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Maschinenherz-Zusammenstellung

von Quantamagazine

Maschinenherz-Zusammenstellung
Redaktion von Machine Heart

Kürzlich wurden erstmals Fortschritte bei einem seit Jahrzehnten ungelösten mathematischen Rätsel erzielt.

Treiber dieses Fortschritts sind der UCLA-Absolvent James Leng, der MIT-Mathematik-Absolvent Ashwin Sah und der Assistenzprofessor Mehtaab Sawhney von der Columbia University. Unter ihnen studierte James Leng bei dem berühmten Mathematiker Terence Tao und Ashwin Sah bei dem Meister der diskreten Mathematik Zhao Yufei.

Papieradresse: https://arxiv.org/pdf/2402.17995

Um den Durchbruch dieser Forschung zu verstehen, müssen wir mit arithmetischen Progressionen beginnen.

Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge wird als arithmetische Reihe, auch Rechenreihe genannt, bezeichnet. Im Jahr 1936 vermuteten die Mathematiker Paul Erdős und Pál Turán, dass eine Menge, die aus Brüchen ganzer Zahlen ungleich Null (sogar 0,00000001 %) besteht, eine beliebig lange arithmetische Reihe enthalten muss. Die einzigen Mengen, die arithmetische Reihen vermeiden können, sind diejenigen, die einen „vernachlässigbaren“ Teil der ganzen Zahlen enthalten. Beispielsweise ist die Menge {2, 4, 8, 16, …}, in der jede Zahl doppelt so groß ist wie die vorherige Zahl, ohne Fortschritt entlang der Zahlenachse verstreut.

1975 bewies der Mathematiker Endre Szemerédi diese Vermutung. Aus seiner Arbeit gingen vielfältige Forschungsrichtungen hervor, die Mathematiker noch heute erforschen.

Mathematiker ermittelten das Ergebnis von Szemerédi für eine endliche Menge von Zahlen (alle ganzen Zahlen von 1 bis zu einer Zahl N). Wie viel vom ursprünglichen Pool kann im Set verwendet werden, bevor zwangsläufig eine verbotene Serie eingefügt wird? Wie ändert sich dieser Anteil, wenn sich N ändert?

Angenommen, N sei 20. Wie viele dieser 20 Zahlen können aufgeschrieben werden, ohne dass Reihen mit einer Länge von 5 oder mehr Zahlen auftreten? Wie sich herausstellt, liegt die Antwort bei 16 bis 80 % des ursprünglichen Pools.

Szemerédi zeigte als erster, dass dieser Bruch mit zunehmendem N auf Null schrumpfen muss, und Mathematiker haben seitdem versucht zu quantifizieren, wie schnell dies geschieht.

Letztes Jahr lösten bahnbrechende Arbeiten zweier Informatiker das Problem von Drei-Term-Reihen wie {6, 11, 16} nahezu. Das Problem wird jedoch schwieriger, wenn man versucht, arithmetische Reihen von vier oder mehr Termen zu vermeiden. Dies liegt daran, dass längere Reihen zugrunde liegende Strukturen widerspiegeln, die mit klassischen mathematischen Methoden nur schwer aufzudecken sind.

Die Zahlen x, y und z in einer arithmetischen Reihe mit drei Termen erfüllen immer die einfache Gleichung x – 2y + z = 0 (nehmen Sie die Reihe {10, 20, 30} als Beispiel: 10 – 2*(20) + 30 = 0) ist es relativ einfach zu beweisen, ob eine Menge Zahlen enthält, die diese Bedingung erfüllen. Während die Zahlen in einer Reihe mit vier Termen auch die komplexere Gleichung x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0 erfüllen müssen, muss eine Reihe mit fünf oder mehr Termen eine noch komplexere Gleichung erfüllen. Dies bedeutet, dass Sets, die solche Serien enthalten, subtilere Muster aufweisen. Für Mathematiker wäre es auch schwieriger zu beweisen, ob ein solches Muster existiert.

Ende der 1990er Jahre schlug der Mathematiker Timothy Gowers eine Theorie vor, um dieses Hindernis zu überwinden. Später wurde ihm unter anderem für diese Arbeit die Fields-Medaille verliehen, die höchste Auszeichnung der Mathematik. Im Jahr 2001 wandte er seine Methode auf den Satz von Szemerédi an und bewies bessere Schranken für die maximale Mengengröße, indem er arithmetische Reihen für jede gegebene Länge vermied.

Im Jahr 2022 begann James Leng, damals Doktorand im zweiten Jahr an der UCLA, Gowers‘ Theorie zu verstehen. Er berücksichtigte den Satz von Szemerédi nicht. Stattdessen hofft er, Fragen zum Ansatz von Gowers beantworten zu können.

Nach mehr als einem Jahr der Suche fand er jedoch nichts.

Sah und Sawhney, die über verwandte Themen nachgedacht hatten, erfuhren von Lengs Arbeit und waren sehr interessiert, sagten sogar: „Ich bin überrascht, dass ich so denken kann.“

Sah und Sawhney erkannten, dass Lengs Forschung ihnen helfen könnte, weitere Fortschritte bei Szemerédis Theorem zu machen. Innerhalb weniger Monate haben drei junge Mathematiker herausgefunden, wie man bessere Obergrenzen für die Größe von Mengen ohne Pentterm-Reihen ermitteln kann. Anschließend erweiterten sie ihre Arbeit auf Reihen beliebiger Länge und markierten damit den ersten Fortschritt bei der Lösung des Problems in den 23 Jahren seit Gowers' Beweis.

äußern

, die Größe der größten Teilmenge einer arithmetischen Reihe ohne k Terme. Leng, Sah und Sawhney haben bewiesen, dass es für k ≥ 5 c_k > 0 gibt, so dass

Forschungsteam

James Leng, der Erstautor der Arbeit, ist ein Doktorand der Mathematik an der University of California, Los Angeles (UCLA) und erhielt seinen Bachelor-Abschluss von der University of California, Berkeley. Er studierte bei dem berühmten Mathematiker Terence Tao.

Zu James Lengs Forschungsinteressen zählen unter anderem arithmetische Kombinatorik, dynamische Systeme und Fourier-Analyse. Seine Forschung wurde auch durch ein NSF-Graduiertenstipendium unterstützt.

James Leng

Ashwin Sah interessiert sich seit seiner Kindheit für Mathematik. Er lernte bei Wettbewerben fortgeschrittene Mathematik kennen und schnitt gut ab. Im Sommer 2016 gewann der 16-jährige Sah die Goldmedaille bei der Internationalen Mathematikolympiade (IMO). Im folgenden Jahr ging er zum Studium am MIT.

Ashwin Sah

Während seines Studiums am MIT spielten zwei Personen eine wichtige Rolle in Sahs mathematischer Entwicklung. Der erste ist Professor Yufei Zhao, ein Meister der diskreten Mathematik, der auch Sahs Graduiertenlehrer ist.

Der zweite ist Mehtaab Sawhney, sie haben sich im Unterricht kennengelernt und sind Freunde geworden. Später forschten die beiden gemeinsam und diskutierten verschiedene Themen im Bereich der diskreten Mathematik, wie etwa Graphentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und die Eigenschaften von Zufallsmatrizen. Ende 2017 lernten sich Ashwin Sah und Mehtaab Sawhney kennen, als sie noch Studenten am MIT waren. Seitdem haben die beiden zusammen unglaubliche 57 mathematische Beweise geschrieben, von denen viele tiefgreifende Auswirkungen auf verschiedene Bereiche hatten.

Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney ist jetzt Assistenzprofessor an der Columbia University. Zu seinen Forschungsinteressen zählen unter anderem Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie und theoretische Informatik.

Weitere Informationen: https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/