berita

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Kompilasi Jantung Mesin

dari majalah kuantum

Kompilasi Jantung Mesin
Departemen Editorial Jantung Mesin

Baru-baru ini, untuk pertama kalinya, kemajuan telah dicapai pada teka-teki matematika yang masih belum terpecahkan selama beberapa dekade.

Pendorong kemajuan ini adalah mahasiswa pascasarjana UCLA James Leng, mahasiswa pascasarjana matematika MIT Ashwin Sah, dan asisten profesor Universitas Columbia Mehtaab Sawhney. Di antara mereka, James Leng belajar di bawah bimbingan ahli matematika terkenal Terence Tao, dan Ashwin Sah belajar di bawah bimbingan master matematika diskrit Zhao Yufei.

Alamat makalah: https://arxiv.org/pdf/2402.17995

Untuk memahami terobosan yang dicapai dalam penelitian ini, kita perlu memulai dengan perkembangan aritmatika.

Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika disebut deret aritmatika, disebut juga deret aritmatika. Pada tahun 1936, ahli matematika Paul Erdős dan Pál Turán menduga bahwa jika suatu himpunan terdiri dari pecahan bilangan bulat bukan nol (bahkan 0,00000001%), maka himpunan tersebut pasti memuat deret aritmatika yang panjangnya sembarang. Satu-satunya himpunan yang dapat menghindari deret aritmatika adalah himpunan yang memuat bagian bilangan bulat yang "dapat diabaikan". Misalnya, himpunan {2, 4, 8, 16, …}, yang setiap bilangannya dua kali bilangan sebelumnya, tersebar sepanjang sumbu bilangan tanpa perkembangan.

Pada tahun 1975, ahli matematika Endre Szemerédi membuktikan dugaan ini. Karyanya memunculkan berbagai arah penelitian yang masih dieksplorasi oleh para ahli matematika hingga saat ini.

Matematikawan menetapkan hasil Szemerédi dalam kasus himpunan bilangan berhingga (semua bilangan bulat dari 1 hingga bilangan N). Berapa banyak dari kumpulan awal yang dapat digunakan dalam set sebelum memasukkan seri terlarang? Jika N berubah, bagaimana proporsinya berubah?

Misalnya N adalah 20, berapa banyak dari 20 bilangan tersebut yang dapat dituliskan dengan tetap menghindari rangkaian 5 bilangan atau lebih? Ternyata, jawabannya adalah 16% hingga 80% dari jumlah awal.

Szemerédi adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa seiring bertambahnya N, pecahan ini harus menyusut menjadi nol, dan para ahli matematika sejak itu mencoba mengukur seberapa cepat hal ini terjadi.

Tahun lalu, karya inovatif yang dilakukan oleh dua ilmuwan komputer hampir memecahkan masalah deret tiga suku, seperti {6, 11, 16}. Namun masalahnya menjadi lebih sulit ketika Anda mencoba menghindari deret aritmatika yang terdiri dari empat suku atau lebih. Hal ini karena deret yang lebih panjang mencerminkan struktur dasar yang sulit diungkapkan menggunakan metode matematika klasik.

Bilangan x, y, dan z pada deret aritmetika tiga suku selalu memenuhi persamaan sederhana x – 2y + z = 0 (contoh deret {10, 20, 30}: 10 – 2*(20) + 30 = 0) , relatif mudah untuk membuktikan apakah suatu himpunan memuat bilangan-bilangan yang memenuhi syarat ini. Meskipun bilangan-bilangan dalam deret empat suku juga harus memenuhi persamaan yang lebih kompleks x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0, deret dengan lima suku atau lebih harus memenuhi persamaan yang lebih kompleks lagi. Artinya, himpunan yang memuat rangkaian tersebut akan memperlihatkan pola yang lebih halus. Akan lebih sulit bagi ahli matematika untuk membuktikan apakah pola seperti itu ada.

Pada akhir tahun 1990-an, matematikawan Timothy Gowers mengajukan teori untuk mengatasi kendala ini. Dia kemudian dianugerahi Fields Medal, penghargaan tertinggi matematika, sebagian untuk karyanya. Pada tahun 2001, ia menerapkan metodenya pada teorema Szemerédi, membuktikan batas yang lebih baik pada ukuran himpunan maksimum, menghindari deret aritmatika untuk panjang tertentu.

Pada tahun 2022, James Leng, yang saat itu merupakan mahasiswa pascasarjana tahun kedua di UCLA, mulai memahami teori Gowers. Dia tidak mempertimbangkan teorema Szemerédi. Sebaliknya, ia berharap dapat menjawab pertanyaan tentang pendekatan Gowers.

Namun, setelah lebih dari setahun mencari, dia tidak menemukan apa pun.

Sah dan Sawhney yang selama ini memikirkan isu-isu terkait, mengetahui karya Leng dan sangat tertarik. Sawhney bahkan berkata: "Saya terkejut bisa berpikir seperti ini."

Sah dan Sawhney menyadari bahwa penelitian Leng mungkin membantu mereka membuat kemajuan lebih lanjut dalam teorema Szemerédi. Dalam beberapa bulan, tiga matematikawan muda menemukan cara untuk mendapatkan batas atas yang lebih baik pada ukuran himpunan tanpa deret pentterm. Mereka kemudian memperluas pekerjaan mereka ke serangkaian jangka waktu yang sewenang-wenang, menandai kemajuan pertama dalam masalah ini dalam 23 tahun sejak pembuktian Gowers.

cepat

, ukuran himpunan bagian terbesar suatu deret aritmatika tanpa suku k. Leng, Sah dan Sawhney membuktikan bahwa untuk k ≥ 5, terdapat c_k > 0 sehingga

tim peneliti

James Leng, penulis pertama makalah ini, adalah seorang mahasiswa pascasarjana matematika di University of California, Los Angeles (UCLA), dan menerima gelar sarjana dari University of California, Berkeley. Ia belajar di bawah bimbingan ahli matematika terkenal Terence Tao.

Minat penelitian James Leng antara lain meliputi kombinatorika aritmatika, sistem dinamik, dan analisis Fourier. Penelitiannya juga didukung oleh beasiswa lulusan NSF.

James Leng

Ashwin Sah telah menyukai matematika sejak ia masih kecil. Ia mengenal matematika tingkat lanjut dalam kompetisi dan berprestasi dengan baik. Pada musim panas 2016, Sah yang berusia 16 tahun memenangkan medali emas di Olimpiade Matematika Internasional (IMO). Tahun berikutnya, ia masuk MIT untuk belajar.

Ashwin Sah

Selama kuliah di MIT, ada dua orang yang berperan penting dalam perkembangan matematika Sah. Yang pertama adalah Profesor Yufei Zhao, seorang master matematika diskrit, yang juga merupakan pengajar pascasarjana Sah.

Yang kedua adalah Mehtaab Sawhney, mereka bertemu di kelas dan menjadi teman. Keduanya kemudian melakukan penelitian bersama dan membahas berbagai topik di bidang matematika diskrit, seperti teori graf, teori probabilitas, dan sifat-sifat matriks acak. Di penghujung tahun 2017, Ashwin Sah dan Mehtaab Sawhney bertemu saat mereka masih menjadi mahasiswa sarjana di (MIT). Sejak itu, keduanya telah menulis 57 bukti matematis yang luar biasa, banyak di antaranya memiliki dampak besar di berbagai bidang.

Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney sekarang menjadi asisten profesor di Universitas Columbia. Minat penelitiannya antara lain meliputi kombinatorik, probabilitas, dan ilmu komputer teoretis.

Catatan:https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/