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Neuer Weisheitsbericht

Herausgeber: Aeneas so schläfrig

[Einführung in die neue Weisheit] Der MIT-Mathematikprofessor Larry Guth und der Gewinner der Fields-Medaille der Oxford University, James Maynard, schafften einen großen Durchbruch bei der Riemann-Hypothese und brachen damit direkt den Rekord von mehr als 80 Jahren. Interessanterweise opferten sie dabei einen „verlassenen Sohn“, was die Situation komplizierter und schwieriger machte, aber der Antwort näher kam.

Eines der „sieben großen mathematischen Probleme des Jahrtausends“ – die Riemann-Hypothese (RH) hat einen bedeutenden Durchbruch geschafft. Mathematiker sind der „Krone der Vermutungen“ einen Schritt näher gekommen!

Das MIT schlug strengere Beschränkungen für mögliche Ausnahmen von der Riemann-Hypothese vor, ein Schritt, der direkt den 80 Jahre alten Rekord brach.

Papieradresse: https://arxiv.org/abs/2405.20552

Bis heute ist die Riemann-Hypothese eines der wichtigsten ungelösten Rätsel der Mathematik. Wenn es bewiesen werden könnte, würden Mathematiker ein tieferes Verständnis der Verteilung von Primzahlen erlangen,

Darüber hinaus basieren viele Arbeiten auf dem Gebiet der Zahlentheorie und der komplexen variablen Funktionen auf der Prämisse, dass die Riemann-Hypothese wahr ist. Daher werden auch viele andere Arbeiten vollständig bewiesen sein, sobald die Riemann-Hypothese bewiesen ist.

Wer die Riemann-Hypothese löst, erhält vom Clay Mathematics Institute eine Belohnung von 1 Million US-Dollar.

Mathematiker haben derzeit keine Ahnung, wie sie die Riemann-Hypothese beweisen können, aber sie können dennoch nützliche Ergebnisse erzielen, indem sie zeigen, dass es eine begrenzte Anzahl möglicher Ausnahmen gibt.

Im Mai legten Maynard und Larry Guth vom MIT eine neue Obergrenze für die Anzahl der Ausnahmen einer bestimmten Art fest und brachen damit einen bisherigen Rekord, der mehr als 80 Jahre lang bestanden hatte.

Mit dem neuen Beweis erhalten sie eine bessere Annäherung an die Anzahl der Primzahlen in kurzen Intervallen auf der Zahlengeraden und liefern hoffentlich mehr Einblicke in Primzahlen.

Die Riemann-Hypothese ist noch lange nicht vollständig gelöst, aber es ist immer noch ein historischer Moment.

Henryk Iwaniec von der Rutgers University kommentierte: „Das ist ein sensationelles Ergebnis. Der Prozess war sehr, sehr schwierig, aber sie haben ein Juwel geschafft.“

Tao Zhexuan schätzte dieses Papier sehr:

Guth und Maynard gelang ein bedeutender Durchbruch bei der Riemannschen Hypothese, indem sie die ersten wesentlichen Verbesserungen der klassischen Ingham-Schranke von 1940 auf den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion (und allgemeiner der großräumigen Einschränkungen, die verschiedene Dirichlet-Reihenwerte regeln) lieferten.

Er glaubt, dass dies ein historischer Moment ist: „In den achtzig Jahren seit der Existenz der Riemann-Hypothese war der einzige Anstoß für diese Einschränkung eine kleine Verbesserung des Fehlers von (1).“

Allerdings gab er auch zu, dass „wir noch weit davon entfernt sind, diese Vermutung vollständig zu lösen.“

Wissen Sie, bereits 2008 veröffentlichte Xian-Jin Li, ein Mathematiker an der Brigham Young University in den Vereinigten Staaten, ebenfalls einen Artikel über arxiv, in dem er behauptete, die Riemann-Hypothese bewiesen zu haben. Später wiesen Terence Tao und der französische Mathematiker Alain Connes (beide Gewinner der Fields-Medaille) schonungslos auf die Fehler in Lis Beweisprozess hin.

Nun, dieses Mal wurde die Forschung von Guth und Maynard von Terence Tao weitergeleitet, was ihre außergewöhnliche Bedeutung zeigt.

cleverer Umweg

Die Riemann-Hypothese beinhaltet eine Kernformel der Zahlentheorie – die Riemann-Zeta-Funktion. Die ζ-Funktion ist eine Verallgemeinerung der einfachen Summation:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Diese Reihe wird mit zunehmender Anzahl von Termen unendlich. Dieser Vorgang wird von Mathematikern als „Divergenz“ bezeichnet. Aber wenn stattdessen Summierung:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Wir erhalten π^2/6, was ungefähr 1,64 entspricht.

Und Riemann hatte eine unerwartet tolle Idee, eine solche Serie wie folgt in eine Funktion umzuwandeln:

Also ist ζ(1) unendlich, aber ζ(2) = π^2/6.

Richtig interessant wird es, wenn wir s zu einer komplexen Zahl machen.

Komplexe Zahlen bestehen aus zwei Teilen: dem „Realteil“, also der Zahl im Alltag, und dem „Imaginärteil“, also der Alltagszahl multipliziert mit der Quadratwurzel aus -1 (was Mathematiker als i schreiben).

Komplexe Zahlen können in der Ebene aufgetragen werden, wobei der Realteil auf der x-Achse und der Imaginärteil auf der y-Achse liegt. Zum Beispiel 3+4i.

Die ζ-Funktion verwendet Punkte auf der komplexen Ebene als Eingabe und gibt andere komplexe Zahlen aus.

Es stellt sich heraus, dass für einige komplexe Zahlen der Wert der ζ-Funktion Null ist. Die genaue Lage dieser Nullstellen in der komplexen Ebene zu bestimmen, ist eines der interessantesten Probleme der Mathematik.

Riemann vermutete 1859: Alle Nullpunkte konzentrieren sich auf zwei Geraden. Wenn wir die Zeta-Funktion so erweitern, dass sie negative Eingaben verarbeiten kann, stellen wir fest, dass der Wert der Zeta-Funktion für alle negativen geraden Zahlen Null ist: -2, -4, -6 usw.

Dies ist relativ einfach zu beweisen, daher nennt man diese trivialen Nullstellen.

Wenn der Realteil von s kleiner als 1 ist, kann die gesamte Reihensumme divergieren.Um die Funktion auf einen größeren Bereich anwendbar zu machen, hat Riemann die obige ζ-Funktion in die obige Form umgeschrieben

Riemann vermutete, dass alle anderen Nullstellen der Funktion (also nicht triviale Nullstellen) Realteile von 1/2 haben und daher auf dieser vertikalen Linie liegen.

Dies ist die Riemann-Hypothese, und es war äußerst schwierig, sie zu beweisen.

Mathematiker wissen, dass der Realteil jeder nichttrivialen Nullstelle zwischen Null und 1 liegen muss, sie können jedoch nicht ausschließen, dass einige Nullstellen einen Realteil von 0,499 haben.

Was sie tun können, ist zu zeigen, dass solche Nullpunkte sehr selten sein müssen.

Intuitiver lässt sich eine unendliche Anzahl von Punkten gemäß der ζ-Funktion zeichnen.Riemann vermutete, dass diese Punkte ein bestimmtes Anordnungsmuster aufweisen. Einige davon liegen auf einer horizontalen Linie und der andere Teil auf einer vertikalen Linie. Alle diese Punkte sind ausnahmslos auf diesen beiden Geraden angeordnet.

Da es in der obigen Abbildung unendlich viele Punkte gibt, können wir die Aufzählung nicht verwenden, um zu beweisen, dass alle Punkte auf diesen beiden Linien liegen, da die Überprüfung niemals vollständig sein wird. Solange es aber einen Punkt gibt, der nicht auf diesen beiden Geraden liegt, kann er die Riemann-Hypothese zunichte machen.

Mathematiker haben mithilfe von Computern überprüft, ob die ersten 100 Milliarden Punkte alle der Anordnung der Riemann-Hypothese entsprechen.

Im Laufe der Jahre haben viele Mathematiker hart daran gearbeitet, diese Vermutung zu beweisen, aber niemand konnte diesen „Heiligen Gral der Mathematik“ mit nach Hause nehmen. Es gibt sogar viele Mathematiker, die aus diesem Grund bedauerlicherweise verstorben sind und endloses Nachdenken der Zukunft überlassen haben Generationen.

Der amerikanische Mathematiker Hugh Montgomery sagte sogar, wenn der Teufel zustimmen würde, dass Mathematiker ihre Seelen gegen den Beweis eines mathematischen Satzes eintauschen würden, würden die meisten Wissenschaftler als Gegenleistung den Beweis der Riemann-Hypothese wollen.

Der Rekord von mehr als 80 Jahren wurde plötzlich gebrochen

Im Jahr 1940 legte ein britischer Mathematiker namens Albert Ingham eine Obergrenze für die Schätzung der Anzahl der Nullpunkte fest, deren Realteil ungleich 1/2 ist. Diese Obergrenze wird von Mathematikern auch heute noch als Referenzpunkt verwendet.

Jahrzehnte später, in den 1960er und 1970er Jahren, fanden andere Mathematiker Wege, Inghams Ergebnisse in Beschreibungen darüber zu übersetzen, wie sich Primzahlen entlang der Zahlenlinie gruppierten oder ausbreiteten und welche anderen Muster sie bilden könnten.

Etwa zur gleichen Zeit führten Mathematiker auch neue Techniken ein, die Inghams Obergrenze für Nullstellen mit Realteilen größer als 3/4 verbesserten.

Es stellt sich jedoch heraus, dass die wichtigsten Nullpunkte diejenigen sind, deren Realteil genau 3/4 beträgt.

„Viele wichtige Ergebnisse zu Primzahlen werden durch unser Verständnis des Nullpunkts mit einem Realteil von 3/4 begrenzt“, sagte Maynard.

James Maynard ist ein herausragender Wissenschaftler auf dem Gebiet der Mathematik und gewann 2022 die Fields-Medaille.

Er schloss sein Studium an der University of Cambridge mit einem Bachelor-Abschluss und einem Ph.D. ab. Seit 2018 lehrt er am Institute of Mathematics der University of Oxford.

Vor etwa einem Jahrzehnt begann Maynard darüber nachzudenken, wie Inghams Schätzungen dieser spezifischen Nullpunkte verbessert werden könnten. „Das ist eines meiner Lieblingsprobleme in der analytischen Zahlentheorie. Ich habe immer das Gefühl, dass ich Fortschritte machen kann, wenn ich nur härter arbeite.“

Doch jedes Jahr, wenn er versuchte, das Problem zu lösen, scheiterte er.

Dann, Anfang 2020, während einer Flugreise zu einer Konferenz in Colorado, hatte er eine Idee – vielleicht könnten Werkzeuge aus der harmonischen Analyse nützlich sein.

Zufälligerweise nahm Larry Guth, ein Experte für harmonische Analyse am MIT, an demselben Treffen teil.

So trafen sich zwei Menschen, die zufällig über ähnliche Probleme nachdachten.

Allerdings war Guth mit der analytischen Zahlentheorie völlig unbekannt. Beim Mittagessen erläuterte ihm Maynard die Aspekte der Zahlentheorie und gab ihm einen konkreten Testfall.

Nachdem er mehrere Jahre lang hin und wieder gearbeitet hatte, erkannte Guth, dass seine Technik der harmonischen Analyse nicht funktionierte.

Aber er hörte nicht auf, über das Problem nachzudenken und versuchte einen neuen Ansatz.

Im Februar dieses Jahres nahm er erneut Kontakt zu Maynard auf. Durch die Kombination ihrer unterschiedlichen Perspektiven begannen die beiden ernsthaft zusammenzuarbeiten.

Einige Monate später lagen die Ergebnisse vor.

„Verlassener Sohn“ in der Mathematik

Guth und Maynard transformierten zunächst das Problem, das sie lösen wollten, in eine andere Form.

Wenn der Realteil einer Nullstelle nicht 1/2 ist, muss die zugehörige Funktion, Dirichlet-Polynom genannt, einen sehr großen Wert erzeugen.

Der Nachweis, dass Ausnahmen von der Riemann-Hypothese selten vorkommen, ist daher selten gleichbedeutend mit dem Nachweis, dass Dirichlet-Polynome nicht oft große Werte erzeugen.

Dann führten die Mathematiker eine weitere Transformation durch.

Zunächst erstellten sie mithilfe von Dirichlet-Polynomen eine Matrix oder Zahlentabelle.

„Mathematiker sehen gerne Matrizen, weil wir Matrizen sehr gut verstehen“, sagte Guth. „Man muss lernen, einen ausgeprägten Geruchssinn zu behalten und darauf vorbereitet zu sein, die Matrix überall zu sehen.“

Eine Matrix kann auf ein mathematisches Objekt namens Vektor „einwirken“, das durch seine Länge und Richtung definiert ist, um einen anderen Vektor zu erzeugen.

Wenn eine Matrix auf einen Vektor einwirkt, ändert sie normalerweise die Länge und Richtung des Vektors.

Manchmal gibt es spezielle Vektoren, die beim Durchgang durch die Matrix nur die Länge, nicht aber die Richtung ändern. Diese Vektoren werden Eigenvektoren genannt.

Mathematiker messen das Ausmaß dieser Veränderungen mit Zahlen, die Eigenwerte genannt werden.

Guth und Maynard haben ihr Problem so umformuliert, dass es zu einem Problem über den maximalen Eigenwert einer Matrix wird.

Wenn sie zeigen können, dass der maximale Eigenwert nicht zu groß werden kann, ist ihre Aufgabe erfüllt.

Dazu verwendeten sie eine Formel, die eine komplexe Summe ergab, und suchten nach Möglichkeiten, die positiven und negativen Werte in der Summe möglichst weitgehend aufzuheben.

„Man muss die Sequenz neu anordnen oder sie aus dem richtigen Blickwinkel betrachten, um eine gewisse Symmetrie zu erkennen und eine gewisse Aufhebung zu erreichen“, sagte Guth.

Der Prozess umfasste mehrere überraschende Schritte, von denen der wichtigste eine Idee war, die Maynard als „ein wenig magisch“ beschrieb.

Irgendwann hätten sie einen scheinbar offensichtlichen Vereinfachungsschritt unternehmen sollen, um ihre Summe zu vereinfachen.

Dies taten sie jedoch nicht. Stattdessen halten sie die Summe in einer längeren, komplexeren Form.

„Wir haben einige Dinge getan, die auf den ersten Blick völlig dumm erschienen, und wir haben uns einfach geweigert, Standardvereinfachungen vorzunehmen“, sagte Maynard. „Wir geben viel auf, das heißt, dass wir für diese Summe keine einfachen Grenzen mehr bekommen können.“

Aber auf lange Sicht erwies sich dieser Schritt als vorteilhaft.

„Im Schach nennt man das Abbruch – eine Figur zu opfern, um eine bessere Position auf dem Brett zu bekommen“, sagte Maynard.

Und Guth verglich es mit dem Spielen eines Zauberwürfels: Manchmal muss man frühere Züge rückgängig machen, damit alles schlechter aussieht, und dann einen Weg finden, mehr Farben an die richtigen Stellen zu bringen.

„Es erfordert viel Mut, eine offensichtliche Verbesserung wegzuwerfen und dann zu hoffen, dass man sie später wiederherstellen kann“, sagt Roger Heath-Brown, Mathematiker an der Universität Oxford und ehemaliger Mentor von Maynard. „Es widerspricht allem, was meiner Meinung nach getan werden sollte.“

Doch dieser Mentor gibt zu, dass er genau hier stecken geblieben ist.

Guths Status als Experte für harmonische Analyse und nicht als Zahlentheoretiker habe diese Strategie möglich gemacht, sagte Maynard. „Er ist nicht durch diese inhärenten Regeln eingeschränkt und daher eher bereit, ungewöhnliche Dinge in Betracht zu ziehen.“

Schließlich gelang es ihnen, eine ausreichend gute Grenze für den maximalen Eigenwert festzulegen, was sich wiederum in einer genaueren Grenze für die Anzahl möglicher Gegenbeispiele zur Riemann-Hypothese niederschlug.

Obwohl ihre Arbeit mit den Ideen der harmonischen Analyse begann, die Guth inspirierten, schlossen sie diese komplexen Techniken letztendlich aus und kehrten zur Einfachheit zurück.

„Es sieht aus wie etwas, das ich vor 40 Jahren versucht hätte“, sagte Heath-Brown.

Schließlich bewiesen Guth und Maynard automatisch einige Ergebnisse zur Verteilung von Primzahlen, indem sie bessere Grenzen für die Anzahl der Nullen angaben, deren Realteil 3/4 beträgt.

Bei kürzeren Intervallen wird beispielsweise die Schätzung der Anzahl der in einem bestimmten Intervall gefundenen Primzahlen ungenauer. Die neue Arbeit ermöglicht es Mathematikern, in kürzeren Zeitabständen gute Schätzungen zu erhalten.

Mathematiker glauben, dass dieser Beweis auch andere Schlussfolgerungen über Primzahlen verbessern könnte.

Und es scheint Raum für weitere Verbesserungen der Technologie von Guth und Maynard zu geben.

Maynard glaubt jedoch, dass diese Techniken nicht der richtige Weg sind, um die Riemann-Hypothese selbst zu lösen.

„Es erfordert auch einige große Ideen von anderswo.“

Tao Zhexuans Interpretation: Die analytische Zahlentheorie auf unerwartete Weise nutzen

Tao Zhexuan gab auch eine professionellere Interpretation dieser Methode, „Kinder im Stich zu lassen“ –

Wenn (σ,) die Anzahl der Nullpunkte der Riemannschen Zetafunktion darstellt, deren Realteil mindestens σ und deren Imaginärteil höchstens ist, besagt die Riemann-Hypothese, dass für jedes σ>1/2 (σ,) gilt Natürlich können wir dies nicht bedingungslos beweisen.

Aber als nächstes können wir die Nulldichteschätzung beweisen, die eine nicht triviale Obergrenze für (σ,) darstellt.

Es stellt sich heraus, dass σ=3/4 ein kritischer Wert ist. Im Jahr 1940 erhielt Ingham das Ergebnis - (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

In den nächsten achtzig Jahren waren die einzigen Verbesserungen dieser Grenze kleine Verbesserungen des Fehlers von (1).

Dies schränkt uns auf viele Dinge in der analytischen Zahlentheorie ein: Um beispielsweise einen guten Primzahlsatz in fast jedem kurzen Intervall der Form (,+^) zu erhalten, waren wir lange Zeit auf >1/6 beschränkt , und das Haupthindernis ist, dass die Ingham-Grenzen nicht verbessert werden.

Die neueste Forschung von Guth und Maynard hat die Ingham-Schranke erfolgreich von 3/5=0,6 auf 13/25=0,52 verbessert.

Dies führte zu vielen entsprechenden Verbesserungen in der analytischen Zahlentheorie; zum Beispiel ging der Bereich beweisbarer Primzahlsätze in fast allen kurzen Intervallen von >1/6=0,166… auf >2/15=0,133… über , würde bedeuten, dass wir den gesamten Bereich > 0 abdecken können).

Diese Argumente basieren im Wesentlichen auf der Fourier-Analyse. Die ersten paar Schritte sind Standardschritte und werden von vielen analytischen Zahlentheoretikern erkannt, die versuchen, Inghams Grenzen zu überschreiten.

Aber sie verfügen über viele clevere und unerwartete Operationen, wie zum Beispiel die Steuerung der Schlüsselphasenmatrix durch Erhöhung auf die sechste Potenz (angeblich macht dies das Problem komplizierter und kniffliger).

und die Verwendung der stationären Phasenmethode zur Vereinfachung eines bestimmten komplexen Fourier-Integrals abzulehnen und damit exponentielle Zugeständnisse zu machen, um eine Form der Faktorisierung beizubehalten, die sich letztendlich als nützlicher als die stationäre Phasennäherung erweist, und zwar entsprechend der Entstehung großer Werte der Dirichlet-Reihe Teilen Sie Situationen danach, ob ihre Positionen kleine, mittlere oder große additive Energie haben, und verwenden Sie für jeden Fall einen etwas anderen Argumentationsansatz.

Hier wird die genaue Form der in der Dirichlet-Reihe impliziten Phasenfunktion log⁡ wichtig; dies ist eine unerwartete Möglichkeit, spezielle Exponentialsummen auszunutzen, die in der analytischen Zahlentheorie auftreten, im Gegensatz zu dem, was man in einer allgemeineren Exponentialanalyse antreffen könnte Summe.

Verweise:

https://www.quantamagazine.org/sensationeller-nachweis-liefert-neue-einblicke-in-die-primzahl-20240715/