समाचारं

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

नवीन बुद्धि प्रतिवेदन

सम्पादकः - एनियसः एतावत् निद्रालुः

[नव प्रज्ञायाः परिचयः] । एमआईटी गणितस्य प्राध्यापकः लैरी गुथः, आक्सफोर्डविश्वविद्यालयस्य फील्ड्स् पदकविजेता जेम्स् मेनार्ड् च रीमैन् परिकल्पने महतीं सफलतां प्राप्तवन्तौ, येन ८० वर्षाणाम् अधिककालस्य अभिलेखं प्रत्यक्षतया भङ्गं कृतम् रोचकं तत् अस्ति यत् ते प्रक्रियायां "परित्यक्तपुत्रस्य" बलिदानं कृतवन्तः, येन स्थितिः अधिका जटिला कठिना च अभवत्, परन्तु उत्तरस्य समीपं गतवन्तः

"सहस्राब्दस्य सप्त प्रमुखेषु गणितीयसमस्यासु" एकः - रीमैन् परिकल्पना (RH) महत्त्वपूर्णं सफलतां कृतवती अस्ति, गणितज्ञाः च "अनुमानानाम् मुकुटम्" जितुम् एकं पदं समीपे सन्ति!

एमआईटी इत्यनेन रीमैन् परिकल्पनायाः सम्भाव्यअपवादानाम् उपरि कठोरतरप्रतिबन्धाः प्रस्ताविताः, एषा कदमः प्रत्यक्षतया ८० वर्षीयं अभिलेखं भङ्गं कृतवान् ।

पेपर पता: https://arxiv.org/abs/2405.20552

अद्यत्वे रीमैन् परिकल्पना गणितस्य महत्त्वपूर्णेषु अनवधानरहस्येषु अन्यतमं वर्तते । यदि सिद्धं कर्तुं शक्यते तर्हि गणितज्ञाः अभाज्यसंख्यावितरणस्य गहनतया अवगमनं प्राप्नुयुः,

अपि च, संख्यासिद्धान्तस्य जटिलचरकार्यस्य च क्षेत्रे बहवः कार्याणि अस्य आधारेण आधारितानि सन्ति यत् रीमैन् परिकल्पना सत्या अस्ति अतः एकवारं रीमैन् परिकल्पना सिद्धा अभवत् तदा अन्ये बहवः कार्याणि अपि पूर्णतया सिद्धानि भविष्यन्ति।

यः कोऽपि रीमैन् परिकल्पनायाः समाधानं करोति सः मृत्तिकागणितसंस्थायाः १० लक्षं डॉलरं पुरस्कारं प्राप्स्यति ।

गणितज्ञानाम् सम्प्रति रीमैन् परिकल्पना कथं सिद्धव्या इति विचारः नास्ति, परन्तु ते अद्यापि सीमितसङ्ख्यायां सम्भाव्यअपवादाः सन्ति इति दर्शयित्वा उपयोगीफलं प्राप्तुं शक्नुवन्ति

मे-मासे मेनार्ड्-एमआइटी-संस्थायाः लैरी गुथ्-इत्यनेन विशिष्टप्रकारस्य अपवादानाम् संख्यायाः नूतना उच्चसीमा स्थापिता, येन पूर्वस्य अभिलेखः भङ्गः कृतः यत् ८० वर्षाणाम् अधिकं कालात् स्थितम् आसीत्

नूतनप्रमाणेन ते संख्यारेखायां अल्पान्तरेषु अभाज्यसङ्ख्यायाः उत्तमं सन्निकर्षं प्राप्नुवन्ति, अभाज्यसङ्ख्यानां विषये अधिकाधिकं अन्वेषणं दातुं च प्रतिज्ञायते

अद्यापि रीमैन् परिकल्पनायाः पूर्णतया समाधानं कर्तुं दूरम् अस्ति, परन्तु अद्यापि ऐतिहासिकः क्षणः अस्ति ।

रट्जर्स् विश्वविद्यालयस्य हेनरी इवानीक् इत्यनेन टिप्पणी कृता यत् "एतत् सनसनीभूतं परिणामम् अस्ति। प्रक्रिया अतीव अतीव कठिना आसीत्, परन्तु ते एकं रत्नम् आकर्षितवन्तः।"

ताओ झेक्सुआन् इत्यनेन अस्य पत्रस्य बहु प्रशंसा कृता:

गुथः मेनार्डः च रीमैनियनपरिकल्पनायां महत्त्वपूर्णं सफलतां प्राप्तवन्तौ, रीमैनियनजीटाफंक्शनस्य शून्येषु (तथा च अधिकसामान्यतया, विविधडिरिच्लेट्-श्रृङ्खलामूल्यं नियन्त्रयन्तः बृहत्-परिमाणस्य बाधाः) बद्धस्य क्लासिक-१९४०-इङ्घम्-इत्यस्य प्रथमानि पर्याप्तसुधारं कृतवन्तः

सः मन्यते यत् एषः ऐतिहासिकः क्षणः अस्ति, "रीमैन् परिकल्पनायाः अस्तित्वात् अशीतिवर्षेषु अस्य बाधायाः एकमात्रः धक्काः (१) इत्यस्य दोषे अल्पः सुधारः एव अभवत्

यद्यपि सः अपि स्वीकृतवान् यत् "अद्यापि वयम् अस्य अनुमानस्य सम्पूर्णतया समाधानं कर्तुं दूराः स्मः" इति ।

भवन्तः जानन्ति, २००८ तमे वर्षे एव अमेरिकादेशस्य ब्रिघम् यंग विश्वविद्यालयस्य गणितज्ञः क्षियान्-जिन् ली इत्यनेन अपि arxiv इत्यस्य विषये एकं पत्रं प्रकाशितम्, यत्र सः Riemann Hypothesis इति सिद्धं कृतवान् इति दावान् कृतवान् पश्चात् टेरेन्स ताओ, फ्रांसीसी गणितज्ञः एलेन कोनेस् (उभौ फील्ड्स् पदकविजेताः) च निर्दयतापूर्वकं ली इत्यस्य प्रमाणप्रक्रियायां दोषान् दर्शितवन्तौ ।

खैर, अस्मिन् समये गुथस्य मेनार्डस्य च शोधं टेरेन्स ताओ इत्यनेन अग्रे प्रेषितम्, यत् तस्य असाधारणं महत्त्वं दर्शयति।

चतुरः भ्रमणम्

रीमैन् परिकल्पनायां संख्यासिद्धान्ते एकः मूलसूत्रः अन्तर्भवति-रीमैन् जीटा फंक्शन् । ζ फंक्शन् सरलसमीकरणस्य सामान्यीकरणम् अस्ति :

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

यथा यथा पदसंख्या वर्धते तथा तथा एषा श्रृङ्खला अनन्ता भविष्यति एषा प्रक्रिया गणितज्ञैः "विचलनम्" इति कथ्यते । परन्तु यदि तस्य स्थाने समाहारः : १.

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

वयं π^2/6 प्राप्नुमः, यत् प्रायः 1.64 इत्यस्य बराबरम् अस्ति ।

तथा च रीमैन् इत्यनेन अप्रत्याशितरूपेण महान् विचारः कृतः, एतादृशीम् श्रृङ्खलां कार्ये परिणमयित्वा यथा अधः दर्शितम् अस्ति:

अतः ζ(1) अनन्त, परन्तु ζ(2) = π^2/6।

यदा वयं s इत्येतत् जटिलसङ्ख्यां कुर्मः तदा विषयाः यथार्थतया रोचकाः भवन्ति।

जटिलसङ्ख्यानां द्वौ भागौ भवतः : "वास्तविकभागः", यः दैनन्दिनजीवने संख्या अस्ति, "काल्पनिकः भागः" च, यः -1 इत्यस्य वर्गमूलेन गुणितः नित्यसङ्ख्या (यत् गणितज्ञाः i इति लिखन्ति)

जटिलसङ्ख्याः विमानस्य उपरि वास्तविकभागं x-अक्षे, काल्पनिकभागं च y-अक्षे च कृत्वा प्लॉट् कर्तुं शक्यन्ते । यथा ३+४इ ।

ζ फंक्शन् जटिलविमानस्य बिन्दून् इनपुट् रूपेण गृहीत्वा अन्यजटिलसङ्ख्याः निर्गच्छति ।

केषाञ्चन जटिलसङ्ख्यानां कृते ζ फंक्शन् इत्यस्य मूल्यं शून्यं भवति इति निष्पद्यते । जटिलविमानस्य एतेषां शून्यानां सटीकस्थाननिर्धारणं गणितस्य रोचकसमस्यासु अन्यतमम् अस्ति ।

१८५९ तमे वर्षे रीमैन् इत्यनेन अनुमानितम् यत् सर्वे शून्यबिन्दवः रेखाद्वये केन्द्रीकृताः सन्ति । यदि वयं जीटा फंक्शन् इत्यस्य विस्तारं कुर्मः येन सः ऋणात्मकं निवेशं सम्भालितुं शक्नोति तर्हि वयं पश्यामः यत् जीटा फंक्शन् इत्यस्य मूल्यं सर्वेषां ऋणात्मकसमसङ्ख्यानां कृते शून्यम् अस्ति : -2, -4, -6 इत्यादीनां कृते ।

एतत् तुल्यकालिकरूपेण सुलभं सिद्धं भवति अतः एते तुच्छशून्याः इति उच्यन्ते ।

यदा s इत्यस्य वास्तविकभागः 1 इत्यस्मात् न्यूनः भवति तदा सम्पूर्णः श्रृङ्खलायोगः विचलितुं शक्नोति ।फंक्शन् व्यापकपरिधिषु प्रयोज्यताम् आनेतुम् रीमैन् उपर्युक्तं ζ फंक्शन् उपर्युक्तरूपेण पुनः लिखितवान्

रीमैन् इत्यनेन अनुमानितम् यत् फंक्शन् इत्यस्य अन्येषां सर्वेषां शून्यानां (अर्थात् अतुच्छशून्यानां) 1/2 इत्यस्य वास्तविकभागाः सन्ति अतः ते अस्मिन् लम्बरेखायां स्थिताः सन्ति ।

एषा रीमैन् परिकल्पना, तस्याः प्रमाणीकरणं च अत्यन्तं कठिनम् अभवत् ।

गणितज्ञाः जानन्ति यत् प्रत्येकस्य अतुच्छशून्यस्य वास्तविकः भागः शून्यस्य १ च मध्ये भवितुमर्हति, परन्तु केषाञ्चन शून्यानां वास्तविकभागः ०.४९९ भवितुम् अर्हति इति ते न निराकर्तुं शक्नुवन्ति ।

ते यत् कर्तुं शक्नुवन्ति तत् दर्शयितुं यत् एतादृशाः शून्यबिन्दवः अतीव दुर्लभाः भवितुमर्हन्ति।

अधिकं सहजतया ζ फंक्शन् इत्यस्य अनुसारं अनन्तसङ्ख्यायां बिन्दुः आकर्षितुं शक्यते ।रीमैन् इत्यनेन अनुमानितम् यत् एतेषु बिन्दवेषु कश्चन क्षैतिजरेखायां भवति, अपरः भागः लम्बरेखायां भवति एते सर्वे बिन्दवः अपवादं विना एतयोः ऋजुरेखायोः व्यवस्थापिताः सन्ति

उपर्युक्ते चित्रे अनन्तबिन्दवः सन्ति इति कारणतः सर्वे बिन्दवः एतयोः रेखायोः सन्ति इति सिद्धयितुं गणनायाः उपयोगं कर्तुं न शक्नुमः यतः सत्यापनम् कदापि पूर्णं न भविष्यति परन्तु यावत्पर्यन्तं कश्चन बिन्दुः अस्ति यः एतयोः ऋजुरेखायोः नास्ति तावत् सः रीमैन् परिकल्पनां उल्टावस्थां कर्तुं शक्नोति।

गणितज्ञैः सङ्गणकस्य उपयोगेन सत्यापितं यत् प्रथमाः १०० अरबबिन्दवः सर्वे रीमैन् परिकल्पनायाः व्यवस्थायाः अनुरूपाः सन्ति इति ।

वर्षेषु अनेके गणितज्ञाः एतत् अनुमानं सिद्धयितुं बहु परिश्रमं कृतवन्तः, परन्तु कोऽपि एतत् "गणितस्य पवित्रं ग्रेल्" गृहं नेतुम् न शक्तवान् पीढयः ।

अमेरिकनगणितज्ञः ह्यु माण्टगोमेरी इत्ययं अपि अवदत् यत् यदि पिशाचः गणितज्ञानाम् आदानप्रदानं गणितीयप्रस्तावस्य प्रमाणार्थं कर्तुं सहमतः भवति तर्हि अधिकांशः वैज्ञानिकाः तस्य विनिमयरूपेण यत् इच्छिष्यन्ति तत् रीमैन् परिकल्पनायाः प्रमाणं भविष्यति

८० वर्षाणाम् अधिककालस्य अभिलेखः सहसा भग्नः अभवत्

१९४० तमे वर्षे अल्बर्ट् इङ्घम् नामकः ब्रिटिशगणितज्ञः शून्यबिन्दुसङ्ख्यायाः अनुमानार्थं उच्चसीमाम् अस्थापयत् येषां वास्तविकभागः १/२ इत्यस्य बराबरः नास्ति ।

दशकेभ्यः अनन्तरं १९६० तमे १९७० तमे दशके अन्ये गणितज्ञाः इङ्घमस्य परिणामान् अभाज्यसङ्ख्याः संख्यारेखायाः सह कथं समूहीकृताः वा प्रसृताः वा, अन्ये के के प्रतिमानाः निर्मातुं शक्नुवन्ति इति वर्णनेषु अनुवादयितुं उपायान् अन्विषन्

तस्मिन् एव काले गणितज्ञैः अपि नूतनाः तकनीकाः प्रवर्तन्ते येन ३/४ तः अधिकानि वास्तविकभागाः शून्येषु इङ्घमस्य उपरितनसीमायां सुधारः अभवत् ।

परन्तु एतत् निष्पद्यते यत् शून्यबिन्दवः महत्त्वपूर्णाः ते एव सन्ति येषां वास्तविकः भागः सम्यक् ३/४ भवति ।

"अभाज्यसङ्ख्यानां विषये बहवः महत्त्वपूर्णाः परिणामाः ३/४ इत्यस्य वास्तविकभागेन सह शून्यबिन्दुस्य अस्माकं अवगमनेन सीमिताः सन्ति" इति मेनार्डः अवदत् ।

जेम्स् मेनार्ड् गणितक्षेत्रे उत्कृष्टः विद्वान् अस्ति, सः २०२२ तमे वर्षे फील्ड्स् पदकं प्राप्तवान् ।

सः केम्ब्रिज् विश्वविद्यालयात् स्नातकपदवीं प्राप्तवान्, आक्सफोर्डविश्वविद्यालयात् पीएच.डी.

प्रायः एकदशकपूर्वं मेनार्डः एतेषां विशिष्टशून्यबिन्दून् इङ्घम् इत्यस्य अनुमानं कथं सुधारयितुम् इति चिन्तयितुं आरब्धवान् । "विश्लेषणात्मकसङ्ख्यासिद्धान्ते एषा मम प्रियसमस्यासु अन्यतमा अस्ति। अहं सर्वदा अनुभवामि यत् यदि अहं केवलं अधिकं परिश्रमं करोमि तर्हि अहं प्रगतिम् कर्तुं शक्नोमि।"

परन्तु वर्षे वर्षे यदा यदा समस्यायाः समाधानं कर्तुं प्रयतते स्म तदा तदा सः अटति स्म ।

ततः २०२० तमस्य वर्षस्य आरम्भे कोलोराडो-नगरे सम्मेलनं प्रति विमानयाने स्थित्वा तस्य एकः विचारः आसीत्-कदाचित् हार्मोनिक-विश्लेषणात् साधनानि उपयोगिनो भवेयुः ।

संयोगवशं एम.आइ.टी.-संस्थायाः हार्मोनिक-विश्लेषण-विशेषज्ञः लैरी गुथः अपि संयोगेन तस्मिन् एव सभायां उपस्थितः आसीत् ।

संयोगेन समानसमस्यानां विषये चिन्तयन्तौ जनाद्वयं एवं मिलितवन्तौ ।

परन्तु गुथः विश्लेषणात्मकसङ्ख्यासिद्धान्तेन सर्वथा अपरिचितः आसीत् । मध्याह्नभोजने मेनार्डः तस्मै संख्यासिद्धान्तपक्षं व्याख्याय ठोसपरीक्षाप्रकरणं दत्तवान् ।

कतिपयवर्षपर्यन्तं चालू-निष्क्रान्तं कार्यं कृत्वा गुथः अवगच्छत् यत् तस्य हार्मोनिक-विश्लेषण-प्रविधिः कार्यं न करोति इति ।

परन्तु सः समस्यायाः विषये चिन्तनं न त्यक्त्वा नूतनं उपायं प्रयतितवान् ।

अस्मिन् वर्षे फेब्रुवरीमासे सः पुनः मेनार्ड् इत्यनेन सह सम्पर्कं कृतवान् । स्वविभिन्नदृष्टिकोणानां संयोजनेन तौ गम्भीरतापूर्वकं सहकार्यं कर्तुं आरब्धवन्तौ ।

कतिपयेभ्यः मासेभ्यः अनन्तरं तेषां परिणामः अभवत् ।

गणिते "परित्यागः" इति

गुथ्, मेनार्ड् च प्रथमं यत् समस्यां समाधानं कर्तुम् इच्छन्ति स्म तत् अन्यरूपेण परिणमयितवन्तौ ।

यदि कस्यचित् शून्यस्य वास्तविकः भागः १/२ न भवति तर्हि तत्सम्बद्धं फलनं, यत् Dirichlet बहुपदम् इति उच्यते, अतीव महत् मूल्यं उत्पादयितुं अर्हति ।

अतः रीमैन् परिकल्पनायाः अपवादाः दुर्लभाः इति सिद्धं कृत्वा डिरिच्लेट् बहुपदाः प्रायः बृहत् मूल्यानि न उत्पादयन्ति इति सिद्धयितुं।

ततः गणितज्ञैः अन्यं परिवर्तनं कृतम् ।

प्रथमं ते डिरिच्लेट् बहुपदानां उपयोगेन एकं आकृतिं, अथवा संख्यासारणीं निर्मितवन्तः ।

"गणितविदः मैट्रिक्सं द्रष्टुं रोचन्ते यतोहि मैट्रिक्सः किमपि अस्ति यत् वयं बहु सम्यक् अवगच्छामः" इति गुथः अवदत् । "भवता तीक्ष्णगन्धेन्द्रियं स्थापयितुं शिक्षितव्यं, सर्वत्र मेट्रिक्सं द्रष्टुं सज्जं च भवितुम् अर्हति।"

एकः आकृतिः अन्यस्य सदिशस्य निर्माणार्थं सदिश इति गणितीयवस्तुनः उपरि "कार्यं कर्तुं" शक्नोति, यत् तस्य दीर्घतायाः दिशि च परिभाषितं भवति ।

सामान्यतया यदा आकृतिः सदिशे कार्यं करोति तदा सदिशस्य दीर्घतां दिशां च परिवर्तयति ।

कदाचित् विशेषसदिशाः सन्ति ये केवलं दीर्घतां परिवर्तयन्ति परन्तु आकृतिद्वारा गच्छन्ते सति दिशां न परिवर्तयन्ति । एते सदिशः eigenvectors इति उच्यन्ते ।

गणितज्ञाः एतेषां परिवर्तनानां परिमाणं eigenvalues ​​इति संख्याभिः मापयन्ति ।

गुथः मेनार्डः च स्वसमस्यायाः पुनः सूत्रीकरणं कृतवन्तौ यत् सा आकृतिस्य अधिकतमस्य स्वमूल्यस्य विषये समस्या भवति ।

यदि ते दर्शयितुं शक्नुवन्ति यत् अधिकतमं स्वमूल्यं अतिबृहत् भवितुम् न शक्नोति तर्हि तेषां कार्यं क्रियते ।

एतत् कर्तुं ते एकं सूत्रं प्रयुक्तवन्तः यस्य परिणामः जटिलः योगः भवति स्म तथा च योगे सकारात्मकं ऋणात्मकं च मूल्यं यथासम्भवं परस्परं रद्दं कर्तुं उपायान् अन्विषन्ति स्म

"किञ्चित् रद्दीकरणं प्राप्तुं किञ्चित् समरूपतां द्रष्टुं भवद्भिः क्रमं पुनः व्यवस्थितं कर्तव्यं वा समकोणात् पश्यितव्यं वा" इति गुथः अवदत् ।

प्रक्रियायां अनेकाः आश्चर्यजनकाः सोपानाः आसन्, येषु महत्त्वपूर्णः एकः विचारः आसीत् यस्य वर्णनं मेनार्ड् इत्यनेन "किञ्चित् जादुई" इति कृतम् ।

कस्मिन्चित् समये तेषां योगस्य सरलीकरणाय स्पष्टप्रतीतं सरलीकरणपदं ग्रहीतव्यम् आसीत् ।

तथापि ते एतत् न कृतवन्तः । अपि तु ते योगं दीर्घतरं, जटिलतररूपेण च धारयन्ति ।

"वयं केचन कार्याणि कृतवन्तः ये प्रथमदृष्ट्या सर्वथा मूर्खतापूर्णाः इव भासन्ते स्म, तथा च वयं केवलं मानकसरलीकरणं कर्तुं न अस्वीकृतवन्तः" इति मेनार्डः अवदत् । "वयं बहु त्यजामः, यस्य अर्थः अस्ति यत् इदानीं अस्य योगस्य सरलसीमाः प्राप्तुं न शक्नुमः।"

परन्तु दीर्घकालं यावत् एतत् लाभप्रदं कदमम् इति सिद्धम् अभवत् ।

"शतरंजक्रीडायां एतत् परित्यागः इति कथ्यते - फलकस्य उपरि उत्तमं स्थानं प्राप्तुं एकस्य खण्डस्य त्यागः" इति मेनार्डः अवदत् ।

तथा च गुथः तस्य उपमा रुबिक्-घन-क्रीडायाः सह अकरोत् : कदाचित् सर्वं दुर्दृश्यं कर्तुं पूर्वचरणं पूर्ववत् कर्तव्यं भवति, ततः अधिकानि वर्णाः समीचीनस्थानेषु प्राप्तुं उपायं अन्वेष्टुम् अर्हन्ति

“स्पष्टं सुधारं क्षिप्तुं ततः पश्चात् पुनः स्थापयितुं शक्नोति इति आशां कर्तुं बहु साहसस्य आवश्यकता भवति” इति आक्सफोर्डविश्वविद्यालयस्य गणितज्ञः मेनार्डस्य पूर्वगुरुः च रोजर् हीथ्-ब्राउन् वदति "मया यत् किमपि कर्तव्यमिति मन्यते तत् सर्वं विरुद्धं गच्छति।"

परन्तु अयं मार्गदर्शकः स्वीकुर्वति यत् अत्रैव सः अटत् ।

गुथस्य संख्यासिद्धान्तकारस्य अपेक्षया हार्मोनिकविश्लेषणविशेषज्ञस्य स्थितिः एतां रणनीतिं सम्भवं कृतवती इति मेनार्डः अवदत्। "सः एतैः निहितैः नियमैः बाध्यः नास्ति, अतः सः सामान्यतः बहिः विषयेषु विचारं कर्तुं अधिकं इच्छति।"

अन्ततः, ते अधिकतमं स्वमूल्ये पर्याप्तं उत्तमं सीमां निर्धारयितुं समर्थाः अभवन्, यत् अधिकं रीमैन् परिकल्पनायाः सम्भाव्यप्रतिउदाहरणानां संख्यायाः अधिकसटीकसीमायां अनुवादितवान्

यद्यपि तेषां कार्यस्य आरम्भः गुथस्य प्रेरणादायिभिः हार्मोनिकविश्लेषणस्य विचारैः अभवत् तथापि अन्ततः ते एतान् जटिलान् युक्तीन् बहिष्कृत्य सरलतां प्रति प्रत्यागतवन्तः ।

"इदं किमपि इव दृश्यते यत् मया ४० वर्षपूर्वं प्रयत्नः कृतः स्यात्" इति हीथ्-ब्राउन् अवदत् ।

अन्ते गुथः मेनार्ड् च स्वयमेव अभाज्यसङ्ख्यावितरणस्य विषये केचन परिणामाः सिद्धौ, येषां शून्यानां वास्तविकभागः ३/४ अस्ति, तस्य संख्यायाः उत्तमसीमाः दत्तवन्तौ

यथा, लघुतरान्तराणां कृते दत्तान्तरे प्राप्तानां अभाज्यसङ्ख्यायाः अनुमानं न्यूनसटीकं भवति । नूतनकार्यं गणितज्ञानाम् अल्पान्तरेषु उत्तमं अनुमानं प्राप्तुं शक्नोति।

गणितज्ञाः मन्यन्ते यत् एतत् प्रमाणं अभाज्यसङ्ख्याविषये अन्यनिष्कर्षेषु अपि सुधारं कर्तुं शक्नोति ।

तथा च गुथस्य मेनार्डस्य च प्रौद्योगिक्याः अधिकसुधारस्य स्थानं दृश्यते।

परन्तु मेनार्डस्य मतं यत् एतानि युक्तयः रीमैन् परिकल्पनायाः एव समाधानस्य सम्यक् मार्गाः न सन्ति ।

"अन्यत्र अपि केचन बृहत् विचाराः आवश्यकाः सन्ति।"

ताओ झेक्सुआन् इत्यस्य व्याख्या : अप्रत्याशितरूपेण विश्लेषणात्मकसङ्ख्यासिद्धान्तस्य उपयोगः

ताओ झेक्सुआन् इत्यनेन "बालानां परित्यागस्य" अस्याः पद्धतेः अधिकाव्यावसायिकव्याख्या अपि दत्ता -

यदि (σ,) रीमैन जीटा फलनस्य शून्यबिन्दुसङ्ख्यां प्रतिनिधियति यस्य वास्तविकभागः न्यूनातिन्यूनं σ भवति तथा च काल्पनिकभागः अधिकतमः भवति तर्हि रीमैनपरिकल्पना अस्मान् वदति यत् कस्यापि σ>1/2 कृते (σ,) भविष्यति अन्तर्धानं भवति अवश्यं, वयं एतत् अशर्ततया सिद्धयितुं न शक्नुमः।

परन्तु तदनन्तरं वयं शून्यघनत्व-अनुमानं सिद्धयितुं शक्नुमः, यत् (σ,) इत्यस्य उपरि अतुच्छं ऊर्ध्वसीमा अस्ति ।

σ=3/4 इति महत्त्वपूर्णं मूल्यं निष्पद्यते । १९४० तमे वर्षे इङ्घम् इत्यनेन - (३/४,)≪^{३/५+(१)} इति परिणामः प्राप्तः ।

अग्रिमाशीतिवर्षेषु अस्य बाध्यस्य एकमात्रं सुधारं (१) इत्यस्य दोषे लघुसुधारः एव आसीत् ।

एतेन अस्मान् विश्लेषणात्मकसङ्ख्यासिद्धान्ते बहु कार्यं कर्तुं सीमितं भवति: उदाहरणार्थं, (,+^) रूपस्य प्रायः कस्मिन् अपि अल्पान्तरे उत्तमं अभाज्यसङ्ख्याप्रमेयं प्राप्तुं वयं बहुकालात् >1/6 यावत् प्रतिबन्धिताः स्मः , मुख्यं च बाधकं इङ्घम् सीमासु सुधारस्य अभावः अस्ति।

गुथ् मेनार्ड् च नवीनतमेन शोधेन इङ्घम् बाउण्ड् ३/५=०.६ तः १३/२५=०.५२ यावत् सफलतया सुधारः अभवत् ।

एतेन विश्लेषणात्मकसङ्ख्यासिद्धान्ते अनेके तदनुरूपाः सुधाराः अभवन् उदाहरणार्थं, सिद्ध्यमानसङ्ख्याप्रमेयानां परिधिः >१/६=०.१६६... तः >२/१५=०.१३३... यावत् प्रायः सर्वेषु अल्पान्तरेषु (यदि रीमैन् परिकल्पना सत्या अस्ति) अभवत् , इत्यस्य अर्थः स्यात् यत् वयं सम्पूर्णं परिधिं > 0) आच्छादयितुं शक्नुमः।

एते तर्काः मूलतः फूरियरविश्लेषणस्य आधारेण भवन्ति । प्रथमानि कतिचन सोपानानि मानकानि सन्ति, ते च इङ्घमस्य सीमां धक्कायितुं प्रयतमानैः अनेकैः विश्लेषणात्मकैः संख्यासिद्धान्तकारैः ज्ञास्यन्ति ।

परन्तु तेषां बहवः चतुराः अप्रत्याशिताः च क्रियाः सन्ति, यथा कीलचरणमात्रिकायाः ​​^{}=^{log⁡} षष्ठशक्तिं प्रति उत्थापयित्वा नियन्त्रयितुं (प्रकटतया, एतेन समस्या अधिका जटिला च Tricky च भवति)

तथा, एकं निश्चितं जटिलं फूरियर अभिन्नं सरलीकर्तुं स्थिरचरणपद्धतेः उपयोगं अङ्गीकृत्य, एवं कारकीकरणस्य एकं रूपं संरक्षितुं घातीयरियायतं कृत्वा यत् अन्ततः स्थिरचरणसन्निकर्षात् अधिकं उपयोगी सिद्धं भवति तथा च बृहत्याः उद्भवस्य अनुसारम् values ​​of the Dirichlet series परिस्थितिषु तेषां स्थानेषु लघु, मध्यमं, बृहत् वा योजकशक्तिः अस्ति वा इति विभाजनं कुर्वन्तु, प्रत्येकस्य प्रकरणस्य कृते किञ्चित् भिन्नं तर्कपद्धतिं च उपयुज्यताम्

अत्र डिरिचलेट् श्रृङ्खलायां निहितस्य चरणफलनस्य log⁡ इत्यस्य सटीकं रूपं महत्त्वपूर्णं भवति; योग।

सन्दर्भाः : १.

https://www.quantamagazine.org/सनसनीखेज-प्रमाण-अभाज्य-संख्या-में-नई-अन्तर्दृष्टि-वितरत-20240715/