uutiset

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Koneen sydän -kokoelma

quantamagazinesta

Koneen sydän -kokoelma
Machine Heart -toimitusosasto

Viime aikoina on edistytty ensimmäistä kertaa matemaattisessa pulmapelissä, joka on ollut ratkaisematta vuosikymmeniä.

Edistystä ajavat UCLA:n jatko-opiskelija James Leng, MIT-matematiikan jatko-opiskelija Ashwin Sah ja Columbian yliopiston apulaisprofessori Mehtaab Sawhney. Heistä James Leng opiskeli kuuluisan matemaatikon Terence Taon johdolla ja Ashwin Sah diskreetin matematiikan mestarin Zhao Yufein johdolla.

Paperiosoite: https://arxiv.org/pdf/2402.17995

Ymmärtääksemme tässä tutkimuksessa saavutetun läpimurron meidän on aloitettava aritmeettisilla progressioilla.

Aritmeettisen sarjan n ensimmäisen ehdon summaa kutsutaan aritmeettiseksi sarjaksi, joka tunnetaan myös aritmeettisena sarjana. Vuonna 1936 matemaatikot Paul Erdős ja Pál Turán arvelivat, että jos joukko koostuu nollasta poikkeavista kokonaislukujen murto-osista (jopa 0,00000001%), sen täytyy sisältää mielivaltaisen pitkä aritmeettinen sarja. Ainoat joukot, jotka voivat välttää aritmeettisia sarjoja, ovat ne, jotka sisältävät "vähän" osan kokonaisluvuista. Esimerkiksi joukko {2, 4, 8, 16, …}, jossa jokainen luku on kaksi kertaa edelliseen verrattuna, on hajallaan numeroakselilla ilman etenemistä.

Vuonna 1975 matemaatikko Endre Szemerédi osoitti tämän olettamuksen. Hänen työnsä synnytti erilaisia ​​​​tutkimussuuntia, joita matemaatikot tutkivat edelleen.

Matemaatikot vahvistivat Szemerédin tuloksen äärelliselle lukujoukolle (kaikki kokonaisluvut 1:stä johonkin numeroon N). Kuinka paljon alkuperäisestä poolista voidaan käyttää sarjassa ennen kuin se sisältää väistämättä kiellettyä sarjaa? Kun N muuttuu, kuinka tämä suhde muuttuu?

Olkoon N esimerkiksi 20, kuinka monta näistä 20 numerosta voidaan kirjoittaa muistiin välttäen 5 tai useamman luvun pituisia sarjoja? Kuten käy ilmi, vastaus on 16–80 prosenttia alkuperäisestä poolista.

Szemerédi osoitti ensimmäisenä, että N:n kasvaessa tämän murto-osan täytyy kutistua nollaan, ja matemaatikot ovat sittemmin yrittäneet kvantifioida, kuinka nopeasti tämä tapahtuu.

Viime vuonna kahden tietotekniikan tutkijan uraauurtava työ melkein ratkaisi kolmijaksoisten sarjojen, kuten {6, 11, 16}, ongelman. Mutta ongelma muuttuu vaikeammaksi, kun yrität välttää neljän tai useamman termin aritmeettisia sarjoja. Tämä johtuu siitä, että pidemmät sarjat heijastavat taustalla olevia rakenteita, joita on vaikea paljastaa klassisilla matemaattisilla menetelmillä.

Kolmen termisen aritmeettisen sarjan luvut x, y ja z täyttävät aina yksinkertaisen yhtälön x – 2y + z = 0 (otetaan esimerkiksi sarja {10, 20, 30}: 10 – 2*(20) + 30 = 0) , on suhteellisen helppo todistaa, sisältääkö joukko lukuja, jotka täyttävät tämän ehdon. Vaikka neljän termisen sarjan lukujen on täytettävä myös monimutkaisempi yhtälö x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0, viiden tai useamman termin sarjan on täytettävä vieläkin monimutkaisempi yhtälö. Tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​sarjoja sisältävissä sarjoissa on hienovaraisempia kuvioita. Matemaatikoiden olisi myös vaikeampaa todistaa, onko tällainen malli olemassa.

1990-luvun lopulla matemaatikko Timothy Gowers ehdotti teoriaa tämän esteen voittamiseksi. Hänelle myönnettiin myöhemmin Fields-mitali, matematiikan korkein kunnianosoitus, osittain tästä työstä. Vuonna 2001 hän sovelsi menetelmäään Szemerédin lauseeseen ja osoitti paremmat rajat joukon enimmäiskoon suhteen välttäen aritmeettisia sarjoja mille tahansa pituudelle.

Vuonna 2022 James Leng, silloin toisen vuoden jatko-opiskelija UCLA:ssa, alkoi ymmärtää Gowersin teoriaa. Hän ei ottanut huomioon Szemerédin lausetta. Sen sijaan hän toivoo voivansa vastata kysymyksiin Gowersin lähestymistavasta.

Yli vuoden etsinnän jälkeen hän ei kuitenkaan löytänyt mitään.

Sah ja Sawhney, jotka olivat pohtineet asiaan liittyviä asioita, oppivat Lengin työstä ja olivat erittäin kiinnostuneita, jopa sanoivat: "Olen yllättynyt, että voin ajatella näin."

Sah ja Sawhney ymmärsivät, että Lengin tutkimus saattaa auttaa heitä edistymään Szemerédin lauseessa. Muutaman kuukauden sisällä kolme nuorta matemaatikkoa keksi, kuinka saada paremmat ylärajat joukkojen koolle ilman pentterm-sarjoja. Sitten he laajensivat työtään mielivaltaisen pituisiin sarjoihin, mikä merkitsi ensimmäistä edistystä ongelmassa 23 vuoden aikana Gowersin todisteen jälkeen.

ilmaista

, aritmeettisen sarjan suurimman osajoukon koko ilman k termiä. Leng, Sah ja Sawhney osoittivat, että arvolla k ≥ 5 on olemassa c_k > 0,

tutkimusryhmä

James Leng, paperin ensimmäinen kirjoittaja, on matematiikan jatko-opiskelija Kalifornian yliopistossa Los Angelesissa (UCLA) ja suoritti perustutkintonsa Kalifornian yliopistosta Berkeleyssä. Hän opiskeli kuuluisan matemaatikon Terence Taon johdolla.

James Lengin tutkimusintressejä ovat mm. aritmeettinen kombinatoriikka, dynaamiset järjestelmät ja Fourier-analyysi. Hänen tutkimustaan ​​on myös tukenut NSF-tutkinnon suorittanut apuraha.

James Leng

Ashwin Sah on rakastanut matematiikkaa pienestä pitäen Hän oli alttiina edistyneen matematiikan kilpailuissa ja suoriutui hyvin. Kesällä 2016 16-vuotias Sah voitti kultamitalin International Mathematics Olympiadissa (IMO) Seuraavana vuonna hän tuli MIT:iin opiskelemaan.

Ashwin Sah

MIT:ssä opiskellessaan kahdella henkilöllä oli tärkeä rooli Sahin matemaattisessa kehityksessä. Ensimmäinen on professori Yufei Zhao, diskreetin matematiikan mestari, joka on myös Sahin tutkinnon suorittanut tutori.

Toinen on Mehtaab Sawhney, he tapasivat luokassa ja ystävystyivät. Myöhemmin he tutkivat yhdessä ja keskustelivat erilaisista diskreetin matematiikan aiheista, kuten graafiteoriasta, todennäköisyysteoriasta ja satunnaismatriisien ominaisuuksista. Vuoden 2017 lopussa Ashwin Sah ja Mehtaab Sawhney tapasivat opiskellessaan (MIT). Siitä lähtien he ovat kirjoittaneet yhdessä uskomattomat 57 matemaattista todistetta, joista monilla on ollut syvällinen vaikutus eri aloilla.

Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney on nyt apulaisprofessori Columbian yliopistossa. Hänen tutkimusalueitaan ovat muun muassa kombinatoriikka, todennäköisyyslaskenta ja teoreettinen tietojenkäsittelytiede.

参考链接:https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/