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기계 심장 편집

퀀타마진에서

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머신하트 편집부

최근 수십 년 동안 풀리지 않았던 수학 퍼즐이 처음으로 진전을 이루었습니다.

이러한 발전을 주도한 사람은 UCLA 대학원생 James Leng, MIT 수학 대학원생 Ashwin Sah 및 Columbia University 조교수 Mehtaab Sawhney입니다. 그중 James Leng은 유명한 수학자 Terence Tao 밑에서 공부했고, Ashwin Sah는 이산 수학의 대가 Zhao Yufei 밑에서 공부했습니다.

논문 주소: https://arxiv.org/pdf/2402.17995

이 연구에서 달성한 획기적인 결과를 이해하려면 산술 수열부터 시작해야 합니다.

산술수열의 처음 n항의 합을 산술급수라고 하며, 산술급수라고도 합니다. 1936년에 수학자 Paul Erdös와 Pál Turán은 집합이 0이 아닌 정수 분수(심지어 0.00000001%)로 구성되어 있다면 임의로 긴 산술 계열을 포함해야 한다고 추측했습니다. 산술급수를 피할 수 있는 유일한 집합은 정수의 "무시할 수 있는" 부분을 포함하는 집합입니다. 예를 들어, 각 숫자가 이전 숫자의 두 배인 집합 {2, 4, 8, 16, …}은 진행 없이 숫자 축을 따라 분산됩니다.

1975년 수학자 Endre Szemerédi가 이 추측을 증명했습니다. 그의 연구는 수학자들이 오늘날에도 여전히 탐구하고 있는 다양한 연구 방향을 불러일으켰습니다.

수학자들은 유한한 숫자 집합(1부터 N까지의 모든 정수)의 경우 Szemerédi의 결과를 확립했습니다. 금지된 시리즈를 필연적으로 포함하기 전에 세트에서 초기 풀을 얼마나 사용할 수 있습니까? N이 변하면 이 비율도 어떻게 변할까요?

예를 들어, N이 20이라고 가정하면, 5개 이상의 숫자를 피하면서 이 20개의 숫자 중 몇 개를 적을 수 있습니까? 알고 보니 답은 초기 풀의 16~80%입니다.

Szemerédi는 N이 증가함에 따라 이 비율이 0으로 줄어들어야 함을 처음으로 보여 주었으며 이후 수학자들은 이것이 얼마나 빨리 발생하는지 정량화하려고 노력해 왔습니다.

작년에 두 명의 컴퓨터 과학자의 획기적인 연구로 {6, 11, 16}과 같은 3항 계열 문제를 거의 해결했습니다. 그러나 4개 이상의 항으로 구성된 산술 계열을 피하려고 하면 문제가 더욱 어려워집니다. 이는 긴 시리즈가 고전적인 수학적 방법을 사용하여 밝히기 어려운 기본 구조를 반영하기 때문입니다.

3항 산술 계열의 숫자 x, y 및 z는 항상 간단한 방정식 x – 2y + z = 0을 충족합니다(예: 계열 {10, 20, 30} 사용: 10 – 2*(20) + 30 = 0) 집합에 이 조건을 만족하는 숫자가 포함되어 있는지 여부를 증명하는 것은 비교적 쉽습니다. 4항 계열의 숫자는 더 복잡한 방정식 x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0도 충족해야 하지만, 5개 이상의 항이 있는 계열은 훨씬 더 복잡한 방정식을 충족해야 합니다. 이는 그러한 시리즈를 포함하는 세트가 더 미묘한 패턴을 나타냄을 의미합니다. 또한 수학자들이 그러한 패턴이 존재하는지 여부를 증명하는 것도 더 어려울 것입니다.

1990년대 후반 수학자 티모시 가워스(Timothy Gowers)는 이러한 장애물을 극복하기 위한 이론을 제안했습니다. 그는 나중에 이 연구로 부분적으로 수학 최고의 영예인 필즈상을 수상했습니다. 2001년에 그는 Szemerédi의 정리에 자신의 방법을 적용하여 주어진 길이에 대한 산술 급수를 피하고 최대 집합 크기에 대한 더 나은 경계를 증명했습니다.

2022년, 당시 UCLA 대학원 2년차였던 James Leng은 Gowers의 이론을 이해하기 시작했습니다. 그는 Szemerédi의 정리를 고려하지 않았습니다. 대신 그는 Gowers의 접근 방식에 대한 질문에 답변하기를 희망합니다.

그러나 1년이 넘는 수색 끝에 그는 아무것도 발견하지 못했습니다.

관련 문제를 고민하던 사(Sah)와 소니(Sawhney)는 렝의 작업을 접하고 “내가 이런 생각을 할 수 있다는 게 놀랍다”고 말하기도 했다.

Sah와 Sawhney는 Leng의 연구가 Szemerédi의 정리를 더욱 발전시키는 데 도움이 될 수 있다는 것을 깨달았습니다. 몇 달 안에 세 명의 젊은 수학자들이 5학기 시리즈 없이 세트의 크기에 대한 더 나은 상한선을 얻는 방법을 알아냈습니다. 그런 다음 그들은 작업을 임의의 길이로 확장하여 Gowers의 증명 이후 23년 만에 문제에 대한 첫 번째 진전을 이루었습니다.

표현하다

, k 항이 없는 산술 시리즈의 가장 큰 부분 집합의 크기입니다. Leng, Sah 및 Sawhney는 k ≥ 5에 대해 다음과 같은 c_k > 0이 존재함을 증명했습니다.

연구팀

논문의 제1저자인 James Leng은 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스(UCLA)에서 수학을 전공한 대학원생이며, 캘리포니아 대학교 버클리에서 학사 학위를 받았습니다. 그는 유명한 수학자 테렌스 타오(Terence Tao) 밑에서 공부했습니다.

James Leng의 연구 관심 분야에는 산술 조합론, 동적 시스템, 푸리에 분석 등이 포함됩니다. 그의 연구는 NSF 대학원 펠로십의 지원을 받았습니다.

제임스 렝

Ashwin Sah는 어렸을 때부터 수학을 좋아했으며 대회에서 고급 수학을 접했고 좋은 성적을 거두었습니다. 2016년 여름, 16세의 사(Sah)는 국제수학올림피아드(IMO)에서 금메달을 획득했고, 이듬해 MIT에 입학했다.

아슈윈 사

MIT에서 공부하는 동안 Sah의 수학적 발전에 두 사람이 중요한 역할을 했습니다. 첫 번째는 이산 수학의 대가이자 Sah의 대학원 교사이기도 한 Yufei Zhao 교수입니다.

두 번째는 Mehtaab Sawhney입니다. 그들은 수업 시간에 만나 친구가 되었습니다. 나중에 두 사람은 함께 연구하고 그래프 이론, 확률 이론, 랜덤 행렬의 속성과 같은 이산 수학 분야의 다양한 주제에 대해 논의했습니다. 2017년 말 Ashwin Sah와 Mehtaab Sawhney는 (MIT) 학부생 시절 만났습니다. 그 이후로 두 사람은 57개의 놀라운 수학적 증명을 함께 작성했으며 그 중 다수는 다양한 분야에 지대한 영향을 미쳤습니다.

메타브 소니

Mehtaab Sawhney는 현재 Columbia University의 조교수입니다. 그의 연구 관심 분야로는 조합론, 확률, 이론 컴퓨터 과학 등이 있습니다.

参考链接:https://www.Quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/