Νέα

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Νέα Έκθεση Σοφίας

Επιμέλεια: Αινείας τόσο νυσταγμένος

[Εισαγωγή στη Νέα Σοφία] Ο καθηγητής μαθηματικών του MIT Larry Guth και ο νικητής του μετάλλου Fields του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, James Maynard, έκαναν μια σημαντική ανακάλυψη στην υπόθεση Riemann, σπάζοντας άμεσα το ρεκόρ άνω των 80 ετών. Είναι ενδιαφέρον ότι στη διαδικασία θυσίασαν έναν «εγκαταλελειμμένο γιο», κάνοντας την κατάσταση πιο περίπλοκη και δύσκολη, αλλά πλησιάζοντας την απάντηση.

Ένα από τα «επτά μεγάλα μαθηματικά προβλήματα της χιλιετίας» - η υπόθεση Riemann (RH) έχει κάνει μια σημαντική ανακάλυψη Οι μαθηματικοί βρίσκονται ένα βήμα πιο κοντά στην κατάκτηση του «στέμματος των εικασιών».

Το MIT πρότεινε αυστηρότερους περιορισμούς σε πιθανές εξαιρέσεις στην Υπόθεση Riemann, μια κίνηση που έσπασε άμεσα το ρεκόρ 80 ετών.

Διεύθυνση χαρτιού: https://arxiv.org/abs/2405.20552

Σήμερα, η Υπόθεση Riemann παραμένει ένα από τα πιο σημαντικά άλυτα μυστήρια στα μαθηματικά. Εάν μπορούσε να αποδειχθεί, οι μαθηματικοί θα αποκτούσαν μια βαθύτερη κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών,

Επιπλέον, πολλές εργασίες στον τομέα της θεωρίας αριθμών και των συναρτήσεων μιγαδικών μεταβλητών βασίζονται στην υπόθεση ότι η Υπόθεση Riemann είναι αληθινή. Επομένως, μόλις αποδειχθεί η Υπόθεση Riemann, θα αποδειχθούν πλήρως και πολλές άλλες εργασίες.

Όποιος λύσει την Υπόθεση Riemann θα λάβει 1 εκατομμύριο δολάρια ανταμοιβή από το Clay Mathematics Institute.

Οι μαθηματικοί επί του παρόντος δεν έχουν ιδέα πώς να αποδείξουν την Υπόθεση Riemann, αλλά μπορούν ακόμα να πάρουν χρήσιμα αποτελέσματα δείχνοντας ότι υπάρχει περιορισμένος αριθμός πιθανών εξαιρέσεων.

Τον Μάιο, ο Maynard και ο Larry Guth του MIT καθιέρωσαν ένα νέο ανώτατο όριο στον αριθμό των εξαιρέσεων ενός συγκεκριμένου τύπου, σπάζοντας ένα προηγούμενο ρεκόρ που ίσχυε για περισσότερα από 80 χρόνια.

Με τη νέα απόδειξη, αποκτούν καλύτερη προσέγγιση του αριθμού των πρώτων αριθμών σε μικρά διαστήματα στην αριθμητική γραμμή και ελπίζουμε να παρέχουν περισσότερες πληροφορίες για τους πρώτους αριθμούς.

Απέχει ακόμα από την πλήρη επίλυση της Υπόθεσης Riemann, αλλά εξακολουθεί να είναι μια ιστορική στιγμή.

Ο Henryk Iwaniec του Πανεπιστημίου Rutgers σχολίασε: "Αυτό είναι ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα. Η διαδικασία ήταν πολύ, πολύ δύσκολη, αλλά έβγαλαν ένα διαμάντι."

Ο Tao Zhexuan εκτίμησε πολύ αυτό το άρθρο:

Οι Guth και Maynard έκαναν μια σημαντική ανακάλυψη στην υπόθεση Riemanni, κάνοντας τις πρώτες ουσιαστικές βελτιώσεις στο κλασικό Ingham του 1940, δεσμευμένο στα μηδενικά της συνάρτησης Riemannian zeta (και γενικότερα, στους μεγάλης κλίμακας περιορισμούς που διέπουν τις διάφορες τιμές της σειράς Dirichlet).

Πιστεύει ότι αυτή είναι μια ιστορική στιγμή, "Στα ογδόντα χρόνια από την ύπαρξη της Υπόθεσης Riemann, η μόνη ώθηση για αυτόν τον περιορισμό ήταν μια μικρή βελτίωση στο σφάλμα του (1)."

Αν και παραδέχτηκε επίσης ότι «απέχουμε ακόμη πολύ από την πλήρη επίλυση αυτής της εικασίας».

Ξέρετε, ήδη από το 2008, ο Xian-Jin Li, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Brigham Young στις Ηνωμένες Πολιτείες, δημοσίευσε επίσης μια εργασία για το arxiv, ισχυριζόμενη ότι απέδειξε την Υπόθεση Riemann. Αργότερα, ο Terence Tao και ο Γάλλος μαθηματικός Alain Connes (και οι δύο νικητές του μεταλλίου Fields) επεσήμαναν αδίστακτα τα λάθη στη διαδικασία απόδειξης του Li.

Λοιπόν, αυτή τη φορά η έρευνα των Guth και Maynard προωθήθηκε από τον Terence Tao, γεγονός που δείχνει την εξαιρετική σημασία της.

έξυπνη παράκαμψη

Η υπόθεση Riemann περιλαμβάνει έναν βασικό τύπο στη θεωρία αριθμών - τη συνάρτηση ζήτα Riemann. Η συνάρτηση ζ είναι μια γενίκευση απλής άθροισης:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Αυτή η σειρά θα γίνει άπειρη καθώς αυξάνεται ο αριθμός των όρων Αυτή η διαδικασία ονομάζεται «απόκλιση» από τους μαθηματικούς. Αλλά αν αντί για άθροιση:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Θα πάρουμε π^2/6, που είναι περίπου ίσο με 1,64.

Και ο Riemann έκανε μια απροσδόκητα υπέροχη ιδέα, μετατρέποντας μια τέτοια σειρά σε λειτουργία όπως φαίνεται παρακάτω:

Άρα η ζ(1) είναι άπειρη, αλλά η ζ(2) = π^2/6.

Τα πράγματα γίνονται πολύ ενδιαφέροντα όταν κάνουμε έναν σύνθετο αριθμό.

Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν δύο μέρη: το «πραγματικό μέρος», που είναι ο αριθμός στην καθημερινή ζωή και το «φανταστικό μέρος», που είναι ο καθημερινός αριθμός πολλαπλασιασμένος με την τετραγωνική ρίζα του -1 (που οι μαθηματικοί γράφουν ως i).

Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να απεικονιστούν στο επίπεδο με το πραγματικό μέρος στον άξονα x και το φανταστικό μέρος στον άξονα y. Για παράδειγμα, 3+4i.

Η συνάρτηση ζ παίρνει σημεία στο μιγαδικό επίπεδο ως είσοδο και εξάγει άλλους μιγαδικούς αριθμούς.

Αποδεικνύεται ότι για ορισμένους μιγαδικούς αριθμούς η τιμή της συνάρτησης ζ είναι μηδέν. Ο προσδιορισμός της ακριβούς θέσης αυτών των μηδενικών στο μιγαδικό επίπεδο είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα προβλήματα στα μαθηματικά.

Το 1859, ο Riemann υπέθεσε: όλα τα μηδενικά σημεία συγκεντρώνονται σε δύο γραμμές. Αν επεκτείνουμε τη συνάρτηση ζήτα ώστε να μπορεί να χειρίζεται αρνητικές εισόδους, βρίσκουμε ότι η τιμή της συνάρτησης ζήτα είναι μηδέν για όλους τους αρνητικούς ζυγούς αριθμούς: -2, -4, -6 κ.λπ.

Αυτό είναι σχετικά εύκολο να αποδειχθεί, επομένως ονομάζονται ασήμαντα μηδενικά.

Όταν το πραγματικό μέρος του s είναι μικρότερο από 1, ολόκληρο το άθροισμα της σειράς μπορεί να αποκλίνει.Για να καταστήσει τη συνάρτηση εφαρμόσιμη σε ένα ευρύτερο εύρος, ο Riemann ξανάγραψε την παραπάνω συνάρτηση ζ στην παραπάνω μορφή

Ο Riemann μάντεψε ότι όλα τα άλλα μηδενικά της συνάρτησης (δηλαδή τα μη τετριμμένα μηδενικά) έχουν πραγματικά μέρη 1/2 και επομένως βρίσκονται σε αυτήν την κάθετη γραμμή.

Αυτή είναι η υπόθεση Riemann, και η απόδειξη της ήταν εξαιρετικά δύσκολη.

Οι μαθηματικοί γνωρίζουν ότι το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένου μηδενός πρέπει να είναι μεταξύ μηδέν και 1, αλλά δεν μπορούν να αποκλείσουν ότι ορισμένα μηδενικά μπορεί να έχουν πραγματικό μέρος 0,499.

Αυτό που μπορούν να κάνουν είναι να δείξουν ότι τέτοια σημεία μηδέν πρέπει να είναι πολύ σπάνια.

Πιο διαισθητικά, ένας άπειρος αριθμός σημείων μπορεί να σχεδιαστεί σύμφωνα με τη συνάρτηση ζ.Ο Riemann μάντεψε ότι αυτά τα σημεία έχουν ένα συγκεκριμένο μοτίβο διάταξης.

Στο παραπάνω σχήμα, καθώς υπάρχουν άπειρα πολλά σημεία, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την απαρίθμηση για να αποδείξουμε ότι όλα τα σημεία βρίσκονται σε αυτές τις δύο γραμμές, επειδή η επαλήθευση δεν θα ολοκληρωθεί ποτέ. Αλλά όσο υπάρχει ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε αυτές τις δύο ευθείες γραμμές, μπορεί να ανατρέψει την Υπόθεση Riemann.

Οι μαθηματικοί έχουν χρησιμοποιήσει υπολογιστές για να επαληθεύσουν ότι τα πρώτα 100 δισεκατομμύρια σημεία συμμορφώνονται όλα με τη διάταξη της Υπόθεσης Riemann.

Με τα χρόνια, πολλοί μαθηματικοί έχουν εργαστεί σκληρά για να αποδείξουν αυτήν την εικασία, αλλά κανείς δεν μπόρεσε να πάρει στο σπίτι αυτό το «Ιερό Δισκοπότηρο των Μαθηματικών». γενιές.

Ο Αμερικανός μαθηματικός Χιου Μοντγκόμερι είπε ακόμη ότι αν ο διάβολος συμφωνούσε να αφήσει τους μαθηματικούς να ανταλλάξουν τις ψυχές τους με την απόδειξη μιας μαθηματικής πρότασης, αυτό που θα ήθελαν οι περισσότεροι επιστήμονες σε αντάλλαγμα θα ήταν η απόδειξη της Υπόθεσης Ρίμαν.

Το ρεκόρ 80 και πλέον ετών καταρρίφθηκε ξαφνικά

Το 1940, ένας Βρετανός μαθηματικός ονόματι Albert Ingham καθιέρωσε ένα ανώτατο όριο για την εκτίμηση του αριθμού των μηδενικών σημείων των οποίων το πραγματικό μέρος δεν είναι ίσο με 1/2 Αυτό το ανώτερο όριο εξακολουθεί να χρησιμοποιείται ως σημείο αναφοράς από τους μαθηματικούς σήμερα.

Δεκαετίες αργότερα, στις δεκαετίες του 1960 και του 1970, άλλοι μαθηματικοί βρήκαν τρόπους να μεταφράσουν τα αποτελέσματα του Ingham σε περιγραφές του τρόπου με τον οποίο οι πρώτοι αριθμοί συγκεντρώνονται ή απλώνονται κατά μήκος της αριθμητικής γραμμής και ποια άλλα μοτίβα θα μπορούσαν να σχηματίσουν.

Την ίδια εποχή, οι μαθηματικοί εισήγαγαν επίσης νέες τεχνικές που βελτίωσαν το άνω όριο του Ingham στα μηδενικά με πραγματικά μέρη μεγαλύτερα από 3/4.

Αλλά αποδεικνύεται ότι τα πιο σημαντικά μηδενικά σημεία είναι εκείνα των οποίων το πραγματικό μέρος είναι ακριβώς τα 3/4.

«Πολλά σημαντικά αποτελέσματα στους πρώτους αριθμούς περιορίζονται από την κατανόησή μας για το σημείο μηδέν με πραγματικό μέρος 3/4», είπε ο Maynard.

Ο James Maynard είναι ένας εξαιρετικός μελετητής στον τομέα των μαθηματικών και κέρδισε το μετάλλιο Fields το 2022.

Αποφοίτησε από το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ με πτυχίο και διδακτορικό από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Διδάσκει στο Ινστιτούτο Μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης.

Πριν από περίπου μια δεκαετία, ο Maynard άρχισε να σκέφτεται πώς να βελτιώσει τις εκτιμήσεις του Ingham για αυτά τα συγκεκριμένα μηδενικά σημεία. "Αυτό είναι ένα από τα αγαπημένα μου προβλήματα στην αναλυτική θεωρία αριθμών. Πάντα αισθάνομαι ότι αν απλώς δουλέψω σκληρότερα, μπορώ να σημειώσω πρόοδο."

Όμως χρόνο με τον χρόνο, όποτε προσπαθούσε να λύσει το πρόβλημα, κολλούσε.

Στη συνέχεια, στις αρχές του 2020, σε μια βόλτα με αεροπλάνο για ένα συνέδριο στο Κολοράντο, είχε μια ιδέα - ίσως εργαλεία από αρμονική ανάλυση να ήταν χρήσιμα.

Συμπτωματικά, ο Larry Guth, ειδικός στην αρμονική ανάλυση στο MIT, έτυχε να παρευρεθεί στην ίδια συνάντηση.

Δύο άνθρωποι που έτυχε να σκέφτονται παρόμοια προβλήματα συναντήθηκαν έτσι.

Ωστόσο, ο Guth δεν ήταν εξοικειωμένος με την αναλυτική θεωρία αριθμών. Κατά τη διάρκεια του γεύματος, ο Maynard του εξήγησε τις πτυχές της θεωρίας αριθμών και του έδωσε μια συγκεκριμένη δοκιμαστική περίπτωση.

Αφού δούλεψε και έκλεισε για αρκετά χρόνια, ο Guth συνειδητοποίησε ότι η τεχνική του αρμονικής ανάλυσης δεν λειτουργούσε.

Όμως δεν σταμάτησε να σκέφτεται το πρόβλημα και δοκίμασε μια νέα προσέγγιση.

Τον Φεβρουάριο του τρέχοντος έτους, επικοινώνησε ξανά με τον Maynard. Συνδυάζοντας τις διαφορετικές οπτικές τους, οι δυο τους άρχισαν να συνεργάζονται σοβαρά.

Λίγους μήνες αργότερα, είχαν τα αποτελέσματα.

«εγκατάλειψη» στα μαθηματικά

Ο Guth και ο Maynard πρώτα μετέτρεψαν το πρόβλημα που ήθελαν να λύσουν σε άλλη μορφή.

Εάν το πραγματικό μέρος κάποιου μηδενός δεν είναι 1/2, τότε η σχετική συνάρτηση, που ονομάζεται πολυώνυμο Dirichlet, πρέπει να παράγει μια πολύ μεγάλη τιμή.

Επομένως, η απόδειξη ότι οι εξαιρέσεις στην Υπόθεση Riemann σπάνια ισοδυναμούν με την απόδειξη ότι τα πολυώνυμα Dirichlet δεν παράγουν συχνά μεγάλες τιμές.

Τότε οι μαθηματικοί έκαναν άλλη μια μεταμόρφωση.

Αρχικά, κατασκεύασαν έναν πίνακα ή πίνακα αριθμών, χρησιμοποιώντας πολυώνυμα Dirichlet.

«Στους μαθηματικούς αρέσει να βλέπουν πίνακες γιατί οι πίνακες είναι κάτι που καταλαβαίνουμε πολύ καλά», είπε ο Guth. «Πρέπει να μάθεις να διατηρείς μια έντονη αίσθηση όσφρησης και να είσαι έτοιμος να δεις το Matrix παντού».

Ένας πίνακας μπορεί να «δράσει» σε ένα μαθηματικό αντικείμενο που ονομάζεται διάνυσμα, που ορίζεται από το μήκος και την κατεύθυνσή του, για να δημιουργήσει ένα άλλο διάνυσμα.

Κανονικά, όταν ένας πίνακας ενεργεί σε ένα διάνυσμα, αλλάζει το μήκος και την κατεύθυνση του διανύσματος.

Μερικές φορές υπάρχουν ειδικά διανύσματα που αλλάζουν μόνο μήκος αλλά όχι κατεύθυνση όταν περνούν από τη μήτρα. Αυτά τα διανύσματα ονομάζονται ιδιοδιανύσματα.

Οι μαθηματικοί μετρούν το μέγεθος αυτών των αλλαγών με αριθμούς που ονομάζονται ιδιοτιμές.

Οι Guth και Maynard αναδιατύπωσαν το πρόβλημά τους έτσι ώστε να γίνει πρόβλημα σχετικά με τη μέγιστη ιδιοτιμή ενός πίνακα.

Εάν μπορούν να δείξουν ότι η μέγιστη ιδιοτιμή δεν μπορεί να γίνει πολύ μεγάλη, η δουλειά τους έχει ολοκληρωθεί.

Για να το κάνουν αυτό, χρησιμοποίησαν έναν τύπο που είχε ως αποτέλεσμα ένα σύνθετο άθροισμα και αναζήτησαν τρόπους να κάνουν τις θετικές και αρνητικές τιμές στο άθροισμα να ακυρώνουν η μία την άλλη όσο το δυνατόν περισσότερο.

"Πρέπει να αναδιατάξετε τη σειρά ή να την κοιτάξετε από τη σωστή γωνία, για να δείτε κάποια συμμετρία για να επιτύχετε κάποια ακύρωση", είπε ο Guth.

Η διαδικασία περιλάμβανε πολλά εκπληκτικά βήματα, το πιο σημαντικό από τα οποία ήταν μια ιδέα που ο Maynard περιέγραψε ως «λίγο μαγική».

Κάποια στιγμή, θα έπρεπε να είχαν κάνει ένα φαινομενικά προφανές απλοποιητικό βήμα για να απλοποιήσουν το άθροισμά τους.

Ωστόσο, δεν το έκαναν αυτό. Αντίθετα, διατηρούν το άθροισμα σε μεγαλύτερη, πιο περίπλοκη μορφή.

«Κάναμε κάποια πράγματα που με την πρώτη ματιά φαίνονταν εντελώς ανόητα και απλώς αρνηθήκαμε να κάνουμε τυπικές απλοποιήσεις», είπε ο Maynard. «Παρατάμε πολλά, πράγμα που σημαίνει ότι τώρα δεν μπορούμε να έχουμε κανένα απλό όριο για αυτό το ποσό».

Αλλά μακροπρόθεσμα, αυτό αποδείχθηκε μια ευεργετική κίνηση.

"Στο σκάκι, αυτό ονομάζεται εγκατάλειψη - θυσία ενός κομματιού για να πάρεις καλύτερη θέση στο ταμπλό", είπε ο Maynard.

Και ο Guth το παρομοίασε με το να παίζεις έναν κύβο του Ρούμπικ: μερικές φορές πρέπει να αναιρέσεις προηγούμενες κινήσεις για να τα κάνεις όλα να φαίνονται χειρότερα και μετά να βρεις έναν τρόπο να βάλεις περισσότερα χρώματα στα σωστά σημεία.

«Χρειάζεται πολύ θάρρος για να πετάξεις μια προφανή βελτίωση και μετά να ελπίζεις ότι θα μπορέσεις να την αποκαταστήσεις αργότερα», λέει ο Roger Heath-Brown, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης και πρώην μέντορας του Maynard. «Αντιβαίνει σε όλα όσα πιστεύω ότι πρέπει να γίνουν».

Αλλά αυτός ο μέντορας παραδέχεται ότι εδώ ακριβώς κόλλησε.

Η ιδιότητα του Guth ως ειδικός στην αρμονική ανάλυση παρά ως θεωρητικό αριθμών κατέστησε δυνατή αυτή τη στρατηγική, είπε ο Maynard. «Δεν περιορίζεται από αυτούς τους εγγενείς κανόνες, επομένως είναι πιο πρόθυμος να εξετάσει πράγματα που δεν είναι συνηθισμένα».

Τελικά, μπόρεσαν να ορίσουν ένα αρκετά καλό όριο στη μέγιστη ιδιοτιμή, το οποίο μεταφράστηκε περαιτέρω σε ένα πιο ακριβές όριο στον αριθμό των πιθανών αντιπαραδειγμάτων της Υπόθεσης Riemann.

Αν και το έργο τους ξεκίνησε με τις ιδέες της αρμονικής ανάλυσης που ενέπνευσαν τον Guth, τελικά απέκλεισαν αυτές τις πολύπλοκες τεχνικές και επέστρεψαν στην απλότητα.

«Μοιάζει με κάτι που μπορεί να είχα δοκιμάσει πριν από 40 χρόνια», είπε ο Heath-Brown.

Τέλος, οι Guth και Maynard απέδειξαν αυτόματα κάποια αποτελέσματα σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών δίνοντας καλύτερα όρια στον αριθμό των μηδενικών των οποίων το πραγματικό μέρος είναι 3/4.

Για παράδειγμα, για μικρότερα διαστήματα, η εκτίμηση του αριθμού των πρώτων που βρίσκονται σε ένα δεδομένο διάστημα γίνεται λιγότερο ακριβής. Η νέα εργασία επιτρέπει στους μαθηματικούς να λαμβάνουν καλές εκτιμήσεις σε μικρότερα χρονικά διαστήματα.

Οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι αυτή η απόδειξη μπορεί επίσης να βελτιώσει άλλα συμπεράσματα σχετικά με τους πρώτους αριθμούς.

Και φαίνεται ότι υπάρχει περιθώριο για περαιτέρω βελτιώσεις στην τεχνολογία των Guth και Maynard.

Ωστόσο, ο Maynard πιστεύει ότι αυτές οι τεχνικές δεν είναι ο σωστός τρόπος για να λυθεί η ίδια η υπόθεση Riemann.

«Απαιτείται επίσης μερικές μεγάλες ιδέες από αλλού».

Η ερμηνεία του Tao Zhexuan: Χρήση της αναλυτικής θεωρίας αριθμών με απροσδόκητους τρόπους

Ο Tao Zhexuan έδωσε επίσης μια πιο επαγγελματική ερμηνεία αυτής της μεθόδου "εγκατάλειψης παιδιών" -

Εάν το (σ,) αντιπροσωπεύει τον αριθμό των μηδενικών σημείων της συνάρτησης ζήτα Riemann της οποίας το πραγματικό μέρος είναι τουλάχιστον σ και το φανταστικό μέρος είναι το πολύ, η υπόθεση Riemann μας λέει ότι για οποιοδήποτε σ>1/2, (σ,) θα Φυσικά, δεν μπορούμε να το αποδείξουμε άνευ όρων.

Στη συνέχεια, όμως, μπορούμε να αποδείξουμε την εκτίμηση της μηδενικής πυκνότητας, η οποία είναι ένα μη τετριμμένο άνω όριο στο (σ,).

Αποδεικνύεται ότι το σ=3/4 είναι μια κρίσιμη τιμή. Το 1940, ο Ingham έλαβε ένα αποτέλεσμα - (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

Τα επόμενα ογδόντα χρόνια, οι μόνες βελτιώσεις σε αυτό το όριο ήταν μικρές βελτιώσεις στο σφάλμα (1).

Αυτό μας περιορίζει στο να κάνουμε πολλά πράγματα στην αναλυτική θεωρία αριθμών: για παράδειγμα, για να έχουμε ένα καλό θεώρημα πρώτων αριθμών σε σχεδόν οποιοδήποτε μικρό διάστημα της μορφής (,+^), έχουμε περιοριστεί εδώ και πολύ καιρό σε >1/6 , και το κύριο εμπόδιο είναι ότι τα όρια του Ingham δεν βελτιώνονται.

Η τελευταία έρευνα των Guth και Maynard βελτίωσε με επιτυχία το όριο Ingham από 3/5=0,6 σε 13/25=0,52.

Αυτό οδήγησε σε πολλές αντίστοιχες βελτιώσεις στην αναλυτική θεωρία αριθμών, για παράδειγμα, το εύρος των αποδείξιμων θεωρημάτων πρώτων αριθμών πήγε από >1/6=0,166… σε >2/15=0,133… σχεδόν σε όλα τα σύντομα διαστήματα (εάν η Υπόθεση Riemann είναι Αληθής. , θα σήμαινε ότι μπορούμε να καλύψουμε ολόκληρο το εύρος > 0).

Αυτά τα επιχειρήματα βασίζονται ουσιαστικά στην ανάλυση Fourier. Τα πρώτα βήματα είναι τυπικά και θα αναγνωριστούν από πολλούς θεωρητικούς αναλυτικών αριθμών που προσπαθούν να ωθήσουν τα όρια του Ingham.

Αλλά έχουν πολλές έξυπνες και απροσδόκητες λειτουργίες, όπως ο έλεγχος της βασικής μήτρας φάσης ανεβάζοντάς την στην έκτη δύναμη (φαινομενικά, αυτό κάνει το πρόβλημα πιο περίπλοκο και δύσκολο).

και, απορρίπτοντας τη χρήση της μεθόδου στατικής φάσης για την απλοποίηση ενός συγκεκριμένου σύνθετου ολοκληρώματος Fourier, κάνοντας έτσι εκθετικές παραχωρήσεις προκειμένου να διατηρηθεί μια μορφή παραγοντοποίησης που τελικά αποδεικνύεται πιο χρήσιμη από την προσέγγιση στατικής φάσης και σύμφωνα με την εμφάνιση μεγάλων Τιμές της σειράς Dirichlet Διαχωρίστε τις καταστάσεις με το αν οι θέσεις τους έχουν μικρή, μεσαία ή μεγάλη προσθετική ενέργεια και χρησιμοποιήστε μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση επιχειρημάτων για κάθε περίπτωση.

Εδώ η ακριβής μορφή της συνάρτησης log⁡ της σειράς Dirichlet γίνεται σημαντική άθροισμα.

Βιβλιογραφικές αναφορές:

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/