notizia

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Nuovo rapporto sulla saggezza

Redattore: Enea così assonnato

[Introduzione alla Nuova Saggezza] Il professore di matematica del MIT Larry Guth e il vincitore della medaglia Fields dell'Università di Oxford James Maynard hanno fatto un importante passo avanti nell'ipotesi di Riemann, battendo direttamente il record di oltre 80 anni. È interessante notare che nel processo hanno sacrificato un "figlio abbandonato", rendendo la situazione più complicata e difficile, ma avvicinandosi alla risposta.

Uno dei "sette maggiori problemi matematici del millennio": l'ipotesi di Riemann (RH) ha fatto un passo avanti significativo. I matematici sono un passo avanti verso la conquista della "corona delle congetture"!

Il MIT ha proposto restrizioni più severe sulle potenziali eccezioni all’ipotesi di Riemann, una mossa che ha battuto direttamente il record vecchio di 80 anni.

Indirizzo del documento: https://arxiv.org/abs/2405.20552

Oggi l’ipotesi di Riemann rimane uno dei misteri irrisolti più importanti della matematica. Se potesse essere dimostrato, i matematici acquisirebbero una comprensione più profonda della distribuzione dei numeri primi,

Inoltre, molti lavori nel campo della teoria dei numeri e delle funzioni variabili complesse si basano sulla premessa che l'ipotesi di Riemann è vera. Pertanto, una volta dimostrata l'ipotesi di Riemann, anche molti altri lavori saranno completamente dimostrati.

Chiunque risolverà l'ipotesi di Riemann riceverà una ricompensa di 1 milione di dollari dal Clay Mathematics Institute.

I matematici attualmente non hanno idea di come dimostrare l’ipotesi di Riemann, ma possono comunque ottenere risultati utili dimostrando che esiste un numero limitato di possibili eccezioni.

A maggio, Maynard e Larry Guth del MIT hanno stabilito un nuovo limite massimo al numero di eccezioni di un tipo specifico, battendo un record precedente che durava da più di 80 anni.

Con la nuova dimostrazione, ottengono una migliore approssimazione del numero di numeri primi in brevi intervalli sulla linea numerica e, si spera, forniscono maggiori informazioni sui numeri primi.

È ancora lontano dal risolvere completamente l’ipotesi di Riemann, ma è pur sempre un momento storico.

Henryk Iwaniec della Rutgers University ha commentato: "Questo è un risultato sensazionale. Il processo è stato molto, molto difficile, ma hanno tirato fuori un gioiello".

Tao Zhexuan ha molto apprezzato questo articolo:

Guth e Maynard fecero un passo avanti significativo sull'ipotesi Riemanniana, fornendo i primi miglioramenti sostanziali al classico limite Ingham del 1940 sugli zeri della funzione zeta Riemanniana (e, più in generale, i vincoli su larga scala che governano i vari valori delle serie di Dirichlet).

Crede che questo sia un momento storico: "Negli ottant'anni trascorsi dall'esistenza dell'ipotesi di Riemann, l'unica spinta per questo vincolo è stata un piccolo miglioramento nell'errore di (1)".

Anche se ha anche ammesso che "siamo ancora lontani dal risolvere completamente questa congettura".

Sapete, già nel 2008, anche Xian-Jin Li, un matematico della Brigham Young University negli Stati Uniti, pubblicò un articolo su arxiv, sostenendo di aver dimostrato l'ipotesi di Riemann. Più tardi, Terence Tao e il matematico francese Alain Connes (entrambi vincitori della medaglia Fields) sottolinearono spietatamente gli errori nel processo di dimostrazione di Li.

Ebbene, questa volta la ricerca di Guth e Maynard è stata inoltrata da Terence Tao, il che ne dimostra la straordinaria portata.

deviazione intelligente

L'ipotesi di Riemann implica una formula fondamentale nella teoria dei numeri: la funzione zeta di Riemann. La funzione ζ è una generalizzazione della somma semplice:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Questa serie diventerà infinita man mano che il numero dei termini aumenta. Questo processo è chiamato "divergenza" dai matematici. Ma se invece la somma:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Otterremo π^2/6, che è approssimativamente uguale a 1,64.

E Riemann ebbe un'idea inaspettatamente grandiosa, trasformando una serie del genere in una funzione come mostrato di seguito:

Quindi ζ(1) è infinito, ma ζ(2) = π^2/6.

Le cose diventano davvero interessanti quando creiamo s un numero complesso.

I numeri complessi sono composti da due parti: la "parte reale", che è il numero della vita quotidiana, e la "parte immaginaria", che è il numero quotidiano moltiplicato per la radice quadrata di -1 (che i matematici scrivono come i).

I numeri complessi possono essere tracciati sul piano con la parte reale sull'asse x e la parte immaginaria sull'asse y. Ad esempio, 3+4i.

La funzione ζ prende punti sul piano complesso come input e restituisce altri numeri complessi.

Risulta che per alcuni numeri complessi il valore della funzione ζ è zero. Determinare la posizione esatta di questi zeri nel piano complesso è uno dei problemi più interessanti della matematica.

Nel 1859 Riemann congetturò: tutti i punti zero sono concentrati su due linee. Se estendiamo la funzione zeta in modo che possa gestire input negativi, troviamo che il valore della funzione zeta è zero per tutti i numeri pari negativi: -2, -4, -6, ecc.

Questo è relativamente facile da dimostrare, quindi questi sono chiamati zeri banali.

Quando la parte reale di s è inferiore a 1, la somma dell'intera serie può divergere.Per rendere la funzione applicabile a un intervallo più ampio, Riemann ha riscritto la funzione ζ sopra nella forma sopra

Riemann indovinò che tutti gli altri zeri della funzione (cioè gli zeri non banali) hanno parte reale di 1/2 e quindi giacciono su questa linea verticale.

Questa è l’ipotesi di Riemann, e dimostrarla è stato estremamente difficile.

I matematici sanno che la parte reale di ogni zero non banale deve essere compresa tra zero e 1, ma non possono escludere che alcuni zeri possano avere una parte reale pari a 0,499.

Ciò che possono fare è dimostrare che tali punti zero devono essere molto rari.

Più intuitivamente, si possono disegnare un numero infinito di punti secondo la funzione ζ.Riemann intuì che questi punti hanno un certo schema di disposizione. Alcuni di essi sono su una linea orizzontale e l'altra parte su una linea verticale. Tutti questi punti sono disposti su queste due linee rette senza eccezioni.

Nella figura sopra, poiché ci sono infiniti punti, non possiamo usare l'enumerazione per dimostrare che tutti i punti si trovano su queste due linee, perché la verifica non sarà mai completa. Ma finché c’è un punto che non si trova su queste due rette, ciò può ribaltare l’ipotesi di Riemann.

I matematici hanno utilizzato i computer per verificare che i primi 100 miliardi di punti siano tutti conformi alla disposizione dell'ipotesi di Riemann.

Nel corso degli anni, molti matematici hanno lavorato duramente per dimostrare questa congettura, ma nessuno è riuscito a portare a casa questo "Santo Graal della matematica". Ci sono addirittura molti matematici che sono morti a causa di ciò, lasciando al futuro pensieri eterni generazioni.

Il matematico americano Hugh Montgomery disse addirittura che se il diavolo accettasse di lasciare che i matematici scambiassero la loro anima con la dimostrazione di una proposizione matematica, ciò che la maggior parte degli scienziati vorrebbe in cambio sarebbe la dimostrazione dell'ipotesi di Riemann.

Il record di oltre 80 anni è stato improvvisamente battuto

Nel 1940, un matematico britannico di nome Albert Ingham stabilì un limite superiore per stimare il numero di punti zero la cui parte reale non è uguale a 1/2. Questo limite superiore è ancora oggi utilizzato come punto di riferimento dai matematici.

Decenni più tardi, negli anni Sessanta e Settanta, altri matematici trovarono il modo di tradurre i risultati di Ingham in descrizioni di come i numeri primi si raggruppassero o si distribuissero lungo la linea numerica, e di quali altri schemi avrebbero potuto formare.

Nello stesso periodo, i matematici introdussero anche nuove tecniche che migliorarono il limite superiore di Ingham sugli zeri con parti reali maggiori di 3/4.

Ma si scopre che i punti zero più importanti sono quelli la cui parte reale è esattamente 3/4.

"Molti risultati importanti sui numeri primi sono limitati dalla nostra comprensione del punto zero con una parte reale pari a 3/4", ha affermato Maynard.

James Maynard è uno studioso eccezionale nel campo della matematica e ha vinto la medaglia Fields nel 2022.

Ha conseguito una laurea presso l'Università di Cambridge e un dottorato di ricerca presso l'Università di Oxford. Dal 2018 insegna presso l'Istituto di Matematica dell'Università di Oxford.

Circa dieci anni fa, Maynard iniziò a pensare a come migliorare le stime di Ingham su questi specifici punti zero. "Questo è uno dei miei problemi preferiti nella teoria analitica dei numeri. Ho sempre la sensazione che se solo lavoro di più, posso fare progressi."

Ma anno dopo anno, ogni volta che tentava di risolvere il problema, rimaneva bloccato.

Poi, all’inizio del 2020, durante un viaggio in aereo verso una conferenza in Colorado, ha avuto un’idea: forse gli strumenti dell’analisi armonica potrebbero essere utili.

Per coincidenza, Larry Guth, un esperto di analisi armonica del MIT, partecipò allo stesso incontro.

Due persone che pensavano a problemi simili si sono incontrate in questo modo.

Tuttavia, Guth non aveva alcuna familiarità con la teoria analitica dei numeri. Durante il pranzo Maynard gli ha spiegato gli aspetti della teoria dei numeri e gli ha presentato un caso di prova concreto.

Dopo aver lavorato a intermittenza per diversi anni, Guth si rese conto che la sua tecnica di analisi armonica non funzionava.

Ma non ha smesso di pensare al problema e ha provato un nuovo approccio.

Nel febbraio di quest'anno ha contattato nuovamente Maynard. Unendo le loro diverse prospettive, i due iniziarono a collaborare seriamente.

Pochi mesi dopo, hanno avuto i risultati.

"abbandono" in matematica

Guth e Maynard trasformarono innanzitutto il problema che volevano risolvere in un'altra forma.

Se la parte reale di uno zero non è 1/2, allora la funzione associata, chiamata polinomio di Dirichlet, deve produrre un valore molto grande.

Pertanto, dimostrare che le eccezioni all'ipotesi di Riemann raramente equivalgono a dimostrare che i polinomi di Dirichlet spesso non producono grandi valori.

Poi i matematici fecero un'altra trasformazione.

Innanzitutto, hanno costruito una matrice, o tabella di numeri, utilizzando i polinomi di Dirichlet.

"Ai matematici piace vedere le matrici perché le matrici sono qualcosa che comprendiamo molto bene", ha detto Guth. "Devi imparare a mantenere un acuto senso dell'olfatto ed essere pronto a vedere Matrix ovunque."

Una matrice può "agire su" un oggetto matematico chiamato vettore, definito dalla sua lunghezza e direzione, per produrre un altro vettore.

Normalmente, quando una matrice agisce su un vettore, cambia la lunghezza e la direzione del vettore.

A volte ci sono vettori speciali che cambiano solo la lunghezza ma non la direzione quando passano attraverso la matrice. Questi vettori sono chiamati autovettori.

I matematici misurano l’entità di questi cambiamenti con numeri chiamati autovalori.

Guth e Maynard hanno riformulato il loro problema in modo che diventi un problema relativo al massimo autovalore di una matrice.

Se riescono a dimostrare che l’autovalore massimo non può diventare troppo grande, il loro lavoro è finito.

Per fare ciò, hanno utilizzato una formula che dava come risultato una somma complessa e hanno cercato modi per fare in modo che i valori positivi e negativi nella somma si annullassero il più possibile.

"Devi riorganizzare la sequenza, o guardarla dalla giusta angolazione, per vedere una certa simmetria e ottenere una certa cancellazione", ha detto Guth.

Il processo ha comportato diversi passaggi sorprendenti, il più importante dei quali è stata un'idea che Maynard ha descritto come "un po' magica".

Ad un certo punto, avrebbero dovuto compiere un passo apparentemente ovvio per semplificare la loro somma.

Tuttavia, non lo hanno fatto. Invece, mantengono la somma in una forma più lunga e complessa.

"Abbiamo fatto alcune cose che a prima vista sembravano completamente stupide e ci siamo semplicemente rifiutati di fare semplificazioni standard", ha detto Maynard. "Stiamo rinunciando a molto, il che significa che ora non possiamo stabilire alcun limite semplice per questa somma."

Ma alla lunga questa mossa si è rivelata vantaggiosa.

"Negli scacchi, questo si chiama abbandono: sacrificare un pezzo per ottenere una posizione migliore sulla scacchiera", ha detto Maynard.

E Guth lo paragonò al giocare al cubo di Rubik: a volte devi annullare le mosse precedenti per far sembrare tutto peggiore, e poi trovare un modo per mettere più colori nei posti giusti.

“Ci vuole molto coraggio per buttare via un evidente miglioramento e poi sperare di poterlo ripristinare in seguito”, afferma Roger Heath-Brown, matematico dell’Università di Oxford ed ex mentore di Maynard. "Va contro tutto ciò che penso dovrebbe essere fatto."

Ma questo mentore ammette che è proprio qui che si è bloccato.

Lo status di Guth come esperto di analisi armonica piuttosto che come teorico dei numeri ha reso possibile questa strategia, ha detto Maynard. "Non è vincolato da queste regole intrinseche, quindi è più disposto a considerare cose fuori dall'ordinario."

Alla fine, furono in grado di fissare un limite sufficientemente buono sull’autovalore massimo, che si tradusse ulteriormente in un limite più preciso sul numero di potenziali controesempi all’ipotesi di Riemann.

Sebbene il loro lavoro sia iniziato con le idee di analisi armonica che ispirarono Guth, alla fine esclusero queste tecniche complesse e tornarono alla semplicità.

"Sembra qualcosa che avrei potuto provare 40 anni fa", ha detto Heath-Brown.

Infine, Guth e Maynard dimostrarono automaticamente alcuni risultati sulla distribuzione dei numeri primi fornendo limiti migliori sul numero di zeri la cui parte reale è 3/4.

Ad esempio, per intervalli più brevi, la stima del numero di numeri primi trovati in un dato intervallo diventa meno accurata. Il nuovo lavoro consente ai matematici di ottenere buone stime in intervalli più brevi.

I matematici ritengono che questa dimostrazione possa anche migliorare altre conclusioni sui numeri primi.

E sembra esserci spazio per ulteriori miglioramenti alla tecnologia di Guth e Maynard.

Tuttavia, Maynard ritiene che queste tecniche non siano il modo corretto per risolvere l'ipotesi di Riemann stessa.

"Richiede anche alcune grandi idee da altrove."

L'interpretazione di Tao Zhexuan: utilizzare la teoria analitica dei numeri in modi inaspettati

Tao Zhexuan ha anche dato un'interpretazione più professionale di questo metodo di "abbandono dei bambini" -

Se (σ,) rappresenta il numero di punti zero della funzione zeta di Riemann la cui parte reale è almeno σ e la parte immaginaria è massima, l'ipotesi di Riemann ci dice che per ogni σ>1/2, (σ,) sarà scomparire. Naturalmente, non possiamo dimostrarlo incondizionatamente.

Ma poi possiamo dimostrare la stima della densità zero, che è un limite superiore non banale su (σ,).

Risulta che σ=3/4 è un valore critico. Nel 1940, Ingham ottenne il risultato: (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

Nel corso dei successivi ottant’anni, gli unici miglioramenti a questo limite furono piccoli miglioramenti nell’errore di (1).

Questo ci limita a fare molte cose nella teoria analitica dei numeri: ad esempio, per ottenere un buon teorema dei numeri primi in quasi tutti gli intervalli brevi della forma (,+^), siamo stati a lungo limitati a >1/6 , e l'ostacolo principale è che i confini di Ingham non sono migliorati.

L'ultima ricerca di Guth e Maynard ha migliorato con successo il limite di Ingham da 3/5=0,6 a 13/25=0,52.

Ciò ha portato a molti miglioramenti corrispondenti nella teoria analitica dei numeri; ad esempio, la gamma dei teoremi dimostrabili sui numeri primi è passata da >1/6=0,166… a >2/15=0,133… in quasi tutti gli intervalli brevi (se l’ipotesi di Riemann è vera). , significherebbe che possiamo coprire l'intero intervallo > 0).

Queste argomentazioni si basano essenzialmente sull’analisi di Fourier. I primi passi sono standard e saranno riconosciuti da molti teorici analitici dei numeri che tentano di oltrepassare i limiti di Ingham.

Ma hanno molte operazioni intelligenti e inaspettate, come controllare la matrice della fase chiave elevandola alla sesta potenza (apparentemente, questo rende il problema più complicato e ingannevole).

e, rifiutando l'uso del metodo delle fasi stazionarie per semplificare un certo integrale di Fourier complesso, facendo così concessioni esponenziali al fine di preservare una forma di fattorizzazione che alla fine si rivela più utile dell'approssimazione della fase stazionaria e secondo l'emergenza di grandi; valori della serie Dirichlet Dividi le situazioni in base al fatto che le loro posizioni abbiano energia additiva piccola, media o grande e utilizza un approccio argomentativo leggermente diverso per ciascun caso.

Qui diventa importante la forma esatta della funzione di fase log⁡ implicita nella serie di Dirichlet; questo è un modo inaspettato di sfruttare somme esponenziali speciali che emergono nella teoria analitica dei numeri, piuttosto che ciò che si potrebbe incontrare nell'analisi armonica a un esponenziale più generale somma.

Riferimenti:

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/