новости

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Машинное сердце, подборка

из квантового журнала

Машинное сердце, подборка
Редакция «Машинное сердце»

Недавно впервые был достигнут прогресс в решении математической загадки, которая оставалась неразгаданной на протяжении десятилетий.

Движущей силой этого прогресса являются аспирант Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Джеймс Ленг, аспирант математики Массачусетского технологического института Эшвин Сах и доцент Колумбийского университета Мехтааб Сони. Среди них Джеймс Ленг учился у известного математика Теренса Тао, а Ашвин Сах учился у мастера дискретной математики Чжао Юфэя.

Адрес статьи: https://arxiv.org/pdf/2402.17995.

Чтобы понять прорыв, достигнутый в этом исследовании, нам нужно начать с арифметических прогрессий.

Сумма первых n членов арифметической последовательности называется арифметическим рядом, также известным как арифметический ряд. В 1936 году математики Пауль Эрдеш и Пал Туран предположили, что если набор состоит из ненулевых дробей целых чисел (даже 0,00000001%), то он должен содержать арифметический ряд произвольной длины. Единственные наборы, которые могут избежать арифметических рядов, - это те, которые содержат «незначительную» часть целых чисел. Например, набор {2, 4, 8, 16, …}, где каждое число в два раза больше предыдущего, разбросан по числовой оси без прогрессии.

В 1975 году математик Эндре Семереди доказал эту гипотезу. Его работа породила множество направлений исследований, которые математики исследуют до сих пор.

Математики установили результат Семереди в случае конечного набора чисел (все целые числа от 1 до некоторого числа N). Какую часть первоначального пула можно использовать в выпуске, прежде чем неизбежно будет включена запрещенная серия? Как изменится эта пропорция при изменении N?

Например, пусть N равно 20, сколько из этих 20 чисел можно записать, избегая при этом серий из 5 и более чисел? Как оказалось, ответ составляет от 16% до 80% от первоначального пула.

Семереди был первым, кто показал, что с ростом N эта доля должна уменьшаться до нуля, и с тех пор математики попытались количественно оценить, насколько быстро это происходит.

В прошлом году новаторская работа двух ученых-компьютерщиков почти решила проблему трехчленных рядов, таких как {6, 11, 16}. Но проблема усложняется, когда вы пытаетесь избежать арифметических рядов из четырех и более членов. Это связано с тем, что более длинные ряды отражают основные структуры, которые трудно выявить с помощью классических математических методов.

Числа x, y и z в трехчленном арифметическом ряду всегда удовлетворяют простому уравнению x – 2y + z = 0 (в качестве примера возьмем ряд {10, 20, 30}: 10 – 2*(20) + 30 = 0) относительно легко доказать, есть ли в множестве числа, удовлетворяющие этому условию. Хотя числа в ряду из четырех членов также должны удовлетворять более сложному уравнению x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0, ряд с пятью или более членами должен удовлетворять еще более сложному уравнению. Это означает, что наборы, содержащие такие серии, будут демонстрировать более тонкие закономерности. Математикам также будет труднее доказать, существует ли такая закономерность.

В конце 1990-х годов математик Тимоти Гауэрс предложил теорию, позволяющую преодолеть это препятствие. Позже, частично за эту работу, он был награжден Медалью Филдса, высшей наградой в области математики. В 2001 году он применил свой метод к теореме Семереди, доказав лучшие оценки максимального размера набора, избегая арифметических рядов для любой заданной длины.

В 2022 году Джеймс Ленг, тогда студент второго курса Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, начал понимать теорию Гауэрса. Он не принял во внимание теорему Семереди. Вместо этого он надеется ответить на вопросы о подходе Гауэрса.

Однако после более чем года поисков он ничего не нашел.

Сах и Сони, которые думали о смежных вопросах, узнали о работе Ленга и были очень заинтересованы, Сони даже сказал: «Я удивлен, что могу так думать».

Сах и Сони поняли, что исследования Ленга могут помочь им добиться дальнейшего прогресса в разработке теоремы Семереди. В течение нескольких месяцев трое молодых математиков придумали, как получить более точные верхние границы размеров множеств без пятёрочного ряда. Затем они расширили свою работу до серий произвольной длины, что стало первым прогрессом в решении проблемы за 23 года после доказательства Гауэрса.

выражать

, размер наибольшего подмножества арифметического ряда без k членов. Ленг, Сах и Сони доказали, что для k ≥ 5 существует c_k > 0 такое, что

исследовательская группа

Джеймс Ленг, первый автор статьи, является аспирантом математического факультета Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (UCLA) и получил степень бакалавра в Калифорнийском университете в Беркли. Он учился у известного математика Теренса Тао.

Исследовательские интересы Джеймса Ленга включают, среди прочего, арифметическую комбинаторику, динамические системы и анализ Фурье. Его исследования также были поддержаны стипендией выпускников NSF.

Джеймс Ленг

Ашвин Сах с детства увлекался математикой. На соревнованиях он знакомился с продвинутыми математическими дисциплинами и показал хорошие результаты. Летом 2016 года 16-летний Сах завоевал золотую медаль на Международной олимпиаде по математике (ИМО). В следующем году он поступил учиться в Массачусетский технологический институт.

Эшвин Сах

Во время учебы в Массачусетском технологическом институте два человека сыграли важную роль в математическом развитии Саха. Первый — профессор Юфэй Чжао, магистр дискретной математики, который также является аспирантом Саха.

Второй — Мехтааб Сони, они познакомились в классе и подружились. Позже они вместе проводили исследования и обсуждали различные темы в области дискретной математики, такие как теория графов, теория вероятностей и свойства случайных матриц. В конце 2017 года Ашвин Сах и Мехтааб Сони встретились, когда были студентами бакалавриата Массачусетского технологического института. С тех пор они вместе написали 57 невероятных математических доказательств, многие из которых оказали огромное влияние в различных областях.

Мехтааб Савхней

Мехтааб Сони сейчас является доцентом Колумбийского университета. Его исследовательские интересы включают, среди прочего, комбинаторику, теорию вероятностей и теоретическую информатику.

Адрес: https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/