νέα

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Συλλογή Machine Heart

από το quntamagazine

Συλλογή Machine Heart
Τμήμα Σύνταξης Machine Heart

Πρόσφατα, σημειώθηκε πρόοδος για πρώτη φορά σε ένα μαθηματικό παζλ που παρέμενε άλυτο εδώ και δεκαετίες.

Οδηγώντας αυτήν την πρόοδο είναι ο μεταπτυχιακός φοιτητής του UCLA James Leng, ο μεταπτυχιακός φοιτητής μαθηματικών του MIT Ashwin Sah και ο βοηθός καθηγητής του Πανεπιστημίου Columbia Mehtaab Sawhney. Μεταξύ αυτών, ο Τζέιμς Λενγκ σπούδασε κάτω από τον διάσημο μαθηματικό Τέρενς Τάο και ο Άσουιν Σαχ σπούδασε κάτω από τον διακριτό δάσκαλο των μαθηματικών Zhao Yufei.

Διεύθυνση χαρτιού: https://arxiv.org/pdf/2402.17995

Για να κατανοήσουμε την ανακάλυψη που επιτεύχθηκε σε αυτήν την έρευνα, πρέπει να ξεκινήσουμε με αριθμητικές προόδους.

Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής ακολουθίας ονομάζεται αριθμητική σειρά, γνωστή και ως αριθμητική σειρά. Το 1936, οι μαθηματικοί Paul Erdős και Pál Turán υπέθεσαν ότι αν ένα σύνολο αποτελείται από μη μηδενικά κλάσματα ακεραίων αριθμών (ακόμη και 0,00000001%), τότε πρέπει να περιέχει μια αυθαίρετα μεγάλη αριθμητική σειρά. Τα μόνα σύνολα που μπορούν να αποφύγουν τις αριθμητικές σειρές είναι αυτά που περιέχουν ένα «αμελητέο» μέρος των ακεραίων. Για παράδειγμα, το σύνολο {2, 4, 8, 16, …}, στο οποίο κάθε αριθμός είναι διπλάσιος από τον προηγούμενο αριθμό, είναι διασκορπισμένο κατά μήκος του άξονα των αριθμών χωρίς πρόοδο.

Το 1975, ο μαθηματικός Endre Szemerédi απέδειξε αυτή την εικασία. Το έργο του οδήγησε σε μια ποικιλία ερευνητικών κατευθύνσεων που οι μαθηματικοί εξακολουθούν να εξερευνούν σήμερα.

Οι μαθηματικοί καθιέρωσαν το αποτέλεσμα του Szemerédi στην περίπτωση ενός πεπερασμένου συνόλου αριθμών (όλοι οι ακέραιοι από το 1 έως κάποιο αριθμό N). Πόσο από την αρχική πισίνα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σετ πριν συμπεριλάβει αναπόφευκτα μια απαγορευμένη σειρά; Καθώς το N αλλάζει, πώς θα αλλάξει αυτή η αναλογία;

Για παράδειγμα, έστω N 20, πόσοι από αυτούς τους 20 αριθμούς μπορούν να γραφτούν ενώ αποφεύγονται σειρές μήκους 5 ή περισσότερων αριθμών; Όπως αποδεικνύεται, η απάντηση είναι 16% έως 80% της αρχικής δεξαμενής.

Ο Szemerédi ήταν ο πρώτος που έδειξε ότι καθώς το Ν μεγαλώνει, αυτό το κλάσμα πρέπει να συρρικνωθεί στο μηδέν, και οι μαθηματικοί προσπάθησαν από τότε να ποσοτικοποιήσουν πόσο γρήγορα συμβαίνει αυτό.

Πέρυσι, η πρωτοποριακή εργασία δύο επιστημόνων υπολογιστών έλυσε σχεδόν το πρόβλημα των σειρών τριών όρων, όπως {6, 11, 16}. Αλλά το πρόβλημα γίνεται πιο δύσκολο όταν προσπαθείτε να αποφύγετε αριθμητικές σειρές τεσσάρων ή περισσότερων όρων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι μεγαλύτερες σειρές αντικατοπτρίζουν υποκείμενες δομές που είναι δύσκολο να αποκαλυφθούν χρησιμοποιώντας κλασικές μαθηματικές μεθόδους.

Οι αριθμοί x, y και z σε μια αριθμητική σειρά τριών όρων ικανοποιούν πάντα την απλή εξίσωση x – 2y + z = 0 (πάρτε για παράδειγμα τη σειρά {10, 20, 30}: 10 – 2*(20) + 30 = 0) , είναι σχετικά εύκολο να αποδειχθεί εάν ένα σύνολο περιέχει αριθμούς που ικανοποιούν αυτήν την προϋπόθεση. Ενώ οι αριθμοί σε μια σειρά τεσσάρων όρων πρέπει επίσης να ικανοποιούν την πιο σύνθετη εξίσωση x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0, μια σειρά με πέντε ή περισσότερους όρους πρέπει να ικανοποιεί μια ακόμη πιο σύνθετη εξίσωση. Αυτό σημαίνει ότι τα σύνολα που περιέχουν τέτοιες σειρές θα παρουσιάζουν πιο διακριτικά μοτίβα. Θα ήταν επίσης πιο δύσκολο για τους μαθηματικούς να αποδείξουν αν υπάρχει τέτοιο μοτίβο.

Στα τέλη της δεκαετίας του 1990, ο μαθηματικός Timothy Gowers πρότεινε μια θεωρία για να ξεπεραστεί αυτό το εμπόδιο. Αργότερα του απονεμήθηκε το μετάλλιο Fields, η υψηλότερη τιμή των μαθηματικών, εν μέρει για αυτό το έργο. Το 2001, εφάρμοσε τη μέθοδό του στο θεώρημα του Szemerédi, αποδεικνύοντας καλύτερα όρια στο μέγιστο μέγεθος συνόλου, αποφεύγοντας τις αριθμητικές σειρές για οποιοδήποτε δεδομένο μήκος.

Το 2022, ο James Leng, τότε δευτεροετής μεταπτυχιακός φοιτητής στο UCLA, άρχισε να κατανοεί τη θεωρία του Gowers. Δεν έλαβε υπόψη το θεώρημα του Szemerédi. Αντίθετα, ελπίζει να απαντήσει σε ερωτήσεις σχετικά με την προσέγγιση του Gowers.

Ωστόσο, μετά από περισσότερο από ένα χρόνο αναζήτησης, δεν βρήκε τίποτα.

Ο Sah και ο Sawhney, που είχαν σκεφτεί σχετικά θέματα, έμαθαν για τη δουλειά του Leng και μάλιστα πολύ ενδιαφέρονταν: «Είμαι έκπληκτος που μπορώ να σκεφτώ έτσι».

Ο Sah και ο Sawhney συνειδητοποίησαν ότι η έρευνα του Leng θα μπορούσε να τους βοηθήσει να προχωρήσουν περαιτέρω στο θεώρημα του Szemerédi. Μέσα σε λίγους μήνες, τρεις νεαροί μαθηματικοί κατάλαβαν πώς να αποκτήσουν καλύτερα ανώτερα όρια στο μέγεθος των σετ χωρίς σειρές pentterm. Στη συνέχεια επέκτειναν το έργο τους σε σειρές αυθαίρετων μήκων, σηματοδοτώντας την πρώτη πρόοδο στο πρόβλημα στα 23 χρόνια από την απόδειξη του Gowers.

εξπρές

, το μέγεθος του μεγαλύτερου υποσυνόλου μιας αριθμητικής σειράς χωρίς k όρους. Οι Leng, Sah και Sawhney απέδειξαν ότι για k ≥ 5, υπάρχει c_k > 0 έτσι ώστε

ερευνητική ομάδα

Ο James Leng, ο πρώτος συγγραφέας της εργασίας, είναι μεταπτυχιακός φοιτητής στα μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες (UCLA) και έλαβε το προπτυχιακό του πτυχίο από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϋ. Σπούδασε κοντά στον διάσημο μαθηματικό Terence Tao.

Τα ερευνητικά ενδιαφέροντα του James Leng περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, αριθμητική συνδυαστική, δυναμικά συστήματα και ανάλυση Fourier. Η έρευνά του έχει επίσης υποστηριχθεί από μια υποτροφία μεταπτυχιακών σπουδών NSF.

Τζέιμς Λενγκ

Ο Ashwin Sah αγαπούσε τα μαθηματικά από παιδί. Το καλοκαίρι του 2016, ο 16χρονος Σαχ κέρδισε το χρυσό μετάλλιο στη Διεθνή Ολυμπιάδα Μαθηματικών (IMO).

Ashwin Sah

Ενώ σπούδαζε στο MIT, δύο άτομα έπαιξαν σημαντικό ρόλο στη μαθηματική ανάπτυξη του Σαχ. Ο πρώτος είναι ο καθηγητής Yufei Zhao, μάστερ των διακριτών μαθηματικών, ο οποίος είναι επίσης πτυχιούχος δάσκαλος του Sah.

Ο δεύτερος είναι ο Mehtaab Sawhney, γνωρίστηκαν στην τάξη και έγιναν φίλοι. Αργότερα, οι δυο τους έκαναν έρευνα μαζί και συζήτησαν διάφορα θέματα στον τομέα των διακριτών μαθηματικών, όπως η θεωρία γραφημάτων, η θεωρία πιθανοτήτων και οι ιδιότητες των τυχαίων πινάκων. Στα τέλη του 2017, ο Ashwin Sah και ο Mehtaab Sawhney συναντήθηκαν όταν ήταν προπτυχιακοί φοιτητές στο (MIT). Από τότε, οι δυο τους έχουν γράψει μαζί 57 μαθηματικές αποδείξεις, πολλές από τις οποίες είχαν βαθύ αντίκτυπο σε διάφορους τομείς.

Mehtaab Sawhney

Ο Mehtaab Sawhney είναι τώρα επίκουρος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια. Τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, τη συνδυαστική, τις πιθανότητες και τη θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών.

参考链接：https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/