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Compilación del corazón de la máquina

de la revista cuantitativa

Compilación del corazón de la máquina
Departamento editorial de Machine Heart

Recientemente, se han logrado avances por primera vez en un enigma matemático que ha permanecido sin resolver durante décadas.

Impulsando este progreso están el estudiante graduado de UCLA James Leng, el estudiante graduado de matemáticas del MIT Ashwin Sah y el profesor asistente de la Universidad de Columbia Mehtaab Sawhney. Entre ellos, James Leng estudió con el famoso matemático Terence Tao, y Ashwin Sah estudió con el maestro de matemáticas discretas Zhao Yufei.

Dirección del artículo: https://arxiv.org/pdf/2402.17995

Para comprender el avance logrado en esta investigación, debemos comenzar con progresiones aritméticas.

La suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética, también conocida como serie aritmética. En 1936, los matemáticos Paul Erdős y Pál Turán conjeturaron que si un conjunto consta de fracciones de números enteros distintas de cero (incluso 0,00000001%), entonces debe contener una serie aritmética arbitrariamente larga. Los únicos conjuntos que pueden evitar las series aritméticas son aquellos que contienen una parte "despreciable" de los números enteros. Por ejemplo, el conjunto {2, 4, 8, 16,...}, en el que cada número es el doble del número anterior, está disperso a lo largo del eje numérico sin progresión.

En 1975, el matemático Endre Szemerédi demostró esta conjetura. Su trabajo dio lugar a una variedad de direcciones de investigación que los matemáticos todavía están explorando en la actualidad.

Los matemáticos establecieron el resultado de Szemerédi en el caso de un conjunto finito de números (todos los números enteros desde 1 hasta algún número N). ¿Cuánto del fondo inicial se puede utilizar en el set antes de incluir inevitablemente una serie prohibida? A medida que N cambia, ¿cómo cambiará esta proporción?

Por ejemplo, sea N 20, ¿cuántos de estos 20 números se pueden escribir evitando series de 5 o más números de longitud? Resulta que la respuesta es entre el 16% y el 80% del grupo inicial.

Szemerédi fue el primero en demostrar que a medida que N crece, esta fracción debe reducirse a cero, y desde entonces los matemáticos han tratado de cuantificar con qué rapidez sucede esto.

El año pasado, un trabajo innovador realizado por dos científicos informáticos casi resolvió el problema de series de tres términos, como {6, 11, 16}. Pero el problema se vuelve más difícil cuando se intenta evitar series aritméticas de cuatro o más términos. Esto se debe a que las series más largas reflejan estructuras subyacentes que son difíciles de revelar utilizando métodos matemáticos clásicos.

Los números x, y y z en una serie aritmética de tres términos siempre satisfacen la ecuación simple x – 2y + z = 0 (tome la serie {10, 20, 30} como ejemplo: 10 – 2*(20) + 30 = 0), es relativamente fácil demostrar si un conjunto contiene números que satisfacen esta condición. Si bien los números de una serie de cuatro términos también deben satisfacer la ecuación más compleja x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0, una serie con cinco o más términos debe satisfacer una ecuación aún más compleja. Esto significa que los conjuntos que contienen dichas series exhibirán patrones más sutiles. También sería más difícil para los matemáticos demostrar si existe tal patrón.

A finales de los años 1990, el matemático Timothy Gowers propuso una teoría para superar este obstáculo. Posteriormente recibió la Medalla Fields, el máximo honor de las matemáticas, en parte por este trabajo. En 2001, aplicó su método al teorema de Szemerédi, demostrando mejores límites en el tamaño máximo del conjunto, evitando series aritméticas para cualquier longitud determinada.

En 2022, James Leng, entonces estudiante de posgrado de segundo año en UCLA, comenzó a comprender la teoría de Gowers. No consideró el teorema de Szemerédi. En cambio, espera responder preguntas sobre el enfoque de Gowers.

Sin embargo, después de más de un año de búsqueda no encontró nada.

Sah y Sawhney, que habían estado pensando en temas relacionados, conocieron el trabajo de Leng y estaban muy interesados. Sawhney incluso dijo: "Me sorprende poder pensar así".

Sah y Sawhney se dieron cuenta de que la investigación de Leng podría ayudarles a avanzar más en el teorema de Szemerédi. En unos pocos meses, tres jóvenes matemáticos descubrieron cómo obtener mejores límites superiores para el tamaño de conjuntos sin series pentérmino. Luego ampliaron su trabajo a series de longitudes arbitrarias, marcando el primer progreso en el problema en los 23 años transcurridos desde la prueba de Gowers.

expresar

, el tamaño del subconjunto más grande de una serie aritmética sin k términos. Leng, Sah y Sawhney demostraron que para k ≥ 5, existe c_k > 0 tal que

equipo de investigación

James Leng, el primer autor del artículo, es estudiante de posgrado en matemáticas en la Universidad de California, Los Ángeles (UCLA), y recibió su título universitario de la Universidad de California, Berkeley. Estudió con el famoso matemático Terence Tao.

Los intereses de investigación de James Leng incluyen combinatoria aritmética, sistemas dinámicos y análisis de Fourier, entre otros. Su investigación también ha sido apoyada por una beca de posgrado de la NSF.

James Leng

A Ashwin Sah le gustan las matemáticas desde que era niño. Estuvo expuesto a matemáticas avanzadas en competiciones y obtuvo buenos resultados. En el verano de 2016, Sah, de 16 años, ganó la medalla de oro en la Olimpiada Internacional de Matemáticas (OMI). Al año siguiente, ingresó al MIT para estudiar.

Ashwin Sah

Mientras estudiaba en el MIT, dos personas desempeñaron un papel importante en el desarrollo matemático de Sah. El primero es el profesor Yufei Zhao, un maestro en matemáticas discretas, que también es el tutor graduado de Sah.

El segundo es Mehtaab Sawhney, se conocieron en clase y se hicieron amigos. Posteriormente, los dos investigaron juntos y discutieron diversos temas en el campo de las matemáticas discretas, como la teoría de grafos, la teoría de la probabilidad y las propiedades de las matrices aleatorias. A finales de 2017, Ashwin Sah y Mehtaab Sawhney se conocieron cuando eran estudiantes universitarios en el (MIT). Desde entonces, los dos han escrito juntos la increíble cantidad de 57 demostraciones matemáticas, muchas de las cuales han tenido un profundo impacto en diversos campos.

Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney es ahora profesor asistente en la Universidad de Columbia. Sus intereses de investigación incluyen combinatoria, probabilidad e informática teórica, entre otros.

Más información: https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/