mientras haya un punto que no esté en estas dos rectas, puede anular la Hipótesis de Riemann.

Los matemáticos han utilizado computadoras para verificar que los primeros 100 mil millones de puntos se ajustan a la disposición de la Hipótesis de Riemann.

A lo largo de los años, muchos matemáticos han trabajado duro para demostrar esta conjetura, pero nadie ha podido llevarse a casa este "Santo Grial de las Matemáticas". Incluso hay muchos matemáticos que lamentablemente han fallecido a causa de esto, dejando un sinfín de pensamientos para el futuro. generaciones.

El matemático estadounidense Hugh Montgomery llegó a decir que si el diablo aceptara que los matemáticos intercambiaran sus almas por la prueba de una proposición matemática, lo que la mayoría de los científicos querrían a cambio sería la prueba de la hipótesis de Riemann.

De repente se batió el récord de más de 80 años

En 1940, un matemático británico llamado Albert Ingham estableció un límite superior para estimar el número de puntos cero cuya parte real no es igual a 1/2. Este límite superior todavía lo utilizan los matemáticos en la actualidad.

Décadas más tarde, en las décadas de 1960 y 1970, otros matemáticos encontraron formas de traducir los resultados de Ingham en descripciones de cómo los números primos se agrupan o se distribuyen a lo largo de la recta numérica y qué otros patrones podrían formar.

Casi al mismo tiempo, los matemáticos también introdujeron nuevas técnicas que mejoraron el límite superior de Ingham para ceros con partes reales mayores que 3/4.

Pero resulta que los puntos cero más importantes son aquellos cuya parte real es exactamente 3/4.

"Muchos resultados importantes sobre números primos están limitados por nuestra comprensión del punto cero con una parte real de 3/4", dijo Maynard.

James Maynard es un destacado académico en el campo de las matemáticas y ganó la Medalla Fields en 2022.

Se graduó de la Universidad de Cambridge con una licenciatura y un doctorado de la Universidad de Oxford. Ha enseñado en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford desde 2018.

Hace aproximadamente una década, Maynard comenzó a pensar en cómo mejorar las estimaciones de Ingham de estos puntos cero específicos. "Este es uno de mis problemas favoritos en la teoría analítica de números. Siempre siento que si trabajo más duro, puedo progresar".

Pero año tras año, cada vez que intentaba resolver el problema, se quedaba estancado.

Luego, a principios de 2020, mientras viajaba en avión para asistir a una conferencia en Colorado, tuvo una idea: tal vez las herramientas del análisis armónico podrían resultar útiles.

Casualmente, Larry Guth, un experto en análisis armónicos del MIT, asistió a la misma reunión.

Dos personas que estaban pensando en problemas similares se encontraron así.

Sin embargo, Guth no estaba completamente familiarizado con la teoría analítica de números. Durante el almuerzo, Maynard le explicó los aspectos de la teoría de números y le presentó un caso de prueba concreto.

Después de trabajar intermitentemente durante varios años, Guth se dio cuenta de que su técnica de análisis armónico no funcionaba.

Pero no dejó de pensar en el problema y probó un nuevo enfoque.

En febrero de este año, volvió a contactar a Maynard. Combinando sus diferentes perspectivas, los dos comenzaron a colaborar seriamente.

Unos meses más tarde, tuvieron los resultados.

"Hijo abandonado" en Matemáticas

Guth y Maynard primero transformaron el problema que querían resolver en otra forma.

Si la parte real de algún cero no es 1/2, entonces la función asociada, llamada polinomio de Dirichlet, debe producir un valor muy grande.

Por lo tanto, demostrar que las excepciones a la hipótesis de Riemann rara vez equivalen a demostrar que los polinomios de Dirichlet no suelen producir valores grandes.

Luego los matemáticos hicieron otra transformación.

Primero, construyeron una matriz o tabla de números utilizando polinomios de Dirichlet.

"A los matemáticos les gusta ver matrices porque las matrices son algo que entendemos muy bien", dijo Guth. "Hay que aprender a mantener un agudo sentido del olfato y estar preparado para ver Matrix en todas partes".

Una matriz puede "actuar sobre" un objeto matemático llamado vector, definido por su longitud y dirección, para producir otro vector.

Normalmente, cuando una matriz actúa sobre un vector, cambia la longitud y dirección del vector.

A veces hay vectores especiales que solo cambian de longitud pero no de dirección cuando pasan por la matriz. Estos vectores se llaman vectores propios.

Los matemáticos miden la magnitud de estos cambios con números llamados valores propios.

Guth y Maynard reformularon su problema para que se convierta en un problema sobre el valor propio máximo de una matriz.

Si pueden demostrar que el valor propio máximo no puede llegar a ser demasiado grande, su trabajo estará hecho.

Para ello, utilizaron una fórmula que daba como resultado una suma compleja y buscaron formas de hacer que los valores positivos y negativos de la suma se anularan entre sí tanto como fuera posible.

"Hay que reorganizar la secuencia, o mirarla desde el ángulo correcto, para ver cierta simetría y lograr cierta cancelación", dijo Guth.

El proceso implicó varios pasos sorprendentes, el más importante de los cuales fue una idea que Maynard describió como "un poco mágica".

En algún momento, deberían haber dado un paso de simplificación aparentemente obvio para simplificar su suma.

Sin embargo, no hicieron esto. En cambio, mantienen la suma en una forma más larga y compleja.

"Hicimos algunas cosas que a primera vista parecían completamente estúpidas y simplemente nos negamos a hacer simplificaciones estándar", dijo Maynard. "Estamos renunciando a muchas cosas, por lo que ahora no podemos establecer límites sencillos para esta suma".

Pero a la larga, esto resultó ser una medida beneficiosa.

"En ajedrez, esto se llama abandono: sacrificar una pieza para conseguir una mejor posición en el tablero", dijo Maynard.

Y Guth lo comparó con jugar al Cubo de Rubik: a veces hay que deshacer movimientos anteriores para que todo parezca peor y luego encontrar una manera de llevar más colores a los lugares correctos.

"Se necesita mucho coraje para desechar una mejora obvia y luego esperar poder restaurarla más adelante", dice Roger Heath-Brown, matemático de la Universidad de Oxford y antiguo mentor de Maynard. "Va en contra de todo lo que creo que debería hacerse".

Pero este mentor admite que ahí es exactamente donde se quedó estancado.

El estatus de Guth como experto en análisis armónicos y no como teórico de números hizo posible esta estrategia, dijo Maynard. "No está limitado por estas reglas inherentes, por lo que está más dispuesto a considerar cosas que están fuera de lo común".

Finalmente, pudieron establecer un límite suficientemente bueno para el valor propio máximo, lo que se tradujo en un límite más preciso para el número de posibles contraejemplos de la Hipótesis de Riemann.

Aunque su trabajo comenzó con las ideas de análisis armónico que inspiraron a Guth, finalmente excluyeron estas técnicas complejas y regresaron a la simplicidad.

"Parece algo que podría haber intentado hace 40 años", dijo Heath-Brown.

Finalmente, Guth y Maynard demostraron automáticamente algunos resultados sobre la distribución de números primos al dar mejores límites al número de ceros cuya parte real es 3/4.

Por ejemplo, para intervalos más cortos, estimar el número de números primos encontrados en un intervalo dado se vuelve menos preciso. El nuevo trabajo permite a los matemáticos obtener buenas estimaciones en intervalos más cortos.

Los matemáticos creen que esta prueba también puede mejorar otras conclusiones sobre los números primos.

Y parece haber margen para futuras mejoras en la tecnología de Guth y Maynard.

Sin embargo, Maynard cree que estas técnicas no son la forma correcta de resolver la Hipótesis de Riemann en sí.

"También se requieren grandes ideas de otros lugares".

La interpretación de Tao Zhexuan: utilizar la teoría analítica de números de formas inesperadas

Tao Zhexuan también dio una interpretación más profesional de este método de "abandonar niños":

Si (σ,) representa el número de puntos cero de la función zeta de Riemann cuya parte real es al menos σ y la parte imaginaria es como máximo, la hipótesis de Riemann nos dice que para cualquier σ>1/2, (σ,) Por supuesto, no podemos probar esto incondicionalmente.

Pero a continuación, podemos probar la estimación de densidad cero, que es un límite superior no trivial de (σ,).

Resulta que σ=3/4 es un valor crítico. En 1940, Ingham obtuvo un resultado: (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

Durante los siguientes ochenta años, las únicas mejoras en este límite fueron pequeñas mejoras en el error de (1).

Esto nos limita a hacer muchas cosas en teoría analítica de números: por ejemplo, para obtener un buen teorema de números primos en casi cualquier intervalo corto de la forma (,+^), durante mucho tiempo hemos estado restringidos a >1/6. , y el principal obstáculo es que los límites de Ingham no han mejorado.

La última investigación de Guth y Maynard mejoró con éxito el límite de Ingham de 3/5=0,6 a 13/25=0,52.

Esto condujo a muchas mejoras correspondientes en la teoría analítica de números; por ejemplo, el rango de teoremas de números primos demostrables pasó de >1/6=0,166… a >2/15=0,133… en casi todos los intervalos cortos (si la hipótesis de Riemann es verdadera; , significaría que podemos cubrir todo el rango > 0).

Estos argumentos se basan esencialmente en el análisis de Fourier. Los primeros pasos son estándar y serán reconocidos por muchos teóricos analíticos de números que intentan superar los límites de Ingham.

Pero tienen muchas operaciones inteligentes e inesperadas, como controlar la matriz de fase clave elevándola a la sexta potencia (aparentemente, esto hace que el problema sea más complicado y complicado).

y, rechazando el uso del método de fase estacionaria para simplificar una determinada integral compleja de Fourier, haciendo así concesiones exponenciales para preservar una forma de factorización que finalmente resulta más útil que la aproximación de fase estacionaria y según la aparición de grandes; valores de la serie de Dirichlet Divida situaciones según si sus posiciones tienen energía aditiva pequeña, mediana o grande y utilice un enfoque argumentativo ligeramente diferente para cada caso.

Aquí cobra importancia la forma exacta de la función de fase log⁡ implícita en la serie de Dirichlet; se trata de una forma inesperada de explotar sumas exponenciales especiales que surgen en la teoría analítica de números, en lugar de lo que podría encontrarse en un análisis armónico en un exponencial más general. suma.

Referencias:

https://www.quantamagazine.org/prueba-sensacional-ofrece-nuevas-percepciones-sobre-los-numeros-primos-20240715/