τα μαθηματικά είναι πολλές όμορφες ιδιότητες, όχι το κεφάλαιο της ελίτ αλαζονείας
2024-08-30
한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina
υπάρχουν αμέτρητα στερεότυπα γύρω από τα μαθηματικά και υπάρχουν επίσης πολλές παρεξηγήσεις σχετικά με το πώς να μαθαίνεις καλά τα μαθηματικά. ο κινεζοαμερικανός μαθηματικός φράνσις σου πιστεύει ότι η καλή εκμάθηση των μαθηματικών είναι στην πραγματικότητα η ανθρώπινη φύση, αλλά πολλοί άνθρωποι έχουν ταφεί.
ο φράνσις σου είναι ο πρώτος μη λευκός πρόεδρος της μαθηματικής ένωσης της αμερικής (maa) και ο συγγραφέας του βιβλίου «η δύναμη των μαθηματικών». δεν είναι μόνο μαθηματικός, αλλά και εκπαιδευτικός μαθηματικών το 2013, ο φράνσις έλαβε το «2013 heimer distinguished teaching award in mathematics» που απονέμεται από την αμερικανική μαθηματική ένωση.
τα μαθηματικά είναι ένα σημαντικό βασικό μάθημα, ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο εργαλείο και ικανότητα, αλλά στο δημόσιο πλαίσιο έχουν γίνει ένας άκαμπτος δείκτης για τη μέτρηση του iq. οι μαθηματικοί συχνά παρουσιάζονται ως μοναχικές ιδιοφυΐες. το 2017, ο φράνσις σου έδωσε μια ομιλία όταν παραιτήθηκε από τη θέση του προέδρου της αμερικανικής μαθηματικής εταιρείας, η οποία αργότερα συγκεντρώθηκε στο βιβλίο «η δύναμη των μαθηματικών». χρησιμοποίησε ειλικρινή γλώσσα για να τονίσει τα ανθρωπιστικά συναισθήματα στα μαθηματικά και να υπενθυμίσει στους ανθρώπους τον όμορφο χαρακτήρα που περιέχεται στα μαθηματικά. η εμπειρία πολλών ανθρώπων από την εκμάθηση των μαθηματικών είναι ότι αισθάνονται κατώτεροι και αποκλεισμένοι. στην πραγματικότητα, η πραγματική έρευνα στα μαθηματικά αποδίδει μεγάλη σημασία στη συνεργασία και την επικοινωνία. το επίτευγμα στα μαθηματικά δεν είναι μονοδιάστατο η χαρά των μαθηματικών βρίσκεται στη διαδικασία και όχι στο επίτευγμα. δεν διστάζει να μιλήσει για διακρίσεις και αδικίες στον τομέα των μαθηματικών, αλλά αυτά πρέπει να αλλάξουν και δεν έχουν καμία σχέση με τα ίδια τα μαθηματικά.
αυτό το άρθρο είναι απόσπασμα από το κεφάλαιο 12 του "the power of mathematics". οι υπότιτλοι προστέθηκαν από τον εκδότη και οι σχολιασμοί βρίσκονται στο πρωτότυπο βιβλίο.
"the power of mathematics: let us become better people", [ηπα] σενάριο francis su, μετάφραση shen jier και han xiaoxiao, citic publishing group, ιούνιος 2022.
υπάρχουν μόνο δύο πράγματα στα μαθηματικά που μπορούν πραγματικά να φέρουν ικανοποίηση στους ανθρώπους, το ένα είναι να μαθαίνουν από τους άλλους και το άλλο να το μοιράζεσαι με άλλους. τα πράγματα που ο καθένας μπορεί να καταλάβει πλήρως είναι στην πραγματικότητα εξαιρετικά περιορισμένα. γνωρίζουμε μόνο την επιφάνεια των περισσότερων πραγμάτων και δεν τα έχουμε μελετήσει σε βάθος.——γουίλιαμ θέρστον
το να σπουδάζεις μαθηματικά δεν είναι κάτι που πρέπει να κάνεις μόνος σου
ο ricardo gutierrez είναι ένας νεοϋορκέζος που γεννήθηκε σε μια εργατική γειτονιά από γονείς μετανάστες. ο πατέρας του δεν τελείωσε ποτέ το γυμνάσιο και η μητέρα του τα παράτησε στην όγδοη δημοτικού. το 2017, διάβασε το αντίγραφο της ομιλίας μου με τίτλο «how to thrive in mathematics» σε μια έκθεση και μετά μου έγραψε ένα γράμμα.
η επιστολή ανέφερε ότι έδειξε ταλέντο στα μαθηματικά σε πολύ νεαρή ηλικία, αλλά κανείς δεν μπορούσε να του δώσει τη σωστή καθοδήγηση. έτσι άλλαξε το ενδιαφέρον του κατά τη διάρκεια του κολεγίου και αφιέρωσε όλο τον χρόνο και την ενέργειά του στην μηχανική ήχου τα τελευταία 19 χρόνια, και έγινε ένας αρκετά επιτυχημένος μηχανικός ήχου - αν και δεν είναι πραγματική τεχνική δουλειά, αλλά όπως είπε: «η μουσική είναι το παν στο μυαλό μου δουλεύω και θα βρω τρόπους να τα κάνω πιο όμορφα και πιο ευχάριστα στα αυτιά." αγαπά την καριέρα του βαθιά - στην πραγματικότητα, ένα από τα έργα στα οποία συμμετείχε κάποτε κέρδισε την υποψηφιότητα για το βραβείο grammy - αλλά ακόμα ένιωθε ότι κάτι ήταν λείπει στη ζωή του.
απλώς νιώθω ότι ακόμα λαχταρώ κάτι άλλο χωρίς αυτά τα πράγματα, η ζωή μου δεν έχει ολοκληρωθεί. θέλω να μάθω περισσότερες γνώσεις και να βιώσω τη λογική σκέψης μαθημάτων όπως τα μαθηματικά και οι υπολογιστές. ίσως είναι επειδή η βαθιά αίσθηση της λογικής σκέψης με ελκύει και με κάνει να νιώθω τη χαρά της σκέψης, ίσως επειδή η δουλειά μου δεν μπορεί πλέον να ικανοποιήσει τη δίψα μου για γνώση και τα μαθηματικά και ο προγραμματισμός μπορούν απλώς να γεμίσουν την όρεξη. ίσως, για να είμαι πιο ακριβής, έχω γίνει πολύ ικανός στην τρέχουσα δουλειά μου, τόσο ικανός που νιώθω ότι κάθε μέρα είναι απλώς ένα «καθημερινό ρολόι» χωρίς τίποτα καινούργιο.
στη συνέχεια έκανε το γενναίο βήμα να επιστρέψει στο σχολείο σε ηλικία 40 ετών, συμμετέχοντας σε πρόγραμμα διδασκαλίας για «μη παραδοσιακούς μαθητές». είπε:
αυτό το σκληρό ακαδημαϊκό περιβάλλον μου έχει φέρει αδιανόητη πίεση και δυσκολίες, και μάλιστα με κάνει λίγο δύσκολο να το αποδεχτώ - ειδικά για κάποιον που δεν έχει εκτεθεί στη ζωή υψηλής έντασης σπουδών για μεγάλο χρονικό διάστημα - αλλά μερικές φορές, σκέφτομαι τι είναι αυτό που κάνει με στεναχωρεί δεν είναι αυτές οι πιέσεις, αλλά η αίσθηση του «δεν ανήκω καθόλου εδώ» που είχα στα μαθήματα μαθηματικών και υπολογιστών από τότε που ήμουν παιδί. ο λόγος που νιώθω έτσι μπορεί να έχει να κάνει πολύ με τις άσχημες εμπειρίες που είχα στην παιδική μου ηλικία. το περιβάλλον της γειτονιάς και οι συνθήκες διαβίωσης εκείνη την εποχή ήταν τόσο σκληρές που κάθε όνειρό μου θα συνέτριβε αμέσως από την αδίστακτη πραγματικότητα. κανείς δεν σηκώθηκε για να με καθοδηγήσει και να με βοηθήσει να διορθώσω τις ριζωμένες παρανοήσεις. οι λέξεις «δεν ανήκω καθόλου εδώ» συνέχιζαν να αντηχούν στο μυαλό μου, αλλοιώνοντας σταδιακά την κατεύθυνση της ζωής μου και γίνοντας μια παρατεταμένη σκιά στη ζωή μου.
το να νιώθουμε ότι «δεν ανήκω εδώ» μπορεί να είναι εξαιρετικά επιζήμιο για τους ανθρώπους, επομένως η κοινότητα είναι σημαντική για τα άτομα επειδή μας δίνει την αίσθηση ότι ανήκουμε. ο parker palmer είπε: «η λεγόμενη διδασκαλία αναφέρεται στη δημιουργία ενός συλλογικού περιβάλλοντος μάθησης για όλους, έτσι ώστε ο καθένας να μπορεί να αισθάνεται τη δύναμη της συλλογικότητας στην πράξη, όταν οι άλλοι δεν μπορούν να δουν καθαρά την αλήθεια». στα δικά τους όρια, όταν κάνουν κάτι, έχουμε την υποχρέωση να αναλάβουμε την πρωτοβουλία να αποκαλύψουμε τα ψέματά τους. μπορούμε να τους βοηθήσουμε να βρουν την αίσθηση ότι ανήκουν.
κανείς δεν μπορεί να αναπτυχθεί υγιώς χωρίς να είναι διαχωρισμένος από τη συλλογικότητα (η συλλογικότητα αναφέρεται σε αυτούς που μπορούν να κατανοήσουν τον πόνο μας, να νιώσουν τη χαρά μας, να δουν την ελπίδα στις καρδιές μας και να κατανοήσουν τους φόβους στις καρδιές μας). η συλλογικότητα μπορεί να μας βοηθήσει να καταλάβουμε ότι ο αγώνας είναι ένα φυσιολογικό φαινόμενο και να συνειδητοποιήσουμε ότι «δεν παλεύω μόνος μου».
η συλλογικότητα είναι μια λαχτάρα που υπάρχει βαθιά μέσα στον καθένα. είτε στον ελεύθερο χρόνο και την ψυχαγωγία, την εκπαίδευση και τη μάθηση, είτε στην καριέρα και την οικογενειακή ζωή, η συλλογικότητα παίζει τον ρόλο του «οδηγού», βοηθώντας μας να μπούμε στην πόρτα των μαθηματικών και καθοδηγώντας μας να συνεχίσουμε να προχωράμε στον δρόμο των μαθηματικών.
στιγμιότυπο από το ντοκιμαντέρ "the story of mathematics".
η έννοια της «μαθηματικής κοινότητας» έχει αναφερθεί πολλές φορές σε αυτό το βιβλίο τώρα όλοι θα πρέπει να καταλάβουν ότι οποιαδήποτε ομάδα ανθρώπων συγκεντρώθηκε λόγω κοινής μαθηματικής εμπειρίας και γνώσης μπορεί να μετρηθεί ως μια μαθηματική κοινότητα. όταν μοιράζεστε μαθηματικά αστεία με την οικογένειά σας, δείχνετε την αγάπη σας για τα μαθηματικά, φτιάχνετε μερικά μικρά γεωμετρικά αντικείμενα με την οικογένειά σας, διαβάζετε άρθρα σχετικά με τα μαθηματικά με την οικογένειά σας ή ακόμα και μαγειρεύετε με την οικογένειά σας (σύμφωνα με τις συνταγές) όταν προσθέτετε υλικά και συζητήστε τις ποσότητες των καρυκευμάτων με την οικογένειά σας), έχετε δημιουργήσει μια κοινότητα μαθηματικών στο σπίτι. όταν μπαίνεις σε μια τάξη μαθηματικών ή συμμετέχεις σε ένα παιχνίδι στρατηγικής, στην πραγματικότητα έχεις μπει σε μια κοινότητα μαθηματικών.
για τους περισσότερους ανθρώπους, η λέξη «συλλογικό» έχει ελάχιστη σχέση με τα μαθηματικά. αντίθετα, όλοι πιστεύουν ότι η τυπική εικόνα ενός μαθηματικού πρέπει να είναι «ένα άτομο που έχει αφοσιωθεί στη μελέτη ενός συγκεκριμένου προβλήματος για δεκαετίες». ναι, αρκετά γνωστά μαθηματικά προβλήματα έχουν λυθεί τα τελευταία χρόνια και όντως αυτές οι περιπτώσεις συνάδουν με την ιδέα του καθενός.
για παράδειγμα, το 1993, ο andrew wiles έδωσε μια σχετική απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του fermat (η απόδειξη εκείνη την εποχή είχε κάποια ελαττώματα), δίνοντας τέλος σε αυτό το άλυτο πρόβλημα για περισσότερα από 350 χρόνια. στην πραγματικότητα, το θεώρημα είναι πολύ απλό να περιγραφεί: όταν n > 2, δεν υπάρχει ακέραια λύση στην εξίσωση xn + yn = zn. αλλά για μια τόσο απλή πρόταση, ο andrew wiles ξόδεψε 7 χρόνια και πολλή προσπάθεια μόνος του για να βρει έναν τρόπο να το αποδείξει.
για παράδειγμα, το 2003, ο grigori perelman έδωσε μια απόδειξη της εικασίας του poincaré, φέρνοντας ένα επιτυχές τέλος σε αυτό το αιωνόβιο πρόβλημα στον τομέα της τοπολογίας. σε γενικές γραμμές, μπορούμε να κατανοήσουμε την εικασία του πουανκαρέ ως εξής: κάθε κλειστό τρισδιάστατο αντικείμενο χωρίς τρύπες είναι τοπολογικά ισοδύναμο με μια τρισδιάστατη σφαίρα. πριν δοθεί η απόδειξη, κανείς δεν γνώριζε ότι ο πέρελμαν μελετούσε την περίφημη εικασία του πουανκαρέ.
για ένα άλλο παράδειγμα, το 2013, όταν ο zhang yitang απέδειξε επιτυχώς το οριοθετημένο διάστημα μεταξύ των πρώτων αριθμών (μια σημαντική ανακάλυψη για την εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών), κανείς στο πεδίο δεν είχε ακούσει για το όνομα του zhang yitang.τα παραπάνω παραδείγματα έχουν δημιουργήσει μια δεισιδαιμονική πεποίθηση ότι οι μαθηματικοί πρέπει να εργάζονται μόνοι και σιωπηλά.αλλά αυτά τα παραδείγματα αποτελούν είδηση ακριβώς λόγω της μοναδικότητάς τους, στην πραγματικότητα δεν είναι αντιπροσωπευτικά.
στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά είναι γεμάτα συνεργασία και οι άνθρωποι θα συναντηθούν αυθόρμητα για διάφορα μαθηματικά έργα - μελετώντας μαζί, διαβάζοντας μαζί, παίζοντας μαζί και ερευνώντας μαζί. όπως είπε ο william thurston, η μάθηση και η κοινή χρήση είναι το πραγματικό νόημα των μαθηματικών (αυτή η πρόταση είναι απάντηση σε όσους ανησυχούν συχνά ότι δεν θα μπορέσουν να κάνουν τίποτα πρωτότυπο). γι' αυτό περνάμε χρόνο απολαμβάνοντας τα μαθηματικά με άλλους.
από επαγγελματική σκοπιά, τα μαθηματικά γίνονται πιο συνεργατικά από ό,τι στο παρελθόν. μια μελέτη του 2002 έδειξε ότι το ποσοστό των μαθηματικών που συμμετείχαν σε συνεργατικά ερευνητικά προγράμματα αυξήθηκε από 28% τη δεκαετία του 1940 σε 81% τη δεκαετία του 1990.
το 2009, ο μαθηματικός timothy gowers κάλεσε ακόμη και όλους στο διαδίκτυο να συνεργαστούν για να βρουν μια απόδειξη του θεωρήματος hales-jewett, και έγινε παγκοσμίως γνωστός γι' αυτό. (χονδρικά μιλώντας, μπορούμε να κατανοήσουμε το θεώρημα ως εξής: για παιχνίδια τικ-τακ-toe υψηλότερης διάστασης, ανεξάρτητα από το πόσοι παίκτες συμμετέχουν στο παιχνίδι, θα υπάρχει πάντα ένας νικητής στο τέλος.)
επιπλέον, όλο και περισσότεροι δάσκαλοι μαθηματικών αρχίζουν να ενθαρρύνουν τους μαθητές να υιοθετήσουν ενεργές μεθόδους μάθησης και να χρησιμοποιούν τον χρόνο στην τάξη για να επιτρέψουν στους μαθητές να συμμετέχουν στην αλληλεπίδραση και να συνεργάζονται μαζί. με την άνοδο των μέσων κοινωνικής δικτύωσης, οι καθηγητές μαθηματικών δοκιμάζουν επίσης περισσότερες νέες μεθόδους εκπαίδευσης και δημιουργούν περισσότερες ομάδες συμφερόντων για να διαδώσουν καλύτερα ιδέες και να μοιραστούν απόψεις. η ομαδική εργασία είναι ο βασικός τρόπος με τον οποίο οι σημερινοί μαθηματικοί εξερευνητές αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και είναι επίσης μια βασική δεξιότητα για ταλέντα στις επιχειρήσεις, τη βιομηχανία, την κυβέρνηση και άλλους τομείς.
η σημασία της συλλογικότητας είναι αυτονόητη. μπορεί να φέρει περισσότερους ανθρώπους κοντά, να αφήσει όλους να εξερευνήσουν τα μαθηματικά μαζί και να καλλιεργήσουν διάφορες εξαιρετικές ιδιότητες σε ένα αμοιβαία υποστηρικτικό περιβάλλον. ένα επιτυχημένο έργο μαθηματικών θα εστιάζει πάντα στην ομάδα, φέρνοντας τους συμμετέχοντες κοντά, έτσι ώστε όλοι, είτε παιδιά, δάσκαλοι ή ερευνητές, να μπορούν να επωφεληθούν από την ομάδα.
ωστόσο, ορισμένες μαθησιακές δυσκολίες θα ενισχυθούν περαιτέρω σε ένα ομαδικό περιβάλλον, επομένως η δημιουργία μιας ομάδας μαθηματικών δεν σημαίνει μόνο τη συγκέντρωση λάτρεις των μαθηματικών, αλλά πρέπει επίσης να είναι σε θέση να ανιχνεύει προβλήματα εγκαίρως και να ξεκαθαρίζει εμπόδια για όλους.
το επίτευγμα στα μαθηματικά δεν είναι μονοδιάστατο
η κοινότητα των μαθηματικών συχνά εστιάζει υπερβολικά σε αυτά που έχει επιτύχει ένα άτομο—συχνά ένα περιορισμένο επίτευγμα. όταν αξιολογούμε διανοητικά ποιος είναι "καλύτερος στα μαθηματικά", συχνά κατατάσσουμε με βάση μια μεμονωμένη "ικανότητα", αλλά αυτό κάνει τις διαιρέσεις πιο βαθιές. συχνά μεταφέρουμε σε άλλους την ιδέα ότι υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να επιτύχουμε στα μαθηματικά, όπως να αναγκάζουμε τα παιδιά να λύνουν προβλήματα γρήγορα ή να αφήνουμε τα παιδιά να μάθουν λογισμό στο γυμνάσιο ή να προτρέπουμε τους εργαζόμενους στα μαθηματικά εάν δεν ασχολείται με επιστημονική έρευνα, δεν μπορεί να θεωρηθεί «πραγματικός μαθηματικός».
στιγμιότυπο από το ντοκιμαντέρ "the chosen one by mathematics".
στην πραγματικότητα, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να πετύχουμε το επίτευγμα στα μαθηματικά δεν είναι μονοδιάστατο. πάντα σκεφτόμαστε τα μαθηματικά ως έναν πόλο κολλημένο στο έδαφος. πιστεύουμε ότι τα αμπέλια έχουν μόνο μία κατεύθυνση ανάπτυξης και μπορούν να συνεχίσουν να ανεβαίνουν στον πόλο. αλλά στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά μοιάζουν περισσότερο με πέργκολα: ως αμπέλι, μπορείτε να βρείτε ένα σημείο εκκίνησης οπουδήποτε όπου η πέργκολα συνδέεται με το έδαφος και στη συνέχεια να σκαρφαλώσετε σε πολλές κατευθύνσεις ταυτόχρονα.
επομένως, όσοι επιθυμούν να συμμετάσχουν στη μαθηματική κοινότητα πρέπει να βρουν τρόπους να αλλάξουν τη μονοδιάστατη οπτική τους. είτε στο σπίτι είτε στην τάξη, θα πρέπει να εκφράζουμε την εκτίμησή μας για τις καλές ιδιότητες που αναπτύσσουν οι άλλοι καθώς μαθαίνουν μαθηματικά και να υπενθυμίζουμε σε όλους ότι αυτές οι ιδιότητες αποτελούν αναπόσπαστο μέρος των μαθηματικών.
η επιμονή, το να παραμένετε περίεργοι, να είστε καλοί στη σύνοψη, να κλίνετε προς όμορφα πράγματα, να διψάτε για εις βάθος εξερεύνηση και οι ιδιότητες που ανέφερα σε διάφορα κεφάλαια είναι όλα εκδηλώσεις της ανάπτυξης και των κερδών σας στα μαθηματικά. στα λύκεια και τα κολέγια, θα πρέπει να παρέχουμε περισσότερη καθοδήγηση για να βοηθήσουμε τους μαθητές να μπουν στα μαθηματικά, αντί να αναγκάζουμε τους πάντες να μάθουν λογισμό.θα πρέπει να μετατρέψουμε τη λέσχη των μαθηματικών σε ένα μέρος που βασίζεται στην ευτυχία, αντί να το κάνουμε ένα μέρος για να εκφραστούν οι ελίτ.
σε επαγγελματικό επίπεδο, προκειμένου να βελτιωθεί η κατανόηση όλων των μαθηματικών, οι καθηγητές μαθηματικών και οι ερευνητές έχουν βρει διάφορες μεθόδους και θα πρέπει να δώσουμε προσοχή σε αυτή την ποικιλομορφία. επιπλέον, θα πρέπει να δημιουργήσουμε μια ποικιλία μαθηματικών προτύπων για να κατανοήσουν όλοι ότι τα μαθηματικά μπορούν να είναι μια διασκεδαστική και ενδιαφέρουσα καριέρα, αντί να εργάζονται μόνοι.
η διασκέδαση και η επιτυχία δεν ταυτίζονται πάντα
οι κοινότητες των μαθηματικών μπορεί μερικές φορές να είναι αρκετά ιεραρχικές, παρόλο που εκείνοι που δεν τις σκοπεύουν να είναι τόσο ιεραρχικές. στο πεζοπορικό κλαμπ που ανήκω, όλοι συγκεντρώνονται από την αγάπη τους για την πεζοπορία. πριν από κάθε αναχώρηση, θα χωριζόμαστε σε διαφορετικές ομάδες ανάλογα με τις προσωπικές ικανότητες κάθε ομάδα θα κινείται με διαφορετική ταχύτητα, γρήγορη ή αργή. είπα ανοιχτά σε όλους ότι η ταχύτητά μου ήταν πολύ αργή και με έβαλαν στην ομάδα αρχαρίων, αλλά δεν ντρεπόμουν γι' αυτό. γιατί ξέρω ότι η χαρά της πεζοπορίας —το τοπίο, οι φιλίες που κάνεις, ο ήσυχος χώρος για προβληματισμό— στην πραγματικότητα δεν έχει να κάνει με την ικανότητά σου να πεζοπορείς. το ίδιο ισχύει για εκδηλώσεις όπως συναυλίες πιάνου και αγώνες μπάσκετ, που μπορεί να είναι διασκεδαστικό να παρακολουθείς και ότι η διασκέδαση δεν επηρεάζεται από την προσωπική σου ικανότητα στη δραστηριότητα.
τα μαθηματικά είναι λίγο διαφορετικά η ευτυχία στα μαθηματικά απαιτεί συχνά ορισμένες ικανότητες. για παράδειγμα, όταν πηγαίνω σε ένα μάθημα μαθηματικών, εκτός και αν μπορώ να καταλάβω τι λέει ο δάσκαλος, δεν θα ζήσω ποτέ τη διασκέδαση των μαθηματικών. επιπλέον, η διασκέδαση που λέτε στους άλλους για τα μαθηματικά δεν έγκειται μόνο στη γνώση σας για τα σχετικά θεωρήματα, αλλά και στην ικανότητά σας να δίνετε σαφείς και συνεκτικές αποδείξεις. είναι κρίμα που η διαδικασία απόδειξης είναι δύσκολο για το κοινό να αφομοιώσει και να απορροφήσει σε σύντομο χρονικό διάστημα, και συνήθως λίγοι άνθρωποι αναλαμβάνουν την πρωτοβουλία να ζητήσουν από τον αφηγητή να βρει έναν τρόπο να προσαρμόσει τον τρόπο αφήγησης, ώστε να μπορούν όλοι καταλαβαίνω. αν και δεν έχω ιδέα για ορισμένα θέματα τώρα και δεν μπορώ να καταλάβω τι μιλούν οι άλλοι, έχω συνηθίσει εδώ και πολύ καιρό σε αυτό το είδος απογοήτευσης και ξέρω επίσης ότι αυτό είναι ένα φυσιολογικό φαινόμενο, αλλά για αρχάριους, αυτό το είδος απογοήτευσης μπορεί ακόμα εύκολα να απομακρύνει τους ανθρώπους από τα μαθηματικά.
ομοίως, στην τάξη, σε αυτό το συλλογικό περιβάλλον μάθησης, η διδασκαλία των μαθηματικών δεξιοτήτων είναι το βασικό περιεχόμενο της διδασκαλίας, έτσι πολλοί άνθρωποι θα αντιμετωπίσουν πολλές προκλήσεις κατά τη μάθηση. εάν οι ρυθμίσεις ομαδικής συνεργασίας δεν είναι λογικές, οι μαθητές που σκέφτονται για μεγάλο χρονικό διάστημα θα έχουν μια αίσθηση απογοήτευσης όταν αντιμετωπίζουν τους μαθητές με γρήγορη σκέψη.
παρόλο που μερικές φορές πρέπει να δίνουμε προσοχή στις προσωπικές ικανότητες, εάν εστιάσουμε μόνο στις προσωπικές ικανότητες, θα οδηγήσει τους ανθρώπους να λατρεύουν τυφλά εκείνους που επαινούνται ευρέως για τις εξαιρετικές προσωπικές τους ικανότητες, δημιουργώντας έτσι έναν περιττό ταξικό διαχωρισμό μέσα στην κοινότητα των μαθηματικών. η simone weil είπε κάποτε με απόγνωση:«η ιδέα ότι με αυτόν τον τρόπο θα αποκλείομαι εντελώς από αυτό το υπερβατικό βασίλειο, στο οποίο μπορούν να εισέλθουν μόνο οι αληθινά μεγάλοι, είναι οδυνηρή».πολλοί άνθρωποι υποφέρουν παρόμοιο πόνο με εκείνη, και έχω γνωρίσει πολλούς από αυτούς.
επομένως, όσοι έχουν προσδοκίες από την κοινότητα των μαθηματικών πρέπει να αναπτύξουν τη συνήθεια της φιλοξενίας, να παρέχουν καλή διδασκαλία και καθοδήγηση σε νέους φίλους και να τους ενθαρρύνουν και να τους υποστηρίζουν από καιρό σε καιρό. ως ζεστός και φιλόξενος εξερευνητής των μαθηματικών, πρέπει επίσης να βάλουμε κάτω την αλαζονεία μας και να είμαστε προσιτοί, ώστε οι νεοφερμένοι να πιστεύουν ότι ανεξάρτητα από το αν το προηγούμενο επίπεδό τους είναι υψηλό ή χαμηλό, η πόρτα θα είναι ανοιχτή για αυτούς. πρέπει επίσης να αναλάβουμε την πρωτοβουλία να δείξουμε στους νεοφερμένους το "μυστικό μενού" στα μαθηματικά και να τους αφήσουμε να δουν το λιγότερο δημοφιλές περιεχόμενο - συμπεριλαμβανομένης φυσικά της γνώσης ότι ακόμη και οι έμπειροι βετεράνοι δυσκολεύονται να καταλάβουν σε σύντομο χρονικό διάστημα - καθοδηγήστε τους υπομονετικά να κατακτήσουν διάφορα μαθηματικά δεξιότητες, όπως «πώς να βάλουν το περιεχόμενο του σχολικού βιβλίου στο δικό τους γνωστικό πλαίσιο».
επιπλέον, πρέπει να μάθουμε να αναγνωρίζουμε τις άριστες επιδόσεις τους και να πούμε σε όλους ότι είναι πλήρως ικανοί να μάθουν καλά μαθηματικά. όσοι χαίρουν μεγάλου σεβασμού στην κοινότητα των μαθηματικών θα πρέπει επίσης να θυμούνται ότι έχουν μια αδιαμφισβήτητη ευθύνη για το πώς να ρυθμίσουν το σύστημα προσανατολισμού. από την άλλη πλευρά, αν θέλουμε να είμαστε ένας ζεστός και φιλόξενος μαθηματικός εξερευνητής, πρέπει επίσης να προσπαθήσουμε να μεταμορφωθούμε σε έναν εξαιρετικό δάσκαλο μαθηματικών, ώστε οι αρχάριοι να μπορούν επίσης να βιώσουν τη διασκέδαση των μαθηματικών. όσον αφορά το πώς να παρέχουμε καλή εκπαίδευση, υπάρχουν πάρα πολλές περιπτώσεις από αυτή την άποψη.
στιγμιότυπο από το ντοκιμαντέρ "the chosen one by mathematics".
αυτοί οι ηγέτες στην ομάδα των μαθηματικών πρέπει να παίξουν το ρόλο τους και να προσαρμόσουν τη στρατηγική διαχείρισης της ομάδας ανά πάσα στιγμή με βάση τις συγκεκριμένες επιδόσεις, τις διαφορές προσωπικότητας και τις ικανότητες των μαθητών. οι έμπειροι δάσκαλοι το γνωρίζουν πολύ καλά ότι για να τυποποιήσουν τον τρόπο με τον οποίο τα πηγαίνουν καλά μεταξύ τους, είναι απαραίτητο να καθιερώσουν αντίστοιχους κανόνες, γνωρίζουν επίσης ότι εάν κάποιος στην ομάδα είναι αυθαίρετος. εάν η ομάδα δεν μπορεί να επιτραπεί σε όλοι μεταξύ τους μπορούν να βρουν το δικό τους νόημα στην ομαδική εργασία, η οποία θα φέρει σοβαρά αρνητικά συναισθήματα σε όλους.
ως εκ τούτου, για να επιτρέψουν στους συμμετέχοντες να κερδίσουν κάτι, οι εκπαιδευτικοί μαθηματικών αποδίδουν μεγάλη σημασία στο σχεδιασμό και τη διευθέτηση της ομαδικής εργασίας θα ορίσουν πολλούς σημαντικούς ρόλους για την ομαδική εργασία και θα αναθέσουν ορισμένες προσαρμοσμένες εργασίες σε κάθε μέλος για να εξασφαλίσουν ότι όλοι μπορούν να η εργασία μπορεί να ολοκληρωθεί με επιτυχία μόνο εάν συνεργαστούμε. ένας ευσυνείδητος δάσκαλος πρέπει να ξέρει πώς να ενθαρρύνει τους μαθητές να επικοινωνούν ενεργά και να μοιράζονται ιδέες και πώς να μειώνει κατάλληλα την πιθανότητα οι ομαδικές δραστηριότητες να επιφέρουν κοινωνικούς κινδύνους στους συμμετέχοντες.
εάν θέλετε να δημιουργήσετε μια κοινότητα μαθηματικών, πρέπει να βρείτε τρόπους για να βελτιώσετε την ικανότητα όλων να συνεργάζονται και να εξαλείψετε τις ιεραρχικές διαιρέσεις.μόνο επιτρέποντας στα μέλη να ανέχονται το ένα το άλλο και επιτρέποντας σε όλους να επωφεληθούν από ένα περιβάλλον «εκατό σχολών σκέψης που αγωνίζονται» μπορεί να θεωρηθεί επιτυχημένη συνεργασία. πρέπει να θυμόμαστε ότι η συνεργασία σημαίνει κάτι περισσότερο από έναν απλό καταμερισμό της εργασίας. η πραγματική συνεργασία στα μαθηματικά είναι άκρως συνεργατική μέσω εκτεταμένων εργασιών προετοιμασίας, διασφαλίζεται ότι κάθε συμμετέχων μπορεί να αναπτυχθεί σε ένα αμοιβαία ενισχυτικό περιβάλλον και να αναπτύξει μια βαθύτερη κατανόηση της γνώσης σε μια υγιή ανταγωνιστική ατμόσφαιρα.
έμμεσες διακρίσεις στις κοινότητες των μαθηματικών
όπως και άλλες ομάδες, η κοινότητα των μαθηματικών είναι επιρρεπής σε κάθε είδους σιωπηρή διάκριση: ο καθένας από εμάς έχει κάποια ασυνείδητα στερεότυπα σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό. κάνουμε ψευδείς υποθέσεις για τους άλλους που παρεμβαίνουν στις ευκαιρίες τους να εκφραστούν και δυσκολεύουν να ακουστεί η φωνή τους. στην πανεπιστημιούπολη, πρέπει να υπενθυμίζουμε συνεχώς στον εαυτό μας: ποιος δεν έχει μιλήσει ακόμα; ποιων οι προσπάθειες και οι συνεισφορές συχνά παραβλέπονται; στον επαγγελματικό κόσμο, πρέπει επίσης να γνωρίζουμε ότι οι προκαταλήψεις μπορεί μερικές φορές να μας οδηγήσουν να λάβουμε αποφάσεις και ενέργειες που είναι επιζήμιες για τη συλλογικότητα.
για παράδειγμα, όταν γυναίκες και άνδρες συνυπογράφουν άρθρα, λίγοι άνθρωποι αναγνωρίζουν τις συνεισφορές των γυναικών — υποτίθεται ότι η δουλειά έγινε από άνδρες. το 2016, κάποιος έκανε στατιστικά στοιχεία σε ένα ερευνητικό πεδίο παρόμοιο με το οικονομικό δημοσιεύουν με συνέπεια μόνοι τους (οπότε δεν υπάρχει πράγματι διαφορά στην πιθανότητα απόρριψης μεταξύ ανδρών και γυναικών).
ως εκ τούτου, όσοι θέλουν να οικοδομήσουν μια μαθηματική κοινότητα πρέπει να εξετάζουν συνεχώς τον εαυτό τους για να δουν αν μπορεί να εκδηλώνουν ακούσια προκαταλήψεις. επιπλέον, πρέπει να θεσπίσουμε κατάλληλους κανόνες και κανονισμούς στην ομάδα και να τους τηρούμε. μόνο έτσι μπορούμε να ελαχιστοποιήσουμε την εμφάνιση προκατάληψης.
υπάρχουν πολλές μαθηματικές ομάδες όπου τα μέλη υποφέρουν από έλλειψη της απαραίτητης αίσθησης του ανήκειν. υπάρχουν πολλές συγκεκριμένες εκδηλώσεις, για παράδειγμα: δεν θέλω οι άλλοι να ανακαλύψουν ότι το επίπεδο γνώσεών μου είναι περιορισμένο (το πιθανό νόημα είναι: νιώθω ότι δεν αξίζω να είμαι εδώ με όλους τους άλλους ανθρώπους). εμένα (η πιθανή έννοια είναι: κανείς δεν μπορούσε να καταλάβει πραγματικά την κατάστασή μου. δεδομένου ότι πολλές ομάδες είναι πολύ ιεραρχικές, αυτό το συναίσθημα μπορεί να γίνει όλο και πιο έντονο.
ως φοιτητής κολεγίου άνω των 40 ετών, είναι δύσκολο για τον ρικάρντο να αποφύγει παρόμοιες εμπειρίες. είτε από την άποψη της φυλής είτε της κοινωνικής τάξης, ο ρικάρντο βρίσκεται σε σχετικά μειονεκτική θέση. επιπλέον, δεν έχει εκτεθεί στη ζωή της πανεπιστημιούπολης για μεγάλο χρονικό διάστημα, και του είναι δύσκολο να προσαρμοστεί εκ νέου σε αυτό το υψηλής έντασης μαθησιακό περιβάλλον όλα τα πράγματα που συνέβησαν στο παρελθόν διαβρώνουν συνεχώς την επιμονή και την αποφασιστικότητά του αισθάνεται πάντα ότι «δεν έπρεπε ποτέ να επιστρέψω στην πανεπιστημιούπολη εξαρχής».
στην πραγματικότητα, πολλοί από εμάς έχουν παρόμοια συναισθήματα για τον έναν ή τον άλλον λόγο, για παράδειγμα, αισθάνομαι συχνά μοναξιά στις ομάδες των μαθηματικών, παρόλο που έχω εδραιώσει σταθερά τα πόδια μου στον τομέα των μαθηματικών. στα μέσα της καριέρας μου, άλλαξα το ερευνητικό μου πεδίο και έφτασα σε ένα ολοκαίνουργιο επιστημονικό ερευνητικό ίδρυμα ακόμα συχνά ένιωθα ότι εγώ έξω από την ομάδα.
επειδή γνωρίζω πολύ λίγα για αυτό το νέο πεδίο, και το προηγούμενο ερευνητικό μου ινστιτούτο ήταν λίγο διαφορετικό - άλλα ερευνητικά ινστιτούτα επικεντρώνονταν στην επιστημονική έρευνα και τους ακαδημαϊκούς, και φαινόταν ότι ήμασταν οι μόνοι που επικεντρωνόμασταν στη διδασκαλία και την εκπαίδευση ανθρώπων. οι άνθρωποι δεν με γνωρίζουν καλά και δεν με προσκαλούν σε ομαδικές δραστηριότητες προτιμούν να συναντιούνται με άτομα που γνωρίζουν καλά. αλλά για να είμαι ειλικρινής, αν μπορούσαν να καταλάβουν πώς ένιωθα εκείνη τη στιγμή, πιστεύω ότι θα ήταν πρόθυμοι να με βοηθήσουν και να με βοηθήσουν να βγω από τη δύσκολη θέση. γι' αυτό είπα προηγουμένως ότι μόνο με το να νοιαζόμαστε πάντα για τους άλλους μπορούμε να αποδεχόμαστε πραγματικά τους άλλους.
στιγμιότυπο από το ντοκιμαντέρ "the chosen one by mathematics".
από αυτό προκύπτει ότι για όσους εκτιμούν τη μαθηματική κοινότητα, εκτός από τη διατήρηση μιας ζεστής και φιλόξενης στάσης, πρέπει να νοιάζονται και για τους άλλους. αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βλέπουμε τους άλλους σωστά, ειδικά εκείνους τους νέους, αυτούς τους αρχάριους και αυτούς που αγνοούνται. ακόμα κι αν είστε νέος εδώ, πρέπει να το κάνετε αυτό.
όταν με αγνόησαν πριν, το σκέφτηκα προσεκτικά και ξαφνικά συνειδητοποίησα ότι μπορεί να υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που βιώνουν παρόμοιες εμπειρίες με εμένα, επειδή αυτό το επιστημονικό ερευνητικό ίδρυμα γενικά παρέχει μόνο βραχυπρόθεσμα προγράμματα ανταλλαγών εμείς είμαστε νεοφερμένοι. αλλά έχοντας πει αυτό, ακόμα κι αν είστε αρχάριοι, μπορείτε να πάρετε την πρωτοβουλία να νοιάζεστε για τους φίλους γύρω σας που αισθάνονται το ίδιο όπως εσείς για τον κόσμο και τον κόσμο και να τους καλωσορίσετε.
ανεξάρτητα από ποια ομάδα μαθηματικών προέρχεστε, εφόσον είστε σε ηγετική θέση, θα πρέπει να καλλιεργείτε ενεργά τη δική σας ενσυναίσθηση, να είστε καλοί στο να ανακαλύπτετε τις δυσκολίες των άλλων και να κατανοείτε τις καταστάσεις των άλλων. ως ηγέτης, μόνο δίνοντας το παράδειγμα και αναλαμβάνοντας την πρωτοβουλία να μοιραστείτε τις προηγούμενες εμπειρίες σας και τις δυσκολίες που συναντήσατε στον ακαδημαϊκό δρόμο, μπορείτε να έχετε θετικό αποτέλεσμα. ως δάσκαλος, μόνο δίνοντας το παράδειγμα και μοιράζοντας ενεργά το «μαθηματικό βιογραφικό» σας - αυτό που βλέπετε, ακούτε και αισθάνεστε στη διαδικασία της εκμάθησης των μαθηματικών μπορούν οι μαθητές να είναι πρόθυμοι να μιμηθούν.
ένας ηγέτης με ενσυναίσθηση μπορεί να προσφέρει παρηγοριά στους άλλους και να τους βοηθήσει να ξεπεράσουν τις απογοητεύσεις τους. ως νικήτρια του βραβείου abel (γνωστό ως το βραβείο νόμπελ στα μαθηματικά), η karen uhlenbeck είπε: «δεν είναι εύκολο να δίνεις το παράδειγμα για τους άλλους...πρέπει να καταλάβετε ότι το πιο σημαντικό καθήκον σας είναι να κάνετε τους μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι οι επιτυχημένοι άνθρωποι δεν είναι τέλειοι άνθρωποι και ότι έχουν επίσης πολλά ελαττώματα και αδυναμίες.”
δημιουργήστε μια υγιή κοινότητα μαθηματικών
πάντα διασκεδάζω πολύ να συζητάω τι χρειάζεται για να ευδοκιμήσω στα μαθηματικά με άλλους, οι οποίοι συχνά μοιράζονται μαζί μου βαθιές εμπειρίες που είχαν.
μιλώντας γι' αυτό, θυμήθηκα μια ενδιαφέρουσα ιστορία που μοιράστηκε μαζί μου η καθηγήτρια έριν μακνίκολας αρκετοί φοιτητές και ένας άλλος καθηγητής:
σου είναι δύσκολο να φανταστείς τον πόνο που υπέφερα εκείνη την εποχή. άγχος, ανησυχία, φόβος, θυμός και άλλα αρνητικά συναισθήματα ήταν συνυφασμένα και σάρωσαν ολόκληρο τον εγκέφαλό μου σαν παλίρροια. ...ωστόσο, ήρθε μια τροπή όταν γνώρισα ένα αγόρι τυχαία. συζητούσα την εργασία της πραγματικής μεταβλητής αυτής της εβδομάδας με μια από τις μαθήτριές μου η μαθήτρια μου είπε ότι βρήκε ένα ελάττωμα στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος, αλλά οι δυο μας το αναλύσαμε για πολύ καιρό και δεν μπορούσαμε να καταλάβουμε. πώς να το λύσετε. ρώτησα λοιπόν το αγόρι αν είχε λύσει αυτό το πρόβλημα. αν και είπε ότι είχε υπολογίσει την απάντηση, όταν ρίξαμε μια πιο προσεκτική ματιά, διαπιστώσαμε ότι τα βήματα επίλυσής του ήταν τα ίδια με αυτά της μαθήτριάς μου, αλλά δεν παρατήρησε το ελάττωμα, οπότε έπρεπε να επισημάνω το πρόβλημα σε αυτόν.
με αυτόν τον τρόπο, μέσα σε μόλις 20 λεπτά, μαζεύτηκαν στην τάξη συνολικά 7 άτομα, μεταξύ των οποίων 5 μαθητές της θεωρίας πραγματικών μεταβλητών συναρτήσεων, ένας άλλος καθηγητής κι εγώ. όλοι εξέφρασαν τις απόψεις τους και συζήτησαν μαζί λύσεις στα προβλήματα. ωστόσο, μόλις το πρόβλημα επρόκειτο να λυθεί, αντιμετωπίσαμε ένα άλλο ολοκαίνουργιο πρόβλημα. ωστόσο, με κοινές προσπάθειες, ξεπεράσαμε τελικά αυτό το πρόβλημα.εκείνη τη στιγμή, η χαρά της νίκης άνθισε στα πρόσωπα όλων. υπό την επιρροή του, όλοι γελάσαμε και όλη η τάξη γέμισε από τη χαλαρή και χαρούμενη ατμόσφαιρα μετά από μια μεγάλη νίκη.
είπε επίσης ότι εκείνη τη στιγμή γέλιου κατάλαβε ότι κατά τη διάρκεια των 30 λεπτών που έλυνε προβλήματα με όλους, ξέχασε τελείως τις ανησυχίες και τις ανησυχίες της. σε αυτήν την αυθόρμητα δημιουργηθείσα ομάδα μαθηματικών, τα μαθηματικά έχουν γίνει ένα πνευματικό λιμάνι σε αυτό το λιμάνι, μπορεί να γελάσει και να χορέψει με την καρδιά της και δεν χρειάζεται πλέον να ανησυχεί για τους μεγάλους ανέμους και τα κύματα έξω ή για τα ενοχλητικά ασήμαντα θέματα.
η ιστορία της δείχνει πόσο ωφέλιμη μπορεί να είναι μια υγιής κοινότητα μαθηματικών. δεν υπάρχει διαχωρισμός στην τάξη. όλοι σκέφτονται το ίδιο πρόβλημα είναι ένα φυσιολογικό φαινόμενο, σε κάποιο βαθμό μπορεί ακόμη και να κάνει τους ανθρώπους λίγο ενθουσιασμένους.
όλοι συγκεντρώνονται λόγω κοινών συμφερόντων: ακόμα κι αν οι φοιτητές γνωρίζουν ότι αυτό το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί εύκολα από τον καθηγητή και δεν θα αφαιρεθούν εάν δεν μπορούν να το λύσουν, εξακολουθούν να το θέλουν όπως οι καθηγητές κάνουν ό,τι μπορείτε μάθετε την αλήθεια και βρείτε τις απαντήσεις. στη διαδικασία της συνεργασίας, είδαν την ίδια αχτίδα ελπίδας τη στιγμή που τελείωσαν, γεύτηκαν την ίδια γεύση της νίκης. ανατρέχοντας σε αυτήν την εμπειρία, η έριν εξέφρασε την ακόλουθη συγκίνηση:
αν και ο καθένας από εμάς έχει αφιερώσει τις δικές του προσπάθειες για να βρει την απάντηση, δεν μπορώ παρά να επαινέσω τη μαθήτριά μου. από την άλλη, αν και βρήκα τον όμορφο χαρακτήρα της αυστηρότητας και σύνεσης, αυτός ο χαρακτήρας υποτιμάται εύκολα ή αγνοείται από τους περισσότερους επαγγελματίες, επειδή τείνουν να εκτιμούν περισσότερο τη δημιουργικότητα και τη μαθηματική διαίσθηση. αν και έχει επίσης αυτά τα πλεονεκτήματα, επειδή είναι ταπεινή και καταλαβαίνει ότι υπάρχουν άνθρωποι έξω από τον κόσμο και υπάρχει παράδεισος έξω από τον κόσμο, αυτά τα πλεονεκτήματα δεν είναι εύκολο να γίνουν αντιληπτά σε ένα ομαδικό περιβάλλον.εάν η πρόκληση στα μαθηματικά συγκρίνεται με ένα ποτάμι που πρέπει να διασχιστεί, τότε μερικοί μαθηματικοί θα επιλέξουν να ξεκινήσουν αμέσως από την ακτή και να πηδήξουν στις πέτρες στο ποτάμι, σκεπτόμενοι μόνο το επόμενο βήμα και άλλοι μαθηματικοί θα επιλέξουν να περιμένουν και δείτε από την ακτή και, στη συνέχεια, αναζητήστε τρόπους για να διασχίσετε το ποτάμι, υπολογίστε την ταχύτητα της ροής του νερού και την πιθανότητα πτώσης και χρησιμοποιήστε τους χάρτες google για να αναζητήσετε τις πλευρές ανάντη και κατάντη για να δείτε αν μπορούν να περάσουν γύρω από τη γέφυρα. κοιτάζοντας τους πολεμιστές που βάδιζαν μπροστά γενναία και πηδούσαν πάνω-κάτω στους βράχους, ήταν εύκολο να εντυπωσιαστείς από το θάρρος τους. αλλά στην πραγματικότητα, όταν αυτοί οι άνθρωποι είναι παγιδευμένοι στη μέση του ποταμού και βρίσκονται σε δίλημμα, είναι συχνά οι επιμελείς, αυστηροί και στρατηγικοί άνθρωποι στην ακτή που έρχονται να τους σώσουν.νομίζω ότι τόσο οι καθηγητές όσο και οι φοιτητές έχουν παραβλέψει το προσεκτικό, μεθοδικό μέρος της συλλογικής δουλειάς που οδήγησε στην τελική μας νίκη. μπροστά σε αυτό το γεγονός, δεν μπορούσα παρά να αναστενάξω με συγκίνηση: δύο καθηγητές πανεπιστημίου με διδακτορικά διπλώματα, συν αρκετοί τελειόφοιτοι με εξαιρετικές επαγγελματικές ικανότητες, δεν παρατήρησαν το παραμικρό ελάττωμα στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος και αντ' αυτού άφησαν έναν άγνωστο άτομο λύνει το πρόβλημα, οι μαθητές των οποίων οι ικανότητες συχνά δεν αναγνωρίζονται από τους άλλους βρίσκουν προβλήματα.
αυτή είναι μια πραγματικά ακμάζουσα και δυναμικά αναπτυσσόμενη κοινότητα μαθηματικών: τα μέλη συγκεντρώνονται λόγω κοινών κατευθύνσεων εξερεύνησης και χόμπι, και όλοι επικοινωνούν ενεργά, μαθαίνουν ο ένας από τα δυνατά σημεία του άλλου και σέβονται τα αποτελέσματα εργασίας του άλλου. σε αυτή τη διαδικασία ενότητας και συνεργασίας, όλοι θα επευφημούν για τις ανακαλύψεις που έχει κάνει η ομάδα και κάθε εξαιρετικός χαρακτήρας ερμηνεύεται όσο καλύτερα μπορεί.
πρωτότυπος συγγραφέας/francis su
απόσπασμα/lotus
εκδότης/wang han
εισαγωγή διορθώσεις/λούσι
