berita

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Laporan Kebijaksanaan Baru

Editor: Aeneas mengantuk sekali

[Pengantar Kebijaksanaan Baru] Profesor matematika MIT Larry Guth dan pemenang Medali Lapangan Universitas Oxford James Maynard membuat terobosan besar dalam Hipotesis Riemann, secara langsung memecahkan rekor selama lebih dari 80 tahun. Menariknya, mereka mengorbankan "anak terlantar" dalam proses tersebut, membuat situasi semakin rumit dan sulit, namun semakin mendekati jawabannya.

Salah satu dari "tujuh masalah matematika utama milenium" - Hipotesis Riemann (RH) telah membuat terobosan signifikan, dan ahli matematika selangkah lebih dekat untuk memenangkan "mahkota dugaan"!

MIT mengusulkan pembatasan yang lebih ketat terhadap kemungkinan pengecualian terhadap Hipotesis Riemann, sebuah langkah yang secara langsung memecahkan rekor berusia 80 tahun.

Alamat makalah: https://arxiv.org/abs/2405.20552

Saat ini, Hipotesis Riemann tetap menjadi salah satu misteri terpenting yang belum terpecahkan dalam matematika. Jika hal ini dapat dibuktikan, ahli matematika akan memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang distribusi bilangan prima,

Selain itu, banyak karya di bidang teori bilangan dan fungsi variabel kompleks didasarkan pada premis bahwa Hipotesis Riemann benar. Oleh karena itu, setelah Hipotesis Riemann terbukti, banyak karya lain juga akan terbukti sepenuhnya.

Siapa pun yang memecahkan Hipotesis Riemann akan menerima hadiah $1 juta dari Clay Mathematics Institute.

Matematikawan saat ini tidak tahu bagaimana membuktikan Hipotesis Riemann, namun mereka masih bisa mendapatkan hasil yang berguna dengan menunjukkan bahwa ada sejumlah kemungkinan pengecualian.

Pada bulan Mei, Maynard dan Larry Guth dari MIT menetapkan batas atas baru pada jumlah pengecualian jenis tertentu, memecahkan rekor sebelumnya yang telah bertahan selama lebih dari 80 tahun.

Dengan bukti baru ini, mereka mendapatkan perkiraan yang lebih baik tentang jumlah bilangan prima dalam interval pendek pada garis bilangan, dan hal ini menjanjikan untuk memberikan lebih banyak wawasan tentang bilangan prima.

Hal ini masih jauh dari menyelesaikan Hipotesis Riemann sepenuhnya, namun masih merupakan momen bersejarah.

Henryk Iwaniec dari Universitas Rutgers berkomentar: "Ini adalah hasil yang sensasional. Prosesnya sangat, sangat sulit, namun mereka menghasilkan sebuah permata."

Tao Zhexuan sangat menghargai makalah ini:

Guth dan Maynard membuat terobosan signifikan pada hipotesis Riemannian, membuat perbaikan substansial pertama pada Ingham klasik tahun 1940 yang terikat pada nol fungsi zeta Riemannian (dan lebih umum lagi, batasan skala besar yang mengatur berbagai nilai deret Dirichlet).

Ia percaya ini adalah momen bersejarah, "Dalam delapan puluh tahun sejak keberadaan Hipotesis Riemann, satu-satunya pendorong untuk kendala ini adalah perbaikan kecil pada kesalahan (1)."

Meskipun ia juga mengakui bahwa "kami masih jauh dari menyelesaikan dugaan ini sepenuhnya."

Tahukah Anda, pada awal tahun 2008, Xian-Jin Li, seorang ahli matematika di Brigham Young University di Amerika Serikat, juga menerbitkan makalah tentang arxiv, yang mengklaim telah membuktikan Hipotesis Riemann. Belakangan, Terence Tao dan ahli matematika Perancis Alain Connes (keduanya pemenang Fields Medal) dengan kejam menunjukkan kesalahan dalam proses pembuktian Li.

Nah, kali ini penelitian Guth dan Maynard yang diteruskan oleh Terence Tao menunjukkan signifikansinya yang luar biasa.

jalan memutar yang cerdik

Hipotesis Riemann melibatkan rumus inti dalam teori bilangan—fungsi Riemann zeta. Fungsi ζ adalah generalisasi dari penjumlahan sederhana:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Deret ini akan menjadi tak terhingga seiring bertambahnya jumlah suku. Proses ini disebut "divergensi" oleh para ahli matematika. Namun jika dijumlahkan:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Kita akan mendapatkan π^2/6, yang kira-kira sama dengan 1,64.

Dan Riemann membuat ide bagus yang tak terduga, mengubah rangkaian tersebut menjadi fungsi seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Jadi ζ(1) tidak terhingga, tetapi ζ(2) = π^2/6.

Segalanya menjadi sangat menarik ketika kita membuat bilangan kompleks.

Bilangan kompleks memiliki dua bagian: "bagian nyata", yaitu bilangan dalam kehidupan sehari-hari, dan "bagian imajiner", yaitu bilangan sehari-hari dikalikan dengan akar kuadrat dari -1 (yang ditulis oleh ahli matematika sebagai i).

Bilangan kompleks dapat diplot pada bidang dengan bagian real pada sumbu x dan bagian imajiner pada sumbu y. Misalnya, 3+4i.

Fungsi ζ mengambil titik-titik pada bidang kompleks sebagai masukan dan keluaran bilangan kompleks lainnya.

Ternyata untuk beberapa bilangan kompleks nilai fungsi ζ adalah nol. Menentukan lokasi tepat dari angka nol ini pada bidang kompleks adalah salah satu masalah paling menarik dalam matematika.

Pada tahun 1859, Riemann menduga: semua titik nol terkonsentrasi pada dua garis. Jika kita memperluas fungsi zeta sehingga dapat menangani masukan negatif, kita menemukan bahwa nilai fungsi zeta adalah nol untuk semua bilangan genap negatif: -2, -4, -6, dst.

Hal ini relatif mudah untuk dibuktikan, sehingga disebut angka nol sepele.

Jika bagian riil dari s kurang dari 1, jumlah seluruh rangkaian mungkin berbeda.Agar fungsi tersebut dapat diterapkan pada rentang yang lebih luas, Riemann menulis ulang fungsi ζ di atas ke dalam bentuk di atas

Riemann menebak bahwa semua angka nol lainnya dari fungsi tersebut (yaitu angka nol non-trivial) mempunyai bagian real 1/2 dan oleh karena itu terletak pada garis vertikal ini.

Ini adalah Hipotesis Riemann, dan membuktikannya sangatlah sulit.

Matematikawan mengetahui bahwa bagian riil dari setiap angka nol nontrivial harus berada di antara nol dan 1, namun mereka tidak dapat mengesampingkan bahwa beberapa angka nol mungkin mempunyai bagian nyata sebesar 0,499.

Apa yang dapat mereka lakukan adalah menunjukkan bahwa titik nol seperti itu pasti sangat jarang terjadi.

Secara lebih intuitif, jumlah titik yang tak terhingga dapat digambarkan berdasarkan fungsi ζ.Riemann menduga titik-titik tersebut mempunyai pola susunan tertentu. Ada yang berada pada garis mendatar, dan ada pula yang berada pada garis vertikal. Semua titik tersebut tersusun pada dua garis lurus tersebut tanpa kecuali.

Pada gambar di atas, karena jumlah titiknya tak terhingga, maka kita tidak dapat menggunakan pencacahan untuk membuktikan bahwa semua titik berada pada kedua garis tersebut, karena verifikasi tidak akan pernah selesai. Namun selama masih ada titik yang tidak berada pada kedua garis lurus tersebut, maka dapat membatalkan Hipotesis Riemann.

Matematikawan telah menggunakan komputer untuk memverifikasi bahwa 100 miliar poin pertama semuanya sesuai dengan susunan Hipotesis Riemann.

Selama bertahun-tahun, banyak ahli matematika telah bekerja keras untuk membuktikan dugaan ini, namun belum ada yang mampu membawa pulang "Cawan Suci Matematika" ini. Bahkan banyak ahli matematika yang dengan menyesal meninggal dunia karena hal ini, meninggalkan pemikiran tanpa akhir untuk masa depan generasi.

Matematikawan Amerika Hugh Montgomery bahkan mengatakan bahwa jika iblis setuju untuk membiarkan ahli matematika menukar jiwa mereka dengan bukti proposisi matematika, maka yang diinginkan sebagian besar ilmuwan sebagai gantinya adalah bukti Hipotesis Riemann.

Rekor lebih dari 80 tahun tiba-tiba dipecahkan

Pada tahun 1940, seorang matematikawan Inggris bernama Albert Ingham menetapkan batas atas untuk memperkirakan jumlah titik nol yang bagian realnya tidak sama dengan 1/2. Batas atas ini masih digunakan sebagai titik acuan oleh para ahli matematika hingga saat ini.

Beberapa dekade kemudian, pada tahun 1960an dan 1970an, ahli matematika lain menemukan cara untuk menerjemahkan hasil Ingham ke dalam deskripsi tentang bagaimana bilangan prima berkumpul atau tersebar di sepanjang garis bilangan, dan pola lain apa yang mungkin terbentuk.

Sekitar waktu yang sama, ahli matematika juga memperkenalkan teknik baru yang meningkatkan batas atas Ingham pada angka nol dengan bagian real lebih besar dari 3/4.

Namun ternyata titik nol yang terpenting adalah titik yang bagian realnya tepat 3/4.

“Banyak hasil penting tentang bilangan prima dibatasi oleh pemahaman kita tentang titik nol dengan bagian real 3/4,” kata Maynard.

James Maynard adalah seorang sarjana berprestasi di bidang matematika dan memenangkan Fields Medal pada tahun 2022.

Beliau lulus dari Universitas Cambridge dengan gelar sarjana dan Ph.D. dari Universitas Oxford. Beliau mengajar di Institut Matematika Universitas Oxford sejak 2018.

Sekitar satu dekade lalu, Maynard mulai memikirkan cara meningkatkan perkiraan Ingham mengenai titik nol spesifik ini. "Ini adalah salah satu soal favorit saya dalam teori bilangan analitik. Saya selalu merasa bahwa jika saya bekerja lebih keras, saya dapat membuat kemajuan."

Namun tahun demi tahun, setiap kali dia mencoba menyelesaikan masalahnya, dia menemui jalan buntu.

Kemudian, pada awal tahun 2020, saat berada di pesawat menuju konferensi di Colorado, dia mendapat ide—mungkin alat dari analisis harmonik mungkin berguna.

Secara kebetulan, Larry Guth, pakar analisis harmonik di MIT, juga menghadiri pertemuan yang sama.

Dua orang yang kebetulan memikirkan masalah serupa bertemu seperti ini.

Namun, Guth sama sekali tidak terbiasa dengan teori bilangan analitik. Saat makan siang, Maynard menjelaskan aspek teori bilangan kepadanya dan memberinya contoh kasus yang konkrit.

Setelah bekerja terus-menerus selama beberapa tahun, Guth menyadari bahwa teknik analisis harmoniknya tidak berhasil.

Namun dia tidak berhenti memikirkan masalahnya dan mencoba pendekatan baru.

Pada bulan Februari tahun ini, dia menghubungi Maynard lagi. Menggabungkan perspektif mereka yang berbeda, keduanya mulai berkolaborasi dengan sungguh-sungguh.

Beberapa bulan kemudian, mereka mendapatkan hasilnya.

"pengabaian" dalam matematika

Guth dan Maynard pertama-tama mengubah masalah yang ingin mereka selesaikan ke dalam bentuk lain.

Jika bagian riil dari suatu nol bukan 1/2, maka fungsi terkaitnya, yang disebut polinomial Dirichlet, harus menghasilkan nilai yang sangat besar.

Oleh karena itu, membuktikan bahwa pengecualian terhadap Hipotesis Riemann jarang setara dengan membuktikan bahwa polinomial Dirichlet seringkali tidak menghasilkan nilai yang besar.

Kemudian para ahli matematika melakukan transformasi lain.

Pertama, mereka membuat matriks, atau tabel bilangan, menggunakan polinomial Dirichlet.

“Para ahli matematika senang melihat matriks karena matriks adalah sesuatu yang sangat kita pahami,” kata Guth. "Anda harus belajar menjaga indera penciuman yang tajam dan bersiap untuk melihat Matrix di mana-mana."

Sebuah matriks dapat "bertindak" pada objek matematika yang disebut vektor, yang ditentukan oleh panjang dan arahnya, untuk menghasilkan vektor lain.

Biasanya, ketika suatu matriks bekerja pada suatu vektor, maka panjang dan arah vektor tersebut akan berubah.

Terkadang ada vektor khusus yang hanya mengubah panjang tetapi tidak mengubah arah ketika melewati matriks. Vektor-vektor ini disebut vektor eigen.

Matematikawan mengukur besarnya perubahan ini dengan angka yang disebut nilai eigen.

Guth dan Maynard merumuskan kembali masalahnya sehingga menjadi masalah tentang nilai eigen maksimum suatu matriks.

Jika mereka dapat menunjukkan bahwa nilai eigen maksimum tidak boleh terlalu besar, maka tugas mereka selesai.

Untuk melakukan ini, mereka menggunakan rumus yang menghasilkan jumlah kompleks dan mencari cara untuk membuat nilai positif dan negatif dalam jumlah tersebut saling meniadakan sebanyak mungkin.

“Anda harus mengatur ulang urutannya atau melihatnya dari sudut yang tepat untuk melihat beberapa simetri untuk mencapai beberapa pembatalan,” kata Guth.

Prosesnya melibatkan beberapa langkah mengejutkan, yang terpenting adalah gagasan yang digambarkan Maynard sebagai "sedikit ajaib".

Pada titik tertentu, mereka seharusnya mengambil langkah penyederhanaan yang tampak jelas untuk menyederhanakan jumlah mereka.

Namun, mereka tidak melakukan hal tersebut. Sebaliknya, mereka menyimpan jumlah tersebut dalam bentuk yang lebih panjang dan kompleks.

“Kami melakukan beberapa hal yang sekilas tampak bodoh, dan kami menolak melakukan penyederhanaan standar,” kata Maynard. “Kami sudah banyak menyerah, yang berarti sekarang kami tidak bisa mendapatkan batasan sederhana untuk jumlah ini.”

Namun dalam jangka panjang, langkah ini terbukti bermanfaat.

“Dalam catur, ini disebut pengabaian – mengorbankan sebuah bidak untuk mendapatkan posisi yang lebih baik di papan,” kata Maynard.

Dan Guth menyamakannya dengan memainkan Rubik's Cube: terkadang Anda harus membatalkan gerakan sebelumnya untuk membuat segalanya terlihat lebih buruk, lalu mencari cara untuk menambahkan lebih banyak warna ke tempat yang tepat.

“Dibutuhkan keberanian yang besar untuk membuang kemajuan yang nyata dan kemudian berharap Anda dapat memulihkannya nanti,” kata Roger Heath-Brown, ahli matematika di Universitas Oxford dan mantan mentor Maynard. "Itu bertentangan dengan apa yang saya pikir harus dilakukan."

Namun mentor ini mengakui bahwa justru di sinilah dia terjebak.

Status Guth sebagai ahli analisis harmonik dan bukan sebagai ahli teori angka membuat strategi ini mungkin terjadi, kata Maynard. “Dia tidak dibatasi oleh aturan-aturan yang melekat ini, jadi dia lebih bersedia mempertimbangkan hal-hal yang di luar kebiasaan.”

Pada akhirnya, mereka mampu menetapkan batasan yang cukup baik pada nilai eigen maksimum, yang selanjutnya diterjemahkan menjadi batasan yang lebih tepat pada jumlah contoh tandingan potensial terhadap Hipotesis Riemann.

Meskipun pekerjaan mereka dimulai dengan ide-ide analisis harmonik yang menginspirasi Guth, mereka akhirnya mengecualikan teknik-teknik rumit ini dan kembali ke kesederhanaan.

“Sepertinya sesuatu yang mungkin pernah saya coba 40 tahun lalu,” kata Heath-Brown.

Terakhir, Guth dan Maynard secara otomatis membuktikan beberapa hasil tentang distribusi bilangan prima dengan memberikan batasan yang lebih baik pada bilangan nol yang bagian realnya adalah 3/4.

Misalnya, untuk interval yang lebih pendek, memperkirakan jumlah bilangan prima yang ditemukan dalam interval tertentu menjadi kurang akurat. Karya baru ini memungkinkan ahli matematika mendapatkan perkiraan yang baik dalam interval yang lebih pendek.

Para ahli matematika percaya bahwa bukti ini juga dapat meningkatkan kesimpulan lain tentang bilangan prima.

Dan tampaknya masih ada ruang untuk perbaikan lebih lanjut pada teknologi Guth dan Maynard.

Namun, Maynard berpendapat bahwa teknik tersebut bukanlah cara yang tepat untuk menyelesaikan Hipotesis Riemann itu sendiri.

“Hal ini juga memerlukan ide-ide besar dari pihak lain.”

Interpretasi Tao Zhexuan: Menggunakan teori bilangan analitik dengan cara yang tidak terduga

Tao Zhexuan juga memberikan interpretasi yang lebih profesional tentang metode "menelantarkan anak" -

Jika (σ,) mewakili jumlah titik nol dari fungsi zeta Riemann yang bagian riilnya paling sedikit σ dan bagian imajinernya paling banyak, maka hipotesis Riemann menyatakan bahwa untuk sembarang σ>1/2, (σ,) akan Tentu saja, kita tidak bisa membuktikannya tanpa syarat.

Namun selanjutnya, kita dapat membuktikan perkiraan kepadatan nol, yang merupakan batas atas non-trivial pada (σ,).

Ternyata σ=3/4 merupakan nilai kritis. Pada tahun 1940, Ingham memperoleh hasil - (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

Selama delapan puluh tahun berikutnya, satu-satunya perbaikan pada batasan ini hanyalah perbaikan kecil pada kesalahan (1).

Hal ini membatasi kita untuk melakukan banyak hal dalam teori bilangan analitik: misalnya, untuk mendapatkan teorema bilangan prima yang baik di hampir semua interval pendek dalam bentuk (,+^), kita telah lama dibatasi pada >1/6 , dan kendala utamanya adalah batas-batas Ingham kurang diperbaiki.

Penelitian terbaru yang dilakukan Guth dan Maynard berhasil meningkatkan ikatan Ingham dari 3/5=0,6 menjadi 13/25=0,52.

Hal ini menyebabkan banyak perbaikan dalam teori bilangan analitik; misalnya, rentang teorema bilangan prima yang dapat dibuktikan berubah dari >1/6=0,166… menjadi >2/15=0,133… di hampir semua interval pendek (jika Hipotesis Riemann Benar). , berarti kita dapat mencakup seluruh rentang > 0).

Argumen-argumen ini pada dasarnya didasarkan pada analisis Fourier. Beberapa langkah pertama adalah langkah standar dan akan diakui oleh banyak ahli teori bilangan analitik yang mencoba melampaui batasan Ingham.

Namun mereka memiliki banyak operasi yang cerdik dan tidak terduga, seperti mengendalikan matriks fase kunci ^{}=^{log⁡} dengan menaikkannya ke pangkat keenam (tampaknya, hal ini membuat soal menjadi lebih rumit dan rumit).

dan, menolak penggunaan metode fase diam untuk menyederhanakan integral Fourier kompleks tertentu, sehingga membuat konsesi eksponensial untuk mempertahankan bentuk faktorisasi yang pada akhirnya terbukti lebih berguna daripada pendekatan fase diam dan menurut kemunculannya yang besar nilai deret Dirichlet Bagilah situasi berdasarkan apakah posisinya memiliki energi aditif kecil, sedang, atau besar, dan gunakan pendekatan argumen yang sedikit berbeda untuk setiap kasus.

Di sini bentuk pasti dari fungsi fase log⁡ yang tersirat dalam deret Dirichlet menjadi penting; ini adalah cara yang tidak terduga dalam mengeksploitasi jumlah eksponensial khusus yang muncul dalam teori bilangan analitik, daripada yang mungkin ditemui dalam analisis harmonik ke eksponensial yang lebih umum jumlah.

Referensi:

https://www.quantamagazine.org/bukti-sensasional-memberikan-wawasan-baru-tentang-bilangan-prima-20240715/