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Nouveau rapport de sagesse

Editeur : Énée si endormi

[Introduction à la nouvelle sagesse] Larry Guth, professeur de mathématiques au MIT, et James Maynard, lauréat de la médaille Fields de l'Université d'Oxford, ont fait une percée majeure dans l'hypothèse de Riemann, battant directement le record de plus de 80 ans. Il est intéressant de noter qu’ils ont sacrifié un « fils abandonné » dans le processus, rendant la situation plus compliquée et plus difficile, mais se rapprochant de la réponse.

L'un des « sept problèmes mathématiques majeurs du millénaire » : l'hypothèse de Riemann (RH) a fait une avancée significative. Les mathématiciens sont sur le point de remporter la « couronne des conjectures » !

Le MIT a proposé des restrictions plus strictes sur les exceptions potentielles à l’hypothèse de Riemann, une décision qui a directement battu le record vieux de 80 ans.

Adresse papier : https://arxiv.org/abs/2405.20552

Aujourd’hui, l’hypothèse de Riemann reste l’un des mystères non résolus les plus importants en mathématiques. Si cela pouvait être prouvé, les mathématiciens comprendraient mieux la distribution des nombres premiers,

De plus, de nombreux travaux dans le domaine de la théorie des nombres et des fonctions variables complexes sont basés sur la prémisse que l'hypothèse de Riemann est vraie. Par conséquent, une fois l'hypothèse de Riemann prouvée, de nombreux autres travaux seront également complètement prouvés.

Celui qui résoudra l’hypothèse de Riemann recevra une récompense d’un million de dollars du Clay Mathematics Institute.

Les mathématiciens ne savent actuellement pas comment prouver l’hypothèse de Riemann, mais ils peuvent néanmoins obtenir des résultats utiles en montrant qu’il existe un nombre limité d’exceptions possibles.

En mai, Maynard et Larry Guth du MIT ont établi une nouvelle limite supérieure pour le nombre d'exceptions d'un type spécifique, battant un précédent record qui existait depuis plus de 80 ans.

Avec la nouvelle preuve, ils obtiennent une meilleure approximation du nombre de nombres premiers dans de courts intervalles sur la droite numérique et, espérons-le, fourniront davantage d’informations sur les nombres premiers.

C’est encore loin de résoudre complètement l’hypothèse de Riemann, mais cela reste un moment historique.

Henryk Iwaniec de l'Université Rutgers a commenté : "C'est un résultat sensationnel. Le processus a été très, très difficile, mais ils ont réussi un joyau."

Tao Zhexuan a grandement apprécié cet article :

Guth et Maynard ont fait une percée significative sur l'hypothèse riemannienne, fournissant les premières améliorations substantielles à la borne classique d'Ingham de 1940 sur les zéros de la fonction zêta riemannienne (et plus généralement, les contraintes à grande échelle régissant diverses valeurs de séries de Dirichlet).

Il estime qu'il s'agit d'un moment historique : « Au cours des quatre-vingts années qui se sont écoulées depuis l'existence de l'hypothèse de Riemann, la seule poussée en faveur de cette contrainte a été une petite amélioration de l'erreur de (1). »

Même s'il a également admis que "nous sommes encore loin de résoudre complètement cette hypothèse".

Vous savez, dès 2008, Xian-Jin Li, mathématicien à l'université Brigham Young aux États-Unis, a également publié un article sur arxiv, affirmant avoir prouvé l'hypothèse de Riemann. Plus tard, Terence Tao et le mathématicien français Alain Connes (tous deux lauréats de la médaille Fields) ont impitoyablement souligné les erreurs dans le processus de preuve de Li.

Eh bien, cette fois, les recherches de Guth et Maynard ont été transmises par Terence Tao, ce qui montre son importance extraordinaire.

détour astucieux

L’hypothèse de Riemann implique une formule fondamentale de la théorie des nombres : la fonction zêta de Riemann. La fonction ζ est une généralisation de sommation simple :

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Cette série deviendra infinie à mesure que le nombre de termes augmente. Ce processus est appelé « divergence » par les mathématiciens. Mais si à la place la sommation :

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Nous obtiendrons π^2/6, ce qui est approximativement égal à 1,64.

Et Riemann a eu une idée étonnamment géniale, transformant une telle série en une fonction comme indiqué ci-dessous :

Donc ζ(1) est infini, mais ζ(2) = π^2/6.

Les choses deviennent vraiment intéressantes quand on crée un nombre complexe.

Les nombres complexes comportent deux parties : la « partie réelle », qui est le nombre de la vie quotidienne, et la « partie imaginaire », qui est le nombre quotidien multiplié par la racine carrée de -1 (que les mathématiciens écrivent i).

Les nombres complexes peuvent être tracés sur le plan avec la partie réelle sur l'axe des x et la partie imaginaire sur l'axe des y. Par exemple, 3+4i.

La fonction ζ prend des points sur le plan complexe en entrée et génère d'autres nombres complexes.

Il s'avère que pour certains nombres complexes, la valeur de la fonction ζ est nulle. Déterminer l’emplacement exact de ces zéros dans le plan complexe est l’un des problèmes les plus intéressants en mathématiques.

En 1859, Riemann conjectura : tous les points zéro sont concentrés sur deux lignes. Si nous étendons la fonction zêta pour qu'elle puisse gérer les entrées négatives, nous constatons que la valeur de la fonction zêta est nulle pour tous les nombres pairs négatifs : -2, -4, -6, etc.

C’est relativement facile à prouver, c’est pourquoi on les appelle des zéros triviaux.

Lorsque la partie réelle de s est inférieure à 1, la somme entière de la série peut diverger.Afin de rendre la fonction applicable à une plage plus large, Riemann a réécrit la fonction ζ ci-dessus sous la forme ci-dessus

Riemann a deviné que tous les autres zéros de la fonction (c'est-à-dire les zéros non triviaux) ont des parties réelles de 1/2 et se trouvent donc sur cette ligne verticale.

C’est l’hypothèse de Riemann, et il a été extrêmement difficile de la prouver.

Les mathématiciens savent que la partie réelle de tout zéro non trivial doit être comprise entre zéro et 1, mais ils ne peuvent pas exclure que certains zéros puissent avoir une partie réelle de 0,499.

Ce qu’ils peuvent faire, c’est montrer que de tels points zéro doivent être très rares.

De manière plus intuitive, un nombre infini de points peut être dessiné selon la fonction ζ.Riemann a deviné que ces points ont un certain schéma de disposition. Certains d'entre eux sont sur une ligne horizontale et l'autre partie est sur une ligne verticale. Tous ces points sont disposés sur ces deux lignes droites sans exception.

Dans la figure ci-dessus, puisqu’il y a une infinité de points, nous ne pouvons pas utiliser l’énumération pour prouver que tous les points sont sur ces deux droites, car la vérification ne sera jamais complète. Mais tant qu’il y a un point qui n’est pas sur ces deux droites, cela peut renverser l’hypothèse de Riemann.

Les mathématiciens ont utilisé des ordinateurs pour vérifier que les 100 premiers milliards de points étaient tous conformes à l'arrangement de l'hypothèse de Riemann.

Au fil des années, de nombreux mathématiciens ont travaillé dur pour prouver cette conjecture, mais personne n’a réussi à remporter ce « Saint Graal des mathématiques ». De nombreux mathématiciens sont même décédés à regret à cause de cela, laissant une réflexion interminable sur l’avenir. générations.

Le mathématicien américain Hugh Montgomery a même déclaré que si le diable acceptait de laisser les mathématiciens échanger leur âme contre la preuve d'une proposition mathématique, ce que la plupart des scientifiques voudraient en échange serait la preuve de l'hypothèse de Riemann.

Le record de plus de 80 ans a été soudainement battu

En 1940, un mathématicien britannique nommé Albert Ingham a établi une limite supérieure pour estimer le nombre de points zéro dont la partie réelle n'est pas égale à 1/2. Cette limite supérieure est encore utilisée aujourd'hui comme point de référence par les mathématiciens.

Des décennies plus tard, dans les années 1960 et 1970, d'autres mathématiciens ont trouvé le moyen de traduire les résultats d'Ingham en descriptions de la façon dont les nombres premiers se regroupent ou s'étalent le long de la droite numérique, et des autres modèles qu'ils pourraient former.

À peu près à la même époque, les mathématiciens ont également introduit de nouvelles techniques qui ont amélioré la limite supérieure d'Ingham sur les zéros avec des parties réelles supérieures à 3/4.

Mais il s’avère que les points zéro les plus importants sont ceux dont la partie réelle est exactement de 3/4.

"De nombreux résultats importants sur les nombres premiers sont limités par notre compréhension du point zéro avec une partie réelle de 3/4", a déclaré Maynard.

James Maynard est un chercheur exceptionnel dans le domaine des mathématiques et a remporté la médaille Fields en 2022.

Il est diplômé de l'Université de Cambridge avec un baccalauréat et un doctorat de l'Université d'Oxford. Il enseigne à l'Institut de mathématiques de l'Université d'Oxford depuis 2018.

Il y a environ dix ans, Maynard a commencé à réfléchir à la manière d'améliorer les estimations d'Ingham concernant ces points zéro spécifiques. "C'est l'un de mes problèmes préférés en théorie analytique des nombres. J'ai toujours le sentiment que si je travaille plus dur, je peux progresser."

Mais année après année, chaque fois qu’il essayait de résoudre le problème, il restait bloqué.

Puis, début 2020, lors d’un voyage en avion pour une conférence dans le Colorado, il a eu une idée : peut-être que des outils d’analyse harmonique pourraient être utiles.

Par coïncidence, Larry Guth, expert en analyse harmonique au MIT, assistait à la même réunion.

Deux personnes qui réfléchissaient à des problèmes similaires se sont rencontrées ainsi.

Cependant, Guth n’était absolument pas familier avec la théorie analytique des nombres. Au cours du déjeuner, Maynard lui a expliqué les aspects de la théorie des nombres et lui a présenté un cas de test concret.

Après avoir travaillé par intermittence pendant plusieurs années, Guth s'est rendu compte que sa technique d'analyse harmonique ne fonctionnait pas.

Mais il n’a pas arrêté de réfléchir au problème et a essayé une nouvelle approche.

En février de cette année, il a de nouveau contacté Maynard. Combinant leurs différentes perspectives, les deux hommes ont commencé à collaborer sérieusement.

Quelques mois plus tard, ils avaient les résultats.

"abandon" en mathématiques

Guth et Maynard ont d’abord transformé le problème qu’ils voulaient résoudre sous une autre forme.

Si la partie réelle d’un zéro n’est pas 1/2, alors la fonction associée, appelée polynôme de Dirichlet, doit produire une très grande valeur.

Par conséquent, prouver que les exceptions à l’hypothèse de Riemann équivaut rarement à prouver que les polynômes de Dirichlet ne produisent pas souvent de grandes valeurs.

Puis les mathématiciens ont procédé à une autre transformation.

Tout d’abord, ils ont construit une matrice, ou tableau de nombres, à l’aide de polynômes de Dirichlet.

"Les mathématiciens aiment voir les matrices parce que les matrices sont quelque chose que nous comprenons très bien", a déclaré Guth. "Il faut apprendre à garder un odorat aiguisé et être prêt à voir la Matrice partout."

Une matrice peut « agir sur » un objet mathématique appelé vecteur, défini par sa longueur et sa direction, pour produire un autre vecteur.

Normalement, lorsqu’une matrice agit sur un vecteur, elle change la longueur et la direction du vecteur.

Parfois, il existe des vecteurs spéciaux qui changent uniquement de longueur mais pas de direction lorsqu'ils traversent la matrice. Ces vecteurs sont appelés vecteurs propres.

Les mathématiciens mesurent l’ampleur de ces changements à l’aide de nombres appelés valeurs propres.

Guth et Maynard ont reformulé leur problème pour qu'il devienne un problème de valeur propre maximale d'une matrice.

S’ils peuvent montrer que la valeur propre maximale ne peut pas devenir trop grande, leur travail est terminé.

Pour ce faire, ils ont utilisé une formule qui aboutissait à une somme complexe et ont cherché des moyens de faire en sorte que les valeurs positives et négatives de la somme s'annulent autant que possible.

"Il faut réorganiser la séquence, ou la regarder sous le bon angle, pour voir une certaine symétrie et obtenir une annulation", a déclaré Guth.

Le processus impliquait plusieurs étapes surprenantes, dont la plus importante était une idée que Maynard a qualifiée de « un peu magique ».

À un moment donné, ils auraient dû prendre une mesure simplificatrice apparemment évidente pour simplifier leur somme.

Cependant, ils ne l’ont pas fait. Au lieu de cela, ils conservent la somme sous une forme plus longue et plus complexe.

"Nous avons fait certaines choses qui, à première vue, semblaient complètement stupides, et nous avons simplement refusé de procéder à des simplifications standard", a déclaré Maynard. "Nous abandonnons beaucoup, ce qui signifie que nous ne pouvons plus fixer de limites simples pour cette somme."

Mais à long terme, cette décision s’est avérée bénéfique.

"Aux échecs, cela s'appelle l'abandon : sacrifier une pièce pour obtenir une meilleure position sur l'échiquier", a déclaré Maynard.

Et Guth a comparé cela à un jeu de Rubik's Cube : il faut parfois annuler des mouvements précédents pour que tout paraisse pire, puis trouver un moyen d'amener plus de couleurs aux bons endroits.

"Il faut beaucoup de courage pour rejeter une amélioration évidente et espérer ensuite pouvoir la restaurer plus tard", explique Roger Heath-Brown, mathématicien à l'Université d'Oxford et ancien mentor de Maynard. "Cela va à l'encontre de tout ce qui, à mon avis, devrait être fait."

Mais ce mentor admet que c’est exactement là qu’il s’est retrouvé coincé.

Le statut de Guth en tant qu'expert en analyse harmonique plutôt qu'en tant que théoricien des nombres a rendu cette stratégie possible, a déclaré Maynard. "Il n'est pas contraint par ces règles inhérentes, donc il est plus disposé à considérer des choses qui sortent de l'ordinaire."

Finalement, ils ont réussi à fixer une limite suffisamment bonne pour la valeur propre maximale, ce qui s'est traduit par une limite plus précise du nombre de contre-exemples potentiels à l'hypothèse de Riemann.

Bien que leur travail ait commencé avec les idées d’analyse harmonique qui ont inspiré Guth, ils ont finalement exclu ces techniques complexes et sont revenus à la simplicité.

"Cela ressemble à quelque chose que j'aurais pu essayer il y a 40 ans", a déclaré Heath-Brown.

Enfin, Guth et Maynard ont automatiquement prouvé certains résultats sur la distribution des nombres premiers en donnant de meilleures bornes sur le nombre de zéros dont la partie réelle est 3/4.

Par exemple, pour des intervalles plus courts, l’estimation du nombre de nombres premiers trouvés dans un intervalle donné devient moins précise. Les nouveaux travaux permettent aux mathématiciens d'obtenir de bonnes estimations dans des intervalles plus courts.

Les mathématiciens pensent que cette preuve pourrait également améliorer d’autres conclusions sur les nombres premiers.

Et il semble y avoir encore place à l'amélioration de la technologie de Guth et Maynard.

Cependant, Maynard estime que ces techniques ne constituent pas la bonne manière de résoudre l’hypothèse de Riemann elle-même.

"Cela nécessite aussi de grandes idées venues d'ailleurs."

L'interprétation de Tao Zhexuan : utiliser la théorie analytique des nombres de manière inattendue

Tao Zhexuan a également donné une interprétation plus professionnelle de cette méthode « d'abandon des enfants » -

Si (σ,) représente le nombre de points zéro de la fonction zêta de Riemann dont la partie réelle est au moins σ et la partie imaginaire est au plus, l'hypothèse de Riemann nous dit que pour tout σ>1/2, (σ,) Bien entendu, nous ne pouvons pas le prouver de manière inconditionnelle.

Mais ensuite, nous pouvons prouver l’estimation de densité nulle, qui est une limite supérieure non triviale sur (σ,).

Il s’avère que σ=3/4 est une valeur critique. En 1940, Ingham a obtenu un résultat - (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

Au cours des quatre-vingts années suivantes, les seules améliorations apportées à cette limite furent de légères améliorations de l’erreur de (1).

Cela nous limite à faire beaucoup de choses en théorie analytique des nombres : par exemple, afin d'obtenir un bon théorème des nombres premiers dans presque n'importe quel intervalle court de la forme (,+^), nous avons longtemps été limités à >1/6 , et le principal obstacle est que les limites d'Ingham ne s'améliorent pas.

Les dernières recherches de Guth et Maynard ont réussi à améliorer la limite d'Ingham de 3/5=0,6 à 13/25=0,52.

Cela a conduit à de nombreuses améliorations correspondantes dans la théorie analytique des nombres ; par exemple, la gamme de théorèmes des nombres premiers prouvables est passée de >1/6=0,166… à >2/15=0,133… dans presque tous les intervalles courts (si l'hypothèse de Riemann est vraie). , cela signifierait que nous pouvons couvrir toute la plage > 0).

Ces arguments reposent essentiellement sur l’analyse de Fourier. Les premières étapes sont classiques et seront reconnues par de nombreux théoriciens analytiques des nombres qui tentent de repousser les limites d'Ingham.

Mais ils ont de nombreuses opérations intelligentes et inattendues, comme contrôler la matrice de phases clés en l'élevant à la sixième puissance (apparemment, cela rend le problème plus compliqué et plus délicat).

et, rejetant l'utilisation de la méthode des phases stationnaires pour simplifier une certaine intégrale de Fourier complexe, faisant ainsi des concessions exponentielles afin de conserver une forme de factorisation qui s'avère finalement plus utile que l'approximation de phases stationnaires et selon l'émergence de grandes dimensions ; valeurs de la série de Dirichlet Divisez les situations selon que leurs positions ont une énergie additive faible, moyenne ou grande et utilisez une approche argumentative légèrement différente pour chaque cas.

Ici, la forme exacte de la fonction de phase log⁡ implicite dans la série de Dirichlet devient importante ; il s'agit d'une manière inattendue d'exploiter les sommes exponentielles spéciales qui surviennent dans la théorie analytique des nombres, plutôt que ce que l'on pourrait rencontrer dans une analyse harmonique plus générale. somme.

Les références:

https://www.quantamagazine.org/une-preuve-sensationnelle-apporte-de-nouvelles-informations-sur-les-nombres-primes-20240715/