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Compilazione del cuore della macchina

da quantamagazine

Compilazione del cuore della macchina
Dipartimento editoriale di Machine Heart

Recentemente sono stati compiuti progressi per la prima volta su un enigma matematico rimasto irrisolto per decenni.

A guidare questo progresso sono lo studente laureato dell’UCLA James Leng, lo studente laureato in matematica del MIT Ashwin Sah e l’assistente professore della Columbia University Mehtaab Sawhney. Tra questi, James Leng studiò con il famoso matematico Terence Tao e Ashwin Sah studiò con il discreto maestro di matematica Zhao Yufei.

Indirizzo del documento: https://arxiv.org/pdf/2402.17995

Per comprendere la svolta raggiunta in questa ricerca, dobbiamo partire dalle progressioni aritmetiche.

La somma dei primi n termini di una sequenza aritmetica è detta serie aritmetica, detta anche serie aritmetica. Nel 1936, i matematici Paul Erdős e Pál Turán congetturarono che se un insieme è costituito da frazioni intere diverse da zero (anche 0,00000001%), allora deve contenere una serie aritmetica arbitrariamente lunga. Gli unici insiemi che possono evitare le serie aritmetiche sono quelli che contengono una parte "trascurabile" degli interi. Ad esempio, l'insieme {2, 4, 8, 16, …}, in cui ogni numero è il doppio del numero precedente, è sparso lungo l'asse dei numeri senza progressione.

Nel 1975, il matematico Endre Szemerédi dimostrò questa congettura. Il suo lavoro ha dato origine a una varietà di direzioni di ricerca che i matematici stanno esplorando ancora oggi.

I matematici stabilirono il risultato di Szemerédi nel caso di un insieme finito di numeri (tutti i numeri interi da 1 a un numero N). Quanta parte del pool iniziale può essere utilizzata nel set prima di includere inevitabilmente una serie proibita? Al variare di N, come cambierà questa proporzione?

Ad esempio, se N è 20, quanti di questi 20 numeri possono essere scritti evitando comunque serie di 5 o più numeri? A quanto pare, la risposta è dal 16% all’80% del pool iniziale.

Szemerédi fu il primo a dimostrare che man mano che N cresce, questa frazione deve ridursi a zero, e da allora i matematici hanno cercato di quantificare la rapidità con cui ciò avviene.

L'anno scorso, il lavoro pionieristico di due scienziati informatici ha quasi risolto il problema delle serie di tre termini, come {6, 11, 16}. Ma il problema diventa più difficile quando si cerca di evitare serie aritmetiche di quattro o più termini. Questo perché le serie più lunghe riflettono strutture sottostanti difficili da rivelare utilizzando i metodi matematici classici.

I numeri x, y e z in una serie aritmetica di tre termini soddisfano sempre la semplice equazione x – 2y + z = 0 (prendiamo come esempio la serie {10, 20, 30}: 10 – 2*(20) + 30 = 0), è relativamente facile dimostrare se un insieme contiene numeri che soddisfano questa condizione. Mentre i numeri in una serie di quattro termini devono soddisfare anche l'equazione più complessa x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0, una serie con cinque o più termini deve soddisfare un'equazione ancora più complessa. Ciò significa che gli insiemi contenenti tali serie mostreranno modelli più sottili. Sarebbe anche più difficile per i matematici dimostrare se tale modello esiste.

Alla fine degli anni ’90, il matematico Timothy Gowers propose una teoria per superare questo ostacolo. Successivamente gli fu assegnata la Medaglia Fields, la più alta onorificenza della matematica, in parte per questo lavoro. Nel 2001, ha applicato il suo metodo al teorema di Szemerédi, dimostrando limiti migliori sulla dimensione massima dell'insieme, evitando le serie aritmetiche per una data lunghezza.

Nel 2022, James Leng, allora studente laureato al secondo anno presso l'UCLA, iniziò a comprendere la teoria di Gowers. Non ha considerato il teorema di Szemerédi. Spera invece di rispondere a domande sull'approccio di Gowers.

Tuttavia, dopo più di un anno di ricerche, non trovò nulla.

Sah e Sawhney, che avevano riflettuto su questioni correlate, vennero a conoscenza del lavoro di Leng e furono molto interessati. Sawhney disse addirittura: "Sono sorpreso di poter pensare in questo modo".

Sah e Sawhney si resero conto che la ricerca di Leng avrebbe potuto aiutarli a fare ulteriori progressi sul teorema di Szemerédi. Nel giro di pochi mesi, tre giovani matematici scoprirono come ottenere limiti superiori migliori per la dimensione degli insiemi senza serie di penterm. Poi estesero il loro lavoro a serie di lunghezze arbitrarie, segnando il primo progresso sul problema nei 23 anni successivi alla dimostrazione di Gowers.

esprimere

, la dimensione del sottoinsieme più grande di una serie aritmetica senza k termini. Leng, Sah e Sawhney hanno dimostrato che per k ≥ 5 esiste c_k > 0 tale che

gruppo di ricerca

James Leng, il primo autore dell'articolo, è uno studente laureato in matematica presso l'Università della California, Los Angeles (UCLA), e ha conseguito la laurea presso l'Università della California, Berkeley. Ha studiato con il famoso matematico Terence Tao.

Gli interessi di ricerca di James Leng includono, tra gli altri, la combinatoria aritmetica, i sistemi dinamici e l'analisi di Fourier. La sua ricerca è stata supportata anche da una borsa di studio per laureati della NSF.

Giacomo Longo

Ashwin Sah è appassionato di matematica fin da quando era bambino. È stato esposto alla matematica avanzata nelle competizioni e si è comportato bene. Nell'estate del 2016, il sedicenne Sah ha vinto la medaglia d'oro alle Olimpiadi internazionali di matematica (IMO). L'anno successivo è entrato al MIT per studiare.

Ashwin Sah

Durante gli studi al MIT, due persone hanno svolto un ruolo importante nello sviluppo matematico di Sah. Il primo è il professor Yufei Zhao, un maestro di matematica discreta, che è anche il tutor laureato di Sah.

Il secondo è Mehtaab Sawhney, si sono conosciuti in classe e sono diventati amici. Successivamente, i due fecero ricerche insieme e discussero vari argomenti nel campo della matematica discreta, come la teoria dei grafi, la teoria della probabilità e le proprietà delle matrici casuali. Alla fine del 2017, Ashwin Sah e Mehtaab Sawhney si sono incontrati quando erano studenti universitari al (MIT). Da allora, i due hanno scritto insieme ben 57 dimostrazioni matematiche, molte delle quali hanno avuto un profondo impatto in vari campi.

Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney è ora professore assistente alla Columbia University. I suoi interessi di ricerca includono, tra gli altri, la combinatoria, la probabilità e l'informatica teorica.

参考链接: https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/