Новости

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Новый отчет мудрости

Монтажер: Эней такой сонный

[Введение в новую мудрость] Профессор математики Массачусетского технологического института Ларри Гут и обладатель медали Филдса Оксфордского университета Джеймс Мейнард совершили крупный прорыв в гипотезе Римана, непосредственно побив рекорд более чем 80 лет. Интересно, что при этом они принесли в жертву «брошенного сына», усложнив и затруднив ситуацию, но приблизившись к разгадке.

Одна из «семи главных математических проблем тысячелетия» — гипотеза Римана (РГ) совершила значительный прорыв, и математики стали на шаг ближе к завоеванию «венца догадок»!

Массачусетский технологический институт предложил более строгие ограничения на потенциальные исключения из гипотезы Римана, и этот шаг напрямую побил рекорд 80-летней давности.

Адрес статьи: https://arxiv.org/abs/2405.20552.

Сегодня гипотеза Римана остается одной из самых важных неразгаданных загадок математики. Если бы это можно было доказать, математики получили бы более глубокое понимание распределения простых чисел.

Более того, многие работы в области теории чисел и функций комплексной переменной основаны на предположении, что гипотеза Римана верна. Поэтому, как только гипотеза Римана будет доказана, многие другие работы также будут полностью доказаны.

Тот, кто решит гипотезу Римана, получит награду в 1 миллион долларов от Математического института Клея.

В настоящее время математики понятия не имеют, как доказать гипотезу Римана, но они все равно могут получить полезные результаты, показав, что существует ограниченное число возможных исключений.

В мае Мейнард и Ларри Гут из Массачусетского технологического института установили новый верхний предел количества исключений определенного типа, побив предыдущий рекорд, который держался более 80 лет.

Благодаря новому доказательству они получают лучшее приближение к количеству простых чисел на коротких интервалах на числовой прямой, и оно обещает дать больше понимания простых чисел.

До полного разрешения гипотезы Римана еще далеко, но это все еще исторический момент.

Хенрик Иванец из Университета Рутгерса прокомментировал: «Это сенсационный результат. Процесс был очень, очень трудным, но им удалось добиться успеха».

Тао Чжэсюань высоко оценил эту статью:

Гут и Мейнард совершили значительный прорыв в римановой гипотезе, сделав первые существенные улучшения классической границы Ингэма 1940 года для нулей римановой дзета-функции (и, в более общем смысле, крупномасштабных ограничений, управляющих различными значениями рядов Дирихле).

Он считает, что это исторический момент: «За восемьдесят лет, прошедших с момента существования гипотезы Римана, единственным толчком к этому ограничению было небольшое улучшение ошибки (1)».

Хотя он также признал, что «мы еще далеки от полного решения этой гипотезы».

Знаете, еще в 2008 году Сянь-Цзинь Ли, математик из Университета Бригама Янга в США, также опубликовал статью об arxiv, утверждая, что доказал гипотезу Римана. Позже Теренс Тао и французский математик Ален Конн (оба обладатели медали Филдса) безжалостно указали на ошибки в процессе доказательства Ли.

Что ж, на этот раз исследование Гута и Мейнарда было передано Теренсом Тао, что показывает его исключительную значимость.

умный обходной путь

Гипотеза Римана включает в себя основную формулу теории чисел — дзета-функцию Римана. Функция ζ является обобщением простого суммирования:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Этот ряд станет бесконечным по мере увеличения числа членов. Этот процесс математики называют «дивергенцией». А если вместо суммирования:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Мы получим π^2/6, что примерно равно 1,64.

И Риман высказал неожиданно великолепную идею, превратив такой ряд в функцию, как показано ниже:

Итак, ζ(1) бесконечно, но ζ(2) = π^2/6.

Все становится действительно интересно, когда мы превращаем s в комплексное число.

Комплексные числа состоят из двух частей: «действительная часть», представляющая собой число в повседневной жизни, и «мнимая часть», представляющая собой обычное число, умноженное на квадратный корень из -1 (который математики записывают как i).

Комплексные числа можно нанести на плоскость, расположив действительную часть по оси X и мнимую часть по оси Y. Например, 3+4и.

Функция ζ принимает точки на комплексной плоскости в качестве входных данных и выводит другие комплексные числа.

Оказывается, для некоторых комплексных чисел значение ζ-функции равно нулю. Определение точного расположения этих нулей на комплексной плоскости — одна из интереснейших задач математики.

В 1859 году Риман предположил: все нулевые точки сосредоточены на двух прямых. Если мы расширим дзета-функцию так, чтобы она могла обрабатывать отрицательные входные данные, мы обнаружим, что значение дзета-функции равно нулю для всех отрицательных четных чисел: -2, -4, -6 и т. д.

Это относительно легко доказать, поэтому их называют тривиальными нулями.

Когда действительная часть s меньше 1, вся сумма ряда может расходиться.Чтобы сделать функцию применимой к более широкому диапазону, Риман переписал вышеуказанную функцию ζ в приведенную выше форму

Риман догадался, что все остальные нули функции (т. е. нетривиальные нули) имеют действительные части 1/2 и поэтому лежат на этой вертикальной прямой.

Это гипотеза Римана, и доказать ее было чрезвычайно сложно.

Математики знают, что действительная часть каждого нетривиального нуля должна находиться в диапазоне от 0 до 1, но они не могут исключить, что действительная часть некоторых нулей может составлять 0,499.

Что они могут сделать, так это показать, что такие нулевые точки должны быть очень редкими.

Более интуитивно понятно, что в соответствии с функцией ζ можно нарисовать бесконечное количество точек.Риман догадался, что эти точки имеют определенную закономерность расположения. Часть из них находится на горизонтальной линии, а другая часть — на вертикальной. Все эти точки без исключения расположены на этих двух прямых.

На приведенном выше рисунке, поскольку точек бесконечно много, мы не можем использовать перечисление, чтобы доказать, что все точки находятся на этих двух линиях, потому что проверка никогда не будет полной. Но пока существует точка, не лежащая на этих двух прямых, она может опровергнуть гипотезу Римана.

Математики использовали компьютеры, чтобы проверить, что все первые 100 миллиардов точек соответствуют положению гипотезы Римана.

На протяжении многих лет многие математики усердно работали над доказательством этой гипотезы, но никому не удалось забрать домой этот «Святой Грааль математики». Есть даже много математиков, которые с сожалением ушли из жизни из-за этого, оставив бесконечные размышления будущему. поколения.

Американский математик Хью Монтгомери даже сказал, что если бы дьявол согласился позволить математикам обменять свои души на доказательство математического утверждения, то большинство учёных захотели бы в обмен на это доказательство гипотезы Римана.

Рекорд более чем 80-летней давности внезапно был побит

В 1940 году британский математик Альберт Ингэм установил верхний предел для оценки количества нулевых точек, действительная часть которых не равна 1/2. Этот верхний предел до сих пор используется математиками в качестве ориентира.

Десятилетия спустя, в 1960-х и 1970-х годах, другие математики нашли способы перевести результаты Ингэма в описания того, как простые числа группируются или распределяются вдоль числовой линии и какие еще закономерности они могут образовывать.

Примерно в то же время математики также представили новые методы, которые улучшили верхнюю границу Ингэма для нулей с действительными частями, превышающими 3/4.

Но оказывается, что наиболее важными нулевыми точками являются те, действительная часть которых равна ровно 3/4.

«Многие важные результаты о простых числах ограничены нашим пониманием нулевой точки с действительной частью 3/4», — сказал Мейнард.

Джеймс Мейнард — выдающийся ученый в области математики, обладатель Медали Филдса в 2022 году.

Окончил Кембриджский университет со степенью бакалавра и доктора философии Оксфордского университета. С 2018 года преподает в Институте математики Оксфордского университета.

Около десяти лет назад Мейнард начал думать о том, как улучшить оценки Ингэма этих конкретных нулевых точек. «Это одна из моих любимых задач в аналитической теории чисел. Я всегда чувствую, что если буду работать усерднее, то смогу добиться прогресса».

Но год за годом, когда бы он ни пытался решить проблему, он застревал.

Затем, в начале 2020 года, когда он летел на конференцию в Колорадо, ему пришла в голову идея: возможно, инструменты гармонического анализа могут оказаться полезными.

По совпадению, на той же встрече присутствовал Ларри Гут, эксперт по гармоническому анализу из Массачусетского технологического института.

Вот так встретились два человека, которые думали об аналогичных проблемах.

Однако Гут был совершенно незнаком с аналитической теорией чисел. За обедом Мейнард объяснил ему аспекты теории чисел и представил конкретный тестовый пример.

Проработав несколько лет время от времени, Гут понял, что его техника гармонического анализа не работает.

Но он не перестал думать о проблеме и попробовал новый подход.

В феврале этого года он снова связался с Мейнардом. Объединив свои разные точки зрения, они начали всерьез сотрудничать.

Через несколько месяцев были результаты.

«заброшенность» в математике

Гут и Мейнард сначала преобразовали проблему, которую они хотели решить, в другую форму.

Если действительная часть некоторого нуля не равна 1/2, то соответствующая функция, называемая полиномом Дирихле, должна давать очень большое значение.

Следовательно, доказательство того, что исключения из гипотезы Римана редко эквивалентны доказательству того, что полиномы Дирихле не часто дают большие значения.

Затем математики произвели еще одно преобразование.

Сначала они построили матрицу или таблицу чисел, используя полиномы Дирихле.

«Математикам нравится видеть матрицы, потому что матрицы — это то, что мы очень хорошо понимаем», — сказал Гут. «Вы должны научиться сохранять острое обоняние и быть готовыми видеть Матрицу повсюду».

Матрица может «воздействовать» на математический объект, называемый вектором, определяемый его длиной и направлением, для создания другого вектора.

Обычно, когда матрица действует на вектор, она меняет длину и направление вектора.

Иногда существуют специальные векторы, которые при прохождении через матрицу меняют только длину, но не направление. Эти векторы называются собственными векторами.

Математики измеряют величину этих изменений с помощью чисел, называемых собственными значениями.

Гут и Мейнард переформулировали свою проблему так, что она превратилась в проблему о максимальном собственном значении матрицы.

Если они смогут показать, что максимальное собственное значение не может стать слишком большим, их работа будет выполнена.

Для этого они использовали формулу, которая получала сложную сумму, и искали способы заставить положительные и отрицательные значения суммы максимально компенсировать друг друга.

«Вам придется перестроить последовательность или посмотреть на нее под прямым углом, чтобы увидеть некоторую симметрию и добиться некоторого сокращения», — сказал Гут.

Этот процесс включал в себя несколько удивительных шагов, самым важным из которых была идея, которую Мейнард назвал «немного волшебной».

В какой-то момент им следовало предпринять, казалось бы, очевидный шаг по упрощению своей суммы.

Однако они этого не сделали. Вместо этого они сохраняют сумму в более длинной и сложной форме.

«Мы сделали некоторые вещи, которые на первый взгляд показались совершенно глупыми, и мы просто отказались от стандартных упрощений», — сказал Мейнард. «Мы от многого отказываемся, а это значит, что теперь мы не можем получить какие-либо простые оценки для этой суммы».

Но в долгосрочной перспективе это оказалось выгодным шагом.

«В шахматах это называется отказом — пожертвовать фигуру, чтобы занять лучшую позицию на доске», — сказал Мейнард.

А Гут сравнил это с игрой в кубик Рубика: иногда нужно отменить предыдущие ходы, чтобы все выглядело хуже, а затем найти способ разместить больше цветов в нужных местах.

«Нужно много мужества, чтобы отказаться от очевидного улучшения и затем надеяться, что вы сможете восстановить его позже», — говорит Роджер Хит-Браун, математик из Оксфордского университета и бывший наставник Мейнарда. «Это противоречит всему, что, по моему мнению, должно быть сделано».

Но этот наставник признается, что именно здесь он и застрял.

Статус Гута как эксперта по гармоническому анализу, а не теоретика чисел, сделал эту стратегию возможной, сказал Мейнард. «Он не ограничен этими неотъемлемыми правилами, поэтому он с большей готовностью рассматривает вещи, которые необычны».

В конце концов, они смогли установить достаточно хорошую границу для максимального собственного значения, что в дальнейшем привело к более точному ограничению числа потенциальных контрпримеров к гипотезе Римана.

Хотя их работа началась с идей гармонического анализа, вдохновивших Гута, в конечном итоге они исключили эти сложные методы и вернулись к простоте.

«Это похоже на то, что я мог бы попробовать 40 лет назад», — сказал Хит-Браун.

Наконец, Гут и Мейнард автоматически доказали некоторые результаты о распределении простых чисел, дав более точные оценки количества нулей, действительная часть которых равна 3/4.

Например, для более коротких интервалов оценка количества простых чисел, найденных в данном интервале, становится менее точной. Новая работа позволяет математикам получать хорошие оценки за более короткие промежутки времени.

Математики полагают, что это доказательство может также улучшить другие выводы о простых числах.

И, похоже, есть возможности для дальнейшего совершенствования технологии Гута и Мейнарда.

Однако Мейнард считает, что эти методы не являются правильным способом решения самой гипотезы Римана.

«Это также требует некоторых больших идей из других источников».

Интерпретация Тао Чжэсюаня: неожиданное использование аналитической теории чисел

Тао Чжэсюань дал и более профессиональную интерпретацию этого метода «отказания от детей» —

Если (σ,) представляет собой количество нулевых точек дзета-функции Римана, действительная часть которой равна не менее σ, а мнимая часть не более, то гипотеза Римана говорит нам, что для любого σ>1/2 (σ) будет Конечно, мы не можем доказать это безоговорочно.

Но затем мы можем доказать нулевую оценку плотности, которая является нетривиальной верхней оценкой (σt).

Оказывается, σ=3/4 – критическая величина. В 1940 году Ингэм получил результат — (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

В течение следующих восьмидесяти лет единственными улучшениями этой границы были небольшие улучшения ошибки (1).

Это ограничивает нас от многих действий в аналитической теории чисел: например, чтобы получить хорошую теорему о простых числах почти на любом коротком интервале вида (,+^), мы уже давно ограничены >1/6 , и главным препятствием является отсутствие улучшения границ Ингхэма.

Последние исследования Гута и Мейнарда успешно улучшили границу Ингэма с 3/5=0,6 до 13/25=0,52.

Это привело ко многим соответствующим улучшениям в аналитической теории чисел; например, диапазон доказуемых теорем о простых числах увеличился от > 1/6 = 0,166… до > 2/15 = 0,133… почти на всех коротких интервалах (если гипотеза Римана верна); , это будет означать, что мы можем охватить весь диапазон > 0).

Эти аргументы по существу основаны на анализе Фурье. Первые несколько шагов являются стандартными и будут признаны многими аналитиками по теории чисел, пытающимися расширить границы Ингэма.

Но у них есть много хитрых и неожиданных операций, таких как управление ключевой фазовой матрицей ^{}=^{log⁡} путем возведения ее в шестую степень (якобы это усложняет и запутывает задачу).

и отказываясь от использования метода стационарной фазы для упрощения определенного сложного интеграла Фурье, делая тем самым экспоненциальные уступки, чтобы сохранить форму факторизации, которая в конечном итоге оказывается более полезной, чем приближение стационарной фазы, и в соответствии с появлением больших величин; значения ряда Дирихле. Разделите ситуации по тому, имеют ли их позиции малую, среднюю или большую аддитивную энергию, и используйте немного другой подход к аргументации для каждого случая.

Здесь становится важным точный вид фазовой функции log⁡, неявной в ряду Дирихле; это неожиданный способ использования специальных экспоненциальных сумм, возникающих в аналитической теории чисел, а не того, что можно встретить в гармоническом анализе, для более общей экспоненты. сумма.

Использованная литература:

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/