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新しい知恵のレポート

編集者: アエネアスはとても眠いです

【新しい知恵の紹介】マサチューセッツ工科大学の数学教授ラリー・ガスとオックスフォード大学フィールズ賞受賞者のジェームズ・メイナードは、リーマン予想で大きな進歩を遂げ、80年以上の記録を直接破りました。興味深いことに、彼らはその過程で「捨てられた息子」を犠牲にし、状況をより複雑かつ困難にしましたが、答えは近づきました。

「2000 年代の数学の 7 つの主要な問題」の 1 つであるリーマン予想 (RH) は大きな進歩を遂げ、数学者は「予想の王冠」の獲得に一歩近づいています。

MITは、リーマン予想の潜在的な例外に対するより厳格な制限を提案したが、これは80年間の記録を直接破る動きだった。

論文アドレス: https://arxiv.org/abs/2405.20552

今日でも、リーマン予想は数学における最も重要な未解決の謎の 1 つです。それが証明できれば、数学者は素数の分布をより深く理解できるようになるでしょう。

さらに、整数論や複素変数関数の分野の多くの研究は、リーマン予想が正しいという前提に基づいているため、リーマン予想が証明されれば、他の多くの研究も完全に証明されることになります。

リーマン予想を解いた人には、クレイ数学研究所から 100 万ドルの賞金が与えられます。

数学者は現時点ではリーマン予想を証明する方法を知りませんが、考えられる例外の数が限られていることを示すことで有益な結果を得ることができます。

5月、メイナード氏とMITのラリー・ガス氏は、特定の種類の例外の数に新たな上限を設け、80年以上続いていたこれまでの記録を破った。

新しい証明により、数直線上の短い間隔の素数の数をより正確に近似できるようになり、素数についてさらに多くの洞察が得られることが期待されます。

リーマン予想の完全な解決にはまだ程遠いですが、歴史的な瞬間であることには変わりありません。

ラトガース大学のヘンリク・イワニエツ氏は、「これはセンセーショナルな結果だ。プロセスは非常に困難だったが、彼らは宝石を生み出した」とコメントした。

Tao Zhexuan はこの論文を高く評価しました。

ガスとメイナードは、リーマン予想に重大な進歩をもたらし、リーマンのゼータ関数 (より一般的には、さまざまなディリクレ級数の値を支配する大規模制約) に拘束された古典的な 1940 年のインガムに最初の大幅な改良を加えました。

彼はこれが歴史的な瞬間であると信じており、「リーマン予想が存在して以来 80 年間、この制約を押し進めてきたのは (1) の誤差がわずかに改善されただけである」と考えています。

同氏は「この推測を完全に解決するにはまだ程遠い」とも認めた。

ご存知のとおり、2008 年には米国のブリガム ヤング大学の数学者、Xian-Jin Li 氏も arxiv に論文を発表し、リーマン予想を証明したと主張しました。その後、テレンス・タオとフランスの数学者アラン・コンヌ（二人ともフィールズ賞受賞者）は、リーの証明過程の誤りを容赦なく指摘した。

さて、今回のガスとメイナードの研究はテレンス・タオによって転送されており、その並外れた重要性が示されています。

賢い回り道

リーマン予想には、数論の中核となる公式、リーマン ゼータ関数が含まれます。 ζ 関数は、単純な合計を一般化したものです。

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

この級数は項の数が増えると無限になります。このプロセスを数学者は「発散」と呼びます。しかし、代わりに合計すると:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

π^2/6 が得られ、これは 1.64 にほぼ等しくなります。

そしてリーマンは、そのような級数を以下に示すような関数に変えるという、予想外の素晴らしいアイデアを生み出しました。

つまり、ζ(1) は無限大ですが、ζ(2) = π^2/6 となります。

s を複素数にすると、非常に興味深いことが起こります。

複素数には 2 つの部分があります。日常生活で使用される数値である「実数部」と、日常生活で使用される数値に -1 (数学者は i と書きます) の平方根を掛けた「虚数部」です。

複素数は、x 軸に実数部、y 軸に虚数部を使用して平面上にプロットできます。たとえば、3+4i です。

ζ 関数は、複素平面上の点を入力として受け取り、他の複素数を出力します。

一部の複素数では、ζ 関数の値がゼロであることがわかります。複素平面内のこれらのゼロの正確な位置を決定することは、数学で最も興味深い問題の 1 つです。

1859 年にリーマンは、すべてのゼロ点が 2 つの直線に集中していると推測しました。ゼータ関数を拡張して負の入力を処理できるようにすると、ゼータ関数の値はすべての負の偶数 (-2、-4、-6 など) に対して 0 になることがわかります。

これは比較的簡単に証明できるため、これらは自明のゼロと呼ばれます。

s の実部が 1 未満の場合、系列合計全体が発散する可能性があります。関数をより広範囲に適用できるようにするために、リーマンは上記の ζ 関数を上記の形式に書き直しました。

リーマンは、関数の他のすべてのゼロ (つまり、自明でないゼロ) は 1/2 の実部を持ち、したがってこの垂直線上にあると推測しました。

これがリーマン予想ですが、これを証明するのは非常に困難でした。

数学者は、すべての非自明なゼロの実部が 0 から 1 の間になければならないことを知っていますが、一部のゼロの実部が 0.499 である可能性を排除することはできません。

彼らにできることは、そのようなゼロ点は非常にまれであることを示すことです。

より直観的には、ζ 関数に従って無限の数の点を描くことができます。リーマンは、これらの点にはある配置パターンがあり、一部は水平線上にあり、他の部分は垂直線上にあると推測しました。

上の図では、無限に多くの点があるため、列挙を使用してすべての点がこれら 2 つの直線上にあることを証明することはできません。検証が完了することはありません。しかし、この 2 つの直線上にない点がある限り、リーマン予想を覆すことができます。

数学者はコンピューターを使用して、最初の 1,000 億点がすべてリーマン予想の配置に準拠していることを検証しました。

長年にわたり、多くの数学者がこの予想を証明するために懸命に努力してきましたが、誰もこの「数学の聖杯」を持ち帰ることができず、このために惜しまれながら亡くなり、終わりのない思考を未来に残した数学者さえいます。世代。

アメリカの数学者ヒュー・モンゴメリーは、もし悪魔が数学的命題の証明のために数学者たちに魂を交換させることに同意したとしたら、ほとんどの科学者がその引き換えに望むのはリーマン予想の証明だろう、とさえ述べた。

80年以上続いた記録が突然破られた

1940 年に、アルバート インガムというイギリスの数学者は、実部が 1/2 に等しくないゼロ点の数を推定するための上限を設定しました。この上限は、今日でも数学者によって基準点として使用されています。

数十年後の 1960 年代と 1970 年代には、他の数学者がインガムの結果を、素数が数直線に沿ってどのように集まったり広がったりするのか、また素数が他のどのようなパターンを形成するのかを説明する方法を発見しました。

同じ頃、数学者は、実数部が 3/4 を超えるゼロに関するインガムの上限を改善する新しい手法も導入しました。

しかし、最も重要なゼロ点は、実部がちょうど 3/4 であるゼロ点であることがわかります。

「素数に関する多くの重要な結果は、3/4 の実数部を持つゼロ点についての理解によって制限されます」とメイナード氏は述べた。

ジェームズ・メイナードは数学の分野で傑出した学者であり、2022年にフィールズ賞を受賞しました。

彼はケンブリッジ大学で学士号を取得し、オックスフォード大学で博士号を取得し、2018 年からオックスフォード大学の数学研究所で教鞭をとっています。

約 10 年前、メイナードは、これらの特定のゼロ点に関するインガムの推定を改善する方法を考え始めました。 「これは解析数論の中で私のお気に入りの問題の 1 つです。私はいつも、もっと頑張れば進歩できると感じています。」

しかし、毎年、問題を解決しようとするたびに、彼は行き詰まってしまいました。

そして、2020 年の初め、コロラドでのカンファレンスに向かう飛行機の中で、高調波解析のツールが役立つかもしれないというアイデアを思いつきました。

偶然にも、MIT の高調波解析専門家であるラリー・ガス氏も同じ会議に出席していました。

たまたま同じような問題を考えていた二人がこうして出会いました。

しかし、ガスは解析的整数論にはまったく馴染みがありませんでした。昼食をとりながら、メイナードは数論の側面を説明し、具体的なテストケースを与えました。

数年間断続的に研究を続けた後、ガスは自分の高調波分析テクニックが機能しないことに気づきました。

しかし、彼は問題について考えることをやめず、新しいアプローチを試みました。

今年2月、彼は再びメイナード氏に連絡を取った。それぞれの異なる視点を組み合わせて、二人は本格的にコラボレーションを始めました。

数か月後、結果が出ました。

数学における「放棄」

ガスとメイナードはまず、解決したい問題を別の形式に変換しました。

あるゼロの実部が 1/2 でない場合、ディリクレ多項式と呼ばれる関連関数は非常に大きな値を生成する必要があります。

したがって、リーマン予想の例外がほとんどないことを証明することは、ディリクレ多項式が大きな値を生成しないことが多いことを証明することと同等ではありません。

その後、数学者たちは別の変革を行いました。

まず、ディリクレ多項式を使用して行列、つまり数値表を作成しました。

「行列は私たちがよく理解しているものなので、数学者は行列を見ることを好みます」とガス氏は言う。 「鋭い嗅覚を養い、どこにいてもマトリックスが見えるように準備しておかなければなりません。」

行列は、長さと方向によって定義されるベクトルと呼ばれる数学的オブジェクトに「作用」して、別のベクトルを生成できます。

通常、行列がベクトルに作用すると、ベクトルの長さと方向が変わります。

場合によっては、行列を通過するときに長さのみが変化し、方向は変化しない特殊なベクトルが存在することがあります。これらのベクトルは固有ベクトルと呼ばれます。

数学者は、固有値と呼ばれる数値を使用して、これらの変化の大きさを測定します。

ガスとメイナードは、行列の最大固有値に関する問題になるように問題を再定式化しました。

最大固有値が大きくなりすぎないことが証明できれば、仕事は完了です。

これを行うために、彼らは複雑な合計が得られる式を使用し、合計の正の値と負の値が可能な限り互いに打ち消し合う方法を探しました。

「ある程度の相殺を実現するには、シーケンスを再配置するか、正しい角度から見て対称性を確認する必要があります」とガス氏は言う。

このプロセスにはいくつかの驚くべき手順が含まれており、その中で最も重要なものは、メイナード氏が「ちょっと魔法のようだ」と表現したアイデアでした。

ある時点で、合計を単純化するために、一見明白な単純化手順を実行する必要がありました。

しかし、彼らはそうしませんでした。代わりに、合計をより長く、より複雑な形式で保持します。

「私たちは一見すると完全に愚かに見えることをいくつか行い、標準的な単純化を拒否しただけです」とメイナード氏は語った。 「私たちは多くのことを諦めている。つまり、この金額には単純な限界を設定できないということだ。」

しかし、長い目で見れば、これは有益な行動であることがわかりました。

「チェスでは、これを放棄と呼びます。盤上でより良い位置を獲得するために駒を犠牲にすることです」とメイナード氏は語った。

そして、ガス氏はそれをルービック キューブをプレイすることに例えました。時には、すべての見栄えを悪くするために以前の動きを取り消してから、より多くの色を適切な場所に配置する方法を見つけなければなりません。

オックスフォード大学の数学者でメイナード氏の元指導者であるロジャー・ヒース・ブラウン氏は、「明らかな改善を捨てて、後で復元できることを願うのは、とても勇気がいることだ」と語る。 「それは私がすべきだと考えているすべてに反しています。」

しかし、このメンターは、まさにここが行き詰まりだったと認めています。

ガス氏は数理論家ではなく、調波解析の専門家としての立場にあったため、この戦略が可能になったとメイナード氏は述べた。 「彼はこれらの固有のルールに束縛されていないので、普通ではないことをより積極的に考慮します。」

最終的に、彼らは最大固有値に十分な限界を設定することができ、それはさらに、リーマン予想に対する潜在的な反例の数に関するより正確な限界に変換されました。

彼らの仕事はガスにインスピレーションを与えた調波分析のアイデアから始まりましたが、最終的にはこれらの複雑なテクニックを排除し、シンプルさに戻りました。

「40年前に私が試したかもしれないことのようだ」とヒース・ブラウン氏は語った。

最後に、Guth と Maynard は、実部が 3/4 であるゼロの数についてより適切な境界を与えることにより、素数の分布に関するいくつかの結果を自動的に証明しました。

たとえば、間隔が短い場合、特定の間隔で見つかる素数の数の推定の精度は低くなります。新しい研究により、数学者はより短い間隔で適切な推定値を得ることができます。

数学者は、この証明によって素数に関する他の結論も改善される可能性があると考えています。

そして、ガス氏とメイナード氏の技術にはさらなる改善の余地があるようだ。

しかし、メイナード氏は、これらの手法はリーマン予想そのものを解く正しい方法ではないと考えています。

「他所からの大きなアイデアも必要です。」

Tao Zhexuan の解釈: 予想外の方法での解析的数論の使用

タオ・ゼシュアン氏は、この「子供を捨てる」という方法について、より専門的な解釈も行っています。

(σ,) が、実部が σ 以上、虚数部が最大であるリーマン ゼータ関数のゼロ点の数を表す場合、リーマン仮説は、任意の σ>1/2 に対して、(σ,) は次のようになります。もちろん、これを無条件に証明することはできません。

しかし次に、(σ,) の自明ではない上限であるゼロ密度推定を証明できます。

σ=3/4 が臨界値であることがわかります。 1940 年に、インガムは (3/4,)«^{3/5+(1)} という結果を得ました。

その後 80 年間、この限界に対する唯一の改善は、(1) の誤差の小さな改善でした。

これにより、解析的数論で多くのことを行うことが制限されます。たとえば、(,+^) の形式のほぼすべての短い区間で良好な素数定理を得るには、>1/6 に制限されてきました。 、そして主な障害は、インガム境界が改善されていないことです。

Guth と Maynard による最新の研究では、インガム限界を 3/5=0.6 から 13/25=0.52 に改善することに成功しました。

これにより、解析的数論における多くの対応する改善がもたらされました。たとえば、証明可能な素数定理の範囲は、ほぼすべての短い間隔で > 1/6=0.166... から > 2/15=0.133... になりました (リーマン予想が正しい場合)。 、0より大きい範囲全体をカバーできることを意味します)。

これらの議論は基本的にフーリエ解析に基づいています。最初のいくつかのステップは標準的なステップであり、インガムの限界を押し広げようとしている多くの解析数理論家によって認識されるでしょう。

しかし、鍵位相行列 ^{}=^{log⁡} を 6 乗することで制御するなど、多くの巧妙で予期せぬ操作が可能です (表面上、これにより問題がより複雑でトリッキーになります)。

そして、特定の複雑なフーリエ積分を単純化するための固定相法の使用を拒否し、最終的に固定相近似よりも有用であることが判明した因数分解の形式を維持するために指数関数的に譲歩します。ディリクレ級数の値 位置の追加エネルギーが小さい、中程度、または大きいかどうかによって状況を分割し、それぞれのケースに対してわずかに異なる議論アプローチを使用します。

ここで、ディリクレ級数に暗黙的に含まれる位相関数 log⁡ の正確な形式が重要になります。これは、より一般的な指数関数解析で遭遇する可能性があるものではなく、解析的数論で生じる特殊な指数関数和を利用する予期せぬ方法です。和。

参考文献:

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/