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Novo Relatório de Sabedoria

Editor: Enéias com tanto sono

[Introdução à Nova Sabedoria] O professor de matemática do MIT, Larry Guth, e o vencedor da Medalha Fields da Universidade de Oxford, James Maynard, fizeram um grande avanço na hipótese de Riemann, quebrando diretamente o recorde de mais de 80 anos. Curiosamente, sacrificaram um “filho abandonado” no processo, tornando a situação mais complicada e difícil, mas aproximando-se da resposta.

Um dos "sete principais problemas matemáticos do milênio" - a hipótese de Riemann (RH) fez um avanço significativo, e os matemáticos estão um passo mais perto de ganhar a "coroa das conjecturas"!

O MIT propôs restrições mais rigorosas a potenciais excepções à hipótese de Riemann, uma medida que quebrou directamente o recorde de 80 anos.

Endereço do artigo: https://arxiv.org/abs/2405.20552

Hoje, a hipótese de Riemann continua sendo um dos mais importantes mistérios não resolvidos da matemática. Se pudesse ser provado, os matemáticos obteriam uma compreensão mais profunda da distribuição dos números primos,

Além disso, muitos trabalhos no campo da teoria dos números e funções de variáveis ​​complexas baseiam-se na premissa de que a hipótese de Riemann é verdadeira. Portanto, uma vez provada a hipótese de Riemann, muitos outros trabalhos também serão completamente provados.

Quem resolver a hipótese de Riemann receberá uma recompensa de US$ 1 milhão do Clay Mathematics Institute.

Atualmente, os matemáticos não têm ideia de como provar a hipótese de Riemann, mas ainda podem obter resultados úteis mostrando que há um número limitado de exceções possíveis.

Em maio, Maynard e Larry Guth, do MIT, estabeleceram um novo limite máximo para o número de exceções de um tipo específico, quebrando um recorde anterior que permanecia há mais de 80 anos.

Com a nova prova, eles obtêm uma melhor aproximação do número de primos em intervalos curtos na reta numérica e promete fornecer mais informações sobre os números primos.

Ainda está longe de resolver completamente a hipótese de Riemann, mas ainda é um momento histórico.

Henryk Iwaniec, da Rutgers University, comentou: "Este é um resultado sensacional. O processo foi muito, muito difícil, mas eles conseguiram uma joia."

Tao Zhexuan apreciou muito este artigo:

Guth e Maynard fizeram um avanço significativo na hipótese Riemanniana, fazendo as primeiras melhorias substanciais no clássico Ingham de 1940 ligado aos zeros da função zeta Riemanniana (e, mais geralmente, às restrições em grande escala que governam vários valores da série de Dirichlet).

Ele acredita que este é um momento histórico: "Nos oitenta anos desde a existência da hipótese de Riemann, o único impulso para esta restrição foi uma pequena melhoria no erro de (1)."

Embora também tenha admitido que “ainda estamos longe de resolver completamente esta conjectura”.

Você sabe, já em 2008, Xian-Jin Li, um matemático da Universidade Brigham Young, nos Estados Unidos, também publicou um artigo sobre o arxiv, alegando ter provado a hipótese de Riemann. Mais tarde, Terence Tao e o matemático francês Alain Connes (ambos vencedores da Medalha Fields) apontaram impiedosamente os erros no processo de prova de Li.

Bem, desta vez a pesquisa de Guth e Maynard foi encaminhada por Terence Tao, o que mostra seu extraordinário significado.

desvio inteligente

A hipótese de Riemann envolve uma fórmula central na teoria dos números – a função zeta de Riemann. A função ζ é uma generalização de soma simples:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Esta série se tornará infinita à medida que o número de termos aumenta. Este processo é chamado de “divergência” pelos matemáticos. Mas se em vez disso somar:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Obteremos π ^ 2/6, que é aproximadamente igual a 1,64.

E Riemann teve uma ideia inesperadamente ótima, transformando tal série em uma função conforme mostrado abaixo:

Então ζ(1) é infinito, mas ζ(2) = π^2/6.

As coisas ficam realmente interessantes quando formamos um número complexo.

Os números complexos têm duas partes: a “parte real”, que é o número da vida cotidiana, e a “parte imaginária”, que é o número cotidiano multiplicado pela raiz quadrada de -1 (que os matemáticos escrevem como i).

Os números complexos podem ser plotados no plano com a parte real no eixo x e a parte imaginária no eixo y. Por exemplo, 3+4i.

A função ζ toma pontos no plano complexo como entrada e gera outros números complexos.

Acontece que para alguns números complexos o valor da função ζ é zero. Determinar a localização exata desses zeros no plano complexo é um dos problemas mais interessantes da matemática.

Em 1859, Riemann conjecturou: todos os pontos zero estão concentrados em duas retas. Se estendermos a função zeta para que ela possa lidar com entradas negativas, descobriremos que o valor da função zeta é zero para todos os números pares negativos: -2, -4, -6, etc.

Isto é relativamente fácil de provar, por isso são chamados de zeros triviais.

Quando a parte real de s é menor que 1, toda a soma da série pode divergir.Para tornar a função aplicável a um intervalo mais amplo, Riemann reescreveu a função ζ acima na forma acima

Riemann adivinhou que todos os outros zeros da função (isto é, zeros não triviais) têm partes reais de 1/2 e, portanto, estão nesta linha vertical.

Esta é a hipótese de Riemann, e prová-la tem sido extremamente difícil.

Os matemáticos sabem que a parte real de cada zero não trivial deve estar entre zero e 1, mas não podem descartar que alguns zeros possam ter uma parte real de 0,499.

O que podem fazer é mostrar que tais pontos zero devem ser muito raros.

De forma mais intuitiva, um número infinito de pontos pode ser desenhado de acordo com a função ζ.Riemann adivinhou que esses pontos têm um certo padrão de arranjo. Alguns deles estão em uma linha horizontal e a outra parte está em uma linha vertical. Todos esses pontos estão dispostos nessas duas linhas retas, sem exceção.

Na figura acima, como existem infinitos pontos, não podemos usar a enumeração para provar que todos os pontos estão nestas duas linhas, porque a verificação nunca será completa. Mas enquanto houver um ponto que não esteja nestas duas linhas retas, ele poderá derrubar a hipótese de Riemann.

Os matemáticos usaram computadores para verificar se os primeiros 100 mil milhões de pontos estão todos em conformidade com a disposição da Hipótese de Riemann.

Ao longo dos anos, muitos matemáticos trabalharam arduamente para provar esta conjectura, mas ninguém foi capaz de levar para casa este "Santo Graal da Matemática". Existem até muitos matemáticos que infelizmente faleceram por causa disso, deixando pensamentos intermináveis ​​​​para o futuro. gerações.

O matemático americano Hugh Montgomery chegou a dizer que se o diabo concordasse em deixar os matemáticos trocarem as suas almas pela prova de uma proposição matemática, o que a maioria dos cientistas iria querer em troca seria a prova da Hipótese de Riemann.

O recorde de mais de 80 anos foi repentinamente quebrado

Em 1940, um matemático britânico chamado Albert Ingham estabeleceu um limite superior para estimar o número de zero pontos cuja parte real não é igual a 1/2. Este limite superior ainda é usado como ponto de referência pelos matemáticos de hoje.

Décadas mais tarde, nas décadas de 1960 e 1970, outros matemáticos encontraram maneiras de traduzir os resultados de Ingham em descrições de como os números primos se agrupavam ou se espalhavam ao longo da reta numérica e que outros padrões eles poderiam formar.

Na mesma época, os matemáticos também introduziram novas técnicas que melhoraram o limite superior de Ingham para zeros com partes reais maiores que 3/4.

Mas acontece que os pontos zero mais importantes são aqueles cuja parte real é exatamente 3/4.

"Muitos resultados importantes sobre números primos são limitados pela nossa compreensão do ponto zero com uma parte real de 3/4", disse Maynard.

James Maynard é um notável estudioso na área de matemática e ganhou a Medalha Fields em 2022.

Ele se formou na Universidade de Cambridge com bacharelado e doutorado pela Universidade de Oxford. Ele leciona no Instituto de Matemática da Universidade de Oxford desde 2018.

Há cerca de uma década, Maynard começou a pensar em como melhorar as estimativas de Ingham destes pontos zero específicos. "Este é um dos meus problemas favoritos na teoria analítica dos números. Sempre sinto que, se trabalhar mais, posso progredir."

Mas, ano após ano, sempre que tentava resolver o problema, ficava preso.

Então, no início de 2020, enquanto viajava de avião para uma conferência no Colorado, ele teve uma ideia: talvez ferramentas de análise harmônica pudessem ser úteis.

Coincidentemente, Larry Guth, especialista em análise harmônica do MIT, compareceu à mesma reunião.

Duas pessoas que estavam pensando em problemas semelhantes se encontraram assim.

No entanto, Guth não estava completamente familiarizado com a teoria analítica dos números. Durante o almoço, Maynard explicou-lhe os aspectos da teoria dos números e apresentou-lhe um caso de teste concreto.

Depois de trabalhar intermitentemente por vários anos, Guth percebeu que sua técnica de análise harmônica não funcionava.

Mas ele não parou de pensar no problema e tentou uma nova abordagem.

Em fevereiro deste ano, ele contatou novamente Maynard. Combinando suas diferentes perspectivas, os dois começaram a colaborar seriamente.

Alguns meses depois, eles tiveram os resultados.

"abandono" em matemática

Guth e Maynard primeiro transformaram o problema que queriam resolver em outra forma.

Se a parte real de algum zero não for 1/2, então a função associada, chamada polinômio de Dirichlet, deve produzir um valor muito grande.

Portanto, provar que as exceções à hipótese de Riemann raramente são equivalentes a provar que os polinômios de Dirichlet geralmente não produzem valores grandes.

Então os matemáticos fizeram outra transformação.

Primeiro, eles construíram uma matriz, ou tabela de números, usando polinômios de Dirichlet.

“Os matemáticos gostam de ver matrizes porque matrizes são algo que entendemos muito bem”, disse Guth. “Você tem que aprender a manter um olfato apurado e estar preparado para ver a Matrix em todos os lugares.”

Uma matriz pode “agir sobre” um objeto matemático denominado vetor, definido por seu comprimento e direção, para produzir outro vetor.

Normalmente, quando uma matriz atua sobre um vetor, ela altera o comprimento e a direção do vetor.

Às vezes, existem vetores especiais que apenas mudam de comprimento, mas não de direção, quando passam pela matriz. Esses vetores são chamados de autovetores.

Os matemáticos medem a magnitude dessas mudanças com números chamados autovalores.

Guth e Maynard reformularam seu problema para que se tornasse um problema sobre o autovalor máximo de uma matriz.

Se eles puderem mostrar que o autovalor máximo não pode se tornar muito grande, seu trabalho estará concluído.

Para isso, eles usaram uma fórmula que resultou em uma soma complexa e procuraram maneiras de fazer com que os valores positivos e negativos da soma se anulassem o máximo possível.

“Você tem que reorganizar a sequência ou observá-la do ângulo certo para ver alguma simetria e conseguir algum cancelamento”, disse Guth.

O processo envolveu vários passos surpreendentes, o mais importante dos quais foi uma ideia que Maynard descreveu como “um pouco mágica”.

Em algum momento, eles deveriam ter dado um passo de simplificação aparentemente óbvio para simplificar a sua soma.

No entanto, eles não fizeram isso. Em vez disso, eles mantêm a soma de uma forma mais longa e complexa.

“Fizemos algumas coisas que à primeira vista pareciam completamente estúpidas e simplesmente nos recusamos a fazer simplificações padrão”, disse Maynard. “Estamos abrindo mão de muita coisa, o que significa que agora não podemos definir limites simples para essa soma.”

Mas, a longo prazo, isto provou ser uma medida benéfica.

“No xadrez, isso se chama abandono – sacrificar uma peça para conseguir uma posição melhor no tabuleiro”, disse Maynard.

E Guth comparou isso a jogar um Cubo de Rubik: às vezes você tem que desfazer movimentos anteriores para fazer tudo parecer pior e então encontrar uma maneira de colocar mais cores nos lugares certos.

“É preciso muita coragem para descartar uma melhoria óbvia e esperar poder restaurá-la mais tarde”, diz Roger Heath-Brown, matemático da Universidade de Oxford e antigo mentor de Maynard. "Isso vai contra tudo que acho que deveria ser feito."

Mas esse mentor admite que foi exatamente aí que ele ficou preso.

O status de Guth como especialista em análise harmônica, e não como teórico dos números, tornou essa estratégia possível, disse Maynard. “Ele não está limitado por essas regras inerentes, então está mais disposto a considerar coisas que estão fora do comum”.

Eventualmente, eles foram capazes de estabelecer um limite bom o suficiente para o autovalor máximo, o que se traduziu em um limite mais preciso para o número de contra-exemplos potenciais para a hipótese de Riemann.

Embora o seu trabalho tenha começado com as ideias de análise harmónica que inspiraram Guth, acabaram por excluir estas técnicas complexas e regressaram à simplicidade.

“Parece algo que eu poderia ter tentado há 40 anos”, disse Heath-Brown.

Finalmente, Guth e Maynard provaram automaticamente alguns resultados sobre a distribuição de números primos, fornecendo limites melhores para o número de zeros cuja parte real é 3/4.

Por exemplo, para intervalos mais curtos, estimar o número de primos encontrados em um determinado intervalo torna-se menos preciso. O novo trabalho permite que os matemáticos obtenham boas estimativas em intervalos mais curtos.

Os matemáticos acreditam que esta prova também pode melhorar outras conclusões sobre números primos.

E parece haver espaço para mais melhorias na tecnologia de Guth e Maynard.

No entanto, Maynard acredita que essas técnicas não são a forma correta de resolver a própria hipótese de Riemann.

"Também requer grandes ideias de outros lugares."

Interpretação de Tao Zhexuan: Usando a teoria analítica dos números de maneiras inesperadas

Tao Zhexuan também deu uma interpretação mais profissional deste método de “abandono de crianças” -

Se (σ,) representa o número de pontos zero da função zeta de Riemann cuja parte real é no mínimo σ e a parte imaginária é no máximo, a hipótese de Riemann nos diz que para qualquer σ>1/2, (σ,) será desaparecer. É claro que não podemos provar isso incondicionalmente.

Mas a seguir, podemos provar a estimativa de densidade zero, que é um limite superior não trivial em (σ,).

Acontece que σ=3/4 é um valor crítico. Em 1940, Ingham obteve um resultado - (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

Nos oitenta anos seguintes, as únicas melhorias neste limite foram pequenas melhorias no erro de (1).

Isso nos impede de fazer muitas coisas na teoria analítica dos números: por exemplo, para obter um bom teorema dos números primos em quase qualquer intervalo curto da forma (,+^), estamos há muito tempo restritos a >1/6 , e o principal obstáculo é que os limites de Ingham não têm melhorias.

A pesquisa mais recente de Guth e Maynard melhorou com sucesso o limite de Ingham de 3/5 = 0,6 para 13/25 = 0,52.

Isso levou a muitas melhorias correspondentes na teoria analítica dos números, por exemplo, a gama de teoremas prováveis ​​dos números primos passou de >1/6=0,166… a >2/15=0,133… em quase todos os intervalos curtos (se a hipótese de Riemann for verdadeira); , significaria que podemos cobrir todo o intervalo > 0).

Estes argumentos baseiam-se essencialmente na análise de Fourier. Os primeiros passos são padrão e serão reconhecidos por muitos teóricos analíticos dos números que tentam ultrapassar os limites de Ingham.

Mas eles têm muitas operações inteligentes e inesperadas, como controlar a matriz de fase chave ^{}=^{log⁡} elevando-a à sexta potência (aparentemente, isso torna o problema mais complicado e complicado).

e, rejeitando a utilização do método da fase estacionária para simplificar uma determinada integral complexa de Fourier, fazendo assim concessões exponenciais de forma a preservar uma forma de factorização que acaba por se revelar mais útil que a aproximação da fase estacionária e de acordo com o surgimento de grandes; valores da série de Dirichlet Divida as situações conforme suas posições tenham energia aditiva pequena, média ou grande e use uma abordagem de argumento ligeiramente diferente para cada caso.

Aqui, a forma exata da função de fase log⁡ implícita na série de Dirichlet torna-se importante; esta é uma maneira inesperada de explorar somas exponenciais especiais que surgem na teoria analítica dos números, em vez do que pode ser encontrado na análise harmônica para uma análise exponencial mais geral. soma.

Referências:

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-primo-numbers-20240715/