uutiset

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Uusi viisausraportti

Toimittaja: Aeneas niin uninen

[Johdatus uuteen viisauteen] MIT:n matematiikan professori Larry Guth ja Oxford University Fields -mitalin voittaja James Maynard tekivät suuren läpimurron Riemannin hypoteesissa, rikkoen suoraan yli 80 vuoden ennätyksen. Mielenkiintoista on, että he uhrasivat "hylätyn pojan" prosessissa tehden tilanteesta monimutkaisemman ja vaikeamman, mutta lähentyen vastausta.

Yksi "vuosituhannen seitsemästä suuresta matemaattisesta ongelmasta" - Riemannin hypoteesi (RH) on tehnyt merkittävän läpimurron, ja matemaatikot ovat askeleen lähempänä "arvausten kruunun" voittamista!

MIT ehdotti tiukempia rajoituksia mahdollisille poikkeuksille Riemannin hypoteesiin, mikä rikkoi suoraan 80 vuotta vanhan ennätyksen.

Paperiosoite: https://arxiv.org/abs/2405.20552

Nykyään Riemannin hypoteesi on edelleen yksi matematiikan tärkeimmistä ratkaisemattomista mysteereistä. Jos se voitaisiin todistaa, matemaatikot saisivat syvemmän ymmärryksen alkulukujakaumasta,

Lisäksi monet teokset lukuteorian ja monimutkaisten muuttujafunktioiden alalla perustuvat olettamukseen, että Riemannin hypoteesi on totta. Siksi, kun Riemannin hypoteesi on todistettu, myös monet muut teokset todistetaan täydellisesti.

Se, joka ratkaisee Riemannin hypoteesin, saa miljoonan dollarin palkinnon Clay Mathematics Institutelta.

Matemaatikoilla ei tällä hetkellä ole aavistustakaan, kuinka Riemannin hypoteesi voidaan todistaa, mutta he voivat silti saada hyödyllisiä tuloksia osoittamalla, että mahdollisia poikkeuksia on rajoitettu määrä.

Maynard ja MIT:n Larry Guth asettivat toukokuussa uuden ylärajan tietyntyyppisten poikkeusten lukumäärälle, rikkoen aiemman yli 80 vuotta kestäneen ennätyksen.

Uuden todistuksen avulla he saavat paremman likimäärän alkulukujen lukumäärästä lukujonon lyhyillä aikaväleillä, ja se lupaa antaa enemmän näkemyksiä alkuluvuista.

Se on vielä kaukana Riemannin hypoteesin täydellisestä ratkaisemisesta, mutta se on silti historiallinen hetki.

Henryk Iwaniec Rutgersin yliopistosta kommentoi: "Tämä on sensaatiomainen tulos. Prosessi oli erittäin, erittäin vaikea, mutta he vetivät helmen."

Tao Zhexuan arvosti suuresti tätä paperia:

Guth ja Maynard tekivät merkittävän läpimurron Riemannin hypoteesissa tehden ensimmäiset olennaiset parannukset klassiseen 1940 Inghamiin, joka sidottu Riemannin zeta-funktion nolliin (ja yleisemmin eri Dirichlet-sarjan arvoja sääteleviin laajamittaisiin rajoituksiin).

Hän uskoo, että tämä on historiallinen hetki. "Kahdeksankymmenen vuoden aikana Riemannin hypoteesin olemassaolosta ainoa painos tähän rajoitteeseen on ollut pieni parannus (1) virheeseen."

Vaikka hän myönsi myös, että "olemme vielä kaukana tämän olettamuksen täydellisestä ratkaisemisesta."

Tiedäthän, jo vuonna 2008 Xian-Jin Li, matemaatikko Brigham Youngin yliopistosta Yhdysvalloissa, julkaisi myös artikkelin arxivista väittäen todistaneensa Riemannin hypoteesin. Myöhemmin Terence Tao ja ranskalainen matemaatikko Alain Connes (molemmat Fields-mitalin voittajat) huomauttivat armottomasti Li:n todistusprosessin virheistä.

No, tällä kertaa Guthin ja Maynardin tutkimuksen välitti Terence Tao, mikä osoittaa sen poikkeuksellisen merkityksen.

fiksu kiertotie

Riemannin hypoteesi sisältää lukuteorian ydinkaavan – Riemannin zeta-funktion. ζ-funktio on yleistys yksinkertaisesta summauksesta:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯

Tämä sarja tulee äärettömäksi termien määrän kasvaessa. Mutta jos sen sijaan summaus:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ⋯

Saamme π^2/6, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 1,64.

Ja Riemann teki yllättävän loistavan idean muuttamalla tällaisen sarjan toiminnoksi, kuten alla on esitetty:

Joten ζ(1) on ääretön, mutta ζ(2) = π^2/6.

Asioista tulee todella mielenkiintoisia, kun teemme kompleksiluvun.

Kompleksiluvuilla on kaksi osaa: "reaaliosa", joka on luku jokapäiväisessä elämässä, ja "kuvitteellinen osa", joka on arkiluku kerrottuna -1:n neliöjuurella (jonka matemaatikot kirjoittavat i:nä).

Kompleksiluvut voidaan piirtää tasolle, jossa reaaliosa on x-akselilla ja imaginaariosa y-akselilla. Esimerkiksi 3+4i.

Funktio ζ ottaa kompleksitason pisteitä syötteenä ja tulostaa muita kompleksilukuja.

Osoittautuu, että joillekin kompleksiluvuille ζ-funktion arvo on nolla. Näiden nollien tarkan sijainnin määrittäminen kompleksitasossa on yksi matematiikan mielenkiintoisimmista ongelmista.

Vuonna 1859 Riemann arveli: kaikki nollapisteet ovat keskittyneet kahdelle suoralle. Jos laajennamme zeta-funktiota niin, että se pystyy käsittelemään negatiivisia syötteitä, huomaamme, että zeta-funktion arvo on nolla kaikille negatiivisille parillisille luvuille: -2, -4, -6 jne.

Tämä on suhteellisen helppo todistaa, joten näitä kutsutaan triviaaleiksi nolliksi.

Kun s:n reaaliosa on pienempi kuin 1, koko sarjan summa voi poiketa.Jotta funktio olisi sovellettavissa laajemmalle alueelle, Riemann kirjoitti yllä olevan ζ-funktion uudelleen yllä olevaan muotoon

Riemann arvasi, että kaikilla muilla funktion nollia (eli ei-triviaalisilla nollia) on reaaliosia 1/2 ja siksi ne sijaitsevat tällä pystysuoralla viivalla.

Tämä on Riemannin hypoteesi, ja sen todistaminen on ollut erittäin vaikeaa.

Matemaatikot tietävät, että jokaisen ei-triviaalin nollan reaaliosan on oltava nollan ja 1:n välillä, mutta he eivät voi sulkea pois sitä, että joidenkin nollien reaaliosa voi olla 0,499.

He voivat osoittaa, että tällaisten nollapisteiden on oltava hyvin harvinaisia.

Intuitiivisemmin ζ-funktion mukaan voidaan piirtää ääretön määrä pisteitä.Riemann arvasi, että näillä pisteillä on tietty järjestyskuvio, osa niistä on vaakasuoralla viivalla. Kaikki nämä pisteet on järjestetty poikkeuksetta näille kahdelle suoralle.

Yllä olevassa kuvassa, koska pisteitä on äärettömän monta, emme voi käyttää luettelointia todistamaan, että kaikki pisteet ovat näillä kahdella viivalla, koska varmistus ei koskaan ole täydellinen. Mutta niin kauan kuin on piste, joka ei ole näillä kahdella suoralla, se voi kumota Riemannin hypoteesin.

Matemaatikot ovat käyttäneet tietokoneita varmistaakseen, että ensimmäiset 100 miljardia pistettä ovat kaikki Riemannin hypoteesin järjestelyn mukaisia.

Vuosien varrella monet matemaatikot ovat työskennelleet kovasti todistaakseen tämän olettamuksen, mutta kukaan ei ole voinut viedä kotiin tätä "Matematiikan Pyhää Graalia". sukupolville.

Amerikkalainen matemaatikko Hugh Montgomery sanoi jopa, että jos paholainen suostuisi antamaan matemaatikoiden vaihtaa sielunsa matemaattisen väitteen todistukseen, useimmat tiedemiehet haluaisivat vastineeksi Riemannin hypoteesin todisteen.

Yli 80 vuoden ennätys rikottiin yhtäkkiä

Vuonna 1940 brittiläinen matemaatikko Albert Ingham asetti ylärajan niiden nollapisteiden lukumäärälle, joiden reaaliosa ei ole yhtä suuri kuin 1/2. Tätä ylärajaa matemaatikot käyttävät edelleen vertailupisteenä.

Vuosikymmeniä myöhemmin, 1960- ja 1970-luvuilla, muut matemaatikot löysivät tapoja kääntää Inghamin tulokset kuvauksiksi siitä, kuinka alkuluvut ryhmittyivät tai leviävät lukuviivaa pitkin ja mitä muita kuvioita ne voivat muodostaa.

Samoihin aikoihin matemaatikot esittelivät myös uusia tekniikoita, jotka paransivat Inghamin ylärajaa nollien kohdalla reaaliosien ollessa suurempia kuin 3/4.

Mutta käy ilmi, että tärkeimmät nollapisteet ovat ne, joiden reaaliosa on tasan 3/4.

"Monet tärkeitä tuloksia alkulukujen osalta rajoittavat ymmärryksemme nollapisteestä, jonka reaaliosa on 3/4", Maynard sanoi.

James Maynard on erinomainen tutkija matematiikan alalla ja voitti Fields-mitalin vuonna 2022.

Hän valmistui Cambridgen yliopistosta kandidaatiksi ja tohtoriksi Oxfordin yliopistosta. Hän on opettanut Oxfordin yliopiston matematiikan instituutissa.

Noin vuosikymmen sitten Maynard alkoi miettiä, kuinka parantaa Inghamin arvioita näistä tietyistä nollapisteistä. "Tämä on yksi suosikkiongelmistani analyyttisessä lukuteoriassa. Minusta tuntuu aina, että jos vain työskentelen kovemmin, voin edistyä."

Mutta vuosi toisensa jälkeen, kun hän yritti ratkaista ongelman, hän juuttui.

Sitten, vuoden 2020 alussa, ollessaan lentokoneessa Coloradossa järjestettävään konferenssiin, hän sai idean – ehkä harmonisen analyysin työkalut voisivat olla hyödyllisiä.

Sattumalta MIT:n harmonisten analyysien asiantuntija Larry Guth sattui osallistumaan samaan kokoukseen.

Kaksi ihmistä, jotka sattuivat pohtimaan samanlaisia ​​ongelmia, tapasivat tällä tavalla.

Guth ei kuitenkaan ollut täysin perehtynyt analyyttiseen lukuteoriaan. Lounaalla Maynard selitti hänelle numeroteorian näkökohdat ja antoi hänelle konkreettisen testitapauksen.

Työskenneltyään useita vuosia päällä ja pois päältä, Guth tajusi, että hänen harmonisten analyysitekniikkansa ei toiminut.

Mutta hän ei lakannut ajattelemasta ongelmaa ja kokeili uutta lähestymistapaa.

Tämän vuoden helmikuussa hän otti uudelleen yhteyttä Maynardiin. Yhdistämällä eri näkökulmiaan, he alkoivat tehdä yhteistyötä tosissaan.

Muutamaa kuukautta myöhemmin heillä oli tulokset.

"hylkääminen" matematiikassa

Guth ja Maynard muuttivat ensin ongelman, jonka he halusivat ratkaista, toiseen muotoon.

Jos jonkin nollan reaaliosa ei ole 1/2, siihen liittyvän funktion, jota kutsutaan Dirichlet-polynomiksi, täytyy tuottaa erittäin suuri arvo.

Siksi sen osoittaminen, että poikkeukset Riemannin hypoteesista ovat harvoin yhtä suuria kuin sen osoittaminen, että Dirichlet-polynomit eivät usein tuota suuria arvoja.

Sitten matemaatikot tekivät toisen muunnoksen.

Ensin he rakensivat matriisin tai lukutaulukon käyttämällä Dirichlet-polynomeja.

"Matemaatikot haluavat nähdä matriiseja, koska ymmärrämme matriisit erittäin hyvin", Guth sanoi. "Sinun on opittava säilyttämään terävä hajuaisti ja oltava valmis näkemään Matrix kaikkialla."

Matriisi voi "vaikuttaa" matemaattiseen objektiin, jota kutsutaan vektoriksi ja joka määritellään sen pituuden ja suunnan perusteella, tuottaakseen toisen vektorin.

Normaalisti, kun matriisi vaikuttaa vektoriin, se muuttaa vektorin pituutta ja suuntaa.

Joskus on erityisiä vektoreita, jotka muuttavat vain pituutta, mutta eivät suuntaa kulkiessaan matriisin läpi. Näitä vektoreita kutsutaan ominaisvektoreiksi.

Matemaatikot mittaavat näiden muutosten suuruutta luvuilla, joita kutsutaan ominaisarvoiksi.

Guth ja Maynard muotoilivat ongelmansa uudelleen niin, että siitä tulee ongelma matriisin suurimmasta ominaisarvosta.

Jos he voivat osoittaa, että suurin ominaisarvo ei voi tulla liian suureksi, heidän työnsä on tehty.

Tätä varten he käyttivät kaavaa, joka johti monimutkaiseen summaan, ja etsivät tapoja saada summan positiiviset ja negatiiviset arvot kumoamaan toisensa mahdollisimman paljon.

"Sinun on järjestettävä sekvenssi uudelleen tai katsottava sitä oikeasta kulmasta nähdäksesi jonkin verran symmetriaa, jotta saavutetaan peruutus", Guth sanoi.

Prosessi sisälsi useita yllättäviä vaiheita, joista tärkein oli idea, jota Maynard kuvaili "hieman maagiseksi".

Jossain vaiheessa heidän olisi pitänyt ottaa näennäisesti ilmeinen yksinkertaistamisaskel yksinkertaistaakseen summaansa.

He eivät kuitenkaan tehneet tätä. Sen sijaan he pitävät summan pidemmässä, monimutkaisemmassa muodossa.

"Teimme joitain asioita, jotka vaikuttivat ensisilmäyksellä täysin typeriltä, ​​ja kieltäytyimme tekemästä tavallisia yksinkertaistuksia", Maynard sanoi. "Annamme periksi paljon, mikä tarkoittaa, että nyt emme voi saada yksinkertaisia ​​rajoja tälle summalle."

Mutta pitkällä aikavälillä tämä osoittautui hyödylliseksi liikkeeksi.

"Shakissa tätä kutsutaan luopumiseksi - nappulan uhraamiseksi saadakseen paremman aseman laudalla", Maynard sanoi.

Ja Guth vertasi sitä Rubikin kuution pelaamiseen: joskus joudut kumoamaan aiemmat liikkeet, jotta kaikki näyttää huonommalta, ja sitten löydettävä tapa saada lisää värejä oikeisiin paikkoihin.

"Vaatii paljon rohkeutta heittää pois ilmeinen parannus ja sitten toivoa, että voit palauttaa sen myöhemmin", sanoo Roger Heath-Brown, matemaatikko Oxfordin yliopistosta ja Maynardin entinen mentori. "Se on vastoin kaikkea, mitä mielestäni pitäisi tehdä."

Mutta tämä mentori myöntää, että juuri tähän hän juuttui.

Guthin asema harmonisen analyysin asiantuntijana pikemminkin kuin numeroteoreetikkona teki tämän strategian mahdolliseksi, Maynard sanoi. "Nämä luontaiset säännöt eivät rajoita häntä, joten hän on halukkaampi pohtimaan asioita, jotka ovat epätavallisia."

Lopulta he pystyivät asettamaan riittävän hyvän rajan suurimmalle ominaisarvolle, mikä edelleen muuttui tarkemmaksi rajaksi mahdollisten vastaesimerkkien lukumäärälle Riemannin hypoteesille.

Vaikka heidän työnsä alkoi Guthia inspiroivista harmonisen analyysin ideoista, he lopulta sulkivat nämä monimutkaiset tekniikat pois ja palasivat yksinkertaisuuteen.

"Näyttää siltä, ​​että olisin kokeillut 40 vuotta sitten", Heath-Brown sanoi.

Lopuksi Guth ja Maynard osoittivat automaattisesti joitakin tuloksia alkulukujakaumasta antamalla paremmat rajat nollien lukumäärälle, joiden reaaliosa on 3/4.

Esimerkiksi lyhyemmillä aikaväleillä tietyltä aikaväliltä löydettyjen alkulukujen lukumäärän estimoinnista tulee vähemmän tarkkaa. Uuden työn ansiosta matemaatikot voivat saada hyviä arvioita lyhyemmillä aikaväleillä.

Matemaatikot uskovat, että tämä todistus voi myös parantaa muita alkulukuja koskevia päätelmiä.

Ja Guthin ja Maynardin teknologiassa näyttää olevan tilaa lisäparannuksille.

Maynard uskoo kuitenkin, että nämä tekniikat eivät ole oikea tapa ratkaista itse Riemannin hypoteesi.

"Se vaatii myös suuria ideoita muualta."

Tao Zhexuanin tulkinta: Analyyttisen lukuteorian käyttäminen odottamattomilla tavoilla

Tao Zhexuan antoi myös ammattimaisemman tulkinnan tästä "lasten hylkäämisen" menetelmästä -

Jos (σ,) edustaa niiden Riemannin zeta-funktion nollapisteiden lukumäärää, joiden reaaliosa on vähintään σ ja imaginaariosa on korkeintaan, Riemannin hypoteesi kertoo, että millä tahansa σ>1/2:lla (σ,) emme tietenkään voi todistaa tätä ehdoitta.

Mutta seuraavaksi voimme todistaa nollatiheysestimaatin, joka on ei-triviaali yläraja (σ,).

Osoittautuu, että σ=3/4 on kriittinen arvo. Vuonna 1940 Ingham sai tuloksen - (3/4,)≪^{3/5+(1)}.

Seuraavien kahdeksankymmenen vuoden aikana ainoat parannukset tähän rajaan olivat pienet parannukset (1) virheeseen.

Tämä rajoittaa meitä tekemästä monia asioita analyyttisessä lukuteoriassa: esimerkiksi saadaksemme hyvän alkulukulauseen melkein millä tahansa lyhyellä muodon (,+^) välillä, olemme jo pitkään rajoittuneet arvoon >1/6 , ja suurin este on Inghamin rajojen puutteellinen parannus.

Guthin ja Maynardin uusin tutkimus paransi onnistuneesti Inghamin rajaa arvosta 3/5=0,6 arvoon 13/25=0,52.

Tämä johti moniin vastaaviin parannuksiin analyyttisessä lukuteoriassa, esimerkiksi todennettavissa olevien alkulukulauseiden vaihteluväli oli >1/6=0,166…>2/15=0,133… lähes kaikilla lyhyillä aikaväleillä (jos Riemannin hypoteesi on totta; , tarkoittaisi, että voimme kattaa koko alueen > 0).

Nämä väitteet perustuvat olennaisesti Fourier-analyysiin. Ensimmäiset vaiheet ovat normaaleja, ja monet Inghamin rajoja yrittävät analyyttiset lukuteoreetikot tunnistavat ne.

Mutta niillä on monia älykkäitä ja odottamattomia toimintoja, kuten avainvaihematriisin ^{}=^{log⁡} hallinta nostamalla se kuudenteen potenssiin (näennäisesti tämä tekee ongelmasta monimutkaisemman ja hankalamman).

ja hylätään stationäärisen vaiheen menetelmän käyttö tietyn monimutkaisen Fourier-integraalin yksinkertaistamiseksi, jolloin tehdään eksponentiaalisia myönnytyksiä tekijöiden jakamisen muodon säilyttämiseksi, joka lopulta osoittautuu käyttökelpoisemmaksi kuin kiinteän vaiheen approksimaatio ja suuren ilmaantumisen mukaan Dirichlet-sarjan arvot Jaa tilanteet sen mukaan, onko niiden asemilla pieni, keskikokoinen vai suuri lisäenergia, ja käytä kussakin tapauksessa hieman erilaista argumentointitapaa.

Tässä Dirichlet-sarjan implisiittisen vaihefunktion log⁡:n tarkka muoto tulee tärkeäksi, tämä on odottamaton tapa hyödyntää analyyttisessä lukuteoriassa esiintyviä erityisiä eksponentiaalisummia, eikä sitä, mitä voidaan kohdata harmonisessa analyysissä summa.

Viitteet:

https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-new-insights-into-prime-numbers-20240715/