notícias

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Compilação de coração de máquina

da revista quantam

Compilação de coração de máquina
Departamento Editorial de Coração de Máquina

Recentemente, foram feitos progressos pela primeira vez num quebra-cabeça matemático que permaneceu sem solução durante décadas.

Impulsionando esse progresso estão o estudante de pós-graduação da UCLA, James Leng, o estudante de pós-graduação em matemática do MIT, Ashwin Sah, e o professor assistente da Universidade de Columbia, Mehtaab Sawhney. Entre eles, James Leng estudou com o famoso matemático Terence Tao, e Ashwin Sah estudou com o mestre de matemática discreta Zhao Yufei.

Endereço do artigo: https://arxiv.org/pdf/2402.17995

Para compreender o avanço alcançado nesta pesquisa, precisamos começar com progressões aritméticas.

A soma dos primeiros n termos de uma sequência aritmética é chamada de série aritmética, também conhecida como série aritmética. Em 1936, os matemáticos Paul Erdős e Pál Turán conjecturaram que se um conjunto consiste em frações diferentes de zero de inteiros (até 0,00000001%), então deve conter uma série aritmética arbitrariamente longa. Os únicos conjuntos que podem evitar séries aritméticas são aqueles que contêm uma parte "desprezível" dos inteiros. Por exemplo, o conjunto {2, 4, 8, 16,…}, no qual cada número é o dobro do número anterior, está espalhado ao longo do eixo dos números sem progressão.

Em 1975, o matemático Endre Szemerédi provou esta conjectura. Seu trabalho deu origem a uma variedade de direções de pesquisa que os matemáticos ainda exploram hoje.

Os matemáticos estabeleceram o resultado de Szemerédi no caso de um conjunto finito de números (todos inteiros de 1 a algum número N). Quanto do pool inicial pode ser usado no conjunto antes de incluir inevitavelmente uma série proibida? À medida que N muda, como essa proporção mudará?

Por exemplo, seja N 20, quantos desses 20 números podem ser anotados evitando séries de 5 ou mais números? Acontece que a resposta é de 16% a 80% do pool inicial.

Szemerédi foi o primeiro a mostrar que à medida que N cresce, esta fração deve encolher até zero, e desde então os matemáticos têm tentado quantificar a rapidez com que isso acontece.

No ano passado, o trabalho inovador de dois cientistas da computação quase resolveu o problema das séries de três termos, como {6, 11, 16}. Mas o problema torna-se mais difícil quando se tenta evitar séries aritméticas de quatro ou mais termos. Isto ocorre porque séries mais longas refletem estruturas subjacentes que são difíceis de revelar usando métodos matemáticos clássicos.

Os números x, y e z em uma série aritmética de três termos sempre satisfazem a equação simples x – 2y + z = 0 (tome a série {10, 20, 30} como exemplo: 10 – 2*(20) + 30 = 0), é relativamente fácil provar se um conjunto contém números que satisfazem esta condição. Embora os números em uma série de quatro termos também devam satisfazer a equação mais complexa x^2 – 3y^2 + 3z^2 – w^2 = 0, uma série com cinco ou mais termos deve satisfazer uma equação ainda mais complexa. Isto significa que conjuntos contendo tais séries exibirão padrões mais sutis. Também seria mais difícil para os matemáticos provar se tal padrão existe.

No final da década de 1990, o matemático Timothy Gowers propôs uma teoria para superar este obstáculo. Mais tarde, ele recebeu a Medalha Fields, a maior honraria da matemática, em parte por este trabalho. Em 2001, ele aplicou seu método ao teorema de Szemerédi, provando melhores limites para o tamanho máximo do conjunto, evitando séries aritméticas para qualquer comprimento.

Em 2022, James Leng, então estudante do segundo ano de pós-graduação na UCLA, começou a compreender a teoria de Gowers. Ele não considerou o teorema de Szemerédi. Em vez disso, ele espera responder a perguntas sobre a abordagem de Gowers.

Porém, depois de mais de um ano de buscas, não encontrou nada.

Sah e Sawhney, que estavam pensando em questões relacionadas, conheceram o trabalho de Leng e ficaram muito interessados ​​​​até dizer: “Estou surpreso por poder pensar assim”.

Sah e Sawhney perceberam que a pesquisa de Leng poderia ajudá-los a progredir ainda mais no teorema de Szemerédi. Em poucos meses, três jovens matemáticos descobriram como obter melhores limites superiores para o tamanho dos conjuntos sem séries de penttermo. Eles então ampliaram seu trabalho para séries de comprimentos arbitrários, marcando o primeiro progresso no problema nos 23 anos desde a prova de Gowers.

expressar

, o tamanho do maior subconjunto de uma série aritmética sem k termos. Leng, Sah e Sawhney provaram que para k ≥ 5, existe c_k > 0 tal que

equipe de pesquisa

James Leng, o primeiro autor do artigo, é estudante de graduação em matemática na Universidade da Califórnia, Los Angeles (UCLA), e recebeu seu diploma de graduação na Universidade da Califórnia, Berkeley. Ele estudou com o famoso matemático Terence Tao.

Os interesses de pesquisa de James Leng incluem combinatória aritmética, sistemas dinâmicos e análise de Fourier, entre outros. Sua pesquisa também foi apoiada por uma bolsa de pós-graduação da NSF.

James Leng

Ashwin Sah gosta de matemática desde criança. Ele foi exposto à matemática avançada em competições e teve um bom desempenho. No verão de 2016, Sah, de 16 anos, ganhou a medalha de ouro na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO). No ano seguinte, ingressou no MIT para estudar.

Ashwin Sah

Enquanto estudava no MIT, duas pessoas desempenharam um papel importante no desenvolvimento matemático de Sah. O primeiro é o professor Yufei Zhao, mestre em matemática discreta, que também é tutor de pós-graduação de Sah.

O segundo é Mehtaab Sawhney, eles se conheceram na aula e ficaram amigos. Posteriormente, os dois pesquisaram juntos e discutiram diversos temas na área de matemática discreta, como teoria dos grafos, teoria das probabilidades e propriedades de matrizes aleatórias. No final de 2017, Ashwin Sah e Mehtaab Sawhney se conheceram quando eram estudantes de graduação no (MIT). Desde então, os dois escreveram juntos incríveis 57 provas matemáticas, muitas das quais tiveram um impacto profundo em vários campos.

Mehtaab Sawhney

Mehtaab Sawhney é agora professor assistente na Universidade de Columbia. Seus interesses de pesquisa incluem combinatória, probabilidade e ciência da computação teórica, entre outros.

Link para: https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/