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새로운 지혜 보고서

편집자: Aeneas 너무 졸려

[새로운 지혜 소개] MIT 수학 교수 래리 구스(Larry Guth)와 옥스퍼드 대학 필즈 메달 수상자 제임스 메이너드(James Maynard)는 리만 가설(Riemann Hypothese)에서 획기적인 발전을 이루며 80년 이상의 기록을 직접적으로 깨뜨렸습니다. 흥미롭게도 그 과정에서 '버림받은 아들'을 희생시키며 상황을 더욱 복잡하고 어렵게 만들었으나 점점 답에 가까워졌다.

"새천년의 7대 수학 문제" 중 하나 - 리만 가설(RH)이 획기적인 발전을 이루었으며 수학자들은 "추측의 왕관" 획득에 한 걸음 더 가까워졌습니다!

MIT는 리만 가설의 잠재적인 예외에 대해 보다 엄격한 제한을 제안했는데, 이는 80년의 기록을 직접적으로 깨뜨린 조치입니다.

논문 주소: https://arxiv.org/abs/2405.20552

오늘날 리만 가설은 수학에서 가장 중요한 미해결 미스터리 중 하나로 남아 있습니다. 그것이 증명될 수 있다면 수학자들은 소수의 분포에 대해 더 깊은 이해를 얻게 될 것입니다.

또한 정수론이나 복소변수함수 분야의 많은 연구들은 리만 가설이 참이라는 전제를 바탕으로 하고 있기 때문에, 일단 리만 가설이 증명되면 다른 많은 연구들도 완전히 증명될 것입니다.

리만 가설을 푸는 사람은 클레이 수학 연구소로부터 100만 달러의 상금을 받게 됩니다.

수학자들은 현재 리만 가설을 어떻게 증명해야 할지 모르지만, 제한된 수의 예외가 있음을 보여줌으로써 여전히 유용한 결과를 얻을 수 있습니다.

지난 5월, Maynard와 MIT의 Larry Guth는 특정 유형의 예외 수에 대한 새로운 상한선을 설정하여 80년 이상 지속된 이전 기록을 깨뜨렸습니다.

새로운 증명을 통해 그들은 수직선에서 짧은 간격으로 소수의 수에 대한 더 나은 근사치를 얻었으며 소수에 대한 더 많은 통찰력을 제공할 것을 약속합니다.

리만 가설을 완전히 해결하려면 아직 멀었지만 여전히 역사적인 순간이다.

Rutgers University의 Henryk Iwaniec은 다음과 같이 말했습니다. "이것은 놀라운 결과입니다. 과정은 매우 매우 어려웠지만 그들은 보석을 만들어냈습니다."

Tao Zhexuan은 이 논문을 높이 평가했습니다.

Guth와 Maynard는 리만 가설에 중요한 돌파구를 마련하여 리만 제타 함수의 영점(더 일반적으로는 다양한 디리클레 급수 값을 지배하는 대규모 제약 조건)에 바인딩된 고전적인 1940년 Ingham에 대한 최초의 실질적인 개선을 이루었습니다.

그는 이것이 역사적인 순간이라고 믿습니다. "리만 가설이 존재한 지 80년 동안 이 제약 조건에 대한 유일한 추진력은 (1)의 오류가 약간 개선된 것뿐이었습니다."

그는 또한 "이 추측을 완전히 해결하려면 아직 멀었다"고 인정했습니다.

아시다시피 2008년 초 미국 브리검 영 대학교의 수학자 Xian-Jin Li도 리만 가설을 증명했다고 주장하는 arxiv에 논문을 발표했습니다. 나중에 Terence Tao와 프랑스 수학자 Alain Connes(두 사람 모두 필즈상 수상자)는 Li의 증명 과정에서 발생한 오류를 무자비하게 지적했습니다.

글쎄, 이번에 Guth와 Maynard의 연구는 Terence Tao에 의해 전달되었는데, 이는 그 특별한 의미를 보여줍니다.

영리한 우회로

리만 가설은 정수론의 핵심 공식인 리만 제타 함수를 포함합니다. ζ 함수는 단순 합산을 일반화한 것입니다.

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

이 계열은 항의 수가 증가함에 따라 무한해집니다. 이 과정을 수학자들은 "발산"이라고 부릅니다. 그러나 대신 요약하면:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

우리는 π^2/6을 얻게 되며 이는 대략 1.64와 같습니다.

그리고 Riemann은 예상치 못한 훌륭한 아이디어를 내놓았는데, 이러한 계열을 아래와 같은 함수로 바꾸는 것입니다.

따라서 ζ(1)은 무한하지만 ζ(2) = π^2/6입니다.

s를 복소수로 만들면 상황이 정말 흥미로워집니다.

복소수는 일상생활에서 사용되는 숫자인 "실수부"와 일상생활에서 -1의 제곱근(수학자들은 i로 표기함)을 곱한 "허수부"라는 두 부분으로 구성됩니다.

x축에 실수부를, y축에 허수부를 배치하여 평면에 복소수를 그릴 수 있습니다. 예를 들어 3+4i입니다.

ζ 함수는 복소 평면의 점을 입력으로 사용하고 다른 복소수를 출력합니다.

일부 복소수의 경우 ζ 함수의 값이 0인 것으로 나타났습니다. 복소 평면에서 이러한 0의 정확한 위치를 결정하는 것은 수학에서 가장 흥미로운 문제 중 하나입니다.

1859년에 리만(Riemann)은 모든 영점이 두 선에 집중되어 있다고 추측했습니다. 음수 입력을 처리할 수 있도록 zeta 함수를 확장하면 -2, -4, -6 등 모든 음수 짝수에 대해 zeta 함수의 값이 0이라는 것을 알 수 있습니다.

이는 상대적으로 증명하기가 쉽기 때문에 이를 사소한 0이라고 합니다.

s의 실수부가 1보다 작은 경우 전체 계열 합이 발산할 수 있습니다.이 함수를 더 넓은 범위에 적용할 수 있도록 리만은 위의 ζ 함수를 위의 형태로 다시 작성했습니다.

리만은 함수의 다른 모든 0(즉, 사소한 0)이 1/2의 실수 부분을 가지며 따라서 이 수직선에 있다고 추측했습니다.

이것이 리만 가설이며 이를 증명하는 것은 매우 어려웠습니다.

수학자들은 모든 중요하지 않은 0의 실수 부분이 0과 1 사이에 있어야 한다는 것을 알고 있지만 일부 0의 실수 부분이 0.499일 수 있다는 점을 배제할 수는 없습니다.

그들이 할 수 있는 것은 그러한 영점이 매우 드물다는 것을 보여주는 것입니다.

보다 직관적으로 ζ 함수에 따라 무한한 수의 점을 그릴 수 있습니다.리만은 이 점들이 어떤 배열 패턴을 가지고 있다고 짐작했습니다. 그 중 일부는 수평선 위에 있고, 다른 부분은 수직선 위에 있습니다. 이 모든 점들은 예외 없이 이 두 직선 위에 배열되어 있습니다.

위 그림에서는 점이 무한히 많기 때문에 검증이 결코 완료되지 않기 때문에 열거형을 사용하여 모든 점이 이 두 선에 있음을 증명할 수 없습니다. 그러나 이 두 직선 위에 있지 않은 점이 있는 한 리만 가설은 뒤집힐 수 있습니다.

수학자들은 처음 1,000억 개의 점이 모두 리만 가설의 배열과 일치하는지 확인하기 위해 컴퓨터를 사용했습니다.

수년 동안 많은 수학자들이 이 추측을 증명하기 위해 노력했지만 누구도 이 '수학의 성배'를 가져가지 못했습니다. 이로 인해 끝없는 고민을 뒤로 하고 안타깝게 세상을 떠난 수학자들도 많습니다. 세대.

미국 수학자 휴 몽고메리(Hugh Montgomery)는 만약 악마가 수학자들이 수학적 명제의 증거를 위해 그들의 영혼을 교환하도록 허용한다면 대부분의 과학자들이 그 대가로 원하는 것은 리만 가설의 증거가 될 것이라고 말했습니다.

80년이 넘는 기록이 갑자기 깨졌다.

1940년에 영국의 수학자 Albert Ingham은 실수 부분이 1/2이 아닌 영점의 수를 추정하기 위한 상한선을 설정했습니다. 이 상한선은 오늘날에도 수학자들이 기준점으로 사용합니다.

수십 년 후인 1960년대와 1970년대에 다른 수학자들은 Ingham의 결과를 소수가 수직선을 따라 어떻게 클러스터링되거나 분산되는지, 그리고 소수가 형성할 수 있는 다른 패턴에 대한 설명으로 변환하는 방법을 찾았습니다.

같은 시기에 수학자들은 실수 부분이 3/4보다 큰 영점에 대한 Ingham의 상한을 개선하는 새로운 기술도 도입했습니다.

그러나 가장 중요한 영점은 실수 부분이 정확히 3/4인 영점이라는 것이 밝혀졌습니다.

Maynard는 "소수에 대한 많은 중요한 결과는 3/4의 실수 부분이 있는 영점에 대한 이해로 인해 제한됩니다."라고 말했습니다.

제임스 메이너드는 수학 분야의 뛰어난 학자로 2022년 필즈상을 수상했습니다.

그는 케임브리지 대학교에서 학사 학위와 박사 학위를 취득했습니다. 그는 2018년부터 옥스퍼드 대학교 수학 연구소에서 가르쳤습니다.

약 10년 전, Maynard는 이러한 특정 영점에 대한 Ingham의 추정치를 개선하는 방법에 대해 생각하기 시작했습니다. "이것은 분석수 이론에서 제가 가장 좋아하는 문제 중 하나입니다. 저는 항상 더 열심히 노력하면 발전할 수 있다고 생각합니다."

그러나 해마다 문제를 해결하려고 할 때마다 그는 막히곤 했습니다.

그러다가 2020년 초 콜로라도에서 열리는 컨퍼런스에 참석하기 위해 비행기를 탔을 때 그는 아마도 조화 분석 도구가 유용할 수도 있다는 아이디어를 떠올렸습니다.

공교롭게도 같은 회의에 우연히 MIT의 조화분석 전문가 래리 거스(Larry Guth)가 참석하게 됐다.

우연히 비슷한 문제를 고민하던 두 사람이 이렇게 만났습니다.

그러나 구스는 해석수론에 전혀 익숙하지 않았습니다. 점심 시간 동안 Maynard는 그에게 정수론 측면을 설명하고 구체적인 테스트 사례를 제시했습니다.

몇 년 동안 계속 작업한 후에 Guth는 자신의 조화 분석 기술이 작동하지 않는다는 것을 깨달았습니다.

하지만 그는 문제에 대한 고민을 멈추지 않고 새로운 접근을 시도했다.

올해 2월, 그는 다시 메이너드에게 연락했다. 서로 다른 관점을 갖고 있는 두 사람은 본격적으로 협업을 시작했다.

몇 달 후, 결과가 나왔습니다.

수학에서의 '포기'

Guth와 Maynard는 먼저 그들이 해결하고 싶은 문제를 다른 형태로 변형했습니다.

일부 0의 실수 부분이 1/2이 아닌 경우 Dirichlet 다항식이라고 하는 관련 함수는 매우 큰 값을 생성해야 합니다.

따라서 리만 가설에 대한 예외를 증명하는 것은 Dirichlet 다항식이 종종 큰 값을 생성하지 않는다는 것을 증명하는 것과 거의 동일하지 않습니다.

그런 다음 수학자들은 또 다른 변화를 만들었습니다.

먼저 그들은 Dirichlet 다항식을 사용하여 행렬, 즉 숫자 표를 구성했습니다.

"수학자들은 행렬을 보는 것을 좋아합니다. 왜냐하면 행렬은 우리가 매우 잘 이해하는 것이기 때문입니다"라고 Guth는 말했습니다. "예리한 후각을 유지하는 법을 배워야 하고 어디에서나 매트릭스를 볼 수 있도록 준비해야 합니다."

행렬은 길이와 방향으로 정의되는 벡터라는 수학적 개체에 "작용"하여 다른 벡터를 생성할 수 있습니다.

일반적으로 행렬이 벡터에 작용하면 벡터의 길이와 방향이 변경됩니다.

때로는 행렬을 통과할 때 길이만 변경되고 방향은 변경되지 않는 특수 벡터가 있습니다. 이러한 벡터를 고유벡터라고 합니다.

수학자들은 고유값이라는 숫자를 사용하여 이러한 변화의 크기를 측정합니다.

Guth와 Maynard는 문제가 행렬의 최대 고유값에 관한 문제가 되도록 재구성했습니다.

최대 고유값이 너무 커질 수 없다는 것을 보여줄 수 있으면 작업이 완료된 것입니다.

이를 위해 복소합이 나오는 수식을 사용하고, 합의 양수값과 음수값이 최대한 서로 상쇄되도록 하는 방법을 모색했다.

Guth는 "일부 취소를 달성하기 위해 대칭을 확인하려면 순서를 재배치하거나 올바른 각도에서 살펴봐야 합니다"라고 말했습니다.

이 과정에는 몇 가지 놀라운 단계가 포함되었으며, 그 중 가장 중요한 것은 Maynard가 "조금 마술적"이라고 묘사한 아이디어였습니다.

어느 시점에서 그들은 합을 단순화하기 위해 명백해 보이는 단순화 단계를 취했어야 했습니다.

그러나 그들은 그렇게 하지 않았습니다. 대신 합계를 더 길고 복잡한 형태로 유지합니다.

Maynard는 "우리는 언뜻보기에 완전히 어리석은 것처럼 보이는 몇 가지 작업을 수행했으며 표준 단순화를 거부했습니다. "라고 말했습니다. "우리는 많은 것을 포기하고 있습니다. 이는 이제 이 금액에 대한 간단한 한계를 얻을 수 없음을 의미합니다."

그러나 장기적으로 볼 때 이는 유익한 조치임이 입증되었습니다.

Maynard는 "체스에서는 이것을 포기라고 부릅니다. 보드에서 더 나은 위치를 차지하기 위해 기물을 희생하는 것입니다."라고 말했습니다.

그리고 Guth는 이를 루빅스 큐브 게임에 비유했습니다. 때로는 이전 동작을 취소하여 모든 것을 더 나쁘게 만든 다음 올바른 위치에 더 많은 색상을 배치할 방법을 찾아야 합니다.

옥스포드 대학의 수학자이자 Maynard의 전 멘토인 Roger Heath-Brown은 "명백한 개선 사항을 버리고 나중에 이를 복원할 수 있기를 바라는 것은 많은 용기가 필요합니다"라고 말합니다. "그것은 내가 해야 한다고 생각하는 모든 것에 위배됩니다."

하지만 이 멘토는 이것이 바로 그가 막힌 지점이라고 인정합니다.

수치 이론가가 아닌 조화 분석 전문가로서의 Guth의 지위가 이러한 전략을 가능하게 했다고 Maynard는 말했습니다. "그는 이러한 고유한 규칙에 얽매이지 않기 때문에 평범하지 않은 것들을 더 기꺼이 고려합니다."

결국, 그들은 최대 고유치에 대해 충분히 좋은 경계를 설정할 수 있었고, 이는 리만 가설에 대한 잠재적 반례의 수에 대한 보다 정확한 경계로 더 해석되었습니다.

그들의 작업은 구스에게 영감을 준 조화 분석 아이디어에서 시작되었지만, 궁극적으로 이러한 복잡한 기술을 배제하고 단순함으로 돌아갔습니다.

Heath-Brown은 "이것은 내가 40년 전에 시도했을 수도 있는 일인 것 같습니다"라고 말했습니다.

마지막으로 Guth와 Maynard는 실수 부분이 3/4인 0의 수에 대해 더 나은 경계를 제공함으로써 소수 분포에 대한 일부 결과를 자동으로 증명했습니다.

예를 들어, 구간이 더 짧은 경우 주어진 구간에서 발견된 소수의 수를 추정하는 것이 덜 정확해집니다. 새로운 연구를 통해 수학자들은 더 짧은 간격으로 좋은 추정치를 얻을 수 있습니다.

수학자들은 이 증명이 소수에 대한 다른 결론을 향상시킬 수도 있다고 믿습니다.

그리고 Guth와 Maynard의 기술에는 추가적인 개선의 여지가 있는 것 같습니다.

그러나 Maynard는 이러한 기술이 Riemann 가설 자체를 해결하는 올바른 방법이 아니라고 믿습니다.

"또한 다른 곳의 큰 아이디어도 필요합니다."

타오저쉬안(Tao Zhexuan)의 해석: 해석수론을 예상치 못한 방식으로 활용하기

Tao Zhexuan은 또한 이러한 "자녀 유기" 방법을 보다 전문적으로 해석했습니다.

(σ,)가 실수 부분이 최소 σ이고 허수 부분이 최대인 리만 제타 함수의 영점 수를 나타내는 경우, 리만 가설은 임의의 σ > 1/2에 대해 (σ,)가 다음과 같다고 알려줍니다. 물론, 이를 무조건적으로 증명할 수는 없습니다.

그러나 다음으로 (σ,)의 중요한 상한인 0 밀도 추정치를 증명할 수 있습니다.

σ=3/4가 임계값이라는 것이 밝혀졌습니다. 1940년에 Ingham은 (3/4,)``^{3/5+(1)}라는 결과를 얻었습니다.

다음 80년 동안 이 한계에 대한 유일한 개선은 (1)의 오류가 약간 개선된 것이었습니다.

이는 해석적 정수 이론에서 많은 일을 하는 것을 제한합니다. 예를 들어 (,+^) 형식의 거의 모든 짧은 간격에서 좋은 소수 정리를 얻기 위해 오랫동안 >1/6으로 제한되어 왔습니다. , 주요 장애물은 Ingham 경계에 개선이 부족하다는 것입니다.

Guth와 Maynard의 최신 연구는 Ingham 경계를 3/5=0.6에서 13/25=0.52로 성공적으로 개선했습니다.

이로 인해 해석적 정수론이 많이 개선되었습니다. 예를 들어, 증명 가능한 소수 정리의 범위는 거의 모든 짧은 간격에서 >1/6=0.166…에서 >2/15=0.133…으로 바뀌었습니다(리만 가설이 참인 경우). , 이는 전체 범위 > 0을 포괄할 수 있음을 의미합니다).

이러한 주장은 본질적으로 푸리에 분석을 기반으로 합니다. 처음 몇 단계는 표준 단계이며 Ingham의 한계를 뛰어넘으려는 많은 분석 정수 이론가들에 의해 인식될 것입니다.

그러나 주요 위상 행렬 ^{}=^{log⁡}을 6승으로 제어하는 ​​등 영리하고 예상치 못한 작업이 많이 있습니다(표면상으로는 이로 인해 문제가 더 복잡하고 까다로워집니다).

그리고 특정 복소 푸리에 적분을 단순화하기 위해 고정상 방법의 사용을 거부하고, 따라서 고정상 근사보다 궁극적으로 더 유용한 것으로 입증된 인수분해의 형태를 보존하기 위해 지수적 양보를 하고, 대규모의 출현에 따라; Dirichlet 계열의 값 위치의 추가 에너지가 작은지, 중간인지, 큰지 여부에 따라 상황을 나누고 각 경우에 대해 약간 다른 논증 접근 방식을 사용합니다.

여기서 Dirichlet 급수에 내재된 위상 함수 log⁡의 정확한 형태가 중요해집니다. 이는 보다 일반적인 지수에 대한 조화 분석에서 발생할 수 있는 것보다 분석 수 이론에서 발생하는 특수 지수 합을 활용하는 예상치 못한 방법입니다. 합집합.

참고자료:

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-in-prime-numbers-20240715/